廣東省廣州市八十九中2022-2023學年高二上學期期中數(shù)學試題(原卷版+解析)

高二上學期期中考試數(shù)學試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.2.若直線的方向向量為，平面的法向量為，則（）A B.C. D.與斜交3.如圖所示，在三棱柱中，底面，，，點，分別是棱，的中點，則直線與所成的角是（）A. B. C. D.4.圓與直線相交所得弦長為（）A.1 B. C.2 D.25.在空間四邊形ABCD中，＝（）A.－1 B.0C.1 D.不確定6.過定點A的直線與過定點的直線交于點與不重合），則面積的最大值為（）A. B. C.2 D.47.在三棱錐中，點E，F(xiàn)分別是的中點，點G在棱上，且滿足，若，則（）A. B. C. D.8.阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學家，對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點Q，P的距離之比，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓．已知動點的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點為軸上一點，且，若點，則的最小值為（）A. B. C. D.二．多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.已知向量，則下列結(jié)論中正確是（）A.若，則B.若，則C.不存在實數(shù)，使得D.若，則10.下列說法正確的是（）A.任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率B.點關于直線的對稱點為C.經(jīng)過點且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為D.直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積是211.在棱長為2的正方體中，E、F、G分別為BC、、的中點，則下列選項正確的是（）A.B.直線與EF所成角的余弦值為C.三棱錐的體積為D.存在實數(shù)、使得12.已知圓和圓的交點為、，則（

）A.兩圓的圓心距B.圓上存點，圓上存在點，使得C.圓上存在兩點和使得D.圓上的點到直線的最大距離為三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.若直線與平行，則_____________，與間的距離為_____________．14.在棱長為的正方體中，直線到平面的距離為_______________．15.如圖，已知一個的二面角的棱上有兩點和，且和分別是在這兩個面內(nèi)且垂直于的線段．又知，，，則求CD的長為___．16.若直線與曲線有兩個交點，則實數(shù)的取值范圍是______.三、解答題：（本題共6小題，共70分）17.已知△ABC的頂點坐標為A（﹣3，9）、B（2，2）、C（5，3）．（1）求AC邊中線所在直線方程；（2）求△ABC面積．18.已知四棱錐的底面為直角梯形，，，底面，且，是的中點.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19.如圖，某海面上有O，A，B三個小島（面積大小忽略不計），A島在O島的北偏東45°方向距O島千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處．以O為坐標原點，O的正東方向為x軸的正方向，1千米為一個單位長度，建立平面直角坐標系．圓C經(jīng)過O，A，B三點．（1）求圓C的方程；（2）若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在O島南偏西30°方向距O島40千米處，正沿著北偏東45°方向行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險?20.已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰為的中點，又知.（1）線段的長（2）求到平面的距離；21.如圖，已知梯形，//，，四邊形為正方形，且平面平面．（1）求證：平面；（2）點M在線段上運動，求平面與平面夾角余弦值的取值范圍．22.已知的方程是，直線l經(jīng)過點.（1）若直線l與相切，求直線l的方程；（2）若直線l與相交于A，B兩點，與直線交于點M，求證：為定值.高二上學期期中考試數(shù)學試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.答案：A【解析】分析：根據(jù)斜率與傾斜角的關系，直接得到答案.【詳解】因為直線，則其斜率即，且

所以故選:A.2.若直線的方向向量為，平面的法向量為，則（）A. B.C. D.與斜交答案：B【解析】分析：判斷與的位置關系，進而可得出結(jié)論.【詳解】由已知可得，則，因此，.故選：B.3.如圖所示，在三棱柱中，底面，，，點，分別是棱，的中點，則直線與所成的角是（）A. B. C. D.答案：C【解析】分析：建立如圖所示的空間直角坐標系，求出和的坐標，進而由夾角公式可求得結(jié)果.【詳解】如圖所示，建立空間直角坐標系．由于，不妨取，則，，，，∴，，∴，又，∴，即直線與所成的角為.

故選：C．4.圓與直線相交所得弦長為（）A.1 B. C.2 D.2答案：D【解析】分析：利用垂徑定理可求弦長.【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為，圓心到直線的距離為，故弦長為：，故選：D.5.在空間四邊形ABCD中，＝（）A.－1 B.0C.1 D.不確定答案：B【解析】分析：令，利用空間向量的數(shù)量積運算律求解.【詳解】如圖，令，則，，.故選：B6.過定點A的直線與過定點的直線交于點與不重合），則面積的最大值為（）A. B. C.2 D.4答案：C【解析】分析：根據(jù)方程可得定點A、B，并且可判斷兩直線垂直，然后利用基本不等式可得.【詳解】動直線化為，可知定點，動直線化為，可知定點，又所以直線與直線垂直，為交點，.則，當且僅當時，等號成立.即面積的最大值為2.故選：C.7.在三棱錐中，點E，F(xiàn)分別是的中點，點G在棱上，且滿足，若，則（）A. B. C. D.答案：B【解析】分析：利用空間向量的加、減運算即可求解.【詳解】由題意可得故選：B.8.阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學家，對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點Q，P的距離之比，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓．已知動點的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點為軸上一點，且，若點，則的最小值為（）A. B. C. D.答案：C【解析】分析：根據(jù)點的軌跡方程可得，結(jié)合條件可得，即得.【詳解】設，，所以，又，所以．因為且，所以，整理可得，又動點M的軌跡是，所以，解得，所以，又，所以，因為，所以的最小值為．故選：C．二．多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.已知向量，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則B.若，則C.不存在實數(shù)，使得D.若，則答案：AC【解析】分析：根據(jù)向量的模的計算公式，可判定A選項正確；根據(jù)向量垂直的條件，列出方程，可判定B選項錯誤；根據(jù)共線向量的條件，列出方程組，可判定C選項正確；根據(jù)向量的數(shù)量積的運算公式，列出方程，可判定D選項錯誤.【詳解】對于A中，由，可得，解得，故A選項正確；對于B中，由，可得，解得，故B選項錯誤；對于C中，若存在實數(shù)，使得，則，顯然無解，即不存在實數(shù)，使得，故C選項正確；對于D中，若，則，解得，于是，故D選項錯誤.故選：AC.【點睛】本題主要考查了空間向量的垂直與共線的表示及應用，以及空間向量的數(shù)量積的運算，其中解答中熟記空間向量的垂直與共線的條件，以及數(shù)量積的運算公式，逐項判定是解答的關鍵，著重考查推理與運算能力.10.下列說法正確的是（）A.任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率B.點關于直線的對稱點為C.經(jīng)過點且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為D.直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積是2答案：ABD【解析】分析：A選項，利用斜率定義可知，當傾斜角為90°時，斜率不存在；B選項求解點關于直線的對稱點，滿足兩點的斜率與乘積為-1，中點在已知直線上，進而求出對稱點；C選項要考慮截距均為0的情況，D選項求出與坐標軸的交點坐標，進而求出圍成的三角形的面積.【詳解】當傾斜角為90°時，斜率不存在，故A選項正確；設關于直線的對稱點為，則滿足，解得：，故點關于直線的對稱點為，B正確；當在x軸和y軸上截距都等于0時，此時直線為，故C錯誤；直線與兩坐標軸的交點坐標為與，故與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，D正確故選：ABD11.在棱長為2的正方體中，E、F、G分別為BC、、的中點，則下列選項正確的是（）A.B.直線與EF所成角的余弦值為C.三棱錐的體積為D.存在實數(shù)、使得答案：BD【解析】分析：對于A，根據(jù)平行線的與已知直線的垂直關系，可得答案；對于B，根據(jù)線線夾角的定義，作平行，根據(jù)三角形的余弦定理，可得答案；對于C，根據(jù)體積的組合關系，找到三棱錐所在的三棱柱，減去其余部分，可得答案；對于D，根據(jù)平行關系，進行平面延拓，由線面平行，可得三個向量共面，可得答案.【詳解】對于A，在正方體中，，易知與不垂直，故錯誤；對于B，在正方體中，取的中點，連接，如下圖，易知，則為直線與夾角或其補角，，，，中，，因此，直線與EF所成角的余弦值為，故正確；對于C，根據(jù)題意作圖如下：易知三棱柱的體積，三棱錐的體積，四棱錐的體積，三棱錐的體積，故錯誤；對于D，連接，作圖如下：易知，則共面，，則共面，即存在實數(shù)、使得，故正確；故選：BD.12.已知圓和圓的交點為、，則（

）A.兩圓的圓心距B.圓上存點，圓上存在點，使得C.圓上存在兩點和使得D.圓上的點到直線的最大距離為答案：ABD【解析】分析：求出兩圓圓心距，可判斷A選項；計算出的取值范圍，可判斷B選項；求出，可判斷C選項；求出圓上的點到直線的最大距離，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，圓的標準方程為，圓心為，半徑為，圓的標準方程為，圓心為，半徑為，所以，，A對；對于B選項，因為，則兩圓相交，所以，，，因為，所以，圓上存點，圓上存在點，使得，B對；對于C選項，將兩圓方程作差可得，即直線的方程為，圓心到直線的距離為，所以，，對于圓上的任意兩點、，，C錯；對于D選項，圓心到直線的距離的最大值為，D對.故選：ABD.三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.若直線與平行，則_____________，與間的距離為_____________．答案：①.②.【解析】分析：直接根據(jù)兩直線平行，列出方程即可求得，然后用兩平行直線間的距離公式即可得到結(jié)果.【詳解】因為直線與平行，則，即,兩平行直線間的距離,故答案為:；.14.在棱長為的正方體中，直線到平面的距離為_______________．答案：【解析】分析：以為坐標原點建立空間直角坐標系，根據(jù)平面可知所求距離即為點到平面的距離，利用點到面的距離的向量求法可求得結(jié)果.【詳解】以為坐標原點，為軸建立如圖所示空間直角坐標系，，平面，平面，平面，直線到平面的距離即為點到平面的距離；，，，，，，，設平面的法向量，則，令，解得：，，，點到平面的距離，即直線到平面的距離.故答案為：.15.如圖，已知一個的二面角的棱上有兩點和，且和分別是在這兩個面內(nèi)且垂直于的線段．又知，，，則求CD的長為___．答案：【解析】分析：由向量的線性運算法則得到，根據(jù)題設條件和向量的數(shù)量積、向量模的計算公式，即可求解.【詳解】由向量的線性運算法則，可得，因為，，且二面角的平面角為，可得，，且，又因為和分別是在這兩個面內(nèi)且垂直于的線段，所以，所以.故答案為：.16.若直線與曲線有兩個交點，則實數(shù)的取值范圍是______.答案：【解析】分析：先求出直線所過定點，再將曲線轉(zhuǎn)化為，可知其為半圓，結(jié)合圖像，即可求出的取值范圍.【詳解】由題意得，直線的方程可化為，所以直線恒過定點，又曲線可化為，其表示以為圓心，半徑為2的圓的上半部分，如圖.當與該曲線相切時，點到直線的距離，解得，設，則，由圖可得，若要使直線與曲線有兩個交點，須得，即故答案為：.三、解答題：（本題共6小題，共70分）17.已知△ABC的頂點坐標為A（﹣3，9）、B（2，2）、C（5，3）．（1）求AC邊中線所在直線的方程；（2）求△ABC的面積．答案：（1）4x+y-10=0（2）【解析】分析：（1）先求解AC的中點M的坐標，利用直線方程的點斜式，即得解；（2）先求解直線AC的方程，點B到直線AC的距離即為△ABC的AC邊的高，利用面積公式求解即可.【小問1詳解】△ABC的頂點坐標為A（-3，9）、B（2，2）、C（5，3），所以AC的中點M的坐標為（，）=（1，6），所以AC邊中線所在直線BM方程為???????，即AC邊中線所在直線的方程為4x+y-10=0；【小問2詳解】由題意可得，直線AC的方程為，即3x+4y-27=0，所以點B到直線AC的距離為h=，,則△ABC的面積為．18.已知四棱錐的底面為直角梯形，，，底面，且，是的中點.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.答案：（1）證明見解析（2）【解析】分析：（1）取的中點為，連接、，即可證明四邊形是平行四邊形，從而得到，即可得證；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得.【小問1詳解】證明：取的中點為，連接、，因為、分別是、的中點，所以且，又且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.【小問2詳解】解：因為，底面，所以兩兩互相垂直，以為坐標原點，以分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系如圖所示，則，則，設平面一個法向量為，所以，即，令，則，設直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.19.如圖，某海面上有O，A，B三個小島（面積大小忽略不計），A島在O島的北偏東45°方向距O島千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處．以O為坐標原點，O的正東方向為x軸的正方向，1千米為一個單位長度，建立平面直角坐標系．圓C經(jīng)過O，A，B三點．（1）求圓C的方程；（2）若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，正沿著北偏東45°方向行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險?答案：（1）；（2）該船有觸礁的危險．【解析】分析：（1）根據(jù)給定條件，求出點A，B的坐標，設出圓C的一般方程，利用待定系數(shù)法求解作答.（2）求出船D的航線所在直線的方程，再利用點到直線距離公式計算判斷作答.【小問1詳解】依題意，因A島在O島的北偏東45°方向距O島千米處，則點，又B島在O島的正東方向距O島20千米處，則，設過O，A，B三點的圓C的方程為，則，解得，所以圓C的方程為．【小問2詳解】因船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，則，而船D沿著北偏東45°方向行駛，則船D的航線所在直線l的斜率為1，直線l的方程為，由（1）知，圓C的圓心為，半徑，則圓心C到直線l的距離，則，所以該船有觸礁的危險.20.已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰為的中點，又知.（1）線段的長（2）求到平面的距離；答案：（1）（2）【解析】分析：建立空間直角做標系，用空間向量的方法解題即可.【小問1詳解】如右圖，取的中點，則，因為，所以，因為在底面的射影為，所以平面，以為軸建立空間坐標系，則，，，，，，，，由，得，.【小問2詳解】設平面的法向量為，，，所以，設，則，所以點到平面的距離.21.如圖，已知梯形，//，，四邊形為正方形，且平面平面．（1）求證：平面；（2）點M在線段