四川省內(nèi)江市2023-2024學年高一數(shù)學上學期期中試卷含解析

Page18Page18考試時間：120分鐘滿分：150分第Ⅰ卷選擇題（滿分60分）一、選擇題（本題共8小題.每小題5分.共40分.在每小題給出的四個挽項中，只有一項是符合題目要求的.）1.設(shè)全集，集合M滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求集合，進而逐項分析判斷.【詳解】由題意可得：，因為，則，所以，，，，故B正確，ACD錯誤故選：B.2.下列選項正確的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】對于A：根據(jù)根式的性質(zhì)分析判斷；對于B：根據(jù)分數(shù)指數(shù)冪的運算分析判斷；對于C：根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷；對于D：根據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性分析判斷.【詳解】對于選項A：，故A錯誤；對于選項B：，故B正確；對于選項C：因為在上單調(diào)遞減，且，所以，故C正確；對于選項D：因為在上單調(diào)遞增，且，所以，故D錯誤；故選：BC.3.“”是“，”成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)恒成立問題求參，再結(jié)合充分必要的定義判斷即可?！驹斀狻?可得單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，,所以,所以.不能推出,可以得出，是的必要不充分條件.故選：B.4.下列命題中，真命題是（）A.若且，則 B.若，則C.若，則 D.若，，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由不等式的性質(zhì)，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】若且，則不一定成立，例如，故A錯誤；若，則不一定成立，例如，故B錯誤；若，則，所以，故C正確；若，，則不一定成立，例如，故D錯誤；故選：C5.你見過古人眼中的煙花嗎？那是朱淑真元宵夜的“火樹銀花觸目紅”，是隋煬帝眼中的“燈樹千光照，花焰七枝開”.煙花，雖然是沒有根的花，是虛幻的花，卻在達到最高點時爆裂，用其燦爛的一秒換來人們真心的喝彩.已知某種煙花距地面的高度（單位：米）與時間（單位：秒）之間的關(guān)系式為，則煙花在沖擊后爆裂的時刻是（）A.第4秒 B.第5秒 C.第3.5秒 D.第3秒【答案】A【解析】【分析】利用配方法，求二次函數(shù)最大值及相應(yīng)值即可.【詳解】由題意，，則當時，即煙花達到最高點，爆裂的時刻是第秒.故選：A.6.二次函數(shù)的圖象如圖所示，則反比例函數(shù)與一次函數(shù)在同一坐標系下中的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由拋物線開口向下，可得，可排除A，C，根據(jù)拋物線過點得，可知過原點可排除B，進而可得正確選項.【詳解】因為二次函數(shù)開口向下，所以，所以的圖象必在二四象限，可排除選項A，C因為過點，所以，所以，所以即過點，故選項B不正確，選項D正確；故選：D.7.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)定義可得在上恒成立，利用參變分離結(jié)合恒成立問題可得，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得.【詳解】由題意可知：在上恒成立，整理得在上恒成立，因為在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，且，可得，又因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得在上單調(diào)遞減，則，可得，綜上所述：a的取值范圍是.故選：C.8.已知函數(shù)，若對于任意的實數(shù)、、，均存在以、、為三邊邊長的三角形，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】對實數(shù)分、、三種情況討論，求出函數(shù)的最大值和最小值，由題意得出，由此可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】當時，，當且僅當時，等號成立，且，，此時，；①若時，函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞減，則，即，那么，當時，，，由題意可得，則有，解得，此時，；②當時，且當時，，則，，成立，此時；③當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，即，則，，由題意可得，則有，解得，此時.綜上所述，.故選B.【點睛】本題考查函數(shù)最值的應(yīng)用，同時也考查了分段函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵就是將題意轉(zhuǎn)化為關(guān)于函數(shù)最值相關(guān)的不等式求解，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得5分，部分地對的得2分，有選錯的得0分.）9.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)排除選項C；根據(jù)單調(diào)性判斷選項A、B、D.【詳解】對于選項A，是偶函數(shù)，且當時，函數(shù)可化為，增函數(shù)，故A正確；對于選項B，是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，故B正確；對于選項C，即不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故C錯誤；對于選項D，是偶函數(shù)，當時函數(shù)可化為，在上是增函數(shù)，故D正確.故選：ABD10.若函數(shù)與的值域相同，但定義域不同，則稱和是同象函數(shù).已知函數(shù)，，則下列函數(shù)中與是同象函數(shù)的有（）.A.， B.，C.， D.，【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)同象函數(shù)的定義，結(jié)合各函數(shù)的定義域與值域判斷即可.【詳解】，，則.對A，，，則，滿足同象函數(shù)的定義，故A正確；對B，，，則，滿足同象函數(shù)的定義，故B正確；對C，，，則，不滿足同象函數(shù)的定義，故C錯誤；對D，，，則，不滿足同象函數(shù)的定義，故D錯誤；故選：AB11.已知正數(shù)滿足，則（）A.的最大值為 B.的最小值為9C.的最小值為 D.的最小值為【答案】BD【解析】【分析】運用基本不等式逐一判斷即可.【詳解】A：因為是正數(shù)，所以，當且僅當時取等號，即當時，有最大值為，因此本選項不正確；B：因為是正數(shù)，，所以，當且僅當時取等號，即當取等號，故本選項正確；C：因為正數(shù)，，所以，當且僅當時取等號，即當時，有最小值，因此本選項不正確；D：因為是正數(shù)，，所以，當且僅當時取等號，即當時，的最小值為因此本選項正確，故選：BD12.已知的定義域為R且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且對任意的，，且≠，都有，則下列結(jié)論正確的是（）A.是偶函數(shù) B. C.的圖象關(guān)于對稱 D.【答案】ABC【解析】【分析】由已知奇偶性得出函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱且關(guān)于直線對稱，再得出函數(shù)的單調(diào)性，然后由對稱性變形判斷ABC，結(jié)合單調(diào)性判斷D．【詳解】為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于點對稱且關(guān)于直線對稱，所以，，，，所以是周期函數(shù)，4是它的一個周期．，，B正確；，是偶函數(shù)，A正確；因此的圖象也關(guān)于點對稱，C正確；對任意的，且，都有，即時，，所以在是單調(diào)遞增，，，，，∴，故D錯．故選：ABC．第Ⅱ卷非選擇題（滿分90分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.若，，則的值為______．【答案】150【解析】【分析】應(yīng)用指數(shù)冪的運算性質(zhì)求目標式的值即可.【詳解】因為，，所以，故答案為：150．14.若函數(shù)是上的偶函數(shù)，且當時，，則_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由偶函數(shù)的性質(zhì)，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)是上的偶函數(shù)，則，由當時，，則，所以.故答案為：15.已知一元二次不等式的解集為，則得最大值為________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)一元二次不等式的解集求參，再結(jié)合基本不等式求最值即可.【詳解】的解集為，故為方程的兩個根，且，（當且僅當時等號成立）.故答案為：.16.已知連續(xù)函數(shù)滿足：①，則有，②當時，，③，則不等式的解集為___________.【答案】【解析】【分析】利用賦值法、構(gòu)造函數(shù)法證得是奇函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證得在上單調(diào)遞減，由此化簡不等式并求得其解集.【詳解】依題意，，有，令，得，令，得，令，得，構(gòu)造函數(shù)，則為奇函數(shù)，則，任取，則，由于，所以，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減.由得，，，由得，則，所以，解得，所以不等式的解集為.故答案為：【點睛】利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，首先要在函數(shù)定義域的給定區(qū)間內(nèi)，任取兩個數(shù)，且，然后通過計算的符號，如果，則在給定區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，則在給定區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.四、解答題（本愿共，6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知全集，，.（1）求；（2）求【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)分式的性質(zhì)、一元二次不等式的解法，結(jié)合集合并集的定義進行求解即可；（2）根據(jù)集合交集和補集的定義進行求解即可.【小問1詳解】，即，又因為，所以；【小問2詳解】因為，，所以，所以或.18.已知是定義在上的奇函數(shù)，且．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，試用單調(diào)性的定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞減．【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由已知結(jié)合，求出，再驗證作答.（2）由（1）的結(jié)論求出函數(shù)的解析式，再利用單調(diào)函數(shù)的定義推理論證作答.【小問1詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，則，而，解得，此時，，即函數(shù)是奇函數(shù)，所以，.【小問2詳解】由（1）知，而，則，，，因為，則，有，即，因此，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.19.已知函數(shù)為冪函數(shù)，且為奇函數(shù).（1）求的值，并確定的解析式；（2）令，求在的值域.【答案】（1）的值為，函數(shù)的解析式為（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義及性質(zhì)即可求解；（2）由（1），得，令利用換元法得到，，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】因為函數(shù)為冪函數(shù)，所以，解得或，當時，函數(shù)是奇函數(shù)，符合題意，當時，函數(shù)是偶函數(shù)，不符合題意，綜上所述，的值為，函數(shù)的解析式為.【小問2詳解】由（1）知，，所以，令，則，，所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，，所以函數(shù)在的值域為.20.今年中秋國慶雙節(jié)假期“合體”，人們的出游意愿進一步增強，國內(nèi)長線游預(yù)訂人次占比為.數(shù)據(jù)顯示，中秋國慶假期，長線游預(yù)訂占比近六成預(yù)訂出游平均時長在5天以上.某旅游平臺上，跨省游訂單占比達，較2022年同期提升10個百分點.秋高氣爽最適合登高爬山，某戶外登山運動裝備生產(chǎn)企業(yè)，2023年的固定成本為1000萬元，每生產(chǎn)x千件裝備，需另投入資金（萬元）.經(jīng)計算與市場評估得，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當生產(chǎn)10千件裝備時需另投入資金萬元.每千件裝備的市場售價為300萬元，從市場調(diào)查來看，2023年最多能售出150千件.（1）寫出2023年利潤W（萬元）關(guān)于產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)；（利潤＝銷售總額－總成本）（2）當2023年產(chǎn)量為多少千件時，該企業(yè)所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）（2）當年產(chǎn)量為100千件時，該企業(yè)的年利潤最大，最大年利潤為1550萬元.【解析】【分析】（1）由題可得，進而結(jié)合條件可得利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式分段求函數(shù)的最值即得.【小問1詳解】由題意知，當時，，所以，當時，；當時，，所以；小問2詳解】當時，函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以當時，有最大值，最大值為1500；當時，由基本不等式，得，當且僅當時取等號，所以當時，有最大值，最大值為1550；因為，所以當年產(chǎn)量為100千件時，該企業(yè)的年利潤最大，最大年利潤為1550萬元.21.已知函數(shù)且在上的最大值與最小值之差為.（1）求實數(shù)a的值；（2），若，求不等式的解集.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）分和兩種情況，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性運算求解；（2）根據(jù)題意可得：是奇函數(shù)且為增函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式.【小問1詳解】①當時，上單調(diào)遞增，則，所以，解得或（舍去）；②當時，上單調(diào)遞減則，所以，解得或（舍去）；綜上所述：或.【小問2詳解】因為，由（1）可知：，則，可知：的定義域為，因為，則為奇函數(shù)，又因為在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，綜上所述：在R上是奇函數(shù)且為增函數(shù)，因為，可得，則，解得或，所以不等式的解集為.22.己知偶函數(shù).（1）求實數(shù)k的值；（2）若且對任意，不等式恒成立，求實數(shù)m的最大值；（3）設(shè)，若方程有且只有一個解，求p的取值范圍.【答案】（1）（2）4（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，代入，即可求解；（2）首先求函數(shù)，再代入不等式，并通過換元，轉(zhuǎn)化為，恒成立，利用參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，即可求解；（3）首先方程整理為，再換元，轉(zhuǎn)化為方程在上只有1個解，即可求的取值范圍.【小問1詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，有，，得恒成立，得；【小問2詳解】由（1）知，，，得或，即，不等式，為，即，恒成立，設(shè)，當時，，