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文檔簡(jiǎn)介

2.1.1傾斜角與斜率第二章

§2.1直線的傾斜角與斜率1.了解直線的斜率和傾斜角的概念.2.理解直線傾斜角的唯一性及直線斜率的存在性.3.了解斜率公式的推導(dǎo)過(guò)程,會(huì)應(yīng)用斜率公式求直線的斜率.學(xué)習(xí)目標(biāo)交通工程上一般用“坡度”來(lái)描述一段道路對(duì)于水平方向的傾斜程度,如圖,一輛汽車(chē)沿某條道路從A點(diǎn)前進(jìn)到B點(diǎn),在水平方向前進(jìn)的距離為AD,豎直方向上升的高度為DB(如果是下降,則DB的值為負(fù)實(shí)數(shù)),則坡度k=

若k>0,則表示上坡,若k<0,則表示下坡,為了實(shí)際應(yīng)用與安全,在道路鋪設(shè)時(shí)常要規(guī)劃坡度的大小.那么“坡度”是如何來(lái)刻畫(huà)道路的傾斜程度的呢?導(dǎo)語(yǔ)隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練一、直線的傾斜角二、直線的斜率三、傾斜角和斜率的應(yīng)用內(nèi)容索引一、直線的傾斜角問(wèn)題1

在平面中,怎樣才能確定一條直線?提示兩點(diǎn)確定一條直線,一點(diǎn)和一個(gè)方向也可以確定一條直線.問(wèn)題2

在平面直角坐標(biāo)系中,規(guī)定水平直線的方向向右,其他直線向上的方向?yàn)檫@條直線的方向,圖中過(guò)點(diǎn)P的直線有什么區(qū)別?提示直線的方向不同,相對(duì)于x軸的傾斜程度不同.當(dāng)直線l與x軸相交時(shí),我們以x軸為基準(zhǔn),x軸

與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí),規(guī)定它的傾斜角為

.注意點(diǎn):(1)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)看,當(dāng)直線l與x軸相交時(shí),直線l的傾斜角是由x軸繞直線l與x軸的交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到與直線l重合時(shí)所得到的最小正角.(2)傾斜角從“形”的方面直觀地體現(xiàn)了直線對(duì)x軸正向的傾斜程度.(3)直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.正向0°知識(shí)梳理例1

(1)(多選)下列命題中,正確的是A.任意一條直線都有唯一的傾斜角B.一條直線的傾斜角可以為-30°C.傾斜角為0°的直線有無(wú)數(shù)條D.若直線的傾斜角為α,則sinα∈(0,1)√解析任意一條直線都有唯一的傾斜角,傾斜角不可能為負(fù),傾斜角為0°的直線有無(wú)數(shù)條,它們都垂直于y軸,因此A正確,B錯(cuò)誤,C正確.D中,當(dāng)α=0°時(shí),sinα=0;當(dāng)α=90°時(shí),sinα=1,故D錯(cuò)誤.√例1

(1)(多選)下列命題中,正確的是A.任意一條直線都有唯一的傾斜角B.一條直線的傾斜角可以為-30°C.傾斜角為0°的直線有無(wú)數(shù)條D.若直線的傾斜角為α,則sinα∈(0,1)√解析任意一條直線都有唯一的傾斜角,傾斜角不可能為負(fù),傾斜角為0°的直線有無(wú)數(shù)條,它們都垂直于y軸,因此A正確,B錯(cuò)誤,C正確.D中,當(dāng)α=0°時(shí),sinα=0;當(dāng)α=90°時(shí),sinα=1,故D錯(cuò)誤.√(2)(多選)設(shè)直線l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),它的傾斜角為α,如果將l繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°,得到直線l1,那么l1的傾斜角可能為A.α+45° B.α-135°C.135°-α D.α-45°√√解析根據(jù)題意,畫(huà)出圖形,如圖所示.通過(guò)圖象可知,當(dāng)0°≤α<135°,l1的傾斜角為α+45°;當(dāng)135°≤α<180°時(shí),l1的傾斜角為45°+α-180°=α-135°.反思感悟直線傾斜角的概念和范圍(1)求直線的傾斜角主要根據(jù)定義來(lái)求,其關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出圖形,找準(zhǔn)傾斜角,有時(shí)要根據(jù)情況分類(lèi)討論.(2)注意傾斜角的范圍.跟蹤訓(xùn)練1

(1)已知直線l向上方向與y軸正向所成的角為30°,則直線l的傾斜角為

.解析有兩種情況:①如圖(1),直線l向上方向與x軸正向所成的角為60°,即直線l的傾斜角為60°.60°或120°②如圖(2),直線l向上方向與x軸正向所成的角為120°,即直線l的傾斜角為120°.(2)已知直線l1的傾斜角α1=15°,直線l1與l2的交點(diǎn)為A,直線l1和l2向上的方向所成的角為120°,如圖,則直線l2的傾斜角為

.解析設(shè)直線l2的傾斜角為α2,l1和l2向上的方向所成的角為120°,所以∠BAC=120°,所以α2=120°+α1=135°.135°二、直線的斜率二、直線的斜率問(wèn)題3

在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)直線l的傾斜角為α.(3)一般地,如果直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,那么α與P1,P2的坐標(biāo)有什么關(guān)系?1.把一條直線的傾斜角α的

叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫(xiě)字母k表示,即k=

.2.直線的方向向量與斜率的關(guān)系:若直線l的斜率為k,它的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為(x,y),則k=

.正切值tanα知識(shí)梳理注意點(diǎn):(1)當(dāng)x1=x2時(shí),直線的斜率不存在,傾斜角為90°.(2)斜率公式中k的值與P1,P2兩點(diǎn)在該直線上的位置無(wú)關(guān).(3)斜率公式中兩縱坐標(biāo)和兩橫坐標(biāo)在公式中的次序可以同時(shí)調(diào)換.(4)若直線與x軸平行或重合,則k=0.例2

(1)經(jīng)過(guò)下列兩點(diǎn)的直線的斜率是否存在?如果存在,求其斜率,并確定直線的傾斜角.①A(2,3),B(4,5);則直線AB的傾斜角α滿足tanα=1,又0°≤α<180°,所以?xún)A斜角α=45°.②C(-2,3),D(2,-1);則直線CD的傾斜角α滿足tanα=-1,又0°≤α<180°,所以?xún)A斜角α=135°.③P(-3,1),Q(-3,10).解不存在.因?yàn)閤P=xQ=-3,所以直線PQ的斜率不存在,傾斜角α=90°.(2)求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(a,2),B(3,6)的直線的斜率.解當(dāng)a=3時(shí),斜率不存在;反思感悟求直線的斜率的兩種方法(1)利用定義:已知直線的傾斜角為α,且α≠90°,則k=tanα.跟蹤訓(xùn)練2

(1)若直線的傾斜角為120°,則直線的斜率為

.(2)若過(guò)點(diǎn)P(-2,m),Q(m,4)的直線的斜率為1,則m的值為

.1解析設(shè)直線l的斜率為k,三、傾斜角和斜率的應(yīng)用問(wèn)題4

當(dāng)直線的傾斜角由0°逐漸增大到180°,其斜率如何變化?為什么?提示當(dāng)傾斜角為銳角時(shí),斜率為正,而且斜率隨著傾斜角的增大而增大;當(dāng)傾斜角為鈍角時(shí),斜率為負(fù),而且斜率隨著傾斜角的增大而增大.α的大小0°0°<α<90°90°90°<α<180°k的范圍k=0______不存在_____k的增減性

隨α的增大而_____

隨α的增大而_____設(shè)直線的傾斜角為α,斜率為k.k>0k<0知識(shí)梳理增大增大例3

已知兩點(diǎn)A(-3,4),B(3,2),過(guò)點(diǎn)P(1,0)的直線l與線段AB有公共點(diǎn).(1)求直線l的斜率k的取值范圍;要使l與線段AB有公共點(diǎn),則直線l的斜率k的取值范圍是(-∞,-1]∪[1,+∞).(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍.解由題意可知直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間,又PB的傾斜角是45°,PA的傾斜角是135°,所以α的取值范圍是45°≤α≤135°.反思感悟傾斜角和斜率的應(yīng)用(1)傾斜角和斜率都可以表示直線的傾斜程度,二者相互聯(lián)系.(2)涉及直線與線段有交點(diǎn)問(wèn)題常通過(guò)數(shù)形結(jié)合利用公式求解.跟蹤訓(xùn)練3

已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2).(1)求直線AB和AC的斜率;(2)若點(diǎn)D在線段BC(包括端點(diǎn))上移動(dòng)時(shí),求直線AD的斜率的變化范圍.解如圖所示,當(dāng)D由B運(yùn)動(dòng)到C時(shí),直線AD的斜率由kAB增大到kAC,1.知識(shí)清單:(1)直線的傾斜角及其范圍.(2)直線斜率的定義和斜率公式.2.方法歸納:數(shù)形結(jié)合思想.3.常見(jiàn)誤區(qū):忽視傾斜角范圍,圖形理解不清.課堂小結(jié)隨堂演練1.(多選)下列說(shuō)法正確的是A.若α是直線l的傾斜角,則0°≤α<180°B.若k是直線的斜率,則k∈RC.任意一條直線都有傾斜角,但不一定有斜率D.任意一條直線都有斜率,但不一定有傾斜角√1234√√2.若經(jīng)過(guò)A(m,3),B(1,2)兩點(diǎn)的直線的傾斜角為45°,則m等于A.2 B.1 C.-1 D.-2√12343.已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,m)和點(diǎn)Q(m,-2)的直線的斜率為2,則m的值為√12344.經(jīng)過(guò)A(m,3),B(1,2)兩點(diǎn)的直線的傾斜角α的取值范圍是

.(其中m≥1)0°<α≤90°1234解析當(dāng)m=1時(shí),傾斜角α=90°;∴0°<α<90°.故0°<α≤90°.課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1.下面選項(xiàng)中,兩點(diǎn)確定的直線的斜率不存在的是A.(4,2)與(-4,1) B.(0,3)與(3,0)C.(3,-1)與(2,-1) D.(-2,2)與(-2,5)√解析D項(xiàng),因?yàn)閤1=x2=-2,所以直線垂直于x軸,傾斜角為90°,斜率不存在.基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415162.(多選)已知直線斜率的絕對(duì)值為

則直線的傾斜角可以為A.30° B.60° C.120° D.150°√12345678910111213141516√故直線的傾斜角為60°或120°.A.60° B.30°C.120° D.150°√12345678910111213141516∴θ=30°.√123456789101112131415165.如圖,若直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,則A.k1<k3<k2 B.k3<k1<k2C.k1<k2<k3 D.k3<k2<k1√解析設(shè)直線l1,l2,l3的傾斜角分別為α1,α2,α3,則由圖知0°<α3<α2<90°<α1<180°,所以tanα1<0,tanα2>tanα3>0,即k1<0,k2>k3>0.123456789101112131415166.直線l過(guò)點(diǎn)A(1,2),且不過(guò)第四象限,則直線l的斜率的取值范圍是√解析如圖所示,當(dāng)直線l在l1的位置時(shí),k=tan0°=0;12345678910111213141516故直線l的斜率的取值范圍是[0,2].7.已知點(diǎn)A(1,2),若在坐標(biāo)軸上存在一點(diǎn)P,使直線PA的傾斜角為135°,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

.(3,0)或(0,3)解析由題意知,kPA=-1,若點(diǎn)P在x軸上,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(m,0)(m≠1),12345678910111213141516解得m=3,即P(3,0).若點(diǎn)P在y軸上,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(0,n),解得n=3,即P(0,3).綜上,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,0)或(0,3).8.若經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1-t,1+t)和點(diǎn)B(3,2t)的直線的傾斜角為鈍角,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是

.(-2,1)12345678910111213141516因?yàn)橹本€的傾斜角為鈍角,解得-2<t<1.9.已知直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(-1,m),B(m,1),問(wèn):當(dāng)m取何值時(shí):(1)直線l與x軸平行?解若直線l與x軸平行,則直線l的斜率k=0,∴m=1.12345678910111213141516(2)直線l與y軸平行?解若直線l與y軸平行,則直線l的斜率不存在,∴m=-1.(4)直線的傾斜角為45°?解由題意可知,直線l的斜率k=1,(3)直線l的方向向量的坐標(biāo)為(3,1).12345678910111213141516(5)直線的傾斜角為銳角?解由題意可知,直線l的斜率k>0,12345678910111213141516解得-1<m<1.10.如圖所示,菱形OBCD的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,OB邊在x軸的正半軸上,已知∠BOD=60°,求菱形OBCD各邊和兩條對(duì)角線所在直線的傾斜角和斜率.12345678910111213141516解在菱形OBCD中,OD∥BC,∠BOD=60°,所以直線OD,BC的傾斜角相等,都為60°,12345678910111213141516因?yàn)镃D∥OB,且OB在x軸上,所以直線OB,CD的傾斜角相等,都為0°,所以kOB=kCD=0,由菱形的性質(zhì),知∠COB=30°,∠OBD=60°,所以直線OC,BD的傾斜角分別為30°,120°,11.如果直線l先沿x軸負(fù)方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,再沿y軸正方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后,又回到原來(lái)的位置,那么直線l的斜率是A.-2 B.-1 C.1 D.2√解析設(shè)A(a,b)是直線l上任意一點(diǎn),則平移后得到點(diǎn)A

′(a-2,b+2),12345678910111213141516綜合運(yùn)用12.已知點(diǎn)A(2,3),B(-3,-2),若直線l過(guò)點(diǎn)P(1,1),且與線段AB始終沒(méi)有交點(diǎn),則直線l的斜率k的取值范圍是√12345678910111213141516∵直線l與線段AB始終沒(méi)有交點(diǎn),(-∞,-1]∪[1,+∞)1234567891011121314151614.已知O(O為坐標(biāo)原點(diǎn))是等腰直角三角形OAB的直角頂點(diǎn),點(diǎn)A在第一象限,∠AOy=15°,則斜邊AB所在直線的斜率為

.解析設(shè)直線AB與x軸的交點(diǎn)為C,(圖略)則∠ACO=180°-∠A-∠AOC=180°-45°-105°=30°,或∠ACO=180°-∠A-∠AOC=180°-45°-75°=60°.1234567891011121314151615.直線l的方向向量為(-1,2),直線l的傾斜角為α,則tan2α的值是√拓廣探究12345678910111213141516解析∵直線l的方向向量為m=(-1,2),∴直線l的斜率等于-2,因?yàn)辄c(diǎn)M在函數(shù)x+2y=6的圖象上,且1≤x≤3,12345678

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