初中數(shù)學(xué)競賽專項(xiàng)訓(xùn)練(一)及答案

初中數(shù)學(xué)（實(shí)數(shù)）競賽專項(xiàng)訓(xùn)練（1）

一、選擇題

1、如果自然數(shù)a是一個(gè)完全平方數(shù)，那么與a之差最小且比a大的一個(gè)完全平方數(shù)是（）

A.a+1B.a2+lC.a2+2a+1D.a+2筋+1

2、在全體實(shí)數(shù)中引進(jìn)一種新運(yùn)算*,其規(guī)定如下：①對任意實(shí)數(shù)a、b有a*b=（a+b）（b—l）②對

任意實(shí)數(shù)a有a*2=a*a。當(dāng)x=2時(shí)，［3*（x*2）］—2*x+l的值為（）

A.34B.16C.12D.6

3、已知n是奇數(shù)，m是偶數(shù)，方程12004+y=〃有整數(shù)解x。、y°。則（）

1lx+28y=m

A.xo、yo均為偶數(shù)B.xo、yo均為奇數(shù)

C.xo是偶數(shù)yo是奇數(shù)D.xo是奇數(shù)yo是偶數(shù)

4、設(shè)a、b、c、d都是非零實(shí)數(shù)，則四個(gè)數(shù)-ab、ac>bd>cd（）

A.都是正數(shù)B.都是負(fù)數(shù)C.兩正兩負(fù)D.一正三負(fù)或一負(fù)三正

5、滿足等式x亦+y6-J2003y-j2003x+，2003沖，=2003的正整數(shù)對的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

6、已知p、q均為質(zhì)數(shù)，且滿足5P?+3q=59,由以p+3、1—p+q、2p+q—4為邊長的三角

形是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

7、一個(gè)六位數(shù)，如果它的前三位數(shù)碼與后三位數(shù)碼完全相同，順序也相同，由此六位數(shù)可以

被（）整除。

A.IllB.1000C.1001D.1111

8、在1、2、3……100個(gè)自然數(shù)中，能被2、3、4整除的數(shù)的個(gè)數(shù)共（）個(gè)

A.4B.6C.8D.16

二、填空題

1、若§=~—n----------1’則s的整數(shù)部分是

--------1............F................

19801981---------2001

2、M是個(gè)位數(shù)字不為零的兩位數(shù)，將M的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字互換后，得另一個(gè)兩位數(shù)N,

若M—N恰是某正整數(shù)的立方，則這樣的數(shù)共個(gè)。

3、已知正整數(shù)a、b之差為120,它們的最小公倍數(shù)是其最大公約數(shù)的105倍，那么，a、b

中較大的數(shù)是。

4、設(shè)m是不能表示為三個(gè)互不相等的合數(shù)之和的最大整數(shù)，則01=

5,滿足19982+n?=19972+1?(0<m<n<1998)的整數(shù)對(m、n)共有個(gè)

6、已知x為正整數(shù)，y和z均為素?cái)?shù)，且滿足x=yz-+-=則x的值是

xyz

三、解答題

1、試求出這樣四位數(shù)，它的前兩位數(shù)字與后兩位數(shù)字分別組成的二位數(shù)之和的平方，恰好等

于這個(gè)四位數(shù)。

2、從1、2、3、4……205共205個(gè)正整數(shù)中，最多能取出多少個(gè)數(shù)使得對于取出來的數(shù)中的

任意三個(gè)數(shù)a、b、c(a<b<c),都有ab#c。

3、已知方程》2一6%—4〃2一32〃=0的根都是整數(shù)。求整數(shù)n的值。

4、設(shè)有編號為1、2、3……100的100盞電燈，各有接線開關(guān)控制著，開始時(shí)，它們都是關(guān)

閉狀態(tài)，現(xiàn)有100個(gè)學(xué)生，第1個(gè)學(xué)生進(jìn)來時(shí)，凡號碼是1的倍數(shù)的開關(guān)拉了一下，接著

第二個(gè)學(xué)生進(jìn)來，由號碼是2的倍數(shù)的開關(guān)拉一下，第n個(gè)（nWlOO）學(xué)生進(jìn)來，凡號碼

是n的倍數(shù)的開關(guān)拉一下，如此下去，最后一個(gè)學(xué)生進(jìn)來，把編號能被100整除的電燈上

的開關(guān)拉了一下，這樣做過之后，請問哪些燈還亮著。

5、若勾股數(shù)組中，弦與股的差為1。證明這樣的勾股數(shù)組可表示為如下形式:

2a+1,2a2+2a,2a2+2a+\,其中a為正整數(shù)。

參考答案

一、選擇題

1、解：設(shè)與a之差最小且比a大的一個(gè)完全平方數(shù)是x,則五=&+1,所以

x=(Va+l)2=a+2y[a+l應(yīng)選D

2、原式=[3*(2*2)]-2*2+1

=[3*(2*2)]-2*2+1

=3*3-3+1應(yīng)選D

=(3+1)(3-1)-3+1

=8-3+1

=6

3、2004=n—J%,n是奇數(shù)，打必是奇數(shù)，又11x°=m—28孔，m和28yo均為偶數(shù)，所以口

是偶數(shù)，X。應(yīng)為偶數(shù)。故選C

4、解：一ab,ac?bd,cd=-a2b2c2d2V0,所以這四個(gè)數(shù)中應(yīng)一正三負(fù)或一負(fù)三正。應(yīng)選D

5、解：由-萬+y五一,2003x-j2003y+j2()03g，—2003=0可得

(7^-J2003)(6+6+J2003)=0而&+4+>0

所以而-而55=0故晝=2003又因?yàn)?003是質(zhì)數(shù)，因此必有

卜=1(x=2003應(yīng)選B

[y=2003[y=1

6、解：因5P?+3q為奇數(shù)，故p、q必一奇一偶，而p、q均為質(zhì)數(shù)，故p、q中有一個(gè)為2,

53

若g=2p2=一不合題意舍去。若p=2,則q=3,此時(shí)p+3=5,l-p+q=12,2p+q-4=13,

因?yàn)?2+122=132,所以5、12、13為邊長的三角形為直角三角形。故選B

7、解：依題意設(shè)六位數(shù)為abcabc,則而詼=aXl()5+bx/+&g+axU+b*10+c

=aX102(103+l)+bX10(103+l)+c(103+l)=(aX103+bX10+c)(103+l)

=1001(aX103+bX10+c),而aXKP+bxio+c是整數(shù)，所以能被1001整除。故選C

8、解：能被2、3、4整除即能被[2,3,4]=12整除，共有12、24、36、48.......96共8

個(gè)。應(yīng)選C

二、填空題

1、解：因1981、1982......2001均大于1980,所以S〉——，一=之地=90,又1980、1981........

”122

1980

1200121

2000均小于2001,所以S＜-------------=------9啜，從而知S的整數(shù)部分為9。。

122

22義」一人

2001

2、解：設(shè)兩位數(shù)M=10a+b,則N=10b+a,由a、b正整數(shù)，且l〈a,bW9,

M—N=(10a+勿一(10力+a)=9(a—切=。3,又c是某正整數(shù)，顯然c3<100,cW4,而且

c3是9的倍數(shù)，所以c=3,即a—b=3,滿足條件的兩位數(shù)有41、52、63、74、85、96

共6個(gè)

3、解設(shè)(a,b)=d,且a=md,b=nd,其中m>n,且m與n互質(zhì)，于是a、b的最小公

倍數(shù)為mnd,依題題有加〃[即(，…)&=2x3x5①，則Qn據(jù)②可

丁=105加〃=3x5x7②

m=105「m=135%2=21-m=15

得或＜或＜或＜

n=l〃=3n=5n=7

根據(jù)①只取仁7一可求得d="，故兩個(gè)數(shù)中較大的數(shù)是md=225。

4、解：最小三個(gè)合數(shù)是4,6,8,4+6+8=18,故17是不能表示為三個(gè)互不相等的合數(shù)之和

的整數(shù)，當(dāng)m>18時(shí)，若m=2k>18,則m=4+6+2(k—5),若m=2k—1>18,則m=

4+9+2(k-7)即任意大于18的整數(shù)均可表示為三個(gè)互不相等的合數(shù)之和，故m=17

5、解：n2-m2=3995=5X17X47,(n-m)(n+m)=5X17X47,顯然對3995的任意整數(shù)分

拆均可得到(m,n),由題設(shè)(0Vm<n<1998),故滿足條件的整數(shù)對(m,n)共3個(gè)。

6、解：由_1=1?—三及x=yz得y—z=l,即y與z是兩個(gè)相鄰的自然數(shù)，又y與z均

xzyyz

為素?cái)?shù)，只有y=3,z=2,故*=丫2=6。

三、解答題

1、解：設(shè)前后兩個(gè)二位數(shù)分別為x、y,10Wx,yW99。

根據(jù)題意有(x+y)2=100x+y

即，+2(y_5())x+(y2_y)=0

當(dāng)△=4(y-50)2-4(y2-y)=4(2500-99y)>0

即2500-99)，NOy425時(shí)方程有實(shí)數(shù)解

x=50-y±12500-99y

由于2500-99y必為完全平方數(shù)，而完全平方數(shù)的末位數(shù)僅可能為0、1、4、5、6、9,

故y僅可取25,此時(shí)，x=30或20,故所求四位數(shù)為2025或3025。

2、解：首先1、14、15、16……205這193個(gè)數(shù)滿足題設(shè)條件，事實(shí)上，設(shè)a、b、c(a<b

<c)這3個(gè)數(shù)取自1、14、15、16...205,

若a=l,則ab=a<c；

若a>L則ab214X15=210>c

另一方面考慮如下12個(gè)數(shù)組

(2,25,2X25)(3,24,3X24)……(13,14,13X14)上述這36個(gè)數(shù)互不相等,

且其中最小的數(shù)為2,最大的數(shù)為13X14=182<205,所以每一個(gè)數(shù)組中的3個(gè)數(shù)不能全

部都取出來，于是，如果取出來的數(shù)滿足題設(shè)條件，那么，取出來的數(shù)的個(gè)數(shù)不超過205-12

=193(個(gè))

綜上所述，從1、14、15、16……205中最多能取出193個(gè)數(shù)，滿足題設(shè)條件。

3、解：原方程解得：

_6±)36+4(4〃2+32”)_6±J4x4/+4x32〃+4x9

X——

22

6±+32〃+9r~~~

=----------------=3±+32/?+9

2

因?yàn)榉匠痰母钦麛?shù)，所以4n2+32n+9是完全平方數(shù)。

設(shè)4n2+32n+9=m2(m>0)

(2n+8)2-55=m2

(2n+8+m)(2n+8—m)=55

因55=1X55=(-1)X(-55)=(-5)X(-11)=5X11

2〃+8+m=55(2〃+8+?i=ll2〃+8+加=-12〃+8+加=-5

V解得：n=

2n+8-m=1\2n+8-m=52〃+8—m=-552〃+8-m=-11

10、0、-8、-18

4、解：首先，電燈編號有幾個(gè)正約數(shù)，它的開關(guān)就會(huì)被拉幾次，由于一開始電燈是關(guān)的，所

以只有那些被拉過奇數(shù)次的燈才是亮的，因?yàn)橹挥衅椒綌?shù)才有奇數(shù)個(gè)約數(shù)，所以那些編號

為1、22、3\42、5\62、72、82、9?、10?共趣盞燈是亮的。

5、證明：設(shè)勾長為x,弦長為z,則股長為z-l

V(z,z-l)=l

??.X,z-1,z是一個(gè)基本勾股數(shù)組。

由Z為奇數(shù)知：Z-1為偶數(shù)，從而X為奇數(shù)，設(shè)x=2a+l(a為正整數(shù))，則有

(2a+l)2+(z-l)2=z2,解得

z=2/+2a+l,故勾股數(shù)組具有形式

2?+12a2+2a2a'+2a+1

初中數(shù)學(xué)競賽專項(xiàng)訓(xùn)練(2)

(代數(shù)式、恒等式、恒等變形)

一、選擇題：下面各題的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的，請將正確選項(xiàng)的代號填在

括號內(nèi)。

1、某商店經(jīng)銷一批襯衣，進(jìn)價(jià)為每件□元，零售價(jià)比進(jìn)價(jià)高a%,后因市場的變

化，該店把零售價(jià)調(diào)整為原來零售價(jià)的州出售，那么調(diào)價(jià)后每件襯衣的零售

價(jià)是()

A.m(l+a%)(l-b%)元B.m?a%(l-b%)元

C.m(l+a%)b%元D.m(l+a%b%)元

2、如果a、b、c是非零實(shí)數(shù)，且a+b+c=O,那么2+2+￡+*幺的所有可

Ia||b||c||abc\

能的值為()

A.OB.1或-1C.2或-2D.O或-2

3、在AABC中，a、b、c分別為角A、B,C的對邊，若NB=60°,則

的值為

A.1

2

C.1

4、設(shè)aVbVO,a2+b2=4ab,則的值為

a-b

()

A.V3B.V6C.2D.3

5、已知a=1999x4-2000,b=1999x4-2001,c=1999x+2002,則多項(xiàng)式

a2+b2+c2-ab-bc-ca的值為

()

A.OB.1C.2D.3

6、設(shè)a、b、c為實(shí)數(shù)，x-a2-2b+—,y-b2-2c+—,z-c2-2a+—,則x、

362

y、z中，至少有一個(gè)值

()

A.大于0B.等于0C.不大于0D.小于0

7、已知abcWO,且a+b+c=O,則代數(shù)式Z+久+巨的值是()

becaab

A.3B.2C.1D.O

8、若一8孫+9/-4x+6y+13(x、y是實(shí)數(shù))，則M的值一定是

()

A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.零D.整數(shù)

二'填空題

1、某商品的標(biāo)價(jià)比成本高P%,當(dāng)該商品降價(jià)出售時(shí)，為了不虧損成本，售價(jià)的

折扣(即降價(jià)的百分?jǐn)?shù))不得超過d%,則d可用P表示為

2、已知-IVaVO,化簡、(a++-4+、3-與+4得______________

VaVa

3、已知實(shí)數(shù)z、y、z滿足x+y=5及z2=xy+y-9,貝Ux+2y+3z二

4、已知XI、X2>.........、X40都是正整數(shù),且X1+X2+...........+X4O=58,若X12+X2?+..........

+X4O2的最大值為A,最小值為B,則A+B的值等于

5、計(jì)算:+4)(74+4)(114+4)(15"+4)……(394+4)二

、(54+4)(94+4)(134+4)(174+4).(414+4)-

6、已知多項(xiàng)式ar?+"2-47元一15可被3x+l和2尤一3整除，則Q+力=

三、解答題:

1、已知實(shí)數(shù)a、b、c、d互不相等，Sia+—=b+—=c+—=d+—=x,試求x

bcda

的值。

2、如果對一切x的整數(shù)值，x的二次三項(xiàng)式ox?+以+，的值都是平方數(shù)（即整

數(shù)的平方）。

證明：①2a、ab、c都是整數(shù)。

②a、b、c都是整數(shù)，并且c是平方數(shù)。

反過來，如果②成立，是否對于一切x的整數(shù)值，x的二次三項(xiàng)式初2+以+，

的值都是平方數(shù)？

3、若a=1995?+1995249962+19962,求證：a是一完全平方數(shù)，并寫出a的

值。

4,設(shè)a、b、c、d是四個(gè)整數(shù)，且使得/〃=("+cd)2—上面+及―屋產(chǎn)是一

4

個(gè)非零整數(shù)，求證：ImI一定是個(gè)合數(shù)。

5、若"的十位數(shù)可取1、3、5、7、9o求。的個(gè)位數(shù)。

參考答案

一、選擇題

1、解：根據(jù)題意，這批襯衣的零售價(jià)為每件m(1+a%)元，因調(diào)整后的零售

價(jià)為原零售價(jià)的b%,所以調(diào)價(jià)后每件襯衣的零售價(jià)為m(1+a%)b%元。

應(yīng)選C

2、解：由已知，a,b,c為兩正一負(fù)或兩負(fù)一正。

①當(dāng)a,b,c為兩正一負(fù)時(shí)：

abcabc.匚匚“ahcabc八

——+——+——=1,----二一1所以——+——+——+-----=0；

|a||b||c||abc\\a\\b\|c\\abc\

②當(dāng)a,b,c為兩負(fù)一正時(shí)：

&+々+工=一1,匹=1所以&+幺+工+必=0

|a||b||c||abc\\a\\b\\c\\abc\

由①②知衛(wèi)+幺+工+匹所有可能的值為0o

\a\\b\|c|\abc\

應(yīng)選A

3、解：過A點(diǎn)作ADJ_CD于D,在RtZ\BDA中，則于NB=60°,所以DB=

—,AD=—Co在RtAADC中，DC2=AC2-AD2,所以有(a--)2=

222

b2--C2,整理得a2+c2=b2+ac,從而有

4

cac2+cb+a2+aba2+c2+ab+bc.

______I_____—___________________________________—i

a+bc+b(a+/?)(c+b)ac+ab+beb2

應(yīng)選C

4、解：因?yàn)?a+b)2=6ab,(a-b)2=2ab,由于a<b<0,得a+b=-J6ab,a-b=-42ab,

故叱=瓦

a-b

應(yīng)選A

5、解：:a2+〃+T-?！ㄒ涣ΑＲ灰磺?？+(。一+(。一。)2卜

又。一/7=一1,b-c=-Lc-a=2

原式=1[(-1)2+(-1)2+22]=3

應(yīng)選D

6、解：因x+y+z=(a-l>+(/?-1)2+(。-1)2+4一3>0

貝女、y、z中至少有一個(gè)大于0

應(yīng)選A

7、解：原式=一(6+0/+一伯+0小+一(。+3-，

beacab

Y+與-

bcacab

=-a+-b+-c=3~

abc

應(yīng)選A

8、解：因?yàn)镸=3——8町+9y2—4x+6y+13

=2(x-2y)2+(x-2)2+(y+3)2>0,

且x-2y,x-2,y+3這三個(gè)數(shù)不能同時(shí)為0,所以M>0。

應(yīng)選A

二、填空題

1、解：設(shè)該商品的成本為a,則有a(l+p%)(l-d%)=a,解得d=-^-

100+p

2、解因?yàn)橐籰<a<0,所以，<-l<a,即a—，>0,且a+L<0。

aaa

=亞-2+)+J/+2+)

--(a——)2+./(?+—)2=|a|+1a+工|=a-工-(a+，)=一2

\a\aaaaaa

3、解:由已知條件知(x+1)+y=6,(x+1),y=z2+9,所以x+1,y是t?—6t

+z2+9=0的兩個(gè)實(shí)根，方程有實(shí)數(shù)解，則4=(-6)2-4(z2+9)=-4z2

20,從而知z=0,解方程得x+l=3,y=3o所以x+2y+3z=8

4、解：494o因?yàn)榘?8寫成40個(gè)正整數(shù)的和的寫法只有有限種，故

222

x,+x2+...+x40的最小值和最大值是存在的。不妨設(shè)X1<x2<...<X40,若X1

2222

>1,則/+々=(%)-1)+(x2+l),且(X[—1)+(x2+1)=%,+X2+2

22

(x2-x,)+2>X,+X2,所以，當(dāng)網(wǎng)>1時(shí)，可以把花逐步調(diào)整到1,這時(shí)

無：+才+…+》親將增大；同樣地，可以把W，七，…％39逐步調(diào)整到1，這

時(shí)X；+/2+...+X4G2將增大。于是，當(dāng)X],無2，…尤39均為1，》40=19時(shí),

X；+々2+…+%4()2取得最大值，即A=「+4+...+12+192=400。若存在兩個(gè)

-394--

數(shù)匕，xj,使得X,—匕22(1WiWjW40),則(x,+1)?+(吃-1)2=x/+xj

22

—2(Xj—Xj-1)<Xi+Xj,這說明在X],%3，…%39，%40中，如果有兩

個(gè)數(shù)的差大于1,則把較小的數(shù)加1,較大的數(shù)減1,這時(shí)，X,2+%/+...+

將減小。所以，當(dāng)/+式+…+刀4c2取到最小時(shí)，不，X2,…X40中任意兩個(gè)

數(shù)的差都不大于1。于是當(dāng)匹=%2=3=々2=1，％23=無24=3=彳40=2時(shí),

X1+%/+...+x4G2取得最小值，即8=r+七…+F,+?+22+22,=94,

22個(gè)18個(gè)

故A+B=494

22

5、解：?.?/+4=(無2+2)一(2元＞=(x+2x+2)(/-2X+2)

=[(x+l)2+l][(x-l)2+l]

由#(22+1)(42+1)(62+1)...(382+1)(4O2+1)22+11

22222-2-

'?八(4+1)(6+1)(8+1)...(40+1)(42+1)42+1353

a47,u

----+—。+----15=0八

6、解：由已知可知，〃」)=0,〃3)=0得2793，解得

32

——a+—b------15==0

842

a=24

'b=2

/.a+b=24+2=26

三、解答題

1＞解：由已知有a+l=x①b+--x②c+—=x(3)d+—=x④

bcda

由①解出人=」一⑤代入②得c

x-a—cix—1

將⑥代入③得「一"+-=x

x-ax-\d

2

即公3-gd+l)x-(2d-a)x+ad+1=0⑦

由④得ad+l=or,代入⑦彳Kd-)(/-2x)=0

由已知d-6F0,x3—2x=0

若x=0,貝U由⑥可得i=c,矛盾，故=2,x=±V2

2、解：①令x=0,得?=平方數(shù)c?；令工=±1,得。+b+c=/%2,a-b+c=n2,

其中m、n都是整數(shù)，所以，2〃=m2+〃2-2c,2b=加2-〃2都是整數(shù)。

②如果2b是奇數(shù)2k+l（k是整數(shù)），令x=4得16。+46+。2=*,其中h是整

數(shù)，由于2a是整數(shù)，所以16a被4整除，有l(wèi)&z+48=16a+4攵+2除以4余

2,而/--=優(yōu)+/）（〃一/）,在h,1的奇偶性不同時(shí),（力