滬科版初中九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)21-2-3二次函數(shù)表達(dá)式的確定課件

第21章二次函數(shù)與反比例函數(shù)21.2二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)*21.2.3二次函數(shù)表達(dá)式的確定基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式1.(2024安徽合肥月考)拋物線y=x2+x+c與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為

(0,-3),則拋物線的表達(dá)式為

(

)A.y=x2+x+3B.y=x2+x-3C.y=x2+3x+cD.y=x2-3x+cB解析∵拋物線y=x2+x+c與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-3),∴c=-3,

∴拋物線的表達(dá)式為y=x2+x-3.故選B.2.(2024安徽六安霍邱期中)已知某拋物線與二次函數(shù)y=-5x2

的圖象的開(kāi)口大小相同,開(kāi)口方向相反,且頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2023),則該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為

(

)A.y=5(x-1)2+2023B.y=-5(x-1)2+2023C.y=5(x+1)2+2023D.y=-5(x+1)2+2023A解析∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2023),∴拋物線的表達(dá)式

為y=a(x-1)2+2023.∵拋物線y=a(x-1)2+2023與二次函數(shù)y=-5

x2的圖象的開(kāi)口大小相同,開(kāi)口方向相反,∴a=5,∴拋物線的

表達(dá)式為y=5(x-1)2+2023.故選A.3.(新獨(dú)家原創(chuàng))二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象如圖所示,則該函

數(shù)的表達(dá)式為

.

y=x2-2x-3解析由題圖可知,點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為(-1,0),(0,-3),分別代

入函數(shù)表達(dá)式,得

解得

所以該函數(shù)的表達(dá)式為y=x2-2x-3.4.(一題多解)小聰在畫(huà)一個(gè)二次函數(shù)的圖象時(shí),列出了下面

幾組x與y的對(duì)應(yīng)值:x…012345…y…50-3-4-30…則該二次函數(shù)的表達(dá)式是

.y=(x-3)2-4(或y=x2-6x+5)解析解法一:設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=ax2+bx+c,把(0,5),(1,

0),(2,-3)代入,得

解得a=1,b=-6,c=5,所以二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2-6x+5.解法二:由表格數(shù)據(jù),并結(jié)合二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得圖象

頂點(diǎn)為(3,-4),設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a(x-3)2-4(a≠0),將(1,

0)代入得4a-4=0,解得a=1,∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為y=(x-3)2-

4(或y=x2-6x+5).解法三:由表格知函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)(1,0),(5,0),所以設(shè)二

次函數(shù)的表達(dá)式為y=a(x-1)(x-5),將(0,5)代入,得a=1,所以該

二次函數(shù)的表達(dá)式為y=(x-1)(x-5)(或y=x2-6x+5).方法歸納確定二次函數(shù)表達(dá)式的方法已知拋物線上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),則用一般式y(tǒng)=ax2+bx+c;已知拋

物線的頂點(diǎn),則用頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x+h)2+k;已知拋物線與x軸兩交

點(diǎn)的橫坐標(biāo),則用交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2).5.根據(jù)下列條件求函數(shù)表達(dá)式.(1)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)(0,2)、(1,3)、(2,2),

求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;(2)已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-2,0),B(4,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,

8),求拋物線的表達(dá)式;(3)已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,1),它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(8,9),

求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.解析

(1)把(0,2)、(1,3)、(2,2)代入y=ax2+bx+c,得

解得

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x2+2x+2.(2)設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x+2)(x-4)(a≠0),把C(0,8)代入得

-8a=8,解得a=-1,∴拋物線的表達(dá)式為y=-(x+2)(x-4)=-x2+2x+8.(3)∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為(8,9),∴設(shè)所求二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a(x-8)2+9(a≠0).把(0,1)代入得a(0-8)2+9=1,∴a=-

,∴y=-

(x-8)2+9,即y=-

x2+2x+1.6.(和差法求面積)(2024安徽淮南月考)如圖,拋物線與x軸交

于A,B兩點(diǎn),其中A點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),M(2,9)為拋物線的頂點(diǎn).(M

9121002)(1)求拋物線的表達(dá)式.(2)求四邊形OBMC的面積.

解析

(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x-2)2+9,將A(-1,0)代入,得a=-1.∴y=-(x-2)2+9.(2)如圖,連接MC,OM,BM,過(guò)點(diǎn)M作MN⊥OB,垂足為N,易得ON=2,OC=5,OB=5,MN=9,∴S四邊形OBMC=S△MOC+S△MOB=

×5×2+

×5×9=

.

7.(2024安徽滁州天長(zhǎng)期中,4,?)已知拋物線y=ax2+bx的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(3,3),則該拋物線的表達(dá)式為

(

)A.y=-

x2-2x

B.y=-

x2+2xC.y=

x2-2x

D.y=

x2+2x能力提升全練B解析∵拋物線y=ax2+bx的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(3,3),∴

解得

∴該拋物線的表達(dá)式為y=-

x2+2x.故選B.8.(2024浙江杭州西湖期中,9,?)已知某二次函數(shù)圖象上有兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),當(dāng)2<x1<x2時(shí),(x2-x1)(y2-y1)>0;當(dāng)x1<x2<2

時(shí),(x2-x1)(y2-y1)<0,則該二次函數(shù)的表達(dá)式可以是(M9121002)

(

)A.y=3(x+2)2

B.y=3(x-2)2C.y=-3(x+2)2

D.y=-3(x-2)2B解析當(dāng)二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上時(shí),在對(duì)稱軸左邊,y隨x的增

大而減小;在對(duì)稱軸右邊,y隨x的增大而增大.當(dāng)2<x1<x2時(shí),(x2-

x1)(y2-y1)>0,x2-x1>0,∴y2>y1.∴當(dāng)x>2時(shí),y隨x的增大而增大.當(dāng)x1<x2<2時(shí),(x2-x1)(y2-y1)<0,x2-x1>0,∴y2<y1.∴當(dāng)x<2時(shí),y隨x的增大而減小.∴拋物線的對(duì)稱軸為x=2,開(kāi)口向上.故選B.9.(新考向·開(kāi)放性試題)(2024上海閔行月考,8,?)已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)在直線y=x上,且開(kāi)口向下,請(qǐng)寫(xiě)出一

個(gè)滿足上述條件的拋物線的表達(dá)式:

.y=-x2解析∵拋物線y=ax2+bx+c開(kāi)口向下,∴a<0.∵拋物線y=ax2

+bx+c的頂點(diǎn)在直線y=x上,∴-

=

,即b2-2b-4ac=0,如:a=-1,b=c=0符合題意,此時(shí)y=-x2.答案不唯一.10.(2024安徽黃山休寧期中,13,?)已知二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A,B關(guān)于直線x=-1對(duì)稱,且AB=6,頂點(diǎn)在函

數(shù)y=2x的圖象上,則這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為

.(M9121002)y=

x2+

x-

解析

∵對(duì)稱軸為直線x=-1,且圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),

AB=6,∴拋物線與x軸交于(-4,0),(2,0),頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)為-

1.∵頂點(diǎn)在函數(shù)y=2x的圖象上,∴y=2×(-1)=-2,∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為

(-1,-2),設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a(x+1)2-2,把(2,0)代入得,0=9a-2,解得a=

,∴y=

(x+1)2-2=

x2+

x-

.11.(教材變式·P29T16)(2024安徽淮南洞山中學(xué)月考,21,

)如圖,在直角坐標(biāo)系中,拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,4),B(1,0),C(5,0).(M9121002)(1)求拋物線的表達(dá)式和對(duì)稱軸.(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使△PAB的周長(zhǎng)最小?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)該拋物線上有一點(diǎn)D(x,y),使得

=

,求點(diǎn)D的坐標(biāo)(點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合).解析

(1)∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(1,0),C(5,0),∴設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x-1)(x-5),把A(0,4)代入得4=5a,∴a=

,∴拋物線表達(dá)式為y=

(x-1)(x-5)=

x2-

x+4.拋物線的對(duì)稱軸為x=

=3.(2)存在,如圖,連接AC,與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P,連接PA,PB,

AB,此時(shí)△PAB的周長(zhǎng)最小.設(shè)直線AC的表達(dá)式為y=kx+b,∵A(0,4),C(5,0),∴

解得

∴直線AC的表達(dá)式為y=-

x+4.把x=3代入,得y=

,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為

.

(3)∵拋物線y=

x2-

x+4的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-3.2),S△ABC=S△DBC,∴D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4,把y=4代入y=

x2-

x+4,得

x2-

x+4=4,解得x=0或6.∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,4)或(6,4).∵點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合,∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(6,4).12.(幾何直觀)(新考法)如圖,已知平面直角坐標(biāo)系中的四個(gè)

點(diǎn):A(0,2),B(1,0),C(3,1),D(2,3).二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)

過(guò)其中任意三個(gè)點(diǎn),當(dāng)a的值最大時(shí),二次函數(shù)的表達(dá)式為