初三奧數(shù)之與圓相關(guān)的比例線段

初三奧數(shù)之與圓相

關(guān)的比例線段

專題22與圓相關(guān)的比例線段

閱讀與思考

比例線段是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)核心問題.

我們開始是用平行線截線段成比例進(jìn)行研究的，隨著學(xué)習(xí)的深入、知識的增加，在平行線法的基礎(chǔ)上，

我們可以利用相似三角形研究證明比例線段，在這兩種最基本的研究與證明比例線段方法的基礎(chǔ)上，在不

同的圖形中又發(fā)展為新的形式.

在直角三角形中，以積的形式更明快地表示直角三角形內(nèi)線段間的比例關(guān)系.

在圓中，又有相交弦定理、切割線定理及其推論，這些定理用乘積的形式反映了圓內(nèi)的線段的比例關(guān)

系.

相交弦定理、切割線定理及其推論，它們之間有著密切的聯(lián)系：

1.從定理的形式上看，都涉及兩條相交直線與圓的位置關(guān)系；

2.從定理的證明方法上看，都是先證明一對三角形相似，再由對應(yīng)邊成比例而得到等積式.

熟悉以下基本圖形和以上基本結(jié)論.

例題與求解

【例1】如圖，已知AB是。。的直徑，弦與A8交于點(diǎn)E,過點(diǎn)4作圓的切線與CD的延長線交

于點(diǎn)F.若DEqCE,AC=8小，點(diǎn)。為EF的中點(diǎn)，則48=.（全國初中教學(xué)聯(lián)

賽試題）

解題思路：設(shè)法求出AE、BE的長，可考慮用相交弦定理，勾股定理等.

例1題圖例2題圖

【例2】如圖，在RtZSABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,以上一點(diǎn)。為圓心作。。與AC、AB

都相切，又。。與3c的另一個(gè)交點(diǎn)為則線段BQ的長為（）

R111

A.Io?2C.D.

34

（武漢市中考試題）

解題思路：由切割線定理知8彥二8。?8C,欲求80,應(yīng)先求BE.須加強(qiáng)對圖形的認(rèn)識，充分挖

掘隱含條件.

【例3】如圖，AB是半圓的直徑，。是圓心，C是AB延長線上一點(diǎn)，8切半圓于。，DELAB

E.已知AE：EB=4：1,CD=2,求BC的長.

(成都市中考試題)

解題思路：由題設(shè)條件“直徑、切線”等關(guān)鍵詞聯(lián)想到相應(yīng)的知識，尋找解題的突破口.

AOEBC

【例4】如圖，AC為。。的直徑且PAVAC,8c是。0的一條弦，直線PB交直線AC于點(diǎn)D,而=而

2

京

(1)求證：直線P8是。。的切線；

(2)求cos/BCA的值.

(呼和浩特市中考試題)

解題思路：對于(1),恰當(dāng)連線，為已知條件的運(yùn)用創(chuàng)設(shè)條件；對于(2),將問題轉(zhuǎn)化為求線段的比

值.

【例5】如圖，已知A8為。。的直徑，C為。。上一點(diǎn).延長BC至。，使CO=BC,CELAD于E,

BF交OO于F,AF交CE于P.

求證：PE=PC.

(太原市競賽試題)

解題思路：易證PC為。。切線，則PC2：。八附，只需證明PF=2尸?%.證△PE/S△以E,作出

常用輔助線，突破相關(guān)角.

Iy

【例6】如圖，已知點(diǎn)P是。。外一點(diǎn)，PS、PT是。。的兩條切線.過點(diǎn)P作。。的割線以8,交。

。于A、B兩點(diǎn)，與ST交于點(diǎn)C.

求證：昌臉+治）?

（國家理科實(shí)驗(yàn)班招生試題）

解題思路：利用切割線定理，再由三角形相似即可證.

能力訓(xùn)練

A級

1.如圖，月4切。。于4點(diǎn)，PC交。。于8、C兩點(diǎn)，M是8c上一點(diǎn)，且尸A=6,PB=BM=3,0M=2,

則。0的半徑為.

（青島市中考試題）

2.如圖，已知△ABC內(nèi)接于。O,KAB=AC,直徑A。交BC于點(diǎn)E,尸是0E的中點(diǎn).如果3￡）〃CF,

BC=28貝CD=.

（四川省競賽試題）

（第1題圖）（第2題圖）（第3題圖）（第4題圖）

3.如圖，AB切。。于點(diǎn)B,A。交。。于點(diǎn)C、D,OPLCD于點(diǎn)P.若A8=4cm,AO=8cm,。。的

半徑為5cm,則0P=.

（天津市中考試題）

4.如圖，已知。。的弦48、C￡>相交于點(diǎn)P,P4=4,PB=3>,PC=6,E4切。。于點(diǎn)A,AE與C。的

延長線交于點(diǎn)E,AE=2下,那么PE的長為.

（成都市中考試題）

5.如圖，在。。中，弦AB與半徑0C相交于點(diǎn)M,且OM=MC,若AM=1.5,BM=4,則0C的長為

）

A.2#B.乖C.2小D.2吸

（遼寧省中考試題）

（第5題圖）（第6題圖）（第7題圖）

6.如圖，兩個(gè)同心圓，大圓的弦AB與小圓相切于點(diǎn)P,大圓的弦C。經(jīng)過點(diǎn)P,且8=13,PD=4,

則兩圓組成的圓環(huán)的面積為（）

A.16乃B.367rC.527rD.81%

（南京市中考試題）

7.如圖，兩圓相交于C、D,AB為公切線，若A8=12,CD=則9,MD=（）

A.3B.35C.6D.6小

8.如圖，。。的直徑AB=10,E是OB上一點(diǎn)，弦CQ過點(diǎn)且E,B￡=2,DE=2y[2,則弦心距OF為

(）

D.小

（包頭市中考試題）

（第8題圖）（第9題圖）（第10題圖）

9.如圖，已知在△ABC中，ZC=90°,BE是角平分線，DELBE交AB于D,。。是△8￡>E的外接

（1）求證：AC是。。的切線；

（2）若40=6,AE=6y[2,求的長.

（南京市中考試題）

10.如圖，PA切。。于A,割線PBC交。。于8、C兩點(diǎn)，。為PC的中點(diǎn)，連結(jié)AO并延長交。O

于E,已知：BW=DE?EA.

求證：（1）PA=PD；（2）2B/=AD?DE.

（天津市中考試題）

11.如圖，△A8C是直角三角形，點(diǎn)。在斜邊8C上，8￡）=4￡）C.已知。0過點(diǎn)C且與AC相交于凡

與AB相切于A8的中點(diǎn)G.求證：ADrBF.

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

（第11題圖）（第12題圖）

12.如圖，已知A3是OO的直徑，AC切。。于點(diǎn)4.連結(jié)CO并延長交。。于點(diǎn)。、E,連結(jié)8。

并延長交邊AC于點(diǎn)F.

（1）求證：AD?AC=DC?EA；

（2）若AC=〃AB（〃為正整數(shù)），求tan/CZ）尸的值.

（太原市競賽試題）

B級

1.如圖，兩個(gè)同心圓，點(diǎn)A在大圓上，4XY為小圓的害U線，若4X?AY=8,則圓環(huán)的面積為（）

A.4乃B.87rC.12乃D.16乃

（咸陽市中考試題）

2.如圖，P為圓外一點(diǎn)，P4切圓于A,PA=8,直線PCB交圓于C、B,且PC=4,A￡>_L8C于。，Z

sina

A8C=a,ZACB=B.連結(jié)AB、AC,則一1的值等于（）

smP

A.；B.3C.2D.4

（黑龍江省中考試題）

（第1題圖）（第2題圖）（第3題圖）

3.如圖，正方形ABC。內(nèi)接于。0,E為。C的中點(diǎn)，直線BE交。。于點(diǎn)R若。。的半徑為明,

則的長為（）

A.3B.交c6石64石

C.-------L）?---------

2255

（南京市中考試題）

4.如圖，己知。。的半徑為12,銳角△ABC內(nèi)接于。0,14c于點(diǎn)。，0MJ_A8于點(diǎn)M,則sin

NCBD的值等于（)

A.0M的長B.20M的長C.CZ)的長D.2CC的長

（武漢市中考試題）

（第4題圖）（第5題圖）（第6題圖）

5.如圖，尸C為。0的切線，C為切點(diǎn)，PAB是過0點(diǎn)的割線，CDLAB于。.若tanZB=1,PC=10cm,

求△BCD的面積.

（北京市海淀區(qū)中考試題）

6.如圖，已知CF為。。的直徑，CB為。0的弦，CB的延長線與過F的。0的切線交于點(diǎn)P.

（1）若NP=45°,PF=10,求。。半徑的長；

（2）若E為BC上一點(diǎn)，且滿足PW=PB-PC,連結(jié)FE并延長交。。于點(diǎn)A求證：點(diǎn)A是病的中

點(diǎn).

（濟(jì)南市中考試題）

7.己知AC、AB是。。的弦，AB>AC.

（1）如圖1,能否在AB上確定一點(diǎn)E,使A（SAE?A5?為什么？

（2）如圖2,在條件（1）的結(jié)論下延長EC到P,連結(jié)PB,如果尸8=PE,試判斷PB與。。的位置

關(guān)系并說明理由；

（3）在條件（2）的情況下，如果E是PO的中點(diǎn)，那么C是PE的中點(diǎn)嗎？為什么？

（重慶市中考試題）

B

圖1

（第7題圖）（第8題圖）

PBPC

8.如圖，P為。。外一點(diǎn)，尸4與。。切于A,P8C是。。的割線，AO_LP。于。，求證：而=而.

（四川省競賽試題）

9.如圖，正方形0A3C的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，且。A邊和A8邊所在的直線的解析式分別為：=x

和產(chǎn),X+筌.￡>、E分別為邊0C和AB的中點(diǎn)，P為。4邊上一動點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)。不重合），連接QE

33

和CP,其交點(diǎn)為。.

（1）求證：點(diǎn)Q為△COP的外心；

（2）求正方形0ABe的邊長；

（3）當(dāng)。。與AB相切時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（河北省中考試題）

B0

（第9題圖）（第10題圖）（第11題圖）

10.如圖，已知BC是半圓。的直徑，。是公的中點(diǎn)，四邊形ABC。的對角線AC、BD交于點(diǎn)E.

(1)求證：AC-BC=2BD-CD；

(2)若AE=3,CD=2y[5,求弦AB和直徑BC的長.

(天津市競賽試題)

11.如圖，P4是。。的切線，切點(diǎn)為A,P2C是。。的割線，AD±OP,垂足為D

證明：ADr^BD?CD.

(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題)

專題22與圓相關(guān)的比例線段

例1設(shè)CE=4k,則DA=DF=3k,AF=AC^8>/5,由凡4?=，即(8色=3公10%,得d=笥，而

AE^EF2-AF2=736k2-320=8,又故AB=AE+BE=24.例2C例31提示：

AE8

2222

設(shè)EB=x,則4E=4x.設(shè)CB=y,則由C￡)2=CB-C4,DE=AE-EB,DE+EC=DC,得4=y(y+5x),

4x2+(x+y)2=4.例4(1)聯(lián)結(jié)OB,OP,可證明△BDCs△以￡,有PE2=PA-PF.又：OC為"BD

2

的中位線，...。?！?。，則CE1OC,知CE為。。的切線，故PC?=PA,PF,有PE?=PC,BPPE=PC.

（例5題圖）圖2

（例6題圖）

例6解法一：如圖1,過P作PH_LST于H,則//是ST的中點(diǎn)，由勾股定理得PC?=p〃2+=p52一

SH2+CH2=PS2-SH2+CH2=PS2-(SH-CH)(SH+CH)=PS2-SC-C7.又由切割線定理和相交弦

定理，有PC?=PA-PB-AC-CB=PA-PB-(PC-PA)(PB-PC)=2PA-PB-(PA+PB)PC+PC2,

APC=|^^,即專=4胎+專).解法二：如圖2,聯(lián)結(jié)交ST于0,則P°J_ST.聯(lián)結(jié)S°'作

于E,則E為A8的中點(diǎn)，于是PE="詈二°C,E,O,。四點(diǎn)共圓，；.PC?PE=PC,PO.：RASPZ)S

Rt&OPS,：.PS2=PA-PB,：.PC=PA-PB,即卷=：信+京).

A級1.V222.V6提示：4BDE咨ACFE,DE=EF,OF=FE=ED,設(shè)OF=x,則OA=OD=3x,AE=5x,由

CE?BE=AE-ED,得=x?5x,x—1,：.CD=y/CE2+DE2=V6.3.4cm4.45.D6.B7.A8.C9.(1)

略(2)48=—=12,XkEDsXABE,—=些=它.設(shè)DE=&x,BE=2x,而DE?+BE2=BD2,解得后述".

ADBEAB2

DE=y/2-V6=2V3.10.(1)略(2)PA2=PB-PC,PA=PD,PD=DC,(PB+BD~)2=PB-2(PB+BD~).

可得PB=BD=￥>D,：.PB=PD=^DC,：.2BP2=BD?CD.又,；BD-CD=AD-DE,：.2BP2=AD-AE.11.作

OE_LAC于E,則AC^-AE,AG=aOE.由切害U線定理得AG?=AF?4C=4F二4后，i^—DE2=AF--AE,

42444

BP5DE2=AF-AE.'：AB=5DE,：.AB-ED=AF-4E,于是空=—.XZBAF=ZAE￡>=90o,：./\BAF^/XAED,

AEED

于是又NA8F=NE4D

VZEAD+ZDAB=90°,...NABF+NDAB=90°,故ADJ_BE.

AnFA

12.⑴如圖，連接AD,AE.VZDAC-ZDAE,AAADC^AEAC^—=——AD?AC=DC?EA.

DCAC

⑵,.?/CDF=N1=N2=NDEA,；.tanNCDF=tan/DEA=乂.由⑴知絲=變，故tanZCDF=變.由圓

AEAEACAC

的切割線定理知AC2=￡>C?EC,而EC=ED+DC,貝ijAC?=OC（DC+￡￡>）.又AC=nAB,ED=AB,代入上

故AC="'*"-.顯然,上式只能取加

式得n2AB2=DC（DC+AB）,KPDC2+AB?DC-n2AB2=0

B級

1.B2.B3.C4.A5.提示：53=絲=0=_1=".設(shè)AD=X,

CDDB2BC

DAAT1

則CD=2x,DB=4x,AB=5x,由△PACs/\pcB得，—,；.PA=5,又P（^=PA/?PE,即

PCCB2

%5?,解得：x=3,，AD=3,CD=6,DB=12,5?=-CD?DB=36.

BrCDn2

6.⑴略.（2）連接FB,證明PF=PE,ZBFA=ZAFC.

7.⑴能.連接BC,作NACE=NB,CE交AB于E.(2)PB與。O相切.(3)C是PE的中點(diǎn).

8.連接OA、OB、OC,則P*=PO?PO=PB?PC,于是，B、C、0、D四點(diǎn)共圓，＜APCD^APOB,

噎唱噢①'又由POCsSBD得娶考②,由①②得竺PC

BD~CD

a

9.⑴略（2）A（4,3）,0A=5.（3）P（3,