高中數(shù)學(xué)選擇性必修一課件：1 4 1 第1課時(shí) 空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示(人教A版)

第一章

1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系第1課時(shí)空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示理解直線的方向向量與平面的法向量，會(huì)求一個(gè)平面的法向量.學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO內(nèi)容索引知識(shí)梳理題型探究隨堂演練課時(shí)對點(diǎn)練1知識(shí)梳理PARTONE知識(shí)點(diǎn)一空間中點(diǎn)的位置向量如圖，在空間中，我們?nèi)∫欢c(diǎn)O作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)P就可以用向量

來表示.我們把向量

稱為點(diǎn)P的位置向量.知識(shí)點(diǎn)二空間中直線的向量表示式直線l的方向向量為a

，且過點(diǎn)A.如圖，取定空間中的任意一點(diǎn)O，可以得到點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.思考直線的方向向量是不是唯一的？答案

直線的方向向量不是唯一的，它們都是共線向量.解題時(shí)，可以選取坐標(biāo)最簡的方向向量.知識(shí)點(diǎn)三空間中平面的向量表示式1.平面ABC的向量表示式我們把③式稱為空間平面ABC的向量表示式.2.平面的法向量如圖，若直線l⊥α，取直線l的方向向量a，我們稱a為平面α的法向量；過點(diǎn)A且以a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合{P|a·＝0}.思考平面的法向量是不是唯一的？答案一個(gè)平面的法向量不是唯一的，一個(gè)平面的所有法向量共線.在應(yīng)用時(shí)，可以根據(jù)需要進(jìn)行選取.思考平面的法向量是不是唯一的？答案一個(gè)平面的法向量不是唯一的，一個(gè)平面的所有法向量共線.在應(yīng)用時(shí)，可以根據(jù)需要進(jìn)行選取.思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.若兩條直線平行，則它們的方向向量方向相同或相反.(

)2.平面α的法向量是唯一的，即一個(gè)平面不可能存在兩個(gè)不同的法向量.(

)3.直線的方向向量是唯一的.(

)√××2題型探究PARTTWO一、直線的方向向量例1

(1)已知直線l的一個(gè)方向向量m＝(2，－1,3)，且直線l過A(0，y，3)和B(－1,2，z)兩點(diǎn)，則y－z等于√∴－1＝2k,2－y＝－k，z－3＝3k.∴y－z＝0.(2)在如圖所示的坐標(biāo)系中，ABCD－A1B1C1D1為正方體，棱長為1，則直線DD1的一個(gè)方向向量為_____________，直線BC1的一個(gè)方向向量為________.(不唯一)(0,0,1)(0,1,1)直線DD1的一個(gè)方向向量為(0,0,1)；故直線BC1的一個(gè)方向向量為(0,1,1).反思感悟理解直線方向向量的概念(1)直線上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)都可構(gòu)成直線的方向向量.(2)直線的方向向量不唯一.反思感悟理解直線方向向量的概念(1)直線上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)都可構(gòu)成直線的方向向量.(2)直線的方向向量不唯一.跟蹤訓(xùn)練1

(1)(多選)若M(1,0，－1)，N(2,1,2)在直線l上，則直線l的一個(gè)方向向量是A.(2,2,6) B.(1,1,3) C.(3,1,1) D.(－3,0,1)√√故向量(1,1,3)，(2,2,6)都是直線l的一個(gè)方向向量.(2)從點(diǎn)A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取線段長||＝34，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為√即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12)，所以x＝18，y＝17，z＝－17.二、求平面的法向量例2如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn).AB＝AP＝1，AD＝

，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面ACE的一個(gè)法向量.解因?yàn)镻A⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，所以AB，AD，AP兩兩垂直.設(shè)n＝(x，y，z)為平面ACE的法向量，延伸探究本例條件不變，試求直線PC的一個(gè)方向向量和平面PCD的一個(gè)法向量？解如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，即直線PC的一個(gè)方向向量.設(shè)平面PCD的法向量為n＝(x，y，z).反思感悟求平面法向量的方法與步驟(1)求平面ABC的法向量時(shí)，要選取平面內(nèi)兩不共線向量，如

；(2)設(shè)平面的法向量為n＝(x，y，z)；(3)聯(lián)立方程組

并求解；(4)所求出向量中的三個(gè)坐標(biāo)不是具體的值而是比例關(guān)系，設(shè)定一個(gè)坐標(biāo)為常數(shù)(常數(shù)不能為0)便可得到平面的一個(gè)法向量.跟蹤訓(xùn)練2已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，試求出平面ABC的一個(gè)法向量.解設(shè)平面ABC的法向量為n＝(x，y，z).∵A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，故平面ABC的一個(gè)法向量為n＝(3,3,1).3隨堂演練PARTTHREE1.若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直線l上，則直線l的一個(gè)方向向量為A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1)√123452.已知直線l1的方向向量a＝(2，－3,5)，直線l2的方向向量b＝(－4，x，y)，若a∥b，則x，y的值分別是A.6和－10 B.－6和10C.－6和－10 D.6和10√12345所以x，y的值分別是6和－10.3.若n＝(2，－3,1)是平面α的一個(gè)法向量，則下列向量中能作為平面α的法向量的是A.(0，－3,1) B.(2,0,1)C.(－2，－3,1) D.(－2,3，－1)√12345解析求與n共線的一個(gè)向量.易知(2，－3,1)＝－(－2，3，－1).4.(多選)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作為平面ABC法向量的是√12345√5.已知平面α經(jīng)過點(diǎn)O(0,0,0)，且e＝(1,2，－3)是α的一個(gè)法向量，M(x，y，z)是平面α內(nèi)任意一點(diǎn)，則x，y，z滿足的關(guān)系式是________________.12345x＋2y－3z＝0故x＋2y－3z＝0.1.知識(shí)清單：(1)直線的方向向量.(2)平面的法向量.2.方法歸納：待定系數(shù)法.3.常見誤區(qū)：不理解直線的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性.課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE4課時(shí)對點(diǎn)練PARTFOUR1.已知向量a＝(2,－1,3)和b＝(－4,2x2,6x)都是直線l的方向向量，則x的值是A.－1 B.1或－1 C.－3 D.1√基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415162.已知平面α的一個(gè)法向量是(2，－1，－1)，α∥β，則下列向量可作為平面β的一個(gè)法向量的是A.(4,2，－2) B.(2,0,4)C.(2，－1，－5) D.(4，－2，－2)√12345678910111213141516解析∵α∥β，∴β的法向量與α的法向量平行，又∵(4，－2，－2)＝2(2，－1，－1)，故選D.解析∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA.又AC⊥BD，∴BD⊥平面PAC，∴PC⊥BD.故選項(xiàng)B成立，選項(xiàng)A和D顯然成立.故選C.√123456789101112131415164.已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，則平面ABC的一個(gè)法向量是A.(1,1，－1) B.(1，－1,1)C.(－1,1,1) D.(－1，－1，－1)√12345678910111213141516取x＝－1，則y＝－1，z＝－1.故平面ABC的一個(gè)法向量是(－1，－1，－1).5.(多選)在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，ABCD－A1B1C1D1是棱長為1的正方體，下列結(jié)論正確的是A.平面ABB1A1的一個(gè)法向量為(0,1,0)B.平面B1CD的一個(gè)法向量為(1,1,1)C.平面B1CD1的一個(gè)法向量為(1,1,1)D.平面ABC1D1的一個(gè)法向量為(0,1,1)√12345678910111213141516√又AB∩AA1＝A，∴AD⊥平面ABB1A1，∴A正確；∴(1,1,1)不是平面B1CD的法向量，∴B不正確；∴(1,1,1)是平面B1CD1的一個(gè)法向量，∴C正確；∴(0,1,1)不是平面ABC1D1的法向量，即D不正確.123456789101112131415166.已知平面ABC，且A(1,2，－1)，B(2,0，－1)，C(3，－2,1)，則平面ABC的一個(gè)法向量為__________________.12345678910111213141516(2,1,0)(答案不唯一)令y＝1，得x＝2，z＝0，故平面ABC的一個(gè)法向量為n＝(2,1,0).7.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知點(diǎn)P(2cosx＋1,2cos2x＋2,0)和點(diǎn)Q(cosx，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直線OP與直線OQ垂直，則x的值為______.即(2cosx＋1)·cosx＋(2cos2x＋2)·(－1)＝0.∵x∈[0，π]，123456789101112131415168.在如圖所示的坐標(biāo)系中，ABCD－A1B1C1D1表示棱長為1的正方體，給出下列結(jié)論：①直線DD1的一個(gè)方向向量為(0,0,1)；②直線BC1的一個(gè)方向向量為(0,1,1)；③平面ABB1A1的一個(gè)法向量為(0,1,0)；④平面B1CD的一個(gè)法向量為(1,1,1).其中正確的是________.(填序號)12345678910111213141516①②③12345678910111213141516解∵B(2,0,0)，C(0,2，－2)，9.已知A(2,2,2)，B(2,0,0)，C(0,2,－2).(1)寫出直線BC的一個(gè)方向向量；12345678910111213141516(2)設(shè)平面α經(jīng)過點(diǎn)A，且BC是α的法向量，M(x，y，z)是平面α內(nèi)的任意一點(diǎn)，試寫出x，y，z滿足的關(guān)系式.12345678910111213141516∴(－2,2，－2)·(x－2，y－2，z－2)＝0.∴－2(x－2)＋2(y－2)－2(z－2)＝0.化簡得x－y＋z－2＝0.10.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，DC的中點(diǎn)，求證：

是平面A1D1F的法向量.12345678910111213141516證明設(shè)正方體的棱長為1，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又A1D1∩D1F＝D1，∴AE⊥平面A1D1F，1234567891011121314151611.已知線段AB的兩端點(diǎn)坐標(biāo)為A(9，－3,4)，B(9,2,1)，則線段AB與坐標(biāo)平面A.xOy平行 B.xOz平行C.yOz平行 D.yOz相交12345678910111213141516綜合運(yùn)用√所以AB∥平面yOz.12.已知平面α內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)A(2，－1,2)，α的一個(gè)法向量為n＝(3,1,2)，則下列點(diǎn)P中，在平面α內(nèi)的是√12345678910111213141516解析要判斷點(diǎn)P是否在平面α內(nèi)，12345678910111213141516因此，要對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn).同理可排除C，D.故選B.把選項(xiàng)代入驗(yàn)證，只有選項(xiàng)D不滿足，故選D.13.已知直線l過點(diǎn)P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α過直線l與點(diǎn)M(1,2,3)，則平面α的法向量不可能是√12345678910111213141516123456789101112131415162∶3∶(－4)∵a是平面α的一個(gè)法向量，1234567891011121314151612345678910111213141516拓廣探究①②③12345678910111213141516∴AB⊥AP，AD⊥AP，則①②正確.16.如圖所示，在四棱錐S－ABCD中，底面是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝

，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面SCD與平面SBA的一個(gè)法向量.12345678910111213141516解以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，AS所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，12345678910111213141516設(shè)n＝(x，