內蒙古自治區(qū)呼倫貝爾市2025屆九年級數學第一學期期末復習檢測試題含解析

內蒙古自治區(qū)呼倫貝爾市2025屆九年級數學第一學期期末復習檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每題4分，共48分）1．將拋物線向右平移1個單位，再向上平移3個單位，得到的拋物線是（）A． B．C． D．2．已知二次函數(是實數)，當自變量任取，時，分別與之對應的函數值，滿足，則，應滿足的關系式是()A． B．C． D．3．如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（0，4），△OAB沿x軸向右平移后得到△O'A'B'，A的對應點A'是直線上一點，則點B與其對應點B'間的距離為（）A．3 B．4 C．5 D．64．在一個不透明的袋子中共裝有紅、黃、藍三種顏色的小球，這些球除顏色外都相同，其中有3個紅球，5個黃球，若隨機摸出一個紅球的概率為，則這個袋子中藍球的個數是（）A．3個 B．4個 C．5個 D．12個5．如圖，是的直徑，，是圓周上的點，且，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．6．某企業(yè)2018年初獲利潤300萬元，到2020年初計劃利潤達到507萬元.設這兩年的年利潤平均增長率為x.應列方程是（）A．300（1+x）=507 B．300（1+x）2=507C．300（1+x）+300（1+x）2=507 D．300+300（1+x）+300（1+x）2=5077．王洪存銀行5000元，定期一年后取出3000元，剩下的錢繼續(xù)定期一年存入，如果每年的年利率不變，到期后取出2750元，則年利率為（）A．5% B．20% C．15% D．10%8．已知：如圖，矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝3cm．點P和點Q同時從點A出發(fā)，點P以3cm/s的速度沿A→D方向運動到點D為止，點Q以2cm/s的速度沿A→B→C→D方向運動到點D為止，則△APQ的面積S（cm2）與運動時間t（s）之間函數關系的大致圖象是（）A． B．C． D．9．如圖，為的直徑，點是弧的中點，過點作于點，延長交于點，若，，則的直徑長為（）A．10 B．13 C．15 D．1．10．如果某物體的三視圖是如圖所示的三個圖形，那么該物體的形狀是A．正方體B．長方體C．三棱柱D．圓錐11．圖中的兩個三角形是位似圖形，它們的位似中心是（）A．點P B．點DC．點M D．點N12．如圖，圓錐的底面半徑r為6cm，高h為8cm，則圓錐的側面積為（）A．30πcm2 B．48πcm2 C．60πcm2 D．80πcm2二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，點E是AB邊上一動點，過點E作DE⊥AB交AC邊于點D，將∠A沿直線DE翻折，點A落在線段AB上的F處，連接FC，當△BCF為等腰三角形時，AE的長為_____．14．反比例函數的圖象在第____________象限.15．某商場購進一批單價為16元的日用品，若按每件20元的價格銷售，每月能賣出360件，若按每件25元的價格銷售，每月能賣210件，假定每月銷售件數y（件）與每件的銷售價格x（元/件）之間滿足一次函數.在商品不積壓且不考慮其他因素的條件下，銷售價格定為______元時，才能使每月的毛利潤w最大，每月的最大毛利潤是為_______元．16．如圖，在矩形中，是上的點，點在上，要使與相似，需添加的一個條件是_______(填一個即可)．17．如圖，公路AC,BC互相垂直，公路AB的中點M與點C被湖隔開，若測得AB的長為2.4km，則M,C兩點間的距離為______km.18．現有6張正面分別標有數字的不透明卡片，這些卡片除數字不同外其余全部相同現將它們背面朝上，洗均勻后從中任取一張，將該卡片上的數字記為，則使得關于的一元二次方程有實數根的概率為____．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c過點A(3，0)，B(1，0)，交y軸于點C，點P是該拋物線上一動點，點P從C點沿拋物線向A點運動(點P不與A重合)，過點P作PD∥y軸交直線AC于點D．（1）求拋物線的解析式；（2）求點P在運動的過程中線段PD長度的最大值；（3）△APD能否構成直角三角形？若能，請直接寫出所有符合條件的點P坐標；若不能，請說明理由．20．（8分）如圖，點A，P，B，C是⊙O上的四個點，∠DAP＝∠PBA．（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）若∠APC＝∠BPC＝60°，試探究線段PA，PB，PC之間的數量關系，并證明你的結論；（3）在第（2）問的條件下，若AD＝2，PD＝1，求線段AC的長．21．（8分）在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為r（r＞0）．給出如下定義：若平面上一點P到圓心O的距離d，滿足，則稱點P為⊙O的“隨心點”．（1）當⊙O的半徑r=2時，A（3，0），B（0，4），C（，2），D（，）中，⊙O的“隨心點”是；（2）若點E（4，3）是⊙O的“隨心點”，求⊙O的半徑r的取值范圍；（3）當⊙O的半徑r=2時，直線y=-x+b（b≠0）與x軸交于點M，與y軸交于點N，若線段MN上存在⊙O的“隨心點”，直接寫出b的取值范圍．22．（10分）如圖，是一個銳角三角形，分別以、向外作等邊三角形、，連接、交于點，連接.（1）求證：（2）求證：23．（10分）不透明的袋中有四個小球，分別標有數字1、2、3、4，它們除了數字外都相同。第一次從中摸出一個小球，記錄數字后放回袋中，第二次搖勻后再隨機摸出一個小球.（1）求第一次摸出的小球所標數字是偶數的概率；（2）求兩次摸出的小球所標數字相同的概率.24．（10分）小明和小剛一起做游戲，游戲規(guī)則如下：將分別標有數字1，2，3，4的4個小球放入一個不透明的袋子中，這些球除數字外都相同．從中隨機摸出一個球記下數字后放回，再從中隨機摸出一個球記下數字．若兩次數字差的絕對值小于2，則小明獲勝，否則小剛獲勝．這個游戲對兩人公平嗎？請說明理由．25．（12分）綜合與探究:操作發(fā)現:如圖1，在中，，以點為中心，把順時針旋轉，得到;再以點為中心，把逆時針旋轉，得到.連接.則與的位置關系為平行；探究證明:如圖2，當是銳角三角形，時，將按照（1）中的方式，以點為中心，把順時針旋轉，得到；再以點為中心，把逆時針旋轉，得到.連接，①探究與的位置關系，寫出你的探究結論，并加以證明；②探究與的位置關系，寫出你的探究結論，并加以證明.26．如圖，在平面直角坐標系中，函數的圖象與直線交于點A(3,m).（1）求k、m的值；（2）已知點P(n，n)(n>0)，過點P作平行于軸的直線，交直線y=x-2于點M，過點P作平行于y軸的直線，交函數的圖象于點N.①當n=1時，判斷線段PM與PN的數量關系，并說明理由；②若PN≥PM，結合函數的圖象，直接寫出n的取值范圍.

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、D【分析】由題意可知原拋物線的頂點及平移后拋物線的頂點，根據平移不改變拋物線的二次項系數可得新的拋物線解析式．【詳解】解：由題意得原拋物線的頂點為（0，0），∴平移后拋物線的頂點為（1，3），∴得到的拋物線解析式為y=2（x-1）2+3，故選：D．【點睛】本題考查二次函數的幾何變換，熟練掌握二次函數的平移不改變二次項的系數得出新拋物線的頂點是解決本題的關鍵．2、D【解析】先利用二次函數的性質確定拋物線的對稱軸為直線x=3，然后根據離對稱軸越遠的點對應的函數值越大可得到|x1-3|＞|x2-3|．【詳解】拋物線的對稱軸為直線x=-=3，∵y1＞y2，∴點（x1，y1）比點（x2，y2）到直線x=3的距離要大，∴|x1-3|＞|x2-3|．故選：D．【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征：二次函數圖象上點的坐標滿足其解析式．也考查了二次函數的性質．3、C【分析】根據平移的性質知BB′＝AA′．由一次函數圖象上點的坐標特征可以求得點A′的坐標，所以根據兩點間的距離公式可以求得線段AA′的長度，即BB′的長度．【詳解】解：如圖，連接AA′、BB′，∵點A的坐標為（0，4），△OAB沿x軸向右平移后得到△O′A′B′，∴點A′的縱坐標是4，又∵點A的對應點在直線y＝x上一點，∴4＝x，解得x＝1，∴點A′的坐標是（1，4），∴AA′＝1，∴根據平移的性質知BB′＝AA′＝1．故選：C．【點睛】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、坐標與圖形變化??平移．根據平移的性質得到BB′＝AA′是解題的關鍵．4、B【分析】設藍球有x個，根據摸出一個球是紅球的概率是，得出方程即可求出x．【詳解】設藍球有x個，依題意得解得x=4，經檢驗，x=4是原方程的解，故藍球有4個，選B.【點睛】此題主要考查了概率公式的應用，用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．得到所求的情況數是解決本題的關鍵．5、D【分析】連接OC，過點C作CE⊥OB于點E,根據圓周角定理得出，則有是等邊三角形，然后利用求解即可．【詳解】連接OC，過點C作CE⊥OB于點E∴是等邊三角形故選：D．【點睛】本題主要考查圓周角定理及扇形的面積公式，掌握圓周角定理及扇形的面積公式是解題的關鍵．6、B【分析】根據年利潤平均增長率，列出變化增長前后的關系方程式進行求解.【詳解】設這兩年的年利潤平均增長率為x，列方程為：300（1+x）2=507.故選B.【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，解題的關鍵是怎么利用年利潤平均增長率列式計算.7、D【分析】設定期一年的利率是x，則存入一年后的本息和是5000（1+x）元，取3000元后余[5000（1+x）﹣3000]元，再存一年則有方程[5000（1+x）﹣3000]?（1+x）＝2750，解這個方程即可求解．【詳解】設定期一年的利率是x，根據題意得：一年時：5000（1+x），取出3000后剩：5000（1+x）﹣3000，同理兩年后是[5000（1+x）﹣3000]（1+x），即方程為[5000（1+x）﹣3000]?（1+x）＝2750，解得：x1＝10%，x2＝﹣150%（不符合題意，故舍去），即年利率是10%．故選：D．【點睛】此題考查了列代數式及一元二次方程的應用，是有關利率的問題，關鍵是掌握公式：本息和=本金×(1+利率×期數），難度一般．8、C【分析】研究兩個動點到矩形各頂點時的時間，分段討論求出函數解析式即可求解．【詳解】解：分三種情況討論：（1）當0≤t≤1時，點P在AD邊上，點Q在AB邊上，∴S＝，∴此時拋物線經過坐標原點并且開口向上；（1）當1＜t≤1．5時，點P與點D重合，點Q在BC邊上，∴S＝＝2，∴此時，函數值不變，函數圖象為平行于t軸的線段；（2）當1．5＜t≤2．5時，點P與點D重合，點Q在CD邊上，∴S＝×2×（7﹣1t））＝﹣t+．∴函數圖象是一條線段且S隨t的增大而減?。蔬x：C．【點睛】本題考查了二次函數與幾何問題,用分類討論的數學思想解題是關鍵，解答時注意研究動點到達臨界點時的時間以此作為分段的標準，逐一分析求解．9、C【分析】連接OD交AC于點G，根據垂徑定理以及弦、弧之間的關系先得出DF=AC，再由垂徑定理及推論得出DE的長以及OD⊥AC，最后在Rt△DOE中，根據勾股定理列方程求得半徑r，從而求出結果．【詳解】解：連接OD交AC于點G，∵AB⊥DF，∴，DE=EF．又點是弧的中點，∴，OD⊥AC，∴，∴AC=DF=12，∴DE=2．設的半徑為r，∴OE=AO-AE=r-3，在Rt△ODE中，根據勾股定理得，OE2+DE2=OD2，∴(r-3)2+22=r2，解得r=．∴的直徑為3．故選：C．【點睛】本題主要考查垂徑定理及其推論，弧、弦之間的關系以及勾股定理，解題的關鍵是通過作輔助線構造直角三角形，是中考?？碱}型．10、C【解析】解：只有三棱柱的俯視圖為三角形，故選C．11、A【解析】試題分析：根據位似變換的定義：對應點的連線交于一點，交點就是位似中心．即位似中心一定在對應點的連線上．解：∵位似圖形的位似中心位于對應點連線所在的直線上，點M、N為對應點，所以位似中心在M、N所在的直線上，因為點P在直線MN上，所以點P為位似中心．故選A．考點：位似變換．12、C【分析】首先利用勾股定理求出圓錐的母線長，再通過圓錐側面積公式可以求得結果．【詳解】∵h＝8，r＝6，可設圓錐母線長為l，由勾股定理，l＝＝10，圓錐側面展開圖的面積為：S側＝×1×6π×10＝60π，所以圓錐的側面積為60πcm1．故選：C．【點睛】本題主要考查圓錐側面積的計算公式，解題關鍵是利用底面半徑及高求出母線長即可．二、填空題（每題4分，共24分）13、2或或．【分析】由勾股定理求出AB，設AE=x，則EF=x，BF=1﹣2x；分三種情況討論：①當BF=BC時，列出方程，解方程即可；②當BF=CF時，F在BC的垂直平分線上，得出AF=BF，列出方程，解方程即可；③當CF=BC時，作CG⊥AB于G，則BG=FGBF，由射影定理求出BG，再解方程即可．【詳解】由翻折變換的性質得：AE=EF．∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB1．設AE=x，則EF=x，BF=1﹣2x．分三種情況討論：①當BF=BC時，1﹣2x=6，解得：x=2，∴AE=2；②當BF=CF時．∵BF=CF，∴∠B=∠FCB．∵∠A+∠B=90°，∠FCA+∠FCB=90°，∴∠A=∠FCA，∴AF=FC．∵BF=FC，∴AF=BF，∴x+x=1﹣2x，解得：x，∴AE；③當CF=BC時，作CG⊥AB于G，如圖所示：則BG=FGBF．根據射影定理得：BC2=BG?AB，∴BG，即(1﹣2x)，解得：x，∴AE；綜上所述：當△BCF為等腰三角形時，AE的長為：2或或．故答案為：2或或．【點睛】本題考查了翻折變換的性質、勾股定理、射影定理、等腰三角形的性質；本題有一定難度，需要進行分類討論．14、二、四【解析】根據反比例函數中k=-5得出此函數圖象所在的象限即可．【詳解】∵反比例函數中，k=-5＜0，∴此函數的圖象在二、四象限，故答案為：二、四.【點睛】本題考查的是反比例函數圖象的性質，熟知反比例函數當k＜0時函數的圖象在二、四象限是解答此題的關鍵．15、241【分析】本題首先通過待定系數法求解y與x的關系式，繼而根據利潤公式求解二次函數表達式，最后根據二次函數性質求解本題．【詳解】由題意假設，將，代入一次函數可得：，求解上述方程組得：，則，∵，∴，∴，又因為商品進價為16元，故．銷售利潤，整理上式可得：銷售利潤，由二次函數性質可得：當時，取最大值為1．故當銷售單價為24時，每月最大毛利潤為1元．【點睛】本題考查二次函數的利潤問題，解題關鍵在于理清題意，按照題目要求，求解二次函數表達式，最后根據二次函數性質求解此類型題目．16、或∠BAE＝∠CEF，或∠AEB＝∠EFC（任填一個即可）【分析】根據相似三角形的判定解答即可．【詳解】∵矩形ABCD，∴∠ABE＝∠ECF＝90，∴添加∠BAE＝∠CEF，或∠AEB＝∠EFC，或AE⊥EF，∴△ABE∽△ECF，故答案為：∠BAE＝∠CEF，或∠AEB＝∠EFC，或AE⊥EF．【點睛】此題考查相似三角形的判定，關鍵是根據相似三角形的判定方法解答．17、1.1【解析】根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得MC=12AB=1.1km【詳解】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M為AB的中點，∴MC=12故答案為：1.1．【點睛】此題考查直角三角形的性質，解題關鍵點是熟練掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，理解題意，將實際問題轉化為數學問題是解題的關鍵.18、【分析】先由一元二次方程x2-2x+a-2=0有實數根，得出a的取值范圍，最后根據概率公式進行計算即可．【詳解】解：∵一元二次方程x2-2x+a-2=0有實數根，

∴4-4（a-2）≥0，

∴a≤1，

∴a=-1，0，1，2，1．∴使得關于x的一元二次方程x2-2x+a-2=0有實數根概率為：.【點睛】考查概率的求法；用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．得到使一元二次方程x2-2x+a-2=0有實數根情況數是解決本題的關鍵．三、解答題（共78分）19、（1）y＝x2-4x＋1；（2）點P在運動的過程中，線段PD長度的最大值為；（1）能，點P的坐標為：(1，0)或（2，-1）．【分析】（1）把點A、B的坐標代入拋物線解析式，解方程組得到b、c的值，即可得解；（2）求出點C的坐標，再利用待定系數法求出直線AC的解析式，再根據拋物線解析式設出點P的坐標，然后表示出PD的長度，再根據二次函數的最值問題解答；（1）分情況討論①∠APD是直角時，點P與點B重合，②求出拋物線頂點坐標，然后判斷出點P為在拋物線頂點時，∠PAD是直角，分別寫出點P的坐標即可；【詳解】（1）把點A(1，0)和點B(1，0)代入拋物線y＝x2＋bx＋c，得：解得∴y＝x2-4x＋1．（2）把x＝0代入y＝x2-4x＋1，得y＝1．∴C(0，1)．又∵A(1，0)，設直線AC的解析式為：y＝kx＋m，把點A，C的坐標代入得：∴直線AC的解析式為：y＝－x＋1．PD＝-x＋1-(x2-4x＋1)＝-x2＋1x＝＋．∵0<x<1，∴x＝時，PD最大為．即點P在運動的過程中，線段PD長度的最大值為．（1）①∠APD是直角時，點P與點B重合，此時，點P（1，0），②∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣1，∴拋物線的頂點坐標為（2，﹣1），∵A（1，0），∴點P為在拋物線頂點時，∠PAD＝45°+45°＝90°，此時，點P（2，﹣1），綜上所述，點P（1，0）或（2，﹣1）時，△APD能構成直角三角形；【點睛】本題是二次函數綜合題型，主要利用了待定系數法求二次函數解析式，二次函數的最值問題，二次函數的對稱性以及頂點坐標的求解，直角三角形存在性問題時需要分類討論.20、（1）證明見解析；（2）PA+PB＝PF+FC＝PC；（3）1+．【分析】（1）欲證明AD是⊙O的切線，只需推知AD⊥AE即可；（2）首先在線段PC上截取PF=PB，連接BF，進而得出△BPA≌△BFC（AAS），即可得出PA+PB=PF+FC=PC；（3）利用△ADP∽△BDA，得出＝＝，求出BP的長，進而得出△ADP∽△CAP，則＝，則AP2=CP?PD求出AP的長，即可得出答案．【詳解】（1）證明：先作⊙O的直徑AE，連接PE，∵AE是直徑，∴∠APE＝90°．∴∠E+∠PAE＝90°．又∵∠DAP＝∠PBA，∠E＝∠PBA，∴∠DAP＝E，∴∠DAP+∠PAE＝90°，即AD⊥AE，∴AD是⊙O的切線；（2）PA+PB＝PC，證明：在線段PC上截取PF＝PB，連接BF，∵PF＝PB，∠BPC＝60°，∴△PBF是等邊三角形，∴PB＝BF，∠BFP＝60°，∴∠BFC＝180°﹣∠PFB＝120°，∵∠BPA＝∠APC+∠BPC＝120°，∴∠BPA＝∠BFC，在△BPA和△BFC中，，∴△BPA≌△BFC（AAS），∴PA＝FC，AB＝CB，∴PA+PB＝PF+FC＝PC；（3）∵△ADP∽△BDA，∴＝＝，∵AD＝2，PD＝1，∴BD＝4，AB＝2AP，∴BP＝BD﹣DP＝3，∵∠APD＝180°﹣∠BPA＝60°，∴∠APD＝∠APC，∵∠PAD＝∠E，∠PCA＝∠E，∴∠PAD＝∠PCA，∴△ADP∽△CAP，∴＝，∴AP2＝CP?PD，∴AP2＝（3+AP）?1，解得：AP＝或AP＝（舍去），由(2)知△ABC是等邊三角形，∴AC=BC＝AB＝2AP＝1+．【點睛】此題屬于圓的綜合題，涉及了圓周角定理，切線的判定與性質，相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質等知識，綜合性較強，解答本題需要我們熟練各部分的內容，對學生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學知識貫穿起來．21、(1)A,C；（2）；(3)1≤b≤或-≤b≤-1．【分析】（1）根據已知條件求出d的范圍：1≤d≤3，再將各點距離O點的距離，進行判斷是否在此范圍內即可，滿足條件的即為隨心點；（2）根據點E（4，3）是⊙O的“隨心點”，可根據，求出d=5，再求出r的范圍即可；（3）如圖a∥b∥c∥d，⊙O的半徑r=2，求出隨心點范圍，再分情況點N在y軸正半軸時，當點N在y軸負半軸時，分情況討論即可.【詳解】(1)∵⊙O的半徑r=2，

∴=3，=1∴1≤d≤3∵A（3，0），

∴OA=3，在范圍內

∴點A是⊙O的“隨心點”∵B（0，4）∴OB=4，而4＞3，不在范圍內∴B是不是⊙O的“隨心點”，

∵C（，2），

∴OC=，在范圍內

∴點C是⊙O的“隨心點”，

∵D（，），

∴OD=＜1，不在范圍內

∴點D不是⊙O的“隨心點”，

故答案為：A,C（2）∵點E（4，3）是⊙O的“隨心點”∴OE=5，即d=5若，∴r=10若，∴(3)

∵如圖a∥b∥c∥d，⊙O的半徑r=2，隨心點范圍∴∵直線MN的解析式為y=x+b，

∴OM=ON，

①點N在y軸正半軸時，

當點M是⊙O的“隨心點”，此時，點M（-1，0），

將M（-1，0）代入直線MN的解析式y(tǒng)=x+b中，解得，b=1，

即：b的最小值為1，

過點O作OG⊥M'N'于G，

當點G是⊙O的“隨心點”時，此時OG=3，

在Rt△ON'G中，∠ON'G=45°，

∴GO=3∴在Rt△GNN’中，===，

b的最大值為，

∴1≤b≤，

②當點N在y軸負半軸時，同①的方法得出-≤b≤-1．

綜上所述，b的取值范圍是：1≤b≤或-≤b≤-1．【點睛】此題考查了一次函數的綜合題，主要考查了新定義，點到原點的距離的確定，解（3）的關鍵是找出線段MN上的點是圓O的“隨心點”的分界點，是一道中等難度的題目．22、（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）過A作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，設AB與CD相交于點G．根據等邊三角形的性質得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，根據全等三角形的判定定理即可得△ACD≌△AEB，根據全等三角形的性質可得AM=AN，根據角平分線的判定定理即可得到∠DFA=∠AFE，再根據全等三角形的對應角相等和三角形內角和等于180°得到∠DFB=∠DAG=60°，即可得到結論；（2）如圖，延長FB至K，使FK=DF，連DK，根據等邊三角形的性質和全等三角形的判定和性質定理即可得到結論．【詳解】（1）過A作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，設AB與CD相交于點G．∵△ABD和△ACE為等邊三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠DAC=∠BAE=60°+∠BAC．在△ACD和△AEB中，∵，∴△ACD≌△AEB，∴CD=BE，∠ADG=∠ABF，△ADC的面積=△ABE的面積，∴CD?AM=BE?AN，∴AM=AN，∴AF是∠DFE的平分線，∴∠DFA=∠AFE．∵∠ADG=∠ABF，∠AGD=∠BGF，∴∠DFB=∠DAG=60°，∴∠GFE=120°，∴∠BFD=∠DFA=∠AFE．（2）如圖，延長FB至K，使FK=DF，連接DK．∵∠DFB=60°，∴△DFK為等邊三角形，∴DK=DF，∠KDF=∠K=60°，∴∠K=∠DFA=60°．∵∠ADB=60°，∴∠KDB=∠FDA．在△DBK和△DAF中，∵∠K=∠DFA，DK=DF，∠KDB=∠FDA，∴△DBK≌△DAF，∴BK=AF．∵DF=DK=FK=BK+BF，∴DF=AF+BF，又∵CD=DF+CF，∴CD=AF+BF+CF．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定與性質，角平分線的判定，正確的作出輔助線是解題的關鍵．23、（1）（數字是偶數）；（2）（數字相同）【分析】（1）利用概率公式求概率即可；（2）先列表，然后根據概率公式計算概率即可．【詳解】解：（1）第一次摸出的小球共有4種等可能的結果，其中摸出的小球所標數字是偶數的結果有2種，∴（數字是偶數）=2÷4（2）列表如下：第二次第一次123411,12,13,14,121,