高中數(shù)學(xué)選擇性必修一課件：3 1 1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(人教A版)

第三章

§3.1橢圓3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程1.理解并掌握橢圓的定義及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握用定義法、待定系數(shù)法和相關(guān)點(diǎn)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO內(nèi)容索引知識梳理題型探究隨堂演練課時(shí)對點(diǎn)練1知識梳理PARTONE知識點(diǎn)一橢圓的定義1.定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于

(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡.2.焦點(diǎn)：兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2.3.焦距：兩焦點(diǎn)間的距離|F1F2|.4.幾何表示：|MF1|＋|MF2|＝

(常數(shù))且2a

|F1F2|.常數(shù)2a>知識點(diǎn)二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程__________________________________圖形

焦點(diǎn)坐標(biāo)________________________________________a，b，c的關(guān)系__________F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)b2＝a2－c2思考能否根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，判定焦點(diǎn)位置？答案能.橢圓的焦點(diǎn)在x軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中含x2項(xiàng)的分母較大；橢圓的焦點(diǎn)在y軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中含y2項(xiàng)的分母較大.思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.平面內(nèi)到點(diǎn)F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)距離相等的點(diǎn)的軌跡是橢圓.(

)2.到平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.(

)3.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程只與橢圓的形狀、大小有關(guān)，與位置無關(guān).(

)4.橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式中，雖然焦點(diǎn)位置不同，但都滿足a2＝b2＋c2.(

)×××√2題型探究PARTTWO2題型探究PARTTWO一、求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)(0,2)和(1,0)；解因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，又橢圓經(jīng)過點(diǎn)(0,2)和(1,0)，解因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，由橢圓的定義知，又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，解方法一

①當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由a>b>0，知不合題意，故舍去；方法二

設(shè)橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).所以所求橢圓的方程為5x2＋4y2＝1，反思感悟確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)“定位”是指確定與坐標(biāo)系的相對位置，在中心為原點(diǎn)的前提下，確定焦點(diǎn)位于哪條坐標(biāo)軸上，以判斷方程的形式.(2)“定量”是指確定a2，b2的具體數(shù)值，常根據(jù)條件列方程求解.跟蹤訓(xùn)練1求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：解方法一

(分類討論法)若焦點(diǎn)在x軸上，則a2<b2，與題設(shè)中a>b>0矛盾，舍去.方法二

(待定系數(shù)法)設(shè)橢圓的方程為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B).所以其焦點(diǎn)在y軸上，且c2＝25－9＝16.因?yàn)閏2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16. ①二、橢圓的定義及其應(yīng)用從而|F1F2|＝2c＝6，在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|. ①即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|. ②由①②得|PF1|·|PF2|＝4.延伸探究若將本例中“

∠F1PF2＝60°”變?yōu)椤啊螾F1F2＝90°”，求△F1PF2的面積.從而|F1F2|＝2c＝6.在△PF1F2中，由勾股定理可得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，即|PF2|2＝|PF1|2＋36，反思感悟橢圓定義的應(yīng)用技巧(1)橢圓的定義能夠?qū)E圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化.(2)橢圓上一點(diǎn)P與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成的△PF1F2，稱為焦點(diǎn)三角形，可以利用橢圓的定義，結(jié)合正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等知識求解.解析由直線AB過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F1，知|AB|＝|F1A|＋|F1B|，所以在△F2AB中，|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝20，又|F2A|＋|F2B|＝12，所以|AB|＝8.8設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，∠F1PF2＝α，①2－②得mn(1＋cosα)＝6，

④即∠F1PF2＝60°.三、與橢圓有關(guān)的軌跡問題解析設(shè)Q(x，y)，P(x0，y0)，由點(diǎn)Q是線段OP的中點(diǎn)知x0＝2x，y0＝2y，(2)如圖所示，已知?jiǎng)訄AP過定點(diǎn)A(－3,0)，并且在定圓B：(x－3)2＋y2＝64的內(nèi)部與其內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程.解設(shè)動(dòng)圓P和定圓B內(nèi)切于點(diǎn)M，動(dòng)圓圓心P到兩定點(diǎn)A(－3,0)和B(3,0)的距離之和恰好等于定圓半徑，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|，所以動(dòng)圓圓心P的軌跡是以A，B為左、右焦點(diǎn)的橢圓，其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，反思感悟

求軌跡方程的常用方法(1)直接法設(shè)出曲線上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)后，可根據(jù)幾何條件直接轉(zhuǎn)換成x，y間的關(guān)系式；(2)定義法若動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幾何條件滿足某種已知曲線的定義，可用待定系數(shù)法求出軌跡方程；(3)相關(guān)點(diǎn)法(代入法)有些問題中的動(dòng)點(diǎn)軌跡是由另一動(dòng)點(diǎn)按照某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)而形成的，只要把所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)“轉(zhuǎn)移”到另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中所遵循的條件中去.跟蹤訓(xùn)練3在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，|AB|＝2，|AC|＝

，曲線E過C點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在曲線E上運(yùn)動(dòng)，且|PA|＋|PB|是定值.建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線E的方程.解以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.由題意可知，曲線E是以A，B為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)C的橢圓，所以a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3.3隨堂演練PARTTHREE1.橢圓

＋y2＝1上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為A.5 B.6 C.7 D.8√12345解析設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，|PF1|＝2，結(jié)合橢圓定義|PF2|＋|PF1|＝10，可得|PF2|＝8.2.已知橢圓4x2＋ky2＝4的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,1)，則實(shí)數(shù)k的值是A.1 B.2 C.3 D.4√123453.若方程x2＋ky2＝2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是A.(0，＋∞) B.(0,2)C.(1，＋∞) D.(0,1)√123454.已知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，其上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和為8，焦距為

，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________.12345所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.又橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，5.橢圓的兩焦點(diǎn)為F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，點(diǎn)P在橢圓上，若△PF1F2的面積最大為12，則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為__________.解析如圖，當(dāng)P在y軸上時(shí)△PF1F2的面積最大，又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.123451.知識清單：(1)橢圓的定義.(2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.方法歸納：待定系數(shù)法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法.3.常見誤區(qū)：(1)忽視橢圓定義中a，c的條件.(2)混淆不同坐標(biāo)系下橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程.課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE4課時(shí)對點(diǎn)練PARTFOUR基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516A.(5,0)，(－5,0) B.(0,5)，(0，－5)C.(0,12)，(0，－12) D.(12,0)，(－12,0)√解析c2＝169－25＝144.c＝12，故選C.√12345678910111213141516A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件√12345678910111213141516A.5 B.4 C.3 D.1√又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，12345678910111213141516A.圓 B.橢圓 C.線段 D.直線√解析設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F2，又|MF1|＋|MF2|＝2a，所以|PO|＋|PF1|＝a>|F1O|＝c，故由橢圓的定義，知點(diǎn)P的軌跡是橢圓.123456789101112131415166.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)

，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓與x軸的一個(gè)交點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為3和1，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________.故b2＝a2－c2＝3，12345678910111213141516解析設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為E，則|MF|＋|ME|＝10，又∵|MF|＝2，∴|ME|＝8，12345678910111213141516412345678910111213141516知a2＝9，b2＝7，c2＝2.設(shè)|AF1|＝x，則|AF2|＝6－x.因?yàn)椤螦F1F2＝45°，123456789101112131415169.點(diǎn)M與定點(diǎn)F(2,0)的距離和它到定直線x＝8的距離的比是1∶2，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形.解設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，d是點(diǎn)M到直線x＝8的距離，所以，點(diǎn)M的軌跡是橢圓.12345678910111213141516(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；解由題意，知橢圓N的焦點(diǎn)為(－2,0)，(2,0)，12345678910111213141516(2)設(shè)橢圓M的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓M上，且△PF1F2的面積為1，求點(diǎn)P的坐標(biāo).解由(1)知F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，所以點(diǎn)P有4個(gè)，它們的坐標(biāo)分別為12345678910111213141516A.60° B.30° C.120° D.150°12345678910111213141516綜合運(yùn)用√∴(|PF1|＋|PF2|)2＝64，∵|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF1|2＋|PF2|2＝40，12345678910111213141516∵0°＜∠F1PF2＜180°，∴∠F1PF2＝60°.12345678910111213141516√解析∵線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上且O是線段F1F2的中點(diǎn)(F2為橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn))，∴PF2⊥x軸，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是3，12345678910111213141516A.5 B.7 C.13 D.15√12345678910111213141516解析由題意知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是兩圓的圓心，且|PF1|＋|PF2|＝10，從而|PM|＋|PN|的最小值為|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.解析取MN的中點(diǎn)G，G在橢圓C上，因?yàn)辄c(diǎn)M關(guān)于C的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的對稱點(diǎn)分別為A，B，1234567891011121314151612所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12.12345678910111213141516拓廣探究解得c＝2，從而|OF2|＝|PF2|＝2，連接PF1(圖略)，由|OF1|＝|OF2|＝|OP|知，PF1⊥PF2，1234567891011121314151612345678910111213141516解由題意得A(0，－b)，直線AB的方程為y＝x－b，由P(0,1)且BP∥x軸，得B(1＋b，1)，因?yàn)閎>0，于是b＝2，所以B(3,1)，12345678910111213141516備用工具&資料1234567891