小學《奧數(shù)》合輯（學生用）-1-3-1 定義新運算

定義新運算

定義新運算這類題目是在考驗我們的適應(yīng)能力，我們大家都習慣四則運算，定義新運算就打破了運算

規(guī)則，要求我們要嚴格按照題目的規(guī)定做題.新定義的運算符號，常見的如△、外※等等，這些特殊的運

算符號，表示特定的意義，是人為設(shè)定的.解答這類題目的關(guān)健是理解新定義，嚴格按照新定義的式子代

入數(shù)值，把定義的新運算轉(zhuǎn)化成我們所熟悉的四則運算。

定義新運算

基本概念：定義一種新的運算符號，這個新的運算符號包含有多種基本（混合）運算。

基本思路：嚴格按照新定義的運算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運算，然后按照基本運

算過程、規(guī)律進罐算。

關(guān)鍵問題：正確理解定義的運算符號的意義。

注意事項：①新的運算不一定符合運算規(guī)律，特別注意運算順序。

②每個新定義的運算符號只能在本題中使用。

我們學過的常用運算有：+、X、子等.

如：2+3=52x3=6

都是2和3,為什么運算結(jié)果不同呢？主要是運算方式不同，實際是對應(yīng)法則不同.可見一種運算實際

就是兩個數(shù)與一個數(shù)的一種對應(yīng)方法，對應(yīng)法則不同就是不同的運算.當然，這個對應(yīng)法則應(yīng)該是對任意兩

個數(shù)，通過這個法則都有一個唯一確定的數(shù)與它們對應(yīng).只要符合這個要求，不同的法則就是不同的運算.

在這一講中，我們定義了一些新的運算形式，它們與我們常用的"+，"x"運算不

相同.

二定義新運算分類

1.直接運算型

2.反解未知數(shù)型

3.觀察規(guī)律型

4.其他類型綜合

模塊一、直接運算型

【例1】若4*3表示（A+33）x（A+3）,求5*7的值。

【鞏固】定義新運算為/6=(a+l)”，求的值。6^(3M)

【鞏固】設(shè)〃△Z?=axa-2x〃，那么，5A6=,(5A2)A3=.

【鞏固】尸、Q表示數(shù)，P*Q表示學，求3*(6*8)

【鞏固】已知a,6是任意自然數(shù)，我們規(guī)定：a?b=a+力1,“06=2,那么

4到(6十8)十(3?5)]=.

【鞏固】M*N表示(M+N)+2,(2008*2010)*2009=

【鞏固】規(guī)定運算為若a>6,則技6=a+。若a=6,則a*6=a-6+l若a<6,則粉6=ax仇

那么，(2^3)+(4*4)+(7*5)=.

【例2】％”是一種新運算，規(guī)定：a"=axc+6x城其中c,3為常數(shù))，如5A7=5xc+7x4如

果心2=5,23=8,那么6A100O的計算結(jié)果是_______?

【鞏固】對于非零自然數(shù)a和6,規(guī)定符號?的含義是：a0b=”當（m是一個確定的整數(shù)\如

2xaxb

果1③4=2?3,那么3③4等于_______,

【例3】對于任意的整數(shù)x與p定義新運算"△"：必），="土］,求2^9。

x+2y

【鞏固】“*"表示一種運算符號，它的含義是：x*y=-L+「^一-,已知

肛（x+l）（y+A）

117

2*1=——+-——-------=-,求1998*1999。

2x1（2+l）（l+A）3

[例4][刈表示自然數(shù)A的約數(shù)的個數(shù).例如4有1,2,4三個約數(shù)，可以表示成[4]=3.計算:

([18]+[22])^[7]=.

【鞏固】x為正數(shù),表示不超過x的質(zhì)數(shù)的個數(shù)，如<5.1>=3,即不超過5.1的質(zhì)數(shù)有2,3,5共3個.那

么<<19>+<93>+v4>xvl>x<8>>的值是.

【鞏固】定義運算如下:對于兩個自然數(shù)a和6,它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和記為例

如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根據(jù)上面定義的運算,18△12=.

【例5】我們規(guī)定：符號。表示選擇兩數(shù)中較大數(shù)的運算，例如：5。3=3。5=5,符號人表示選擇兩數(shù)

?1523

(0.60—)+(0.625A—)

中較小數(shù)的運算，例如：5A3=34=3，計算：一T一-一遼的結(jié)果是多少？

(0.3嚼+(曰02.25)

【鞏固】規(guī)定：符號"&"為選擇兩數(shù)中較大數(shù)的運算，為選擇兩數(shù)中較小數(shù)的運算。計算下式：

[(7?3)&5]x[5?(3&7)]

【鞏固】我們規(guī)定：408表示/、6中較大的數(shù)，雜8表示/、8中較小的數(shù).則

(10A8-6A5)x(llO13+l5A20)=

［例6］如果規(guī)定薪b=13xa-b+8,那么17X24的最后結(jié)果是

【鞏固】若用G(a)表示自然數(shù)a的約數(shù)的個數(shù)，如：自然數(shù)6的約數(shù)有1、2、3、6,共4個，記作

G(6)=4,則G(36)+G(42)=。

【鞏固】如果a&/，=a+/7+10,那么2&5=,

【例7】"華"、"杯"、"賽"三個字的四角號碼分別是“2440"、"4199"和"3088”,將”華

杯賽”的編碼取為244041993088，如果這個編碼從左起的奇數(shù)位的數(shù)碼不變，偶數(shù)位的數(shù)碼

改變?yōu)殛P(guān)于9的補碼，例如：0變9,1變8等，那么“華杯賽”新的編碼是______.

［例8］羊和狼在一起時，狼要吃掉羊.所以關(guān)于羊及狼，我們規(guī)定一種運算，用符號△表示：羊△羊=羊；

羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼，以上運算的意思是：羊與羊在一起還是羊，狼與狼在一起

還是狼，但是狼與羊在一起便只剩下狼了。小朋友總是希望羊能戰(zhàn)勝狼.所以我們規(guī)定另一種運

算,用符號表示：羊&羊=羊；羊狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼，這個運算的意思是：羊

與羊在一起還是羊，狼與狼在一起還是狼，但由于羊能戰(zhàn)勝狼，當狼與羊在一起時，它便被羊

趕走而只剩下羊了。對羊或狼，可以用上面規(guī)定的運算作混合運算，混合運算的法規(guī)是從左到

右，括號內(nèi)先算.運算的結(jié)果或是羊，或是狼.求下式的結(jié)果：羊△（狼☆羊）☆羊△（狼△狼）

【例9】一般我們都認為手槍指向誰，誰好像是有危險的，下面的規(guī)則同學們能看懂嗎

規(guī)定：警察打小偷=警察，警察3t小偷=小偷.

那么：（獵人尸小兔）$（山羊7白菜）=.

模塊二、反解未知數(shù)型

【例10］如果34。表示(。一2)*6,例如344=(3-2)*4=4,那么,當345=30時,a=.

【鞏固】規(guī)定新運算※:森b=3a-25若核（4派1）=7,則x=.

【鞏固】如果a。6表示3〃-2m例如405=3x4-2x5=2,那么，當XO5比5。*大5時,x=

【鞏固】對于數(shù)a、ac、d,規(guī)定,<a、b、c、d>=lab-c+d,已知<1、3、5、x>=7,求x

的值。

【例11］定義新運算為?？赽=H，⑴求2口(3口4)的值；(2)若、口4=1.35則x的值為多少？

【鞏固】對于任意的兩個自然數(shù)”和。，規(guī)定新運算*:a*b=a(a+l)(a+2)…(a+b-1),其中a、b表示

自然數(shù).如果(x*3)*2=3660，那么x等于幾？

【例12】定義為。與/，之間(包含〃、b)所有與“奇偶性相同的自然數(shù)的平均數(shù)，例如：

7*14=(7+9+11+13)+4=10,18*10=(18+16+14+12+10)4-5=14.在算術(shù)□*(19*99)=80的方格

中填入恰當?shù)淖匀粩?shù)后可使等式成立，那么所填的數(shù)是多少？

【鞏固】如有a#》新運算，a#/?表示%人中較大的數(shù)除以較小數(shù)后的余數(shù).例如；2#7=1,8#3=2,

9#16=7,21#2=1.如(21#(21#x))=5,則x可以是_______(x小于50)

【例13】已知x、y滿足x+[y]=2009,{y}+y=20.09滇中田表示不大于x的最大整數(shù)，{x}表示x的

小數(shù)部分，即{x}=x-[x],那么x=.

【例14】規(guī)定：4。6表示48中較大的數(shù)，A8表示48中較小的數(shù).若（4>5+53）x（氏5+

東3）=96,且力、8均為大于0的自然數(shù)，4x8的所有取值

為.（8級）

模塊三、觀察規(guī)律型

【例15】如果1^2=1+11

2X3=2+22+222

3X4=3+33+333+333+3333

計算（3※2）、5。

【鞏固】規(guī)定:6派2=6+66=72

2^3=2+22+222=246,

1^4=1+11+111+1111=1234.

7X5=

【例16】有一個數(shù)學運算符號?,使下列算式成立：

204=8,503=13,305=11,907=25，求7應(yīng)3=?

【鞏固】規(guī)定“Ab=〃X（4Z+2）—（Q+1）—hf計算：（2N）+.+（1V10）=

【例17】一個數(shù)n的數(shù)字中為奇數(shù)的那些數(shù)字的和記為S(〃)，為偶數(shù)的那些數(shù)字的和記為E(〃)，例如

5(134)=1+3=4,E(134)=4.

S(l)+5(2)+??.+5(100)=；￡(l)+E(2)+---+￡(100)=

模塊四、綜合型題目

31

【例18］已知:10A3=14,8^7=2,-^=1,根據(jù)這幾個算式找規(guī)律，如果

44

*△1=1,那么x=.

8-----------------------

【例19】如果a、b、c是3個整數(shù)，則它們滿足加法交換律和結(jié)合律，即

(i)a+b=b+a;(2)(?+b)+c=a+(b+c)0

現(xiàn)在規(guī)定一種運算"*",它對于整數(shù)a、仇c、d滿足：

(a,b)*(c,d)=(axc+8xd,axc-/7xd)。

例：(4,3)*(7,5)=(4x7+3x5,4x7-3x5)=(43,13)

請你舉例說明，“*”運算是否滿足交換律、結(jié)合律。

【例20]用㈤表示a的小數(shù)部分，同表示不超過a的最大整數(shù)。例如：

x+2

{0.3}=0.3,[0.3]=0;{4.5}=0.5,[4.5]=4記/（%）=--,

2ax+1

請計算;{/⑴}，[/⑴]的值.

【例21]在計算機中，對于圖中的數(shù)據(jù)（或運算）的讀法規(guī)則是：先讀第一分支圓圈中的，再讀與它相連的

第二分支左邊的圓圈中的，最后讀與它相連的第二分支右邊的圓圈中的，也就是說，對于每一

個圓圈中的數(shù)據(jù)（或運算）都是按"中一左T右“的順序。如：圖4表示：2+3,8表示2+3x2

-1o圖C中表示的式子的運算結(jié)果是。

[例22]64=2x2x2x2x2x2表示成/(64)=6；243=3x3x3x3x3表示成g(243)=5.

試求下列的值：

(1)/(128)=

(2)/(16)=g()

⑶f()+g(27)=6；

(4)如果x,y分別表示若干個2的數(shù)的乘積，試證明:f(x-y)=f(x)+/(y).

【例23】對于任意有理數(shù)屬"定義一種運算"X”,規(guī)定:X※*辦+b-c孫,其中的。也c表示已知數(shù),

等式右邊是通常的加、減、乘運算.又知道1X2=3,2X3=4,則m的數(shù)值是

【鞏固】x、y表示兩個數(shù)，規(guī)定新運算"*"及如下：片*mx+ny,x^kxy,其中m、久k

均為自然數(shù)，已知1*2=5,(2*3)M=64，求(S2)*3的值.

【例24】對于任意的兩個自然數(shù)。和b，規(guī)定新運算*：a*"a+(a+l)+(a+2)+…+(。+人-1),其中

*b表示自然數(shù).⑴求1*100的值⑶已知x*10=75,求x為多少？⑶如果(x*3)*2=121,

那么x等于幾？

【鞏固】兩個不等的自然數(shù)a和6,較大的數(shù)除以較小的數(shù)，余數(shù)記為次坨比如502=1,7025=4,608=2.

(8級)

(1)求199102000,(5019)019,(1905)05;

(2)已知而x小于20,求無

⑶已知(19。刈。19=5,而x小于50,求X.

【例25］設(shè)a,6是兩個非零的數(shù)，定義標b=￡+工

ba

(1)計算(2派3居4與2派(3派4).

(2)如果已知a是一個自然數(shù)，且aX3=2,試求出a的值.

【鞏固】定義運算如下:

對于兩個自然數(shù)a和在它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的差記為aob.

比如:10和14,最小公倍數(shù)為70,最大公約數(shù)為2,則10014=70-2=68.

(1)求12。21,5。15;

(2)說明，如果c整除a和電則c也整除a。e如果c整除a和a。6,則c也整除比

(3)已知6。蛤=27,求x的值.

【鞏固】表示一種新的運算符號，已知2。3=2+3+4;7。2=7+83。5