五講神秘的無窮與三次數(shù)學(xué)危機(jī)市公開課一等獎百校聯(lián)賽特等獎?wù)n件

第五講神秘?zé)o窮與三次數(shù)學(xué)危機(jī)

1第1頁目錄一、“有沒有限個房間”Hilbert旅館二、無限與有限區(qū)分和聯(lián)絡(luò)三、悖論（paradox）四、數(shù)學(xué)中無限在生活中反應(yīng)五、潛無限與實(shí)無限六．哲學(xué)中無限七、無窮與數(shù)學(xué)危機(jī)2第2頁

1.“客滿”后又來1位客人（“客滿”）

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅

2345┅k+1┅

空出了1號房間

一、“有沒有限個房間”Hilbert旅館3第3頁

2.客滿后又來了一個旅游團(tuán)，旅游團(tuán)中有沒有窮個客人

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅

2468┅2k┅

空下了奇數(shù)號房間

4第4頁3.客滿后又來了一萬個旅游團(tuán)，每個團(tuán)中都有沒有窮個客人1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅1000123000340004┅10001×k┅

給出了一萬個、又一萬個空房間

5第5頁是否有些人想提什么問題？6第6頁4.[思]該旅館客滿后又來了無窮個旅游團(tuán)，每個團(tuán)中都有沒有窮個客人，還能否安排？“無窮大！任何一個其它問題都不曾如此深刻地影響人類精神；任何一個其它觀點(diǎn)都不曾如此有效地激勵人類智力；然而，沒有任何概念比無窮大更需要澄清……”----Hilbert7第7頁

二、無限與有限區(qū)分和聯(lián)絡(luò)1.區(qū)分

1）在無限集中，“部分能夠等于全體”（這是無限本質(zhì)），而在有限情況下，部分總是小于全體。8第8頁

當(dāng)初伽利略悖論，就是因?yàn)闆]有看到“無限”這一個特點(diǎn)而產(chǎn)生。1234567891011…n…?????????????149162536496481100121…n2…

[該兩集合：有一一對應(yīng)，于是推出兩集合元素個數(shù)相等；但由“部分小于全體”，又推出兩集合元素個數(shù)不相等。這就形成悖論。]9第9頁

[思]：結(jié)構(gòu)一個“部分到整體一一對應(yīng)”：從[0，1）→[0，+∞）。10第10頁

2.）

“有限”時成立許多命題，對“無限”不再成立

（1）實(shí)數(shù)加法結(jié)合律在“有限”情況下，加法結(jié)合律成立:(a+b)+c=a+(b+c)，a，b，c

11第11頁

在“無限”情況下，加法結(jié)合律不再成立。如12第12頁

（2）有限級數(shù)一定有“和”。√

是個確定數(shù)無窮級數(shù)一定有“和”?！?/p>

則不是個確定數(shù)。稱為該級數(shù)“發(fā)散”。反之稱為“收斂”。13第13頁

2.聯(lián)絡(luò)

在“有限”與“無限”間建立聯(lián)絡(luò)伎倆，往往很主要。

1）數(shù)學(xué)歸納法

經(jīng)過有限步驟，證實(shí)了命題對無限個自然數(shù)均成立。

2）極限

經(jīng)過有限方法，描寫無限過程。

如：；自然數(shù)N，都，使時，。

14第14頁

0.99999‥‥‥=1?

3）無窮級數(shù)

經(jīng)過有限步驟，求出無限次運(yùn)算結(jié)果，如

4）遞推公式,a1=*有一個著名例子：兔子永遠(yuǎn)追不上烏龜，箭永遠(yuǎn)射不上靶子。結(jié)果即使可笑，但在邏輯上卻耐人尋味，這就是著名二分法悖論。

15第15頁三、悖論（paradox）悖論（paradox）詳細(xì)是指：由一個被認(rèn)可是真命題為前提，設(shè)為B，進(jìn)行正確邏輯推理后，得出一個與前提互為矛盾命題結(jié)論非B；反之，以非B為前提，亦可推得B。那么命題B就是一個悖論。1．說謊者悖論：最早見《新約全書·提多書》

“我正在說謊”16第16頁2.“外祖母悖論”，我會穿梭時空，回到過去，把我自己外祖母殺了。我外祖母沒了，我媽就沒了，我也就沒了。而我沒了，就沒有些人殺我外祖母，我外祖母就不會死，那我又有了。而有了我，外祖母就沒了，我也就沒了……這就是悖論，自己與自己就有矛盾。17第17頁3.“說謊者循環(huán)”：

A說：“下面是句謊話?！?/p>

B說：“上面是句真話?！?8第18頁

4、芝諾悖論---由無限引出

芝諾（前490？—前430？）是（南意大利）愛利亞學(xué)派創(chuàng)始人巴門尼德學(xué)生。他企圖證實(shí)該學(xué)派學(xué)說：“多”和“變”是虛幻，不可分“一”及“靜止存在”才是唯一真實(shí)；運(yùn)動只是假象。于是他設(shè)計(jì)了四個例證，人稱“芝諾悖論”。這些悖論是從哲學(xué)角度提出。我們從數(shù)學(xué)角度看其中一個悖論。

19第19頁1）兩分法向著一個目標(biāo)地運(yùn)動物體，首先必須經(jīng)過旅程中點(diǎn)；然而要經(jīng)過這點(diǎn)，又必須先經(jīng)過旅程四分之一點(diǎn)；要過四分之一點(diǎn)又必須首先經(jīng)過八分之一點(diǎn)等等，如這類推，以至無窮。結(jié)論是：無窮是不可窮盡過程，運(yùn)動永遠(yuǎn)不可能開始。20第20頁

2）阿基里斯(Achilles)悖論：阿基里斯追不上烏龜。

21第21頁3）飛矢不動悖論

一支飛行箭是靜止：因?yàn)槊恳粫r刻這支箭都有其確定位置因而是靜止，所以箭就不能處于運(yùn)動狀態(tài)。22第22頁4）“操場或游行隊(duì)伍”A、B兩件物體以等速向相反方向運(yùn)動。從靜止C看來，比如說，A、B都在1小時內(nèi)移動了2公里；可是，從A看來，則B在1小時內(nèi)就移動了4公里。因?yàn)锽保持等速移動，所以移動2公里時間應(yīng)該是移動4公里時間二分之一。因而二分之一時間等于兩倍時間。23第23頁癥結(jié)：無限段長度和，可能是有限；無限段時間和，也可能是有限。

芝諾悖論意義：

1）促進(jìn)了嚴(yán)格、求證數(shù)學(xué)發(fā)展2）較早“反證法”及“無限”思想3）尖銳地提出離散與連續(xù)矛盾：空間和時間有沒有最小單位？24第24頁

芝諾前兩個悖論是反對“空間和時間是連續(xù)”，后兩個悖論則是反對“空間和時間是離散”；第一、第三反對絕對運(yùn)動，而第二、第四，反對相對運(yùn)動。在芝諾看來，這兩種理論都有毛??；所以，“運(yùn)動只是假象，不動不變才是真實(shí)”。芝諾哲學(xué)觀點(diǎn)即使不對，不過，他如此尖銳地提出了空間和時間是連續(xù)還是離散問題，引發(fā)人們長久討論，促進(jìn)了認(rèn)識發(fā)展，不能不說是巨大貢獻(xiàn)。25第25頁/f/5054067.html從詫異到思索 ——數(shù)學(xué)悖論奇景《科學(xué)美國人》雜志社馬丁?加德納26第26頁

四、數(shù)學(xué)中無限在生活中反應(yīng)

1）大煙囪是圓：每一塊磚都是直（整體看又是圓）2）銼刀銼一個光滑零件：每一銼銼下去都是直（許多刀合在一起效果又是光滑）27第27頁

3）

不規(guī)則圖形面積：正方形面積，長方形面積三角形面積，多邊形面積，圓面積。規(guī)則圖形面積→不規(guī)則圖形面積？法Ⅰ.用方格套（想像成透明）。方格越小，所得面積越準(zhǔn)

28第28頁

法Ⅱ.首先轉(zhuǎn)化成求曲邊梯形面積，（不規(guī)則圖形→若干個曲邊梯形），再設(shè)法求曲邊梯形面積：劃分，求和，矩形面積之和~曲邊梯形面積；越小，就越準(zhǔn)確；再取極限，就得到曲邊梯形面積。29第29頁

五、潛無限與實(shí)無限1．潛無限與實(shí)無限簡史

潛無限是指把無限看成一個永無終止過程，認(rèn)為無限只存在于人們思維中，只是說話一個方式，不是一個實(shí)體。30第30頁從古希臘到康托以前大多數(shù)哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家都持潛無限觀點(diǎn)他們認(rèn)為“正整數(shù)集是無限”來自我們不能窮舉全部正整數(shù)。比如，能夠想象一個個正整數(shù)寫在一張張小紙條上，從1，2，3，…寫起，每寫一張，就把該紙條裝進(jìn)一個大袋子里，那么，這一過程將永無終止。所以，把全體正整數(shù)袋子看作一個實(shí)體是不可能，它只能存在于人們思維里。亞里士多德只認(rèn)可潛無限：不認(rèn)可直線式由點(diǎn)組成高斯反對實(shí)無限：反對把無窮量作為現(xiàn)實(shí)實(shí)體，認(rèn)為無限只不過是一個說話方式31第31頁康托集合論與實(shí)無限但康托不一樣意這一觀點(diǎn)，他很愿意把這個裝有全部正整數(shù)袋子看作一個完整實(shí)體。這就是實(shí)無限觀點(diǎn)?？低泄ぷ魇莿潟r代，對當(dāng)代數(shù)學(xué)產(chǎn)生了巨大影響，但當(dāng)初，康托老師克羅內(nèi)克爾，卻激烈反對康托觀點(diǎn)。所以康托當(dāng)初處境和待遇都不太好。因?yàn)榭低袪枱o窮學(xué)說從根本上否定了“整體大于部分”觀念，而且他在無限王國走得如此遠(yuǎn)，以至于同時代數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家都不能了解他觀點(diǎn)，懼怕集合論。有些人說，康托爾集合論是一個“疾病”，康托爾概念是“霧中之霧”，甚至說康托爾是“瘋子”。來自數(shù)學(xué)權(quán)威們巨大精神壓力終于摧垮了康托爾，使他心力交瘁，患了精神分裂癥，被送進(jìn)精神病醫(yī)院。191月6日，康托爾在一家精神病院逝世。康托無窮集合論也造成了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。32第32頁康托GeorgFerdinandPhilipCantor(1845～1918)德國數(shù)學(xué)家，集合論創(chuàng)始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今蘇聯(lián)列寧格勒），191月6日病逝于哈雷。1862年17歲時入瑞士蘇黎世大學(xué),翌年轉(zhuǎn)入柏林大學(xué),主修數(shù)學(xué)，從學(xué)于E.E.庫默爾、K.（T.W.）魏爾斯特拉斯。1866年曾去格丁根學(xué)習(xí)一學(xué)期。1867年在庫默爾指導(dǎo)下以數(shù)論方面論文獲博士學(xué)位。后即在該大學(xué)任講師，1872年任副教授，1879年任教授。

33第33頁實(shí)無限、潛無限只是一個硬幣兩個面兩種無窮思想經(jīng)歷了此消彼長，兩種無限在當(dāng)代數(shù)學(xué)中都是有用武之地。微積分采取潛無限，非標(biāo)準(zhǔn)分析采取實(shí)無限無窮本身是一個矛盾體，既是一個需無窮迫近過程，也是一個可供研究實(shí)體Hilbert認(rèn)為：無窮是一個永恒之謎，無窮是人類心情寧靜最大敵人34第34頁

六．哲學(xué)中無限

1．哲學(xué)對“無限”興趣

哲學(xué)是研究整個世界科學(xué)。自從提出“無限”概念，就引發(fā)了哲學(xué)家廣泛關(guān)注和研究。現(xiàn)在我們知道哲學(xué)中有下邊一些命題：

35第35頁

物質(zhì)是無限；時間與空間是無限；物質(zhì)運(yùn)動形式是無限。一個人生命是有限；一個人對客觀世界認(rèn)識是有限。36第36頁無限可分與原子論很多思想家都研究過無窮大。古希臘哲學(xué)家們就一條線段(或者就任何數(shù)量而言)，是不是可無限地被分割，或者說是不是能夠最終得到一個不可分割點(diǎn)(即“原子”)等問題，展開了無休止?fàn)幷?。他們?dāng)代追隨者——物理學(xué)家們今天依然還在設(shè)法處理同一個問題，他們使用巨大粒子加速器尋找“基本粒子”——那些組成整個宇宙基本磚塊。天文學(xué)家一直在從另一個極端——無限遼闊——尺度上思索著無窮大問題。我們宇宙真像它所展現(xiàn)在晴朗黑夜那樣無窮無盡，或是它有一個邊界(在這個邊界之外什么東西也不存在)嗎？有限宇宙可能性似乎是對我們常識一個挑戰(zhàn)。我們能夠在任何方向上一直走下去而永遠(yuǎn)也到不了“邊”，這個事實(shí)不是很清楚嗎？不過我們將不難看出，當(dāng)研究無窮大時，“常識”是一個非常差勁向?qū)В?7第37頁

2．?dāng)?shù)學(xué)對“無限”觀點(diǎn)貢獻(xiàn)

數(shù)學(xué)則更嚴(yán)密地研究有限與無限關(guān)系，大大提升了人類認(rèn)識無限能力。在有限環(huán)境中生存有限人類，取得把握無限能力和技巧，那是人類智慧；在取得這些結(jié)果過程中表達(dá)出來奮斗與熱情，那是人類情感；對無限認(rèn)識結(jié)果，則是人類智慧與熱情共同結(jié)晶。一個人，若把自己智慧與熱情融入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)研究之中，就會產(chǎn)生一個尤其感受。假如這么，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不但不是難事，而且會充滿樂趣。38第38頁

[搶答題]結(jié)構(gòu)一個無窮多個運(yùn)動員百米賽跑，但結(jié)果沒有第一名例子。（要求表示出每一個運(yùn)動員百米成績，且要求靠近實(shí)際：不能跑進(jìn)9秒）39第39頁解答運(yùn)動員1234…百米成績10秒9.9秒9.89秒9.889秒…另解…40第40頁七、無窮與數(shù)學(xué)危機(jī)數(shù)學(xué)史上有過三次數(shù)學(xué)危機(jī)，它們都與無窮相關(guān)，也與人們對無窮認(rèn)識相關(guān)。我們已經(jīng)討論過第一次與第二次數(shù)學(xué)危機(jī)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)要害是不認(rèn)識無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)41第41頁

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)要害，是極限理論邏輯基礎(chǔ)不完善，而極限正是“有窮過渡到無窮”主要伎倆。貝克萊責(zé)難，也集中在“無窮小量”上。因?yàn)闊o窮與有窮有本質(zhì)區(qū)分，所以，極限嚴(yán)格定義，極限存在性，無窮級數(shù)收斂性，這么一些理論問題就顯得尤其主要。42第42頁第三次數(shù)學(xué)危機(jī)1．“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”曙光——集合論到19世紀(jì)，數(shù)學(xué)從各方面走向成熟。非歐幾何出現(xiàn)使幾何理論愈加擴(kuò)展和完善；實(shí)數(shù)理論（和極限理論）出現(xiàn)使微積分有了牢靠基礎(chǔ)；群理論、算術(shù)公理出現(xiàn)使算術(shù)、代數(shù)邏輯基礎(chǔ)更為明晰，等等。人們水到渠成地思索：整個數(shù)學(xué)基礎(chǔ)在哪里？正在這時，19世紀(jì)末，集合論出現(xiàn)了。人們感覺到，集合論有可能成為整個數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。43第43頁其理由是：算術(shù)以整數(shù)、分?jǐn)?shù)等為對象，微積分以變數(shù)、函數(shù)為對象，幾何以點(diǎn)、線、面及其組成圖形為對象。同時，用集合論語言，算術(shù)對象可說成是“以整數(shù)、分?jǐn)?shù)等組成集合”；微積分對象可說成是“以函數(shù)等組成集合”；幾何對象可說成是“以點(diǎn)、線、面等組成集合”。這么一來，都是以集合為對象了。集合成了更基本概念。44第44頁于是，集合論似乎給數(shù)學(xué)家?guī)砹耸锕猓嚎赡軙粍谟酪莸財(cái)[脫“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”危機(jī)。盡管集合論本身相容性還未證實(shí)，但許多人認(rèn)為這只是時間問題。龐加萊甚至在19巴黎國際數(shù)學(xué)家大會上宣稱：“………借助集合論概念，我們能夠建造整個數(shù)學(xué)大廈……今天，我們能夠說絕正確嚴(yán)格性已經(jīng)到達(dá)了……”45第45頁

2．算術(shù)集合論基礎(chǔ)1）人們按以下邏輯次序把全部數(shù)學(xué)基礎(chǔ)歸結(jié)為算術(shù)，即歸結(jié)為非負(fù)整數(shù)，即自然數(shù)集合加上0——現(xiàn)在我國中小學(xué)就把這一集合稱為自然數(shù)集合。（算術(shù)）非負(fù)整數(shù)n→有理數(shù)實(shí)數(shù)復(fù)數(shù)圖形46第46頁

所以，全部數(shù)學(xué)似乎都可歸結(jié)為非負(fù)整數(shù)了，或者說，全部數(shù)學(xué)都能夠歸結(jié)為算術(shù)了。這么，假如能把算術(shù)建立在集合論基礎(chǔ)上，就相當(dāng)于處理了整個“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”問題。法國數(shù)學(xué)家、數(shù)理邏輯先驅(qū)弗雷格（G.Frege,1848—1925）就做了這么工作。他寫了一本名叫《算術(shù)基礎(chǔ)》書。47第47頁弗雷格《算術(shù)基礎(chǔ)》48第48頁

2)弗雷格《算術(shù)基礎(chǔ)》為了使算術(shù)建立在集合論基礎(chǔ)上，全部非負(fù)整數(shù)，都需要用集合論觀點(diǎn)和語言重新定義。首先從0說起。0是什么？應(yīng)該先回答0是什么，然后才有表示“0”符號。49第49頁

為此，先定義“空集”。空集是“不含元素集合”。比如，“方程在實(shí)數(shù)集中根集合”就是一個空集，再例如“由最大正整數(shù)組成集合”也是一個空集。50第50頁

全部空集放在一起，作成一個集合集合，（為說話簡單我們把“集合集合”稱作類），這個類，就能夠給它一個符號：0，中國人念“l(fā)ing”，英國人念“Zero”。

空集是空，但由全部空集組成類，它本身卻是一個元素了，即，0是一個元素了。由它再作成一個集合{0}，則不是空集了。51第51頁

弗雷格再定義兩個集合間雙射：既是滿射又是單射映射叫作雙射，也稱可逆映射；通俗地說，就是存在逆映射映射。它能夠在兩個集合間往返地映射，所以普通稱為“雙射”。弗雷格再定義兩個集合“等價”：，能夠在其間建立雙射兩個集合A、B稱為“等價”。52第52頁下邊能夠定義“1”了。把與集合{0}等價全部集合放在一起，作成一個集合集合。這個類，就能夠給它一個符號：1。再定義“2”。把與集合{0，1}等價全部集合放在一起，作成一個集合集合。這個類，就叫：2。然后，把與{0，1，2}等價集合作成類，叫：3。53第53頁

普通地，在有了0，1，2，…，n定義后，就把全部與集合{0，1，2，…，n}等價集合放在一起，作成集合集合，這么類，定義為：n+1。這種定義概念方法，叫作“歸納定義”方法。54第54頁

這么，弗雷格就從空集出發(fā)，而僅僅用到集合及集合等價概念，把全部非負(fù)整數(shù)定義出來了。于是依據(jù)上邊說“可以把全部數(shù)學(xué)歸結(jié)為非負(fù)整數(shù)”，就能夠說，全部數(shù)學(xué)能夠建立在集合論基礎(chǔ)上了。55第55頁

3．羅素“集合論悖論”引發(fā)危機(jī)1）悖論引發(fā)震憾和危機(jī)正當(dāng)弗雷格即將出版他《算術(shù)基礎(chǔ)》一書時候，羅素集合論悖論出來了。這也是龐加萊宣告“完全嚴(yán)格數(shù)學(xué)已經(jīng)建立起來！”之后剛才兩年，即1902年。56第56頁伯特蘭·羅素（1872-1970）Russell,BertrandArthurWilliam(ThirdEarlRussell)

出生年月：1872-1970國籍：英國

學(xué)科成就：英國著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家，分析學(xué)主要創(chuàng)始人，世界和平運(yùn)動提倡者和組織者。

所獲獎項(xiàng)：1950年諾貝爾文學(xué)獎。

羅素57第57頁

集合論中竟然有邏輯上矛盾！傾刻之間，算術(shù)基礎(chǔ)動搖了，整個數(shù)學(xué)基礎(chǔ)似乎也動搖了。這一動搖所帶來震憾是空前。許多原先為集合論興高采烈數(shù)學(xué)家發(fā)出哀嘆：我們數(shù)學(xué)就是建立在這么基礎(chǔ)上嗎？

羅素悖論引發(fā)危機(jī)，就稱為第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。58第58頁

羅素把他發(fā)覺悖論寫信告訴弗雷格。弗雷格在他《算術(shù)基礎(chǔ)》一書末尾無可奈何地寫道：“一個科學(xué)家碰到最不愉快事莫過于，當(dāng)他工作完成時，基礎(chǔ)崩塌了。當(dāng)本書即將印刷時，羅素先生一封信就使我陷入這么尷尬境地?！?9第59頁狄德金(Dedekind)原來打算把《連續(xù)性及無理數(shù)》第3版付印，這時也把稿件抽了回來。發(fā)覺拓?fù)鋵W(xué)中“不動點(diǎn)原理”布勞恩(Brouwer))也認(rèn)為自己過去做工作都是“廢話”，聲稱要放棄不動點(diǎn)原理。60第60頁

2）羅素悖論在敘述羅素悖論之前,我們先注意到下邊事實(shí)：一個集合或者是它本身成員(元素),或者不是它本身組員(元素)，二者必居其一。羅素把前者稱為“異常集合”，把后者稱為“正常集合”。61第61頁

比如,全部抽象概念集合，本身還是抽象概念。即，它是這一集合本身元素，所以是“異常集合”。不過，全部些人集合，不是人，即，它不是這一集合本身元素，所以是“正常集合”。再比如，全部集合集合，本身還是集合，即，它是這一集合本身元素，所以是“異常集合”。不過，全部星星集合不是星星，即，它不是這一集合本身元素，所以是“正常集合”。62第62頁羅素當(dāng)年例子“異常集合”1：不多于29個字母表示句子所組成集合“異常集合”2：不是麻雀東西所組成集合63第63頁

羅素悖論是：以表示“是其本身組員全部集合集合”（全部異常集合集合），而以表示“不是它本身組員全部集合集合”（全部正常集合集合），于是任一集合或者屬于，或者屬于，二者必居其一，且只居其一。然后問：集合是否是它本身組員？（集合是否是異常集合？）64第64頁

假如是它本身組員，則按及定義，是組員，而不是組員，即不是它本身組員，這與假設(shè)矛盾。即

假如不是它本身組員，則按及定義，是組員，而不是組員，即是它本身組員，這又與假設(shè)矛盾。即

悖論在于：不論哪一個情況，都得出矛盾。65第65頁

羅素悖論通俗化——“剪發(fā)師悖論”：某村一個剪發(fā)師宣稱，他給且只給村里自己不給自己刮臉人刮臉。問：剪發(fā)師是否給自己刮臉？假如他給自己刮臉，他就屬于自己給自己刮臉人，按宣稱標(biāo)準(zhǔn)，剪發(fā)師不應(yīng)該給他自己刮臉，這與假設(shè)矛盾。假如他不給自己刮臉，他就屬于自己不給自己刮臉，按宣稱標(biāo)準(zhǔn)，剪發(fā)師應(yīng)該給他自己刮臉，這又與假設(shè)矛盾。66第66頁4．危機(jī)消除

危機(jī)出現(xiàn)以后，包含羅素本人在內(nèi)許多數(shù)學(xué)家作了巨大努力來消除悖論。當(dāng)初消除悖論選擇有兩種，一個是拋棄集合論，再尋找新理論基礎(chǔ)，另一個是分析悖論產(chǎn)生原因，改造集合論，探討消除悖論可能。人們選擇了后一條路，希望在消除悖論同時，盡可能把原有理論中有價值東西保留下來。67第67頁

這種選擇理由是，原有康托集合論即使簡明，但并不是建立在明晰公理基礎(chǔ)之上，這就留下了處理問題余地。羅素等人分析后認(rèn)為，這些悖論共同特征（悖論實(shí)質(zhì)）是“自我指謂”。即，一個待定義概念，用了包含該概念在內(nèi)一些概念來定義，造成惡性循環(huán)。比如，悖論中定義“不屬于本身集合”時，包括到“本身”這個待定義對象。（再如“本句話是七個字”）68第68頁為了消除悖論，數(shù)學(xué)家們要將康托“樸素集合論”加以公理化；而且要求構(gòu)造集合標(biāo)準(zhǔn)，比如，不允許出現(xiàn)“全部集合集合”、“一切屬于本身集合”這樣集合。危機(jī)處理69第69頁“非斷言”定義方式上面每一個悖論都包括一個集合S和S一個組員M(既M是靠S定義)。這么一個定義被稱作是“非斷言”，而非斷言定義在某種意義上是循環(huán)。比如，考慮羅素剪發(fā)師悖論：用M標(biāo)志剪發(fā)師，用S標(biāo)示全部組員集合，則M被非斷言地定義為“S給而且只給不自己刮胡子人中刮胡子那個組員”。此定義循環(huán)性質(zhì)是顯然——剪發(fā)師定義包括全部組員，而且剪發(fā)師本身就是這里組員。所以，不允許有非斷言定義便可能是一個處理集合論己知悖論方法。然而，對這種處理方法，有一個嚴(yán)重責(zé)難，即包含非斷言定義那幾部分?jǐn)?shù)學(xué)是數(shù)學(xué)家很不愿丟棄。70第70頁19，策梅洛（E.F.F.Zermelo,1871—1953）提出了由7條公理組成集合論體系，稱為Z-系統(tǒng)。1922年，弗蘭克（A.A.Fraenkel）又加進(jìn)一條公理，還把公理用符號邏輯表示出來，形成了集合論ZF-系統(tǒng)。再以后，還有改進(jìn)ZFC-系統(tǒng)。這么，大致完成了由樸素集合論到公理集合論發(fā)展過程，悖論消除了。71第71頁當(dāng)代公理集合論大堆公理，簡直難說孰真孰假，可是又不能把它們都消除掉，它們跟整個數(shù)學(xué)是血肉相連。不過，新系統(tǒng)相容性還未證實(shí)。所以，龐加萊在策梅洛公理化集合論出來后很快，形象地評論道：“為了防狼，羊群已經(jīng)用籬笆圈起來了，但卻不知道圈內(nèi)有沒有狼”。數(shù)學(xué)確實(shí)定性在一步一步地喪失。這就是說，第三次數(shù)學(xué)危機(jī)處理，并不是完全令人滿意。第三次危機(jī)表面上處理了實(shí)質(zhì)上更深刻地以其它形式延續(xù)72第72頁5．無限集合也有“大小”