浙教版七年級數(shù)學下冊專題2.3二元一次方程組的應(yīng)用(知識解讀)(原卷版+解析)

專題2.3二元一次方程組的應(yīng)用（知識解讀）【學習目標】1.使學生初步掌握列二元一次方程組解應(yīng)用題。2.通過將實際問題轉(zhuǎn)化成純數(shù)學問題的應(yīng)用訓練，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力。3.通過對祖國文明史的了解，培養(yǎng)學生愛國主義精神，樹立為中華崛起而學習的信心。【知識點梳理】知識點一：二元一次方程組應(yīng)用類型：類型一：雞兔同籠問題類型二：牛羊值金問題類型三：幾何問題類型四：球賽積分問題類型五：盈不足問題類型六：數(shù)字問題用字母表示十進制整數(shù)的方法（1）在表示多位數(shù)時，什么數(shù)位上的數(shù)字就乘什么，如百位就是百位上的數(shù)字乘100，千位就是千位上的數(shù)字乘1000.（2）若用兩個數(shù)拼一個新數(shù)，則要關(guān)注兩個數(shù)的前后順序和前面的數(shù)擴大的倍數(shù)與后面的數(shù)的位數(shù)的關(guān)系.兩位數(shù)：十位數(shù)字×10+個位數(shù)字.三位數(shù)：百位數(shù)字×100+十位數(shù)字×10+個位數(shù)字.四位數(shù)：千位數(shù)字×1000+百位數(shù)字×100+十位數(shù)字×10+個位數(shù)字.……類型七：年齡問題1.年齡問題的三個基本規(guī)律（1）每個人的年齡隨著時間的增加都增加相等的量；（2）兩個人之間的年齡差不變；（3）兩個人年齡的倍數(shù)關(guān)系是變化的量.2.求解年齡問題的方法?從表示年齡間倍數(shù)關(guān)系的條件入手，抓住“年齡差”不變，應(yīng)用“差倍”“和倍”“和差”問題的數(shù)量關(guān)系.年齡問題解題口訣：歲差不會變，同時相加減.歲數(shù)若改變，倍數(shù)也改變.類型八：銷售問題單價×數(shù)量=總價利潤=實際售價-成本實際售價=標價（原價）×折扣利潤率=×100%類型九：方案問題類型十：分段計費問題類型十一：行程問題知識點二：二元一次方程組應(yīng)用的解題步驟步驟1．審題：透徹理解題意，弄清問題中的已知量和未知量，找出問題給出和涉及的相等關(guān)系；2．設(shè)元（未知數(shù)）：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)；3．列代數(shù)式和方程組：用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知數(shù)，根據(jù)題中給出的等量關(guān)系列出方程組，一般情況下，未知數(shù)個數(shù)與方程個數(shù)是相同的；4．解方程組；5．檢驗：檢驗方程的根是否符合題意；6．作答：檢驗后作出符合題目要求的答案．【典例分析】【類型一：雞兔同籠問題】【典例1】大約在1500年前成書的《孫子算經(jīng)》中，記載了這樣一個問題：“今有雞兔同籠，上有二十五頭，下有七十六足，問雞兔各幾何？”這四句話的意思是：有若干只雞兔關(guān)在一個籠子里，從上面數(shù)，有25個頭；從下面數(shù)，有76條腿，問籠中各有幾只雞和兔？設(shè)籠中有x只雞y只兔，則所列方程組正確的是（）A． B． C． D．【變式1-1】一只籠子裝有雞和兔共有10個頭，34只腳，每只雞有兩只腳，每只兔有四只腳．設(shè)雞有x只，兔有y只，則可列二元一次方程組（）A． B． C． D．【變式1-2】我國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問題，”今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”若設(shè)雞有x只，兔有y只，則列出的方程組為（列出方程組即可，不求解）．【類型二：牛羊值金問題】【典例2】“（中國古代算題）馬四匹、牛六頭，共價四十八兩（我國古代貨幣單位）；馬三匹，牛五頭，共價三十八兩．問馬、牛各價幾何？”若設(shè)馬的價格為x兩/匹、牛的價格為y兩/匹，則可得方程組為（）A． B． C． D．【變式2-1】中國的《九章算術(shù)》是世界現(xiàn)代數(shù)學的兩大源泉之一，其中有一問題：“今有牛五、羊二，直金十兩，牛二、羊五，直金八兩．問牛、羊各直金幾何？“譯文：今有牛5頭，羊2頭，共值金10兩；牛2頭，羊5頭，共值金8兩．問牛、羊每頭各值金多少？設(shè)牛、羊每頭各值金x兩、y兩，依題意，可列出方程組為（）A． B． C． D．【變式2-2】中國清代算書《御制數(shù)理精蘊》中有這樣一題：“馬四匹、牛六頭，共價四十八兩（我國古代貨幣單位）；馬三匹、牛五頭，共價三十八兩．問馬、牛各價幾何？”設(shè)馬每匹x兩，牛每頭y兩，根據(jù)題意可列方程組為（）A． B． C． D．【類型三：幾何問題】【典例3】(2023春?沐川縣期末）某工廠生產(chǎn)如圖1所示的長方形和正方形紙板，做成如圖2所示的豎式與橫式兩種長方體形狀的無蓋紙盒，其中豎式紙盒由4個長方形和1個正方形紙板做成，橫式紙盒由3個長方形和2個正方形紙板做成（給定的長方形和正方形紙板都不用裁剪，也不考慮接縫）．（1）現(xiàn)有長方形紙板340張，正方形紙板160張，做成上述兩種紙盒，紙板恰好用完，求兩種紙盒生產(chǎn)個數(shù)．（2）紙板車間共有78名工人，每個工人一天能生產(chǎn)70張長方形紙板或者100張正方形紙板，已知一個豎式紙盒與一個橫式紙盒配套，要求紙板車間一天生產(chǎn)的紙板由其它車間做成豎式紙盒與橫式紙盒配套，問紙板車間應(yīng)該如何安排工人生產(chǎn)兩種紙板？【變式3-1】(2023春?通榆縣期末）如圖，用8塊相同的長方形地磚鑲嵌一個寬為60cm大長方形，求每塊地磚的長與寬．【變式3-2】（2023春?鄧州市期中）為打贏“脫貧攻堅”戰(zhàn)，某地黨委、政府聯(lián)合某企業(yè)帶領(lǐng)農(nóng)戶脫貧致富，小紅家為該企業(yè)制作包裝盒，（其中A款包裝盒無蓋，B款包裝盒有蓋）．請你幫小紅家計算她家領(lǐng)取的360張長方形紙板和140張正方形紙板，做成A，B型盒子分別多少個能使紙板剛好全部用完？【變式3-3】（2023秋?舞鋼市期末）工廠接到訂單生產(chǎn)如圖所示的巧克力包裝盒子，每個盒子由3個長方形側(cè)面和2個正三角形底面組成，倉庫有甲、乙兩種規(guī)格的紙板共2600張，其中甲種規(guī)格的紙板剛好可以裁出4個側(cè)面（如圖①），乙種規(guī)格的紙板可以裁出3個底面和2個側(cè)面（如圖②），裁剪后邊角料不再利用．（1）若裁剪出的側(cè)面和底面恰好全部用完，問兩種規(guī)格的紙板各有多少張？（2）一共能生產(chǎn)多少個巧克力包裝盒？【類型四：球賽積分問題】【典例4】在一次籃球聯(lián)賽中，每場比賽都要分出勝負，每隊勝1場得2分，負1場得1分，某隊在12場比賽中得到16分．若設(shè)該隊勝的場數(shù)為x，負的場數(shù)為y，則可列方程組為（）A． B． C． D．【變式4】(2023春?潁州區(qū)期末）2022年2月6日女足亞洲杯決賽，在逆境中鏗鏘玫瑰沒有放棄，逆轉(zhuǎn)奪冠!某學校掀起一股足球熱，舉行了班級聯(lián)賽，某班開局11場保持不敗，積23分，按比賽規(guī)則，勝一場得3分，平一場得1分，則該班獲勝的場數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．7【類型五：盈不足問題】【典例5】某校運動員按規(guī)定組數(shù)進行分組訓練，若每組6人，余4人；若每組8人，則缺3人；設(shè)運動員人數(shù)為x人，組數(shù)為y組，則可列出的方程組為（）A． B． C． D．【變式5-1】我國古代《孫子算經(jīng)》中有道題，原文是：“今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問人與車各幾何？”意思是：現(xiàn)有一些人坐車，如果每車坐三個人，則還剩余二輛車沒有人坐；如果每車坐二人，則有9人需要步行，問共有多少人？幾輛車？設(shè)共有x人，y輛車，則下列符合題意的方程組是（）A． B． C． D．【變式5-2】(2023春?閔行區(qū)期末）某校學生去看電影，如果每輛汽車坐60人，則空出1輛汽車，如果每輛汽車坐45人，則15人沒有座位，那么學生人數(shù)和汽車輛數(shù)各是多少？（）A．230人、6輛 B．240人、5輛 C．240人、8輛 D．250人、7輛【類型六：數(shù)字問題】【典例6】一個兩位數(shù)的十位上的數(shù)與個位上的數(shù)的和是5，如果這個兩位數(shù)減去27，則恰好等于十位上的數(shù)與個位上的數(shù)對調(diào)后組成的兩位數(shù)，求這個兩位數(shù)．【變式1-1】一個兩位數(shù)，十位數(shù)字比個位數(shù)字大4；將這個兩位數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字對調(diào)后，比原數(shù)減少了36，求原兩位數(shù)．若設(shè)原兩位數(shù)十位數(shù)字是x，個位數(shù)字是y，則列出方程組為（）A． B． C． D．【變式6-1】一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)與個位上的數(shù)之和是7，如果把這個兩位數(shù)加上9，所得的兩位數(shù)的個位數(shù)字，十位數(shù)字恰好分別是原來兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字，則這個兩位數(shù)是（）A．34 B．43 C．25 D．52【類型七：年齡問題】【典例7】根據(jù)小頭爸爸與大頭兒子的對話，求出大頭兒子現(xiàn)在的年齡．小頭爸爸：兒子，現(xiàn)在我的年齡比你大23歲．大頭兒子：5年后，您的年齡比我的年齡的2倍還多8歲．【變式7-1】7年前，母親的年齡是兒子的5倍；5年后，母親的年齡是兒子的2倍．求母子現(xiàn)在的年齡．設(shè)母親現(xiàn)年x歲，兒子現(xiàn)年y歲，列出的二元一次方程組是（）A． B． C． D．【變式7-2】今年，小麗爺爺?shù)哪挲g是小麗的5倍．小麗發(fā)現(xiàn)，12年之后，爺爺?shù)哪挲g是小麗的3倍，設(shè)今年小麗、爺爺?shù)哪挲g分別是x歲、y歲，可列方程組（）A． B． C． D．【變式7-3】5年前母親的年齡是女兒年齡的15倍，15年后，母親的年齡比女兒年齡的2倍多6歲．那么現(xiàn)在這對母女的年齡分別是多少？【類型八：銷售問題】【典例8】(2023春?海淀區(qū)校級月考）列二元一次方程組解決問題．某水果店前后兩次進購和售賣某種水果，第一次進購100kg水果，第二次進購200kg水果，兩次進購的單價不同，并且每次售賣時銷售的單價都比該次進購的單價提高了50%．由于水果易壞，從進購到全部售完會有部分損耗．第一次進購的水果有10%的損耗，第二次進購的水果有20%的損耗．已知兩次進購的總價之和為1600元，兩次銷售共獲利500元，求兩次進購的單價各是多少元？【變式8-1】某商場購進商品后，加價40%作為銷售價．某日商場搞優(yōu)惠促銷，由顧客抽獎決定折扣．某顧客購買甲、乙兩種商品，分別抽到七折和八折，共付款499元，兩種商品原售價之和為590元，設(shè)兩種商品的進價分別為x元和y元，根據(jù)題意所列方程組為（）A． B． C． D．【變式8-2】某商店購進A、B兩種商品共50件，已知這兩種商品的進貨單價與銷售單價如表所示，且將這兩種商品銷售完畢共可獲利660元．設(shè)商店購進A種商品x件，購進B種商品y件，則根據(jù)題意可列方程組．商品類別進貨單價（元/件）銷售單價（元/件）A3040B4055【類型九：方案問題】【典例9】為傳承中華文化，學習六藝技能，某中學組織初二年級學生到孔學堂研學旅行．已知大型客車每輛能坐60人，中型客車每輛能坐45人，現(xiàn)該校有初二年級學生375人．根據(jù)題目提供的信息解決下列問題：（1）這次研學旅行需要大、中型客車各幾輛才能使每個學生上車都有座位，且每輛車正好坐滿？（2）若大型客車租金為1500元/輛，中型客車租金為1200元/輛，請幫該校設(shè)計一種最劃算的租車方案．【變式9-1】疫情無情，人間有愛，為扎實做好復(fù)學工作，某市教育局做好防疫物資調(diào)配發(fā)放工作，租用A、B兩種型號的車給全市各個學校配送消毒液．已知用2輛A型車和1輛B型車裝滿貨物一次可運貨16噸；用1輛A型車和2輛B型車裝滿貨物一次可運貨20噸．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）1輛A型車和1輛B型車都裝滿貨物一次可分別運貨多少噸？（2）教育局現(xiàn)有24噸消毒液需要配送，若計劃同時租用A、B兩種型號車配送消毒液，恰好一次配送完，且每輛車都裝滿．求此時的租車方案．（3）在第（2）問條件下若A型車的租金為300元/輛，B型車的租金為520元/輛．請設(shè)計合適的租車方案，并求最少的租車費用．【變式9-2】據(jù)永川區(qū)農(nóng)業(yè)信息中心介紹，去年永川生態(tài)枇杷園喜獲豐收，個體商販張杰準備租車把枇杷運往外地去銷售，經(jīng)租車公司負責人介紹，用2輛甲型車和3輛乙型車裝滿枇杷一次可運貨12噸；用3輛甲型車和4輛乙型車裝滿枇杷一次可運貨17噸．現(xiàn)有15噸枇杷，計劃同時租用甲型車m輛，乙型車n輛，一次運完，且恰好每輛車都裝滿枇杷，根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）1輛甲型車和1輛乙型車都裝滿枇杷一次可分別運貨多少噸？（2）若甲型車每輛需租金180元/次，乙型車每輛需租金200元/次，請選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費用．【類型十：分段計費問題】【典例10】(2023春?石嘴山校級期末）某市為了更好的利用水資源，制訂了用水收費標準：如果每戶每月用水不超過a噸，按每噸2元收費；如果超過a噸，超過部分按每噸b元（b＞2）收費，其余仍按每噸2元收費．如表是小明家3、4月份用水量及支付水費情況．月份用水量（噸）支付水費（元）3154041852（1）若小明家3、4月份用水量都超過a噸，求a、b的值；（要求列方程或方程組求解）（2）小明家從5月份開始節(jié)約用水，若小明家5、6月份的用水量共22噸（5月份用水量小于6月份用水量），兩個月共支付水費50元，則小明家5、6月份用水量分別是多少噸？【變式10】（2023?賀州）為了提倡節(jié)約用水，某市制定了兩種收費方式：當每戶每月用水量不超過12m3時，按一級單價收費；當每戶每月用水量超過12m3時，超過部分按二級單價收費．已知李阿姨家五月份用水量為10m3，繳納水費32元．七月份因孩子放假在家，用水量為14m3，繳納水費51.4元．（1）問該市一級水費，二級水費的單價分別是多少？（2）某戶某月繳納水費為64.4元時，用水量為多少？【類型十一：行程問題】【典例11】（2023秋?和平區(qū)期末）（列二元一次方程組求解）小明家離學校2km，其中有一段為上坡路，另一段為下坡路．他從家跑步去學校共用了16min，已知小明在上坡路上的平均速度是4.8km/h，在下坡路上的平均速度是12km/h．求小明上坡、下坡各用了多少min？【變式11-1】（2023秋?金臺區(qū)期末）甲、乙兩人從相距36km的兩地相向而行，如果甲比乙先走2h，那么他們在乙出發(fā)2.5h后相遇；如果乙比甲先走2h，那么他們在甲出發(fā)3h后相遇，甲、乙兩人的速度分別是多少？【變式11-2】（2023秋?沈北新區(qū)期末）甲、乙兩人在相距18千米的兩地，若同時出發(fā)相向而行，經(jīng)2小時相遇；若同向而行，且甲比乙先出發(fā)1小時追及乙，那么在乙出發(fā)后4小時兩人相遇．分別求出甲、乙兩人的速度．專題2.3二元一次方程組的應(yīng)用（知識解讀）【學習目標】1.使學生初步掌握列二元一次方程組解應(yīng)用題。2.通過將實際問題轉(zhuǎn)化成純數(shù)學問題的應(yīng)用訓練，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力。3.通過對祖國文明史的了解，培養(yǎng)學生愛國主義精神，樹立為中華崛起而學習的信心。【知識點梳理】知識點一：二元一次方程組應(yīng)用類型：類型一：雞兔同籠問題類型二：牛羊值金問題類型三：幾何問題類型四：球賽積分問題類型五：盈不足問題類型六：數(shù)字問題用字母表示十進制整數(shù)的方法（1）在表示多位數(shù)時，什么數(shù)位上的數(shù)字就乘什么，如百位就是百位上的數(shù)字乘100，千位就是千位上的數(shù)字乘1000.（2）若用兩個數(shù)拼一個新數(shù)，則要關(guān)注兩個數(shù)的前后順序和前面的數(shù)擴大的倍數(shù)與后面的數(shù)的位數(shù)的關(guān)系.兩位數(shù)：十位數(shù)字×10+個位數(shù)字.三位數(shù)：百位數(shù)字×100+十位數(shù)字×10+個位數(shù)字.四位數(shù)：千位數(shù)字×1000+百位數(shù)字×100+十位數(shù)字×10+個位數(shù)字.……類型七：年齡問題1.年齡問題的三個基本規(guī)律（1）每個人的年齡隨著時間的增加都增加相等的量；（2）兩個人之間的年齡差不變；（3）兩個人年齡的倍數(shù)關(guān)系是變化的量.2.求解年齡問題的方法?從表示年齡間倍數(shù)關(guān)系的條件入手，抓住“年齡差”不變，應(yīng)用“差倍”“和倍”“和差”問題的數(shù)量關(guān)系.年齡問題解題口訣：歲差不會變，同時相加減.歲數(shù)若改變，倍數(shù)也改變.類型八：銷售問題單價×數(shù)量=總價利潤=實際售價-成本實際售價=標價（原價）×折扣利潤率=×100%類型九：方案問題類型十：分段計費問題類型十一：行程問題知識點二：二元一次方程組應(yīng)用的解題步驟步驟1．審題：透徹理解題意，弄清問題中的已知量和未知量，找出問題給出和涉及的相等關(guān)系；2．設(shè)元（未知數(shù)）：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)；3．列代數(shù)式和方程組：用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知數(shù)，根據(jù)題中給出的等量關(guān)系列出方程組，一般情況下，未知數(shù)個數(shù)與方程個數(shù)是相同的；4．解方程組；5．檢驗：檢驗方程的根是否符合題意；6．作答：檢驗后作出符合題目要求的答案．【典例分析】【類型一：雞兔同籠問題】【典例1】大約在1500年前成書的《孫子算經(jīng)》中，記載了這樣一個問題：“今有雞兔同籠，上有二十五頭，下有七十六足，問雞兔各幾何？”這四句話的意思是：有若干只雞兔關(guān)在一個籠子里，從上面數(shù)，有25個頭；從下面數(shù)，有76條腿，問籠中各有幾只雞和兔？設(shè)籠中有x只雞y只兔，則所列方程組正確的是（）A． B． C． D．答案：A【解答】解：設(shè)籠中有x只雞，y只兔，根據(jù)題意得：，故選：A．【變式1-1】一只籠子裝有雞和兔共有10個頭，34只腳，每只雞有兩只腳，每只兔有四只腳．設(shè)雞有x只，兔有y只，則可列二元一次方程組（）A． B． C． D．答案：A【解答】解：設(shè)雞有x只，兔有y只，依題意得．故選：A．【變式1-2】我國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問題，”今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”若設(shè)雞有x只，兔有y只，則列出的方程組為（列出方程組即可，不求解）．答案：【解答】解：設(shè)雞有x只，兔有y只，由題意得：．故答案為．【類型二：牛羊值金問題】【典例2】“（中國古代算題）馬四匹、牛六頭，共價四十八兩（我國古代貨幣單位）；馬三匹，牛五頭，共價三十八兩．問馬、牛各價幾何？”若設(shè)馬的價格為x兩/匹、牛的價格為y兩/匹，則可得方程組為（）A． B． C． D．答案：A【解答】解：∵馬四匹、牛六頭，共價四十八兩，∴4x+6y＝48；∵馬三匹、牛五頭，共價三十八兩，∴3x+5y＝38．∴可列方程組為．故選：A．【變式2-1】中國的《九章算術(shù)》是世界現(xiàn)代數(shù)學的兩大源泉之一，其中有一問題：“今有牛五、羊二，直金十兩，牛二、羊五，直金八兩．問牛、羊各直金幾何？“譯文：今有牛5頭，羊2頭，共值金10兩；牛2頭，羊5頭，共值金8兩．問牛、羊每頭各值金多少？設(shè)牛、羊每頭各值金x兩、y兩，依題意，可列出方程組為（）A． B． C． D．答案：B【解答】解：依題意得：．故選：B．【變式2-2】中國清代算書《御制數(shù)理精蘊》中有這樣一題：“馬四匹、牛六頭，共價四十八兩（我國古代貨幣單位）；馬三匹、牛五頭，共價三十八兩．問馬、牛各價幾何？”設(shè)馬每匹x兩，牛每頭y兩，根據(jù)題意可列方程組為（）A． B． C． D．答案：C【解答】解：∵馬四匹、牛六頭，共價四十八兩，∴4x+6y＝48；∵馬三匹、牛五頭，共價三十八兩，∴3x+5y＝38．∴可列方程組為．故選：C．【類型三：幾何問題】【典例3】(2023春?沐川縣期末）某工廠生產(chǎn)如圖1所示的長方形和正方形紙板，做成如圖2所示的豎式與橫式兩種長方體形狀的無蓋紙盒，其中豎式紙盒由4個長方形和1個正方形紙板做成，橫式紙盒由3個長方形和2個正方形紙板做成（給定的長方形和正方形紙板都不用裁剪，也不考慮接縫）．（1）現(xiàn)有長方形紙板340張，正方形紙板160張，做成上述兩種紙盒，紙板恰好用完，求兩種紙盒生產(chǎn)個數(shù)．（2）紙板車間共有78名工人，每個工人一天能生產(chǎn)70張長方形紙板或者100張正方形紙板，已知一個豎式紙盒與一個橫式紙盒配套，要求紙板車間一天生產(chǎn)的紙板由其它車間做成豎式紙盒與橫式紙盒配套，問紙板車間應(yīng)該如何安排工人生產(chǎn)兩種紙板？【解答】解：（1）設(shè)生產(chǎn)豎式無蓋紙盒x個，橫式無蓋紙盒y個，依題意得：，解得：．答：生產(chǎn)豎式無蓋紙盒40個，橫式無蓋紙盒60個．（2）設(shè)安排m名工人生產(chǎn)長方形紙板，則安排（78﹣m）名工人生產(chǎn)正方形紙板，依題意得：＝，解得：m＝60，∴78﹣m＝78﹣60＝18．答：紙板車間應(yīng)該安排60名工人生產(chǎn)長方形紙板，18名工人生產(chǎn)正方形紙板．【變式3-1】(2023春?通榆縣期末）如圖，用8塊相同的長方形地磚鑲嵌一個寬為60cm大長方形，求每塊地磚的長與寬．【解答】解：設(shè)每塊地磚的長為xcm，寬為ycm，依題意得：，解得：．答：每塊地磚的長為45cm，寬為15cm．【變式3-2】（2023春?鄧州市期中）為打贏“脫貧攻堅”戰(zhàn)，某地黨委、政府聯(lián)合某企業(yè)帶領(lǐng)農(nóng)戶脫貧致富，小紅家為該企業(yè)制作包裝盒，（其中A款包裝盒無蓋，B款包裝盒有蓋）．請你幫小紅家計算她家領(lǐng)取的360張長方形紙板和140張正方形紙板，做成A，B型盒子分別多少個能使紙板剛好全部用完？【解答】解：設(shè)做成A型盒子x個，B型盒子y個，由題意得：，解得：，答：做成A型盒子40個，B型盒子50個．【變式3-3】（2023秋?舞鋼市期末）工廠接到訂單生產(chǎn)如圖所示的巧克力包裝盒子，每個盒子由3個長方形側(cè)面和2個正三角形底面組成，倉庫有甲、乙兩種規(guī)格的紙板共2600張，其中甲種規(guī)格的紙板剛好可以裁出4個側(cè)面（如圖①），乙種規(guī)格的紙板可以裁出3個底面和2個側(cè)面（如圖②），裁剪后邊角料不再利用．（1）若裁剪出的側(cè)面和底面恰好全部用完，問兩種規(guī)格的紙板各有多少張？（2）一共能生產(chǎn)多少個巧克力包裝盒？【解答】解：（1）設(shè)甲種規(guī)格的紙板有x張，乙種規(guī)格的紙板有y張，依題意，得：，解得：．答：甲種規(guī)格的紙板有1000張，乙種規(guī)格的紙板有1600張．（2）1600×3÷2＝2400（個）．答：一共能生產(chǎn)2400個巧克力包裝盒．【類型四：球賽積分問題】【典例4】在一次籃球聯(lián)賽中，每場比賽都要分出勝負，每隊勝1場得2分，負1場得1分，某隊在12場比賽中得到16分．若設(shè)該隊勝的場數(shù)為x，負的場數(shù)為y，則可列方程組為（）A． B． C． D．答案：A【解答】解：∵該隊共比賽12場，∴x+y＝12；∵該隊共得到16分，∴2x+y＝16．∴所列方程組為．故選：A．【變式4】(2023春?潁州區(qū)期末）2022年2月6日女足亞洲杯決賽，在逆境中鏗鏘玫瑰沒有放棄，逆轉(zhuǎn)奪冠!某學校掀起一股足球熱，舉行了班級聯(lián)賽，某班開局11場保持不敗，積23分，按比賽規(guī)則，勝一場得3分，平一場得1分，則該班獲勝的場數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．7答案：C【解答】解：設(shè)該班獲勝的場數(shù)為x場，平場為y場，由題意得：，解得：，即該班獲勝的場數(shù)為6場，故選：C．【類型五：盈不足問題】【典例5】某校運動員按規(guī)定組數(shù)進行分組訓練，若每組6人，余4人；若每組8人，則缺3人；設(shè)運動員人數(shù)為x人，組數(shù)為y組，則可列出的方程組為（）A． B． C． D．答案：A【解答】解：根據(jù)題意得：．故選：A．【變式5-1】我國古代《孫子算經(jīng)》中有道題，原文是：“今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問人與車各幾何？”意思是：現(xiàn)有一些人坐車，如果每車坐三個人，則還剩余二輛車沒有人坐；如果每車坐二人，則有9人需要步行，問共有多少人？幾輛車？設(shè)共有x人，y輛車，則下列符合題意的方程組是（）A． B． C． D．答案：A【解答】解：依題意得：．故選：A．【變式5-2】(2023春?閔行區(qū)期末）某校學生去看電影，如果每輛汽車坐60人，則空出1輛汽車，如果每輛汽車坐45人，則15人沒有座位，那么學生人數(shù)和汽車輛數(shù)各是多少？（）A．230人、6輛 B．240人、5輛 C．240人、8輛 D．250人、7輛答案：B【解答】解：設(shè)一共x人，y輛汽車，根據(jù)題意得：，解得：．答：一共240人，5輛汽車．故選：B．【類型六：數(shù)字問題】【典例6】一個兩位數(shù)的十位上的數(shù)與個位上的數(shù)的和是5，如果這個兩位數(shù)減去27，則恰好等于十位上的數(shù)與個位上的數(shù)對調(diào)后組成的兩位數(shù)，求這個兩位數(shù)．【解答】解：設(shè)這個兩位數(shù)的十位上的數(shù)字為x，個位上的數(shù)字為y，由題意，得，解得：，∴這個兩位數(shù)為41．【變式1-1】一個兩位數(shù)，十位數(shù)字比個位數(shù)字大4；將這個兩位數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字對調(diào)后，比原數(shù)減少了36，求原兩位數(shù)．若設(shè)原兩位數(shù)十位數(shù)字是x，個位數(shù)字是y，則列出方程組為（）A． B． C． D．答案：C【解答】解：∵十位數(shù)字比個位數(shù)字大4，∴x﹣y＝4；∵將這個兩位數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字對調(diào)后，比原數(shù)減少了36，∴10x+y﹣36＝10y+x．∴依照題意，可列出方程組．故選：C．【變式6-1】一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)與個位上的數(shù)之和是7，如果把這個兩位數(shù)加上9，所得的兩位數(shù)的個位數(shù)字，十位數(shù)字恰好分別是原來兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字，則這個兩位數(shù)是（）A．34 B．43 C．25 D．52答案：A【解答】解：設(shè)個位數(shù)為x，十位數(shù)為y，由題意得，，解得：，則這個兩位數(shù)是為34．故選：A．【類型七：年齡問題】【典例7】根據(jù)小頭爸爸與大頭兒子的對話，求出大頭兒子現(xiàn)在的年齡．小頭爸爸：兒子，現(xiàn)在我的年齡比你大23歲．大頭兒子：5年后，您的年齡比我的年齡的2倍還多8歲．【解答】解：設(shè)大頭兒子現(xiàn)在的年齡是x歲，爸爸的年齡是y歲，由題意得：，解得：，答：大頭兒子現(xiàn)在的年齡為10歲．【變式7-1】7年前，母親的年齡是兒子的5倍；5年后，母親的年齡是兒子的2倍．求母子現(xiàn)在的年齡．設(shè)母親現(xiàn)年x歲，兒子現(xiàn)年y歲，列出的二元一次方程組是（）A． B． C． D．答案：A【解答】解：∵7年前，母親的年齡是兒子的5倍，∴x﹣7＝5（y﹣7）；∵5年后，母親的年齡是兒子的2倍，∴x+5＝2（y+50）．∴列出的二元一次方程組為．故選：A．【變式7-2】今年，小麗爺爺?shù)哪挲g是小麗的5倍．小麗發(fā)現(xiàn)，12年之后，爺爺?shù)哪挲g是小麗的3倍，設(shè)今年小麗、爺爺?shù)哪挲g分別是x歲、y歲，可列方程組（）A． B． C． D．答案：D【解答】解：設(shè)今年小麗、爺爺?shù)哪挲g分別是x歲、y歲，依題意有．故選：D．【變式7-3】5年前母親的年齡是女兒年齡的15倍，15年后，母親的年齡比女兒年齡的2倍多6歲．那么現(xiàn)在這對母女的年齡分別是多少？【解答】解：設(shè)母親現(xiàn)在的年齡是x歲，女兒現(xiàn)在的年齡是y歲，依題意得：，解得：．答：母親現(xiàn)在的年齡是35歲，女兒現(xiàn)在的年齡是7歲．【類型八：銷售問題】【典例8】(2023春?海淀區(qū)校級月考）列二元一次方程組解決問題．某水果店前后兩次進購和售賣某種水果，第一次進購100kg水果，第二次進購200kg水果，兩次進購的單價不同，并且每次售賣時銷售的單價都比該次進購的單價提高了50%．由于水果易壞，從進購到全部售完會有部分損耗．第一次進購的水果有10%的損耗，第二次進購的水果有20%的損耗．已知兩次進購的總價之和為1600元，兩次銷售共獲利500元，求兩次進購的單價各是多少元？【解答】解：設(shè)第一次進購水果的單價為x元，第二次進購水果的單價為y元，則第一次進購水果的售價為（1+50%）x＝1.5x（元），第二次進購水果的售價為（1+50%）y＝1.5y（元），由題意得：，解得：，答：第一次進購水果的單價為12元，第二次進購水果的單價為2元．【變式8-1】某商場購進商品后，加價40%作為銷售價．某日商場搞優(yōu)惠促銷，由顧客抽獎決定折扣．某顧客購買甲、乙兩種商品，分別抽到七折和八折，共付款499元，兩種商品原售價之和為590元，設(shè)兩種商品的進價分別為x元和y元，根據(jù)題意所列方程組為（）A． B． C． D．答案：C【解答】解：依題意得：，故選：C．【變式8-2】某商店購進A、B兩種商品共50件，已知這兩種商品的進貨單價與銷售單價如表所示，且將這兩種商品銷售完畢共可獲利660元．設(shè)商店購進A種商品x件，購進B種商品y件，則根據(jù)題意可列方程組．商品類別進貨單價（元/件）銷售單價（元/件）A3040B4055答案：【解答】解：設(shè)商店購進A種商品x件，購進B種商品y件，則根據(jù)題意可列方程組．故答案是：．【類型九：方案問題】【典例9】為傳承中華文化，學習六藝技能，某中學組織初二年級學生到孔學堂研學旅行．已知大型客車每輛能坐60人，中型客車每輛能坐45人，現(xiàn)該校有初二年級學生375人．根據(jù)題目提供的信息解決下列問題：（1）這次研學旅行需要大、中型客車各幾輛才能使每個學生上車都有座位，且每輛車正好坐滿？（2）若大型客車租金為1500元/輛，中型客車租金為1200元/輛，請幫該校設(shè)計一種最劃算的租車方案．【解答】解：（1）設(shè)需要大型客車x輛，中型客車y輛，根據(jù)題意，得：60x+45y＝375，當x＝1時，y＝7；當x＝2時，y＝；當x＝3時，y＝；當x＝4時，y＝3；當x＝5時，y＝；當x＝6時，y＝；∵要使每個學生上車都有座位，且每輛車正好坐滿，∴有兩種選擇，方案一：需要大型客車1輛，中型客車7輛；方案二：需要大型客車4輛，中型客車3輛．（2）方案一：1500×1+1200×7＝9900（元），方案二：1500×4+1200×3＝9600（元），∵9900＞9600，∴方案二更劃算．【變式9-1】疫情無情，人間有愛，為扎實做好復(fù)學工作，某市教育局做好防疫物資調(diào)配發(fā)放工作，租用A、B兩種型號的車給全市各個學校配送消毒液．已知用2輛A型車和1輛B型車裝滿貨物一次可運貨16噸；用1輛A型車和2輛B型車裝滿貨物一次可運貨20噸．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）1輛A型車和1輛B型車都裝滿貨物一次可分別運貨多少噸？（2）教育局現(xiàn)有24噸消毒液需要配送，若計劃同時租用A、B兩種型號車配送消毒液，恰好一次配送完，且每輛車都裝滿．求此時的租車方案．（3）在第（2）問條件下若A型車的租金為300元/輛，B型車的租金為520元/輛．請設(shè)計合適的租車方案，并求最少的租車費用．【解答】解：（1）設(shè)1輛A型車裝滿貨物一次可運貨x噸，1輛B型車裝滿貨物一次可運貨y噸，依題意得：，解得．答：1輛A型車裝滿貨物一次可運貨4噸，1輛B型車裝滿貨物一次可運貨8噸；（2）由題意得，4x+8y＝24，取正整數(shù)解為，，答：租車方案為A型車2輛，B型車2輛或A型車4輛，B型車1輛；（3）方案1的租車費為2×300+520×2＝1640（元），方案2的租車費為4×300+520×1＝1720（元），∵1720＞1640，∴方案1最省錢，即租用A型車2輛，B型車2輛，最少租車費用為1640元．【變式9-2】據(jù)永川區(qū)農(nóng)業(yè)信息中心介紹，去年永川生態(tài)枇杷園喜獲豐收，個體商販張杰準備租車把枇杷運往外地去銷售，經(jīng)租車公司負責人介紹，用2輛甲型車和3輛乙型車裝滿枇杷一次可運貨12噸；用3輛甲型車和4輛乙型車裝滿枇杷一次可運貨17噸．現(xiàn)有15噸枇杷，計劃同時租用甲型車m輛，乙型車n輛，一次運完，且恰好每輛車都裝滿枇杷，根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）1輛甲型車和1輛乙型車都裝滿枇杷一次可分別運貨多少噸？（2）若甲型車每輛需租金180元/次，乙型車每輛需租金200元/次，請選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費用．【解答】解：（1）設(shè)1輛甲型車裝滿枇杷一次可運貨x噸，1輛乙型車裝滿枇杷一次可運貨y噸，依題意，得：，解得：．答：1輛甲型車裝滿枇杷一次可運貨3噸，1輛乙型車裝滿枇杷一次可運貨2噸．（2）依題意，得：3m+2n＝15，∴m＝5﹣n．∵m，n均為正整數(shù)，∴當n＝3時，m＝3；當n＝6時，m＝1．∴共有2種租車方案，方案1：租用3輛甲型車，3輛乙型車；方案2：租用1輛甲型車，6輛乙型車．方案1所需租金180×3+200×3＝1140（元）；方案2所需租金180×1+200×6＝1380（元）．∵1140＜1380，∴租用3輛甲型