2-8函數(shù)的圖象 講義教師版

第第頁(yè)2-8函數(shù)的圖象講義高考要求1.能夠判斷指定函數(shù)的圖象，也能根據(jù)圖象判斷適合的函數(shù)解析式；2.會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程解的個(gè)數(shù)與不等式解的問(wèn)題．3.熟悉函數(shù)圖象變換，能根據(jù)圖象變換分析函數(shù)性質(zhì)；知識(shí)總結(jié)函數(shù)圖象變換(一).平移變換1.把函數(shù)y＝f(x)的圖像沿x軸向左平移a個(gè)單位得到函數(shù)y=f(x+a)(a>0)的圖像；2.把函數(shù)y＝f(x)的圖像沿x軸向右平移a個(gè)單位得到函數(shù)y=f(x?a)(a>0)的圖像；3.把函數(shù)y＝f(x)的圖像沿y軸向上平移a個(gè)單位得到函數(shù)y=f(x)+a(a>0)的圖像；4.把函數(shù)y＝f(x)的圖像沿y軸向下平移a個(gè)單位得到函數(shù)y=f(x)?a(a>0)的圖像；(二).對(duì)稱變換1.函數(shù)自身的對(duì)稱(1)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x＝a對(duì)稱?f(a＋x)＝f(a－x)?f(x)＝f(2a－x)?f(－x)＝f(2a＋x)；(2)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且有f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x=a(3)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于(a，0)對(duì)稱?f(a＋x)+f(a－x)=0?f(x)+f(2a－x)=0?f(－x)+f(2a＋x)=0；(4)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)成中心對(duì)稱?f(a＋x)+f(a－x)＝2b?f(2a－x)+f(x)＝2b2.兩個(gè)函數(shù)之間的對(duì)稱(1)函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)g(x)=f(?x)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱；(2)函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)g(x)=?f(x)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱；(3)函數(shù)y＝f(a＋x)與g(x)=f(b?x)的圖象關(guān)于直線x=a(4)函數(shù)y＝f(x)與g(x)=f(2b?x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱；(5)函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)=?f(?x)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；(6)函數(shù)y＝f(x)與g(x)=2b?f(?x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，b)對(duì)稱；(7)函數(shù)y＝f(x)與g(x)=2b?f(2a?x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，(三).翻折變換(1)的圖像是將函數(shù)的圖像保留軸上方的部分不變，將軸下方的部分關(guān)于軸對(duì)稱翻折上來(lái)得到的（如圖（a）和圖（b））所示(2)的圖像是將函數(shù)的圖像只保留軸右邊的部分不變，并將右邊的圖像關(guān)于軸對(duì)稱得到函數(shù)左邊的圖像即函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)（如圖（c）所示）.(四).伸縮變換1.將y＝f(x)上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(A>1)或縮短(0<A<1)到原來(lái)的A倍得到y(tǒng)＝Af(x)(A>0).2.將y＝f(x)上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)(0<ω<1)或縮短(ω>1常用結(jié)論常用函數(shù)圖象：課前自測(cè)1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)函數(shù)y＝|f(x)|為偶函數(shù)．(×)(2)函數(shù)y＝f(1－x)的圖象，可由y＝f(－x)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到．(×)(3)當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，函數(shù)y＝|f(x)|與y＝f(|x|)的圖象相同．(×)(4)函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱即函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．(×)2．函數(shù)y＝f(x)與y＝ex的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，再把y＝f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則g(x)＝________.答案：e－x＋1；解析：由題意可知f(x)＝e－x，把y＝f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到g(x)＝e－(x－1)＝e－x＋1的圖象．【考點(diǎn)題型】考點(diǎn)一作函數(shù)的圖象【方法總結(jié)】函數(shù)圖象的作法(1)直接法：當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是基本函數(shù)或函數(shù)圖象是解析幾何中熟悉的曲線(如圓、橢圓、雙曲線、拋物線的一部分)時(shí)，就可根據(jù)這些函數(shù)或曲線的特征直接作出．(2)轉(zhuǎn)化法：含有絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)，可去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來(lái)畫圖象．(3)圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)平移、翻折、對(duì)稱變換得到，可利用圖象變換作出，但要注意變換順序．對(duì)不能直接找到熟悉的基本函數(shù)的要先變形，并應(yīng)注意平移變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響．[例1]作出下列函數(shù)的圖象:(1)y＝eq\f(2x－1,x－1)；(2)y＝x2－2|x|－1；(3)y＝；(4)y＝|log2(x＋1)|．解析：(1)y＝eq\f(2x－1,x－1)＝2＋eq\f(1,x－1)，故可由y＝eq\f(1,x)的圖象向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到，如圖．(2)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x<0，))函數(shù)為偶函數(shù)，先用描點(diǎn)法作出[0，＋∞)上的圖象，根據(jù)對(duì)稱性作出(－∞，0)上的圖象，即得函數(shù)y＝x2－2|x|－1的圖象，如圖．(3)作出y＝的圖象，保留y＝圖象中x≥0的部分，加上y＝的圖象中x>0部分關(guān)于y軸的對(duì)稱部分，即得y＝的圖象，如圖中實(shí)線部分．(4)將函數(shù)y＝log2x的圖象向左平移1個(gè)單位，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到函數(shù)y＝|log2(x＋1)|的圖象，如圖中實(shí)線部分．考點(diǎn)二函數(shù)圖象的識(shí)別【方法總結(jié)】識(shí)別函數(shù)圖象的方法(1)直接根據(jù)函數(shù)解析式作出函數(shù)圖象，或者是根據(jù)圖象變換作出函數(shù)的圖象．(2)間接法篩選錯(cuò)誤與正確的選項(xiàng)可從如下幾個(gè)方面入手：①?gòu)暮瘮?shù)的定義域判斷圖象的左右位置，從函數(shù)的值域判斷圖象的上下位置；②從函數(shù)的單調(diào)性判斷圖象的上升、下降趨勢(shì)；③從函數(shù)的奇偶性判斷圖象的對(duì)稱性；④從函數(shù)的周期性判斷圖象的循環(huán)往復(fù)；⑤從特殊點(diǎn)出發(fā)排除不符合要求的選項(xiàng)．(3)求解因動(dòng)點(diǎn)變化而形成的函數(shù)圖象問(wèn)題，既可以根據(jù)題意求出函數(shù)解析式后判斷圖象，也可以將動(dòng)點(diǎn)處于某特殊位置時(shí)考查圖象的變化特征后作出選擇．注意：應(yīng)用極限思想來(lái)處理，達(dá)到巧解妙算的效果，使解題過(guò)程費(fèi)時(shí)少，準(zhǔn)確率高．[例2](1)（2024·全國(guó)甲卷理·真題T7）函數(shù)在區(qū)間的大致圖像為（）A.B.C.D.答案B解析，故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C，又，故可排除D；故選：B.(2)(2018·全國(guó)Ⅱ)函數(shù)f(x)＝eq\f(ex－e－x,x2)的圖象大致為()答案B解析∵y＝ex－e－x是奇函數(shù)，y＝x2是偶函數(shù)，∴f(x)＝eq\f(ex－e－x,x2)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除A選項(xiàng)；當(dāng)x＝1時(shí)，f(1)＝e－eq\f(1,e)>0，排除D選項(xiàng)；又e>2，∴eq\f(1,e)<eq\f(1,2)，∴e－eq\f(1,e)>1，排除C選項(xiàng)．故選B．(3)(2018·浙江)函數(shù)y＝2|x|sin2x的圖象可能是()答案D解析由y＝2|x|sin2x知函數(shù)的定義域?yàn)镽，令f(x)＝2|x|sin2x，則f(－x)＝2|－x|sin(－2x)＝－2|x|sin2x．∵f(x)＝－f(－x)，∴f(x)為奇函數(shù)．∴f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除A、B．令f(x)＝2|x|sin2x＝0，解得x＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)，∴當(dāng)k＝1時(shí)，x＝eq\f(π,2)，故排除C，選D．(4)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的解析式可以是()A．f(x)＝eq\f(ln|x|,x)B．f(x)＝eq\f(ex,x)C．f(x)＝eq\f(1,x2)－1D．f(x)＝x－eq\f(1,x)答案A解析由圖象知f(x)為奇函數(shù)，排除B、C．若f(x)＝x－eq\f(1,x)，則x→＋∞時(shí)，f(x)→＋∞，排除D．(5)(多選).已知定義在?3,3上的函數(shù)y=f(x)的圖像如圖所示.下述四個(gè)結(jié)論:（

）A．函數(shù)y=f(x)的值域?yàn)?2,2B．函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為?1,1C．函數(shù)y=f(x)僅有兩個(gè)零點(diǎn)D．存在實(shí)數(shù)滿足f(a)+f(?a)=0答案：BD；解析：對(duì)A，由圖，y=f(x)的最大值大于2，最小值小于2，故值域不為?2,2，故錯(cuò)誤；對(duì)B，函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為?1,1，故正確；對(duì)C，函數(shù)y=f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，故錯(cuò)誤；對(duì)D，f(0)+f(?0)=0成立，故正確；故選：BD【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】1．(2019·全國(guó)Ⅲ)函數(shù)y＝eq\f(2x3,2x＋2－x)在[－6，6]的圖象大致為()答案：B；解析：∵y＝f(x)＝eq\f(2x3,2x＋2－x)，x∈[－6，6]，∴f(－x)＝eq\f(2（－x）3,2－x＋2x)＝－eq\f(2x3,2－x＋2x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)，排除選項(xiàng)C．當(dāng)x＝4時(shí)，y＝eq\f(2×43,24＋2－4)＝eq\f(128,16＋\f(1,16))∈(7，8)，排除選項(xiàng)A、D．故選B．2．(2018·全國(guó)Ⅲ)函數(shù)y＝－x4＋x2＋2的圖象大致為()答案：D；解析：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，所以排除A，B項(xiàng)；當(dāng)x＝eq\f(\r(2),2)時(shí)，y＝－eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＋2＝eq\f(9,4)>2，所以排除C項(xiàng)．故選D．3．函數(shù)y＝eq\f(x2,8)－ln|x|的圖象大致為()答案：D；解析：令f(x)＝y(tǒng)＝eq\f(x2,8)－ln|x|，則f(－x)＝f(x)，故函數(shù)為偶函數(shù)，排除選項(xiàng)B；當(dāng)x>0且x→0時(shí)，y→＋∞，排除選項(xiàng)A；當(dāng)x＝2eq\r(2)時(shí)，y＝1－ln(2eq\r(2))<1－lne＝0，排除選項(xiàng)C．故選D．4(多選).已知二次函數(shù)的圖象如下圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．C．D．答案：AD；解析：由圖可得，f(0)=c>0，?b2a>0，，所以，故選：AD5．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x≥0,\f(1,x)，x<0))，g(x)＝－f(－x)，則函數(shù)g(x)的圖象是()答案：D；解析：法一：由題設(shè)得函數(shù)g(x)＝－f(－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2，x≤0，,\f(1,x)，x>0，))據(jù)此可畫出該函數(shù)的圖象，如題圖選項(xiàng)D中圖象．故選D．法二：先畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖1所示，再根據(jù)函數(shù)f(x)與－f(－x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，即可畫出函數(shù)－f(－x)，即g(x)的圖象，如圖2所示．故選D．8．若函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝－f(x＋1)的圖象大致為()答案：C；解析：要想由y＝f(x)的圖象得到y(tǒng)＝－f(x＋1)的圖象，需要先將y＝f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱得到y(tǒng)＝－f(x)的圖象，然后向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)＝－f(x＋1)的圖象，根據(jù)上述步驟可知C正確．考點(diǎn)三利用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)【方法總結(jié)】利用圖象研究函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題的思路對(duì)于已知或解析式易畫出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù)，其性質(zhì)常借助圖象研究：[例3](1)已知函數(shù)f(x)＝x|x|－2x，則下列結(jié)論正確的是()A．f(x)是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是(0，＋∞)B．f(x)是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是(－∞，1)C．f(x)是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是(－1，1)D．f(x)是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是(－∞，0)答案C解析將函數(shù)f(x)＝x|x|－2x去掉絕對(duì)值得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0，))畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖，觀察圖象可知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在(－1，1)上單調(diào)遞減．(2)設(shè)函數(shù)y＝eq\f(2x－1,x－2)，關(guān)于該函數(shù)圖象的命題如下：①一定存在兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)的連線平行于x軸；②任意兩點(diǎn)的連線都不平行于y軸；③關(guān)于直線y＝x對(duì)稱；④關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱．其中正確的是()A．①②B．②③C．③④D．①④答案B解析y＝eq\f(2x－1,x－2)＝eq\f(2(x－2)＋3,x－2)＝2＋eq\f(3,x－2)，圖象如圖所示，可知②③正確．(3)f(x)＝log2(?x2),x答案[－8，－1]解析作出f(x)的圖象，當(dāng)x≤－1時(shí)，f(x)＝log2(?x2)單調(diào)遞減，且最小值為f(－1)＝－1，則令log2(?x2)＝2，解得x＝－8；當(dāng)x>－1時(shí)，函數(shù)f(x)＝－eq\f(1,3)x2＋eq\f(4,3)x＋eq\f(2,3)在(－1，2)上單調(diào)遞增，在[2，＋∞)上遞減，則最大值為f(2)＝2，又f(4)＝eq\f(2,3)<2，f(－1)＝－1，故所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為[－8，－1]．考點(diǎn)四利用函數(shù)圖象解決方程根的問(wèn)題【方法總結(jié)】利用函數(shù)的圖象解決方程根問(wèn)題的思路當(dāng)方程與基本函數(shù)有關(guān)時(shí)，可以通過(guò)函數(shù)圖象來(lái)研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函數(shù)f(x)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，方程f(x)＝g(x)的根就是函數(shù)f(x)與g(x)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．[例4](1)已知函數(shù)f(x)＝2lnx，g(x)＝x2－4x＋5，則方程f(x)＝g(x)的根的個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2D．3答案C解析由已知g(x)＝(x－2)2＋1，得其頂點(diǎn)為(2，1)，又f(2)＝2ln2∈(1，2)，可知點(diǎn)(2，1)位于函數(shù)f(x)＝2lnx圖象的下方，故函數(shù)f(x)＝2lnx的圖象與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋5的圖象有2個(gè)交點(diǎn)．(2)函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)的圖象與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋4的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2D．3答案：C；解析：由于函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)的圖象是由函數(shù)y＝lnx的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，函數(shù)g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，故函數(shù)g(x)圖象的對(duì)稱軸為x＝2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，開口向上，所以作出f(x)，g(x)的圖象如圖所示，故函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．(3)已知函數(shù)f(x)滿足：①定義域?yàn)镽；②?x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，f(x)＝－|x|＋1．則方程f(x)＝eq\f(1,2)log2|x|在區(qū)間[－3，5]內(nèi)解的個(gè)數(shù)是()A．5B．6C．7D．8答案A解析依題意畫出y＝f(x)與y＝eq\f(1,2)log2|x|的圖象如圖所示，由圖可知，解的個(gè)數(shù)為5．(4)(多選).函數(shù)f(x)=(x?2)(x?5)?1有兩個(gè)零點(diǎn)x1,xA．f(2)>0 B．函數(shù)f(x)在2,5上有最小值C．函數(shù)y=f(x+3)+1的零點(diǎn)為5，8 D．x1<2答案：AC；解析：令g(x)=(x?2)(x?5)，則f(x)=g(x)?1，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)就是函數(shù)g(x)=(x?2)(x?5)與y=1的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).如圖，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)g(x)與y=1的圖象，兩圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為.xA：，故A錯(cuò)誤；B：因?yàn)樵谏嫌凶钚≈?，所以在上也有最小值，故B正確；C：函數(shù)，則零點(diǎn)為，2，故C錯(cuò)誤；D：由圖可知且，故D正確.故選：AC考點(diǎn)五利用函數(shù)圖象解不等式【方法總結(jié)】利用函數(shù)圖象求解不等式的思路當(dāng)不等式問(wèn)題不能用代數(shù)法求解但其與函數(shù)有關(guān)時(shí)，常將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問(wèn)題，從而利用數(shù)形結(jié)合求解．[例5](1)設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且f(1)＝0，則不等式eq\f(f(x)－f(－x),x)<0的解集為()A．(－1，0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0，1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1，0)∪(0，1)答案D解析因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以不等式eq\f(f(x)－f(－x),x)<0可化為eq\f(f(x),x)<0，即xf(x)<0，f(x)的大致圖象如圖所示．所以xf(x)<0的解集為(－1，0)∪(0，1)．(2)如圖，函數(shù)f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集為________．答案{x|－1<x≤1}解析令y＝log2(x＋1)，作出函數(shù)y＝log2(x＋1)圖象如圖所示．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,y＝log2(x＋1)))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))∴結(jié)合圖象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集為{x|－1<x≤1}．(3)若f(x)是周期為4的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)＝x－1，則不等式xf(x)>0在(－1，3)上的解集為()A．(1，3)B．(－1，1)C．(－1，0)∪(1，3)D．(－1，0)∪(0，1)答案C解析作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示．當(dāng)x∈(－1，0)時(shí)，由xf(x)>0得x∈(－1，0)；當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，由xf(x)>0得x∈?；當(dāng)x∈(1，3)時(shí)，由xf(x)>0得x∈(1，3)．故x∈(－1，0)∪(1，3)．(4)若不等式(x－1)2<logax(a>0，且a≠1)在x∈(1，2)內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(1，2]B．(22,1)C．(1，eq\r(2))D．(eq\r(2)，2)答案A解析要使當(dāng)x∈(1，2)時(shí)，不等式(x－1)2<logax恒成立，只需函數(shù)y＝(x－1)2在(1，2)上的圖象在y＝logax的圖象的下方即可．當(dāng)0<a<1時(shí)，顯