上海海事大學(xué)高數(shù)課件2數(shù)列的極限

數(shù)列的極限概念數(shù)列的極限是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念，它描述了數(shù)列中的項(xiàng)在趨近于無(wú)窮大時(shí)，它們的值所趨向的特定值。數(shù)列極限的定義是：當(dāng)一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)在趨近于無(wú)窮大時(shí)，它們的值越來(lái)越接近一個(gè)特定的值，那么這個(gè)值就被稱為該數(shù)列的極限。ppbypptppt數(shù)列極限的性質(zhì)1唯一性一個(gè)數(shù)列的極限如果存在，那么它一定是唯一的2有界性收斂數(shù)列一定是有界的3保號(hào)性如果數(shù)列從某項(xiàng)起都大于（小于）零，那么它的極限也大于（小于）零4單調(diào)性單調(diào)有界數(shù)列一定收斂數(shù)列極限的性質(zhì)描述了收斂數(shù)列的一些重要特征。這些性質(zhì)可以用來(lái)判斷數(shù)列是否收斂，以及計(jì)算數(shù)列的極限。例如，唯一性表明一個(gè)數(shù)列最多只有一個(gè)極限。有界性表明收斂數(shù)列的項(xiàng)不會(huì)無(wú)限制地增長(zhǎng)或下降。數(shù)列極限的計(jì)算方法1直接法根據(jù)定義求極限2等價(jià)無(wú)窮小代換將等價(jià)無(wú)窮小代入表達(dá)式3夾逼定理利用夾逼定理求極限4利用極限的性質(zhì)利用極限的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)直接法是最基本的方法，根據(jù)極限的定義直接計(jì)算極限值。等價(jià)無(wú)窮小代換可以簡(jiǎn)化計(jì)算，將等價(jià)無(wú)窮小代入表達(dá)式，求得極限。夾逼定理適用于求一些復(fù)雜函數(shù)的極限，利用夾逼定理求得極限值。利用極限的性質(zhì)可以簡(jiǎn)化計(jì)算，例如利用極限的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，求得極限值。無(wú)窮大與無(wú)窮小無(wú)窮大無(wú)窮大表示一個(gè)比任何有限數(shù)都大的量。負(fù)無(wú)窮大負(fù)無(wú)窮大表示一個(gè)比任何有限數(shù)都小的量。無(wú)窮小無(wú)窮小表示一個(gè)比任何有限數(shù)都小的量，并且趨于零。單調(diào)數(shù)列的極限1單調(diào)遞增如果數(shù)列的每一項(xiàng)都大于等于前一項(xiàng)，則該數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列。2單調(diào)遞減如果數(shù)列的每一項(xiàng)都小于等于前一項(xiàng)，則該數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列。3單調(diào)有界如果一個(gè)單調(diào)數(shù)列既有上界又有下界，則該數(shù)列一定收斂。夾逼定理定義如果兩個(gè)數(shù)列{an}和{bn}同時(shí)收斂于同一個(gè)極限A，且從某項(xiàng)起，始終有an≤cn≤bn，那么數(shù)列{cn}也收斂于A。應(yīng)用夾逼定理可以用來(lái)求一些復(fù)雜函數(shù)的極限，特別是當(dāng)直接求極限比較困難時(shí)。例子例如，我們可以用夾逼定理來(lái)求sinx/x在x趨于0時(shí)的極限。等價(jià)無(wú)窮小1定義當(dāng)兩個(gè)無(wú)窮小量之比的極限為1時(shí)，則稱這兩個(gè)無(wú)窮小量等價(jià)。2應(yīng)用等價(jià)無(wú)窮小代換可以簡(jiǎn)化極限的計(jì)算，將等價(jià)無(wú)窮小代入表達(dá)式，求得極限。3例子例如，當(dāng)x趨于0時(shí)，sinx與x等價(jià)。極限運(yùn)算法則1和法則極限的和等于極限的和2差法則極限的差等于極限的差3積法則極限的積等于極限的積4商法則極限的商等于極限的商極限運(yùn)算法則是一系列用于計(jì)算數(shù)列或函數(shù)極限的規(guī)則。這些規(guī)則可以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，并幫助我們理解極限的概念。函數(shù)的極限定義函數(shù)極限描述函數(shù)在自變量趨近于某一點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值所趨向的特定值。類型函數(shù)極限主要分為左右極限和極限。應(yīng)用函數(shù)極限廣泛應(yīng)用于微積分、高等數(shù)學(xué)和物理等領(lǐng)域。函數(shù)極限的性質(zhì)1唯一性一個(gè)函數(shù)的極限，如果存在，那么它是唯一的。2有界性如果函數(shù)在某一點(diǎn)的極限存在，那么該函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)是有界的。3保號(hào)性如果函數(shù)在某一點(diǎn)的極限大于零，那么該函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)也大于零。4夾逼定理如果兩個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的極限都等于同一個(gè)值，并且這兩個(gè)函數(shù)在該點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)始終夾著一個(gè)第三個(gè)函數(shù)，那么這個(gè)第三個(gè)函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)的極限也等于這兩個(gè)函數(shù)的極限值。函數(shù)極限的計(jì)算方法直接代入法如果函數(shù)在該點(diǎn)的值存在，則直接將該點(diǎn)的值代入函數(shù)即可得到極限值。等價(jià)無(wú)窮小代換法當(dāng)自變量趨近于某個(gè)點(diǎn)時(shí)，可以用等價(jià)無(wú)窮小替換原函數(shù)，簡(jiǎn)化計(jì)算。洛必達(dá)法則當(dāng)函數(shù)的極限為0/0或∞/∞型不定式時(shí)，可以用洛必達(dá)法則求極限。夾逼定理如果兩個(gè)函數(shù)的極限都等于同一個(gè)值，并且這兩個(gè)函數(shù)在該點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)始終夾著一個(gè)第三個(gè)函數(shù)，那么這個(gè)第三個(gè)函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)的極限也等于這兩個(gè)函數(shù)的極限值。連續(xù)函數(shù)的定義1定義如果函數(shù)在定義域內(nèi)的某一點(diǎn)的極限等于該點(diǎn)的函數(shù)值，則稱該函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。2幾何意義函數(shù)在該點(diǎn)的圖像沒(méi)有斷裂或跳躍。3重要性連續(xù)函數(shù)是微積分中的重要概念，是許多數(shù)學(xué)定理的基礎(chǔ)。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1中間值定理如果一個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)≠f(b)，則對(duì)于介于f(a)和f(b)之間的任意值y，函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)至少存在一點(diǎn)x，使得f(x)=y。2介值定理如果一個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)≠f(b)，則對(duì)于介于f(a)和f(b)之間的任意值y，函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)至少存在一點(diǎn)x，使得f(x)=y。3最大值最小值定理如果一個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則它在該區(qū)間上必取得最大值和最小值。連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算1和兩個(gè)連續(xù)函數(shù)的和也是連續(xù)函數(shù)2差兩個(gè)連續(xù)函數(shù)的差也是連續(xù)函數(shù)3積兩個(gè)連續(xù)函數(shù)的積也是連續(xù)函數(shù)4商兩個(gè)連續(xù)函數(shù)的商也是連續(xù)函數(shù)，分母不為零連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算可以得到新的連續(xù)函數(shù)，這些運(yùn)算可以用來(lái)構(gòu)建更復(fù)雜的函數(shù)，從而解決更復(fù)雜的問(wèn)題。間斷點(diǎn)的分類1第一類間斷點(diǎn)函數(shù)左右極限都存在且相等，但函數(shù)值不存在或與極限值不相等2第二類間斷點(diǎn)函數(shù)左右極限至少有一個(gè)不存在，或左右極限存在但不相等3可去間斷點(diǎn)函數(shù)左右極限相等，但函數(shù)值不存在，可以通過(guò)重新定義函數(shù)值使其連續(xù)4跳躍間斷點(diǎn)函數(shù)左右極限存在但不相等，函數(shù)值可能存在，但無(wú)法通過(guò)重新定義函數(shù)值使其連續(xù)間斷點(diǎn)是函數(shù)圖像上出現(xiàn)斷裂或跳躍的地方，可以分為第一類和第二類間斷點(diǎn)。初等函數(shù)的連續(xù)性多項(xiàng)式函數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)在其定義域上處處連續(xù)有理函數(shù)有理函數(shù)在其分母不為零的點(diǎn)處連續(xù)三角函數(shù)三角函數(shù)在其定義域上處處連續(xù)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)在其定義域上處處連續(xù)對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)在其定義域上處處連續(xù)復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性1定義如果內(nèi)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，且外函數(shù)在其對(duì)應(yīng)值處連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)在該點(diǎn)也連續(xù)2證明可以通過(guò)極限的性質(zhì)證明復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性3應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性在微積分中廣泛應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性是數(shù)學(xué)分析中的重要概念，它是函數(shù)連續(xù)性理論的重要組成部分。反函數(shù)的連續(xù)性1單調(diào)性如果一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是單調(diào)的，那么它的反函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上也是單調(diào)的，反函數(shù)的單調(diào)性與原函數(shù)相同。2連續(xù)性如果一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是連續(xù)的，且它的反函數(shù)存在，那么它的反函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上也是連續(xù)的。3證明可以通過(guò)極限的性質(zhì)證明反函數(shù)的連續(xù)性，利用反函數(shù)的定義和極限的性質(zhì)來(lái)推導(dǎo)反函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上的連續(xù)性。隱函數(shù)的連續(xù)性定義如果一個(gè)隱函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)處滿足連續(xù)性條件，則稱該隱函數(shù)在該點(diǎn)處連續(xù)。連續(xù)性條件隱函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)處連續(xù)的條件是，該隱函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)。判斷方法可以通過(guò)求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷隱函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)處是否連續(xù)。一致連續(xù)性1定義如果對(duì)于任意小的正數(shù)ε，存在一個(gè)正數(shù)δ，使得當(dāng)|x-y|<δ時(shí)，就有|f(x)-f(y)|<ε。2意義一致連續(xù)性表示函數(shù)在整個(gè)定義域上“連續(xù)性程度一致”。3應(yīng)用一致連續(xù)性在函數(shù)逼近、積分理論等方面有重要應(yīng)用。一致連續(xù)性是函數(shù)連續(xù)性的一種更強(qiáng)的性質(zhì)。它要求函數(shù)在整個(gè)定義域上的“連續(xù)性程度一致”。微分的概念1函數(shù)的變化量自變量的變化量2增量函數(shù)值的改變量3微分自變量增量的線性主部微分是函數(shù)變化量的線性近似。微分可以用于研究函數(shù)的局部變化，例如求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)的定義1函數(shù)的變化率導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)的變化率。它描述了函數(shù)在該點(diǎn)附近的變化趨勢(shì)。2極限導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在自變量變化量趨近于零時(shí)，函數(shù)值的變化量與自變量變化量的比值的極限。3公式f'(x)=lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)1線性性導(dǎo)數(shù)運(yùn)算滿足線性性質(zhì)2乘積法則兩個(gè)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)3商法則兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)4鏈?zhǔn)椒▌t復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)是數(shù)學(xué)分析中重要的理論基礎(chǔ)。這些性質(zhì)可以幫助我們簡(jiǎn)化導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，并解決許多實(shí)際問(wèn)題。導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則常數(shù)函數(shù)常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零冪函數(shù)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于冪指數(shù)乘以自變量的冪指數(shù)減一的次冪和差法則兩個(gè)函數(shù)的和或差的導(dǎo)數(shù)等于這兩個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的和或差積法則兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)加上第一個(gè)函數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)商法則兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)等于分母的平方除以分子導(dǎo)數(shù)乘以分母減去分子乘以分母導(dǎo)數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于外函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1常數(shù)函數(shù)常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零，因?yàn)槌?shù)函數(shù)的圖像是一條水平直線，其斜率為零。2冪函數(shù)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于冪指數(shù)乘以自變量的冪指數(shù)減一的次冪，例如x^n的導(dǎo)數(shù)為nx^(n-1)。3指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于指數(shù)函數(shù)本身乘以底數(shù)的對(duì)數(shù)，例如a^x的導(dǎo)數(shù)為a^x*ln(a)。4對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于1除以自變量乘以底數(shù)的對(duì)數(shù)，例如log_a(x)的導(dǎo)數(shù)為1/(x*ln(a))。5三角函數(shù)三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以根據(jù)其定義和導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)，例如sin(x)的導(dǎo)數(shù)為cos(x)，cos(x)的導(dǎo)數(shù)為-sin(x)。復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1定義復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于外函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。2鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t描述了復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如何由其組成函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表示。3公式如果y=f(u)且u=g(x)，則dy/dx=dy/du*du/dx。復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是微積分中一個(gè)重要的概念，它描述了復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與組成函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義隱函數(shù)是指無(wú)法直接用一個(gè)公式表示y為x的函數(shù)關(guān)系，而是用方程來(lái)表示的函數(shù)。求導(dǎo)方法對(duì)隱函數(shù)方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)，利用鏈?zhǔn)椒▌t求得y的導(dǎo)數(shù)。求導(dǎo)步驟1.對(duì)隱函數(shù)方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)。2.利用鏈?zhǔn)椒▌t求得y的導(dǎo)數(shù)。3.將導(dǎo)數(shù)表示為y的表達(dá)式。高階導(dǎo)數(shù)1定義高階導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，以此類推。2符號(hào)用f''(x)、f'''(x)、f^(n)(x)表示一階、二階、n階導(dǎo)數(shù)。3應(yīng)用高階導(dǎo)數(shù)在物理、幾何等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。高階導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)的變化趨勢(shì)的更高階變化。它描述了函數(shù)的曲率、凹凸性等特性。微分中值定理1羅爾定理閉區(qū)間上連續(xù)，開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)，兩端點(diǎn)函數(shù)值相等，則存在一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零。2拉格朗日中值定理閉區(qū)間上連續(xù)，開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)，則存在一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)等于兩端點(diǎn)函數(shù)值變化量與自變量變化量的比值。3柯西中值定理兩個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)，則存在一點(diǎn)兩個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)之比等于兩端點(diǎn)函數(shù)值變