三年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)試題-奧數(shù)幾何

圖形剪拼

'J知識(shí)框架

一、本講主要學(xué)習(xí)三大圖形處理方法:

(1)理解掌握?qǐng)D形的分割；

(2)理解掌握?qǐng)D形的拼合；

(3)理解圖形的剪拼.

本講中很多類型的題目還要求同學(xué)們?nèi)?dòng)手嘗試.通過(guò)本講知識(shí)的學(xué)習(xí)，讓同學(xué)們了解不同圖形的分

割、拼合、剪拼的方法，鍛煉同學(xué)們的平面想象能力以及增強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力.

(1)把一個(gè)幾何圖形按某種要求分成幾個(gè)圖形，就叫做圖形的分割.

(2)反過(guò)來(lái)，按一定的要求也可以把幾個(gè)圖形拼成一個(gè)完美的圖形，就叫做圖形的拼合.

(3)將一個(gè)或者多個(gè)圖形先分割開，再拼成一種指定的圖形，則叫做圖形的剪拼.

我們?cè)趫D形的分割、拼合和剪拼的過(guò)程中，都要結(jié)合所提供的圖形特點(diǎn)來(lái)思考.

(1)如果把一個(gè)圖形分割成若干個(gè)大小、形狀相等的部分，那么就要想辦法找圖形的對(duì)稱

點(diǎn)，把圖形先分少，再分多.

(2)圖形中，如果有數(shù)量方面的要求，可以先從數(shù)量入手，找出平分后每塊上所含數(shù)量的

多少，再結(jié)合數(shù)量來(lái)分割圖形.

(3)如果是要把幾個(gè)圖形拼合成一個(gè)大圖形，要特別注意每條邊的長(zhǎng)度，把相等的邊長(zhǎng)拼

合在一起，先拼少的，再拼多的.

(4)如果是剪拼圖形，要抓住“剪、拼前后圖形的面積相等”這個(gè)關(guān)鍵，根據(jù)已知條件和

圖形的特點(diǎn)，通過(guò)分析推理和必要的計(jì)算，確定剪拼的方法.

二'解題關(guān)鍵：分割其實(shí)就是運(yùn)用特殊的三角形(等角直角三角形、等邊三角形等)、正

方形、等邊圖形的特殊性質(zhì)進(jìn)行分割而得，所以分割的關(guān)鍵是利用了特殊圖形的關(guān)系解題。

三、解題思想：這其實(shí)就是一種化整為零的思想，各位同學(xué)不僅要學(xué)會(huì)幾何題中的這種方

法，更要細(xì)細(xì)體味這種思想在解決各種問(wèn)題中的妙用。

J例題精講

【例1］用直線把左圖分成面積相等的兩部分，在右圖中畫虛線給出了分法，其中正確的有個(gè)。

【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】2003年，希望杯，第一屆，四年級(jí)，復(fù)賽，第14題，4分

【解析】2個(gè)，第3個(gè)不是平分（本題有歧義，第一個(gè)圖是三部分）

【答案】2個(gè)

【鞏固】在一塊長(zhǎng)方形的地里有一正方形的水池（如下圖）.試畫一條直線把除開水池外的這塊地平分成兩塊.

【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】2星【題型】解答

【解析】用連對(duì)南線的辦法找出這塊長(zhǎng)方形地的中心。和正方形水池的中心A.過(guò)。、A畫一條直線，這

條直線正好能把除開水池外的這塊地平分為兩塊（如右上圖）.

【答案】

【例2】怎樣把一個(gè)等邊三角形分別分成8塊和9塊形狀、大小都一樣的三角形.

【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答

【解析】⑴分成8塊的方法是：先取各邊的中點(diǎn)并把它們連接起來(lái)，得到4個(gè)大小、形狀相同的三角形，

然后再把每一個(gè)三角形分成兩部分，得到如左上圖所示的圖形.

⑵分成9塊的方法是：先把每邊三等分，然后再把分點(diǎn)彼此連接起來(lái)，得到加上右上圖所示的符

合條件的圖形.

【答案】

［例3］下圖是一個(gè)直角梯形，請(qǐng)你畫一條線段，把它分成兩個(gè)形狀相同并且面積相等的四邊形.

【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答

【解析】直角梯形的上底為1,下底為2,要分成兩個(gè)相同的四邊形，需要一條邊可以分成1和2,AD邊

長(zhǎng)正好為3,所以AD邊分成兩段，找到AD的三等分點(diǎn)E,現(xiàn)在，CD=AE,DE=AB,BF=EF,

所以還要找到3C的中點(diǎn)P,連接就把梯形ABC?分成完全相同的兩部分.如下圖.

【答案】

［例4］下圖是一個(gè)3義4的方格紙，請(qǐng)用四種不同的方法將它分割成完全相同的兩部分，但要保持每個(gè)小

方格的完整.

【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答

【解析】分成的兩塊每塊有12+2=6（個(gè)）小格，并且這兩塊要關(guān)于中心點(diǎn)對(duì)稱，大小和形狀完全一樣，我們

從對(duì)稱線入手，介紹一種分割技巧---染色法，先選中一個(gè)小格，找它關(guān)于中心點(diǎn)或中心線的對(duì)

稱位置，標(biāo)上相應(yīng)的符號(hào).當(dāng)找它關(guān)于中心線的對(duì)稱位置時(shí)是一種情況，關(guān)于中心點(diǎn)的對(duì)稱位置

【鞏固】右圖是一個(gè)4x4的方格紙，請(qǐng)用六種不同的方法將它分割成完全相同的兩部分，但要保持每個(gè)小

方格的完整.

【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答

【解析】因?yàn)橐指畛赏耆嗤膬蓧K，即大小、形狀完全相同.方格紙一共有4x4=16（個(gè)）小格，所以分

成的兩塊每塊有16+2=8（個(gè)）小格，并且這兩塊要關(guān)于中心點(diǎn)對(duì)稱，大小和形狀完全一樣，應(yīng)用染

色法，從中心點(diǎn)的一側(cè)入手染色，逐步推進(jìn).（建議教師同時(shí)呈現(xiàn)六幅空的4x4格圖，不同的變化

在不同的圖上同時(shí)呈現(xiàn)）如下圖：

【答案】（答案不唯一）

［例5］下圖是一個(gè)被挖去了為總面積四分之一小正方形的大正方形，請(qǐng)你將它分成大小形狀完全一樣的

四部分.

【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答

【解析】要求把陰影部分分成四個(gè)大小、形狀都相同的四個(gè)圖形，先不考慮形狀，大小相同也就是面積相

等，也就是把整個(gè)圖形的面積分成四份，分割后的每一部分占一份.考慮先把陰影部分分成12個(gè)

小正方形再分成四份，這樣每份正好有3個(gè)小正方形.再看形狀，三個(gè)小正方形只能排成"一"形

或者形.答案如下圖.

11

1

11

111

【鞏固】圖中是由三個(gè)正三角形組成的梯形.你能把它分割成4個(gè)形狀相同、面積相等的梯形嗎？

【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答

【解析】這道題的要點(diǎn)在于通過(guò)計(jì)算解決問(wèn)題，要求把原來(lái)三個(gè)正三角形分成四個(gè)大小、形狀都相同的四

個(gè)梯形，先不考慮形狀，大小相同也就是面積相等，即把整個(gè)梯形的面積分成四份，分割后的每

一個(gè)梯形占一份，可以考慮把每一個(gè)三角形的面積分成四份，再把三個(gè)正三角形中的每一個(gè)小三

角形合成要求的梯形，這種類型的題目可以從中點(diǎn)入手，找到每個(gè)正三角形的中點(diǎn)并連接，如下圖.

【答案】

［例6］（第九屆"中環(huán)杯"小學(xué)生思維能力訓(xùn)練活動(dòng)初賽）如圖，它是由15個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的小正方形組成

的.⑴請(qǐng)?jiān)谠瓐D中沿正方形的邊線，把它劃分為5個(gè)大小形狀完全相同的圖形，分割線用筆描

粗.⑵分割后每個(gè)小圖形的周長(zhǎng)是________厘米.⑶分割后5個(gè)小圖形的周長(zhǎng)總和與原來(lái)大圖

形的周長(zhǎng)相差________厘米.

【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】填空

【解析】⑴因?yàn)榭偣灿?5個(gè)小正方形，所以分成5個(gè)大小形狀相同的圖形后每個(gè)圖形應(yīng)該有15+5=3（個(gè)）

小正方形，如圖.

（2）每個(gè)小圖形的周長(zhǎng)為8厘米.

（3）5個(gè)小圖形的周長(zhǎng)和：8x5=40（厘米），原圖形的周長(zhǎng)：4x4+2=18（厘米），所以相差40-18=22

（厘米）.

I口1I

【答案】（1）

再

I1I1I

⑵周長(zhǎng)為8厘米.

⑶22厘米

【解析】通過(guò)計(jì)算，18+6=3,說(shuō)明基本形狀是由三個(gè)小正方形組成，三個(gè)正方形有兩種形式:

通過(guò)觀察，上面的圖形具有對(duì)稱性，不可能分成6個(gè)再由6結(jié)合染色法，如下圖.

【答案】

【例7】如圖，將一個(gè)等邊三角形分割成互相不重疊的23個(gè)較小的等邊三角形（這些較小的等邊三角形的

大小不一定都相同），請(qǐng)?jiān)趫D中畫出分割的結(jié)果.

【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】4星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】2003年，小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)

【解析】分割的方法不唯一，如圖所示.

【答案】

【鞏固】如圖，將一個(gè)正方形分割成互相不重疊的21個(gè)小正方形，這些小正方形的大小不一定相同，請(qǐng)畫

圖表示.

【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】4星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】2005年，小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)

【解析】分割的方法不唯一，如右圖所示.

【答案】

[例8]（2008年第八屆“春蕾杯”小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初賽）請(qǐng)把下面的圖形分成形狀、大小都相同的4塊，使

每一塊里面都有"春蕾杯賽"4個(gè)字.

【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】4星【題型】解答

【解析】如下圖所示:

答案不唯一.

【答案】答案不唯一

【鞏固】請(qǐng)把下面這個(gè)長(zhǎng)方形沿方格線剪成形狀、大小都相同的4塊，使每一塊內(nèi)都含有"奧數(shù)讀本"這四個(gè)

字中的一個(gè)，該怎么剪？

奧數(shù)

讀本

【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】4星【題型】解答

【解析】圖中"奧數(shù)"與"讀本"中的兩個(gè)字都是挨著的，所以肯定要在它們中間分割，因此，首先在他們中間

劃出分割線，因?yàn)橐獙⑦@個(gè)長(zhǎng)方形分成大小、形狀完全相同的4塊，因?yàn)殚L(zhǎng)方形是6x4的，所以

分割后的每一塊都有6小塊組成，可以考慮先把長(zhǎng)方形分成相同的兩部分，再把每一部分分成相

同的兩部分，如下圖所示.

奧數(shù)

讀本

【答案】答案不唯一

奧數(shù)

讀本

【例9］用同樣大小的四塊等腰直角三角板，能否拼出一個(gè)三角形、一個(gè)正方形、一個(gè)長(zhǎng)方形、一個(gè)梯形、

一個(gè)平行四邊形五種圖形？若能，畫出示意圖.

【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】2星【題型】解答

【解析】能用四塊同樣大小的等腰直角三角板拼出一個(gè)三角形、一個(gè)正方形、一個(gè)長(zhǎng)方形、一個(gè)梯形、一

個(gè)平行四邊形五種圖形.建議用等腰直角三角板，把不同的邊進(jìn)行重合，不要漏掉旋轉(zhuǎn)重合，或

者準(zhǔn)備一些等腰直角三角形的紙片，由學(xué)生拼接后貼到黑板上，具體拼法如圖所示.

【答案】

【鞏固】用3個(gè)等腰直角三角形拼圖，要求邊與邊完全重合，能拼出幾種圖形?

【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】2星【題型】解答

【解析】這種類型的題需要學(xué)生親自操作，建議教師準(zhǔn)備材料與學(xué)生互動(dòng).一共可以拼成如下圖的幾種形狀:

【答案】

【例10】將圖1分成4個(gè)形狀、大小都相同的圖形，然后拼成一個(gè)正方形.

圖1

【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】4星【題型】解答

【解析】經(jīng)過(guò)計(jì)數(shù)可以發(fā)現(xiàn)，圖形是由16個(gè)完全一樣的正方形組成，所以拼成的正方形每排都有4個(gè)這樣

的小正方形，共有4排把大圖形分成完全一樣的4個(gè)圖形，每個(gè)圖形的面積都是小正方形的4倍.現(xiàn)

在來(lái)考慮形狀.由于這個(gè)圖形具有對(duì)稱的特點(diǎn)，很容易想到先將它分成兩個(gè)完全一樣的圖形，只

要沿大圖形中間的那條豎線剪開即可，其中上面的一個(gè)是圖2,再想辦法把已經(jīng)分成的兩個(gè)圖形各

分成兩個(gè)形狀、大小都相同的圖形即可.下面以上面的圖為例，繼續(xù)探討分割的辦法.如果把上

圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)看作1個(gè)單位，那么這個(gè)圖形中的最長(zhǎng)邊有4個(gè)單位，其次為3;顯然，

要把它分成完全一樣的兩個(gè)圖形，每個(gè)圖形的最長(zhǎng)邊只能為3,具體分法見圖3,用同樣的方法,

可以將與上面的圖形完全一樣的下面的一個(gè)圖形分成兩個(gè)形狀、大小都相同的圖形，如下圖.

【答案】

【鞏固】將下圖分成兩塊，然后拼成一個(gè)正方形.

【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】4星【題型】解答

【解析】圖形的面積等于16個(gè)小方格,如果以每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1,那么拼成的正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)該是4.因

為圖形是缺角長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為6,寬為3,應(yīng)將寬加1,長(zhǎng)減去2便可得一個(gè)正方形，所以分割成兩

塊后，右邊的一塊應(yīng)向上平移1（原來(lái)寬為3,向上平移使寬為4）,向左平移2（原來(lái)長(zhǎng)為6,向左平

移使長(zhǎng)為4）.如右下圖所示.

【答案】

’課堂檢測(cè)

【隨練1】下圖是一個(gè)被挖去了為總面積四分之一小正方形的大正方形，請(qǐng)你將它分成大小形狀

完全一樣的兩部分.如果分三部分呢？

【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答

【解析】從形狀，面積兩方面綜合考慮，很容易就能得到答案.答案如右下圖.

【答案】

【隨練2】學(xué)習(xí)與思考對(duì)小學(xué)生的發(fā)展是很重要的，學(xué)習(xí)改變命運(yùn)，思考成就未來(lái)，請(qǐng)你將下圖

分成形狀和大小都相同的四個(gè)圖形，并且使其中每個(gè)圖形都含有“學(xué)習(xí)思考”這四個(gè)

字.應(yīng)怎樣分?

思學(xué)思考

考學(xué)習(xí)習(xí)

習(xí)思考思

習(xí)學(xué)考學(xué)

【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】4星【題型】解答

【解析】看到這道題目，我們想到俄羅斯方塊，由題意可知，所分出的每一塊圖形，必須由4個(gè)小正方形

組成，它的形狀不外乎如右上圖所示的五種俄羅斯方塊，這就控制了搜索的范圍.根據(jù)原題中各

個(gè)字的具體位置，上圖中有些圖形是必須排除的，例如，如果把圖⑵與原題右下角2x2的正方形

重疊，其中"考''字出現(xiàn)了兩次，不符合題意，因此，圖⑵可以先排除掉.現(xiàn)在，再固定某一角上

的一個(gè)小正方形，按其中的字來(lái)考慮.如固定右上南寫有“考”的小正方形來(lái)分析，只有下列4種

可能出現(xiàn)的情況：

思學(xué)思考

考學(xué)習(xí)習(xí)

習(xí)思考思

習(xí)學(xué)考學(xué)

【答案】

思學(xué)思考

考學(xué)習(xí)習(xí)

習(xí)思考思

習(xí)學(xué)考學(xué)

【隨練3】將下列各圖各自分成大小、形狀都相同的三塊，并且每塊帶一個(gè)小圓圈。

Q□

【答案】

工

一家庭作業(yè)

【作業(yè)1】把任意一個(gè)三角形分成面積相等的4個(gè)小三角形，有許多種分法.請(qǐng)你畫出4種不同的分法.

【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】2星【題型】解答

【解析】根據(jù)等底等高的三角形面積相等這一結(jié)論，只要把原三角形分成4個(gè)等底等高的小三角形，它們

的面積必定相等.而要得到這4個(gè)等底等高的小三角形，只需把原三角形的某條邊四等分，再將

各分點(diǎn)與這邊相對(duì)的頂點(diǎn)連接起來(lái)就行了.根據(jù)上面的分析，可得如左下圖所示的三種分法.又

因?yàn)?=1x4=2x2,所以，如果我們把每一個(gè)小三角形的面積看做1,那么1x4就可以視為把三

南形的面積直接分成4等份，即分成4個(gè)面積為1的小三角形；而2x2可以視為先把原三角形分

成兩等份，再把每一份分別分成兩等份.根據(jù)前面的分析，在每次等分時(shí)，都要想辦法找等底等

高的三角形.根據(jù)上面的分析，又可以得到如右下圖的另兩種分法.

【答案】方法不唯一

【作業(yè)2】有一塊長(zhǎng)8米、寬3米的長(zhǎng)方形地毯，現(xiàn)在要把它移到長(zhǎng)6米、寬4米的新房間里.請(qǐng)找出一種

剪裁方法，使剪后的各塊拼合后正好能鋪滿房間的地面，為了使剪后的地毯盡量完整，就要使剪

裁的塊數(shù)盡可能地少，應(yīng)怎樣剪拼？

【考點(diǎn)】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答

【解析】地毯的面積為8x3=24平方米，新房間的面積為6x4=24平方米，兩者雖然長(zhǎng)、寬不相等，但面

積相等.通過(guò)對(duì)比不難發(fā)現(xiàn)：地毯的長(zhǎng)比房間的長(zhǎng)多2米，房間的寬比地毯的寬多1米，因此，

我們可以把地毯看做由12個(gè)2*1（平方米）的小長(zhǎng)方形組成的大長(zhǎng)方形，如左下圖所示，要達(dá)到題

目的要求，只要使原地毯的長(zhǎng)縮短一小格.即減少2米，使原地毯的寬增加一小格，即