人教版高一必修第二冊數(shù)學《平面向量的應用》單元檢測

平面向量的應用—單元檢測

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的.

1.在四邊形ABC。中，ABBC=0,且而=反，則四邊形ABCZ)是()

A.平行四邊形B.菱形C.矩形D.正方形

2.已知兩個力耳=(1,2),耳=(-2,3)作用于平面內(nèi)某靜止物體的同一點上，為使該物體仍

保持靜止，還需給該物體同一點上再加上一個力耳，則耳=()

A.(1,-5)B.(-1,5)C.(5,-1)D.(-5,1)

3.在△ABC中，角4,B,C的對邊分別為“，b,c若c=2,sinA=2sinC,cosB=—,

4

則AABC的面積S=()

A.1B.275C.后D.—

4

4.河水的流速為2m/s,一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度駛向對岸，則小船在

靜水中的速度大小為()

A.10m/sB.25/26m/sC.4>/6m/sD.12m/s

5.根據(jù)下列情況，判斷三角形解的情況，其中正確的是()

A.a=8fb=16,4=30°,有兩解

B.b=l8fc=20,3=60。,有一解

C.a=5,c=2,A=90°,無力用

D.”=30,b=25,A=150°,有一解

6.ZkABC的內(nèi)角A.B.C的對邊分別為a、b、c,S表示△ABC的面積，若S=-02+c2-a2),

4

貝ijA=()

A.90°B.60°C.45°D.30°

7.騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運動,

深受大眾喜愛，如圖是某一自行車的平面結構示意圖，已知

圖中的圓A(前輪)，圓。(后輪)的半徑均為6，△4BE,△

BEC,AECD均是邊長為4的等邊三角形.設點P為后輪上

的一點，則在騎動該自行車的過程中，冠出巨的最大值為()

A.18B.24

C.36D.48

8.已知。為正三角形ABC內(nèi)一點，且滿足礪+九麗+(1+九)無=6,若△OA8的面積與

△OAC的面積比值為3,則入的值為()

A.-B.1C.2D.3

2

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分,在每小題給出的四個選項中,

有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.在△A8C中，角A,B,C所對各邊分別為〃，b,c,若a=l,b=6,A=30°,則

()

A.30°B.45°C.135°D.150°

10.已知角A,B,。是△ABC的三個內(nèi)角，下列結論一定成立的有()

A.sinA=sin(B+C)

B.cosC=cos(A+B)

C.若4>8,則sinA>sinZ?

D.若sin2A=sin2B,則△ABC是等腰三角形/J)*F

11.如圖所示，小船被繩索拉向岸邊，設船在水中運動時水的N/

阻力大小不變，那么小船勻速靠岸過程中，下列說法中正確的\/

是()

A.繩子的拉力不斷增大B.繩子的拉力不斷變小

C.船的浮力不斷小D.船的浮力保持不變

12.奔馳定理：己知。是△ABC內(nèi)的一點，△80C,△AOC,ZVIOB的面積分別為臬,

SK,Sc,則S,?函+S廣麗+Sc?覺=0.“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結

論，因為這個定理對應的圖形與"奔馳"轎車(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地

稱其為“奔馳定理”.若。是銳角AABC內(nèi)的一點，A,B,C是AABC的三個內(nèi)角，且點

O滿足若|麗卜=則

A.。為△ABC的外心

B.ZAOB=2C

C.S&?>B:S岫0c:=sinC:sinA:sin8

D.sin24?況+sin28?麗+sin2c灰=0

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若4=60°,/=歷,則sinBsinC=.

14.已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，點。，E分別是邊AB,BC的中點，連接OE并

延長到點F,使得DE=3EF,則布?前的值為.

15.在△4BC中，內(nèi)角4,B,C的對邊分別是a,b,c,若a。-白=61bc,sinC=2^sinB,

貝！IA=.

16.在△ABC中，AB=4,AC=3,A=~,動點P在以點4為圓心，半徑為1的圓上，則

3

PBPC的最小值為.

四、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在△ABC中，點E是邊BC的中點，點尸是邊AC的中點，點G是線段AE上的一點,

且4EG=AE,判斷FG是否平行于AB.

18.飛機從甲地按南偏東10°的方向飛行2000km到達乙地，再從乙地按北偏西70°的方

向飛行2000km到達丙地，那么丙地在甲地的什么方向？丙地離甲地多遠？

19.如圖，在平面四邊形ABCZ)中，若NADC=90°,sinA=—,AB=8,BD=6.

8

(1)求NAO8；01y---yC

(2)若3c=26，求BC.

A

20.h2+\/2ac=a2+c2,@acosB=bsinA>③sinB+cosB=75這三個條件中任選一

個，補充在下面的問題中，并解決該問題.

已知△ABC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為“，b,c,,A=~,b=近,(1)求角

3

B；(2)求△ABC的面積.

21.在△ABC中，三邊a",c的對角分別為A,B,C,己知a=3,cosB+cosAcosC=叵

sinBcosCb

(1)若c=26，求sinA；

(2)若A8邊上的中線長為巨，求△ABC的面積.

2

22.某校要在一條水泥路邊安裝路燈，其中燈桿的設計如圖所示，A8為地面，CD,CE為

路燈燈桿，CDLAB,ZDCE=—,在E處安裝路燈，且路燈的照明張角NMEN='.已知

33

CD=4m,CE=2m.E

(1)當M,。重合時，求路燈在路面的照明寬度MM

(2)求此路燈在路面上的照明寬度MN的最小值.

參考答案

水

題核心平

答案解析

號素養(yǎng)等

級

【分析】

由南=覺，可判斷四邊形A8CD為平行四邊形.由福?配=0然后

水可得NB=90°,故可得答案.

邏輯

1C平【詳解】

推理

由通=覺可得四邊形ABC。為平行四邊形，又因為油力。=0,即

ABLBC,所以ZB=90°,所以四邊形ABC。為矩形.

故選C.

【分析】

邏輯本題考查向量在物理中的應用，為使物體平衡，即合外力為零，即3

水

推理個向量相加等于零向量.

2A平

數(shù)學

【詳解】

運算

由物理知識知耳+耳+耳=6,故耳=-(耳+豆)=(1,-5).

故選A.

【分析】

由已知利用正弦定理可得〃=2c=4,利用同角三角函數(shù)基本關系式可求

sinB的值，根據(jù)三角形的面積公式即可計算得解.

【解答】

數(shù)學水

解:、飛=2,sinA=2sinC,

3C運算平

由正弦定理可得a=2c=4,

2

*.*cosB=—9/.sinB=Jl-cosB=，

44

S,/-LesinB=2x4x2x=A/L5，

"224

故選：C

【分析】

本題主要考查了向量的物理運用，根據(jù)題意結合向量知識求解即可.

【解答】

解：如圖，??,%=%+%)(,且％■*■口水，

數(shù)學

水

運算L

4B平

數(shù)學

建模

>VTK

?-?同+1町=V102+22=>/i04=2^6.

故選B.

【分析】

本題考查正弦定理的應用，運用正弦定理，對各選項逐一分析，即可

得到答案.

【解答】

解：選項A中，由，_=上得sinB=%吧迎=1,即8=90°,

水sinAsinB8

數(shù)學

5D平只有一解；

運算

選項B中，sinC=20XSin6()0=—,且c>b,；.C>8,故有兩解；

189

選項C中，VA=90°,4=5,c=2,：.b=>Ja2-c2=V25-4=^1,有

解.

因此A,B,C都不正確，

故選D.

【分析】

本題考查解三角形的相關公式，根據(jù)面積公式和余弦定理即可求解.

數(shù)學【解答】

水

運算解：。.七='(/+/-/),...由三角形的面積公式以及余弦定理可得：

6C平

邏輯4

推理,bcsinA='x2bccosA,化簡得tanA=l,又A是三角形的內(nèi)角，則

24

4=45°.

故選C.

【分析】

本題考查向量的數(shù)量積和平面向量的坐，昧運算，以A為坐標原點，AD

所在直線為x軸，過A垂直AD的直線,為y軸，建立直角坐標系，可得

AC=(6,2^3),BP=(6+6cosO,-2G+GsinO),則

/衣=24+12sin(0+?即可求解;

【解答】

解：以A為坐標原點，AD

數(shù)學

運算所在直線為x軸，過A垂直

水y

邏輯A。的直線為y軸，建立直

7C平

推理

角坐標系，則A=(0,0),

數(shù)學

8=(2,2我，

建模

C=(6,2A/3),設

P(8+Gcos0,Gsin0),

/IC=(6,273),8戶=(6+8cosO,-26+GsinO),

AC-BP=36+6V3cos0-12+6sin0=24+12sin(6+-),當sin(0+2)=l

33

時而戶的最大值為36.

故選C.

【分析】

本小題主要考查向量的加法與減法，及向量共線的幾何意義等基礎知

數(shù)學

水識，考查運算求解能力，如圖。，E分別是對應邊的中點，對所給的向

運算

8A平量等式進行變形，根據(jù)變化后的條件得到在=-九而①；由于正三角

邏輯

形ABC,結合題目中的面積關系得到近=1而②.由①②可得。分

推理

3

OE所成的比，從而得出2的值.

【解答】

A

解：VoA+Wfi+(i+x)oc=6,，A

dA+OC+UOB+OC)=0,如圖，//\

D,E分別是對應邊的中點，由平行四邊形

法則知方+近=2OE,

\(OB+OC)=2WD,；.0巨=-入Ob①,c

在正三角形ABC中,,/SM0C=gS.MCT)=gx；xSMBC

=！5刖“=,、5兇8，且三角形AOC與三角形AOC同底邊AC,故。

63

點到底邊AC的距離等于。到底邊AC的距離的三分之一，故

OE=-DE^OE=--OD?,由①②得入=L

322

故選A.

【分析】

根據(jù)正弦定理，_=_也，代入已知數(shù)據(jù)進行運算即可得解.

sinAsinB

邏輯

水本題考查正弦定理的應用，考查運算求解能力，

推理

9BC平【詳解】

數(shù)學

解：由正弦定理知，，=_也，二1=巫,二

運算

sinAsin8sin30°sin5

sinB=也，VBS(0,180°),.*.B=45°或135°.

2

故選：BC.

【分析】

本題主要考查誘導公式，正弦定理，正弦函數(shù)的單調性.由題意利用

誘導公式，正弦定理，正弦函數(shù)的單調性，逐一判斷各個選項是否正

邏輯

水確，從而得出結論.

推理

10AC平【解答】

數(shù)學

運算解：對于A,三角形48c中，"A+B+C=Jt,；.sinA=sin(B+Q,故

A正確；

對于B,三角形ABC中，?.?A+B+C=x,-cosC=cos(A+B),故B

錯；

對于C,因為A>8,所以根據(jù)正弦定理可得sinA>sin8,C正

確；

對于D,因為sin2A=sin28,所以2A=28或2A+2B=180°,即4=8

或4+8=90°,此三角形為等腰三角形或直角三角形，故D錯.

故選AC.

【分析】

設水的阻力為了，繩子的拉力為聲，聲與水平方向的夾角為

8（0<0苔），利用同cos0=|7|,結合余弦函數(shù)的單調性逐一分析判斷

數(shù)學

即可.本題考查了平面向量在物理中的應用，考查了邏輯推理能力與轉

運算:

水化能力.

邏輯

11AC平【詳解】

推理

解：設水的阻力為了，繩子的拉力為聲，聲與水平方向的夾角為

數(shù)學

建模|7|

0（0<0苦），則同cos0=7|,所以，忸卜巖.因為8增大，cos。減

小，則同增大，因為網(wǎng)sinO增大，且問sin?加上浮力等于船的重力，

所以船的浮力減小.

故選：AC.

【分析】本題為一道創(chuàng)新題，考查了向量的應用、正弦定理、三角形面

積公式以及平面幾何的相關知識，通過點o滿足若。,

從而得到。為AABC的外心，由正弦定理結合平面幾何中的知識得出

數(shù)學了連比式鼠（08:SMOC：SM0C=sin2C:sin24:sinIB,應用以上的結論、

運算

水三角形面積公式及題干中的奔馳定理即可推出選項D.

邏輯

12ABD平【解答】

推理

解：

數(shù)學

建模對于A.因為（叫說，故。為△ABC的外心，故選項A正

確；

對于B.由礪卜礪卜|喝知0為△ABC的外心，所以NAOB是劣弧

AB所對的圓心角，ZACB是劣弧AB所對的圓周角所以

ZAOB=2ZACB,故選項B正確；

對于C?S^OB：SABOC：Smoc~

-OAOB&inZAOB-.-OC-OBsinZCOB-.-OA-OC-sinZAOC因為

222

|OA|=|OB=|o(^,所以

S^0Bg0c:SM0C=sinZAOB:sinZ.COB:sinZAOC,結合選項B,可知

SMOB:S20c:5兇0c=sin2C:sin2A:sin2B,故選項C錯誤；

對于D.由選項C的結論：SMOB:S;XB()C:SMOC=sin2C:sin2A:sin2B,

再由奔馳定理SAOA+SBOB+SCOC=0.即得

sin2A?礪+sin25?麗+sin2c?沅=0,故選項D正確.

故應選ABD.

【分析】

本題主要考查了正弦定理，特殊角的三角函數(shù)值在解三角形中的應

用，由條件利用正弦定理邊化角，特殊角的三角函數(shù)值即可求解.

水

【解答】

3數(shù)學

13平

4運算解：,.?A=60°,a2=bc，，由正弦定理可得

sinBsinC=sin2A=(*)=:?

故答案為：2.

4

【分析】

1一

根據(jù)條件連接AE則AELBC,根據(jù)條件得到前=』詼=—AC，

36

AF=A￡+￡F=AE+1AC>則獷.阮=（荏+：砌7

元

=AEBC+-ACBC>即可求出答案.

6

【解答】

數(shù)學解：連接AE則AELBC,根據(jù)條件%

水

運算

14平DE=^AC-DE=3EF,所以口/'

3邏輯

推理EF=^-DE=-AC>/\

J3^4

AF^AE+EF=AE+-AC>則

6F

AFBC=\AE+-XC\BC=AEBC+-ACBC

I6）6

=O+^x|AC|xBc|xcos60°=0+[x2x2x；=g-

故答案為

3

【分析】

本題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值.利用正弦定

理化簡sinC=2白sinB,得至Uc=2gb,代入a2-b2=#>bc得到

a=y/lb,利用余弦定理求出cosA的值，即可確定出A的度數(shù).

數(shù)學

水【解答】

運算

15A=30°平

邏輯解：利用正弦定理化簡sinC=26sinB，得到c=23，代入

推理

"一〃2=屏,中，得：/一〃=662,即〃=將人由余弦定理得：

cosA=從+C,二//+]2夕-誼=叵???人為三角形的內(nèi)角，...

2bc4屈22

A=30°.

故答案為300.

【分析】

本題主要考查了向量的數(shù)量積運算，余弦定理.先用余弦定理算出8c

的長度，再由勾股定理得三角形A8C為以/C為直角的直角三角形，

進行求解即可.

【解答】

解：由余弦定理得BC=>/42+22-2X2X4XCOS60°=2后，/.

ACr+B^AB2,：.ZACB=90a,以A點為坐標原點，AC所在直線為y

數(shù)學軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(0,0),B(2石，2),C

水

運算(0,2),P為單位圓上的一

165-2幣平

邏輯點，設尸(cosasin。)，

r\_________________R

推理

PB=(2>/3-cos0,2-sin0),4

一廣

PC=f—cos0.2-sinO'i._____

1.41/

HiPC=(26-cos6)-(2-sin0)2

=-2>/3cos0+cos20+4-4sin0+sin20=5-277sin(0+<p),(其中

tan(p=5)故當sin(0+(p)=l時，麗?前有最小值5-26,故答案

為5-2幣.

【詳解】

解：因為點尸是邊AC的中點，點E是邊BC的中點，所以

水

邏輯

17FG不平行于AB平AF=-AC,AE=-(AB+AC).因為4EG=AE,所以而=一荏.

推理224

所以而=而-通=3通」而=3通一".因為通與3而一一

4288

不共線，所以/G不平行于4艮

【詳解】

解：設甲地為A,乙地為

數(shù)學B,丙地為C,作出示意圖——聲

,\

運如圖所示，則N

算、ABC=60°,A8=2000,S

丙地在甲地的南水

邏輯BC=2000,,所以三角形

18偏西50°,距離平/

推A8C為等邊三角形，

2000km.

理、又由圖知NCA8=60°,

數(shù)學所以丙地在甲地的南偏一

A甲

建模西50。，且兩地相距2000

km.

故：丙地在甲地的南偏西50°,距:駕200(km.

【詳解】

解：⑴在△AB。中，sinA=乎，AB=8,。尸

BD=6,可得型?AB_，即有)^8

sinAsinZADB

數(shù)學8班d/

水

運算?/AnoA8sinAX§百甲、,人

19BC=2也平sinNADB=--------=-----=—,因為/

邏輯BD62

推理ADC=90a,所以可得銳角A￡>B為60°；

(2)在△BCD中，BD=6,CD=2y/3,ZCDB=90°-60°=30°,可得

BC2=DB2+DC2-&CIC7DB3￡C￡K^2+36--^2.—=，可

2

得BC=26.

【詳解】

解：⑴若選擇①b2+s/2ac=a2+c2,由余弦定理得

cosB="2+c'_b2=正竺一正.因為BG(0,n),所以B=4.若選

2ac2ac24

TT數(shù)學

(1)B=-(2)水

4運算擇②.cosBubsinA,則sinAcos3=sin5sinA,因為4￡(0,n),所以

20平

3++邏輯TV

sinA>(),所以cos8=sin8,因為BW(0,n),又tan8=l,B=~,

4

4推理

若選擇③cosB+sinB=>/2,則>/2sin(fi+—)=^2,所以

4

sin(B+—)=1.因為8仁(0,Ji),所以8+二￡(殳,2),所以8+q=百，

444442

所以8」.

4

,,.\/2sin—

(2)由正弦定理」二=上，得。=殳絲44=—1=有.因為4=3,

sinAsinBsinByJ23

T

B=—,所以K--,所以sinC=sin—=sin(—+—)

434121246

7CTC7T.TT3+,\/3匕二1、]°>

-sin—cos—4-cos—sin—=--------,m以o=—absinC

46464“ARr2

iAn瓜+近