北師大版數(shù)學八年級下冊教案全冊

八年級數(shù)學下冊教學設計

第一章三角形的證明

§1.1.1等腰三角形

教學目標：

1、理解作為證明基礎的幾條公理的內(nèi)容，應用這些公理證明等腰三角形的性質(zhì)定理；

2、在證明過程中，進一步感受證明過程，掌握推理證明的基本要求，明確條件和結論,

能夠借助數(shù)學符號語言利用綜合法證明等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理；

3、熟悉證明的基本步驟和書寫格式。

教學重難點：

重點：探索證明等腰三角形性質(zhì)定理的思路與方法，掌握證明的基本要求和方法；

難點：明確推理證明的基本要求如明確條件和結論，能否用數(shù)學語言正確表達等。

教學過程：

一、回顧舊知導出公理

提請學生回憶并整理已經(jīng)學過的8條基本事實中的5條：

L兩直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行；

2.兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等；

3.兩邊夾角對應相等的兩個三角形全等（SAS）；

4.兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等（ASA）；

5.三邊對應相等的兩個三角形全等（SSS）；

在此基礎上回憶全等三角形的另一判別條件：1.（推論）兩角及其中一角的對邊對應相

等的兩個三角形全等（AAS）,并要求學生利用前面所提到的公理進行證明；2.回憶全等三

角形的性質(zhì)。

教學中注意提請學生分析條件和結論，畫出簡圖，寫出已知和求證，并規(guī)范地寫出證明

過程。具體證明如下：

已知：如圖，ZA=ZD,ZB=ZE,BC=EF.

求證：△ABCgZSDEF.

證明：VZA=ZD,ZB=ZE（已知），

又NA+/B+NC=180°,ZD+ZE+ZF=180°（三角形內(nèi)角和等于180°）,

.\ZC=180°-（ZA+ZB）,

ZF=180°-（ZD+ZE）,入久

.?.NC=/F（等量代換）。\\

又BC=EF（已知），\\

AAABC^ADEF（ASA）。3---\工--\

二、折紙活動探索新知

在提問：''等腰三角形有哪些性質(zhì)？以前是如何探索這些性質(zhì)的，你能再次通過折

紙活動驗證這些性質(zhì)嗎？并根據(jù)折紙過程，得到這些性質(zhì)的證明嗎？”的基礎上，讓學

生經(jīng)歷這些定理的活動驗證和證明過程。具體操作中，可以讓學生先獨自折紙觀察、探

索并寫出等腰三角形的性質(zhì)，然后再以六人為小組進行交流，互相彌補不足。

在教學過程中，教師應注意小組的巡視，提醒學生思考多種證明思路，思考不同的輔助

線之間的關系從而得到“三線合一”。

三、明晰結論和證明過程

在學生小組合作的基礎上，教師通過分析、提問，和學生一起完成以上兩個個性質(zhì)定理

的證明，注意最好讓兩至三個學生板演證明，其余學生挑選其一證明.其后，教師通過課件匯

總各小組的結果以及具體證明方法，給學生明晰證明過程。

（1）等腰三角形的兩個底角相等；

（2）等腰三角形頂角的平分線、底邊中線、底邊上高三條線重合

四、隨堂練習鞏固新知

學生自主完成P4第2題：如圖（圖略），在aABD中,C是BD上的一點，且ACLBD,

AC=BC=CD,

（1）求證：4ABD是等腰三角形；

（2）求NBAD的度數(shù)。

鞏固全等三角形判定公理的應用，復習等腰三角形“等邊對等角”的用法。

五、課堂小結

讓學生暢談收獲，包括具體結論以及其中的思想方法等。

形成及時總結語反思的意識與習慣，提高學生能力。

教師注意對學生的感想進行適當?shù)囊龑В⒃趯W生交流的基礎上，明晰部分收獲供學生

共享，如：

1、具體有關性質(zhì)定理：

2、通過折紙活動對獲得的定理給予了嚴格的證明，為今后解決有關等腰三角形的問題

提供了豐富的理論依據(jù).

3、體會了證明一個命題的嚴格的要求，體會了證明的必要性.

六、布置作業(yè)

P5習題1,2.

§1.1.2等腰三角形

教學目標：

1、探索——發(fā)現(xiàn)——猜想——證明等腰三角形中相等的線段，進一步熟悉證明的基本

步驟和書寫格式，體會證明的必要性；

2、經(jīng)歷“探索一發(fā)現(xiàn)一猜想一證明”的過程，讓學生進一步體會證明是探索活動的自

然延續(xù)和必要發(fā)展，發(fā)展學生的初步的演繹邏輯推理的能力；

教學重難點：

重點：經(jīng)歷“探索——發(fā)現(xiàn)一一猜想——證明”的過程，能夠用綜合法證明有關三角形

和等腰三角形的一些結論.

教學過程：

一、提出問題，引入新課

在回憶上節(jié)課等腰三角形性質(zhì)的基礎上，提出問題：

在等腰三角形中作出一些線段（如角平分線、中線、高等），你能發(fā)現(xiàn)其中一些相等的線

段嗎?你能證明你的結論嗎？

二、自主探究

在等腰三角形中自主作出一些線段（如角平分線、中線、高等），觀察其中有哪些相等的

線段，并嘗試給出證明。

教師應注意給予適度的引導，如可以漸次提出問題：

你可能得到哪些相等的線段？

你如何驗證你的猜測？

你能證明你的猜測嗎？試作圖，寫出已知、求證和證明過程;

還可以有哪些證明方法？

通過學生的自主探究和同伴的交流，學生一般都能在直觀猜測、測量驗證的基礎上探究

出：等腰三角形兩個底角的平分線相等；等腰三角形兩腰上的高相等；等腰三角形兩腰上的

中線相等.并對這些命題給予多樣的證明。

如對于“等腰三角形兩底角的平分線相等”，學生得到了下面的證明方法：

已知：如圖，在aABC中，AB二AC,BD、CE是AABC的角平分線.

求證:BD=CE.

證法1：；AB=AC,

二/ABC=NACB（等邊對等角）.

VZ1=1ZABC,Z2=|ZABC,

.*.Z1=Z2.

在和4CEB中，

ZACB=ZABC,BC=CB,Z1=Z2.

.,.△BDC^ACEB（ASA）.

BD=CE（全等三角形的對應邊相等）

證法2：證明：???AB=AC,

ZABC=ZACB.

又；N3=/4.

在△ABC和△ACE中，

Z3=Z4,AB=AC,ZA=ZA.

.,.△ABD^AACE(ASA).；.BD=CE(全等三角形的對應邊相等).

三、經(jīng)典例題變式練習

提請學生思考，除了角平分線、中線、高等特殊的線段外，還可以有哪些線段相等？

并在學生思考的基礎上，研究課本“議一議”：

在課本圖1一4的等腰三角形ABC中，

⑴如果/ABD」ZABC,ZACE=j/ACB呢？由此，你能得到個什么結論?

(2)如果AD=1AC,AE=|AB,那么BD=CE嗎?如果AD=|AC,AE=|AB呢？由止匕你得至I」什

么結論？

教學中應注意對學生的引導，因為學生先前這樣的經(jīng)驗比較少，可能學生一時不知如何

研究問題，教師可以引導學生思考：把底角二等份的線段相等.如果是三等份、四等份……

結果如何呢?從而引出“議一議”。

由于課堂時間有限，如果學生全部解決上述問題，時間不夠，可以在引導學生提出上述

這些問題的基礎上，讓學生證明其中部分問題，而將其余問題作為課外作業(yè)，延伸到課外；

當然，也可以對不同的學生提出不同的要求，如普通學生僅僅證明其中部分問題，而要求部

分學優(yōu)生解決所有的問題，甚至要求這部分學優(yōu)生思考”還可以提出哪些類似問題，你是如

何想到這些問題的”。

在學生解決問題的基礎上，教師還應注意揭示蘊含其中的思想方法。

四、拓展延伸，探索等邊三角形性質(zhì)

提請學生在上面等要三角形性質(zhì)定理的基礎上，思考等邊三角形的特殊性質(zhì)：等邊三角

形三個內(nèi)角都相等并且每個內(nèi)角都等于60°.

已知：如圖，△ABC中，AB=BC=AC.

求證：ZA=ZB=ZC=60°.

證明：在△ABC中，：AB=AC,...NBuNC（等邊對等角）.

同理：ZC=ZA,.*.ZA=ZB=ZC（等量代換）.

又；NA+NB+NC=180°（三角形內(nèi)角和定理），.?.NA=/B=/C=60°.

五、隨堂練習及時鞏固

在探索得到了等邊三角形的性質(zhì)的基礎上，讓學生獨立完成以下練習。

1.如圖，已知AABC和aBDE都是等邊三角形.

求證:AE=CD

六、探討收獲課時小結

本節(jié)課我們通過觀察探索、發(fā)現(xiàn)并證明了等腰三角形中相等的線段，并由特殊結論歸

納出一般結論。作業(yè)：

§1.1.3等腰三角形

教學目標：

1.探索等腰三角形判定定理.2.理解等腰三角形的判定定理，并會運用其進行簡單的證

明.3.了解反證法的基本證明思路，并能簡單應用。4.培養(yǎng)學生的逆向思維能力。

教學重難點：

理解等腰三角形的判定定理，并會運用其進行簡單的證明.

教學過程：

一、復習引入：

通過問題串回顧等腰三角形的性質(zhì)定理以及證明的思路，要求學生獨立思考后再進交流。

問題1.等腰三角形性質(zhì)定理的內(nèi)容是什么？這個命題的題設和結論分別是什么？

問題2.我們是如何證明上述定理的？

問題3.我們把性質(zhì)定理的條件和結論反過來還成立么？如果一個三角形有兩個角相

等，那么這兩個角所對的邊也相等？

二、逆向思考，定理證明

上面，我們改變問題條件，得出了很多類似的結論，這是研究問題的一種常用方法，

除此之外，我們還可以“反過來”思考問題，這也是獲得數(shù)學結論的一條途徑.例如“等邊

對等角”，反過來成立嗎?也就是：有兩個角相等的三角形是等腰三角形嗎？

［生］如圖，在4ABC中，ZB=ZC,要想證明AB=AC,只要構造兩個全等的三角形，使

AB與AC成為對應邊就可以了.A

［師］你是如何想到的?

［生］山前面定理的證明獲得啟發(fā)，比如作BC的中線，或作A的平分線,

BC

或作BC上的高，都可以把AABC分成兩個全等的三角形.

［師］很好.同學們可在練習本上嘗試一下是否如此，然后分組討論.

［生］我們組發(fā)現(xiàn)，如果作BC的中線，雖然把AABC分成了兩個三角形，但無法用公理

和已證明的定理證明它們?nèi)?因為我們得到的條件是兩個三角形對應兩邊及其一邊的對角

分別相等，是不能夠判斷兩個三角形全等的.后兩種方法是可行的.

［師］那么就請同學們?nèi)芜x一種方法按要求將推理證明過程書寫出來.（教師可讓兩個同

學在黑板上演示，并對推理證明過程講評）

（證明略）

［師］我們用“反過來”思考問題，獲得并證明了一個非常重要的定理——等腰三角形

的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形.這一定理可以簡單敘述為：等角對等

邊.我們不僅發(fā)現(xiàn)了幾何圖形的對稱美，也發(fā)現(xiàn)了數(shù)學語言的對稱美.

三、鞏固練習

將書中的隨堂練習提前到此，是為了及時鞏固判定定理。引導學生進行分析。

已知：如圖,NCAE是AABC的外角,AD〃BC且N1=N2.

求證：AB=AC.

證明：VAD/ZBC,

.?.N1=NB（兩直線平行，同位角相等）,

N2=NC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

又/.ZB=ZC.

...AB=AC（等角對等邊）.

四、適時提問導出反證法

我們類比歸納獲得一個數(shù)學結論，“反過來”思考問題也獲得了一個數(shù)學結論.如果

否定命題的條件，是否也可獲得一個數(shù)學結論嗎?我們一起來“想一想”：

小明說，在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么這兩個角所對的邊也不相等.你

認為這個結論成立嗎?如果成立，你能證明它嗎?

有學生提出：“我認為這個結論是成立的.因為我畫了兒個三角形，觀察并測量發(fā)現(xiàn),

如果兩個角不相等，它們所對的邊也不相等.但要像證明“等角對等邊”那樣卻很難證明,

因為它的條件和結論都是否定的.”的確如此.像這種從正面人手很難證明的結論，我們有

沒有別的證明思路和方法呢?

我們來看一位同學的想法：

如圖，在aABC中，已知NBWNC,此時AB與Ac要么相等，要么不相

等.

假設AB=AC,那么根據(jù)“等邊對等角”定理可得/C=NB,但已知條件是

NBW/C."NC=/B”與已知條件"/BW/C”相矛盾，因此AB#AC

你能理解他的推理過程嗎?

再例如，我們要證明AABC中不可能有兩個直角，也可以采用這位同學的證法，假設

有兩個角是直角，不妨設ZA=90°,ZB=90°,可得ZA+ZB=180°,但

△ABNA+NB+NC=180°,“NA+NB=180°”與“NA+NB+NC=180°”相矛盾，SlltAABC

中不可能有兩個直角.

引導學生思考：上一道面的證法有什么共同的特點呢?引出反證法。

都是先假設命題的結論不成立，然后由此推導出了與已知或公理或已證明過的定理相

矛盾，從而證明命題的結論一定成立.這也是證明命題的一種方法，我們把它叫做反證法.

接著用“反過來”思考問題的方法獲得并證明了等腰三角形的判定定理”等角對等

邊”，最后結合實例了解了反證法的含義.

五、拓展延伸

在一節(jié)課結束之際，為培養(yǎng)學生思維的綜合性、靈活性特安排了2個練習。個是通

過平行線、角平分線判定三角形的形狀，再通過線段的轉換求圖形的周長。另一個是一個開

放性的問題，考察學生多角度多維度思考問題的能力。學生在獨立思考的基礎上再小組交流。

1.如圖，BD平分/CBA,CD平分NACB,且MN〃BC,設AB=12,AC=18,求AAMN的周

2.現(xiàn)有等腰盤角形紙片-，如果能從一個角的頂點出發(fā)，將原紙片一次剪開成兩塊等腰三

角形紙片，問此時的等腰三角形的頂角的度數(shù)？

六、課堂小結

(1)本節(jié)課學習了哪些內(nèi)容？

(2)等腰三角形的判定方法有哪幾種？

(3)結合本節(jié)課的學習，談談等腰三角形性質(zhì)和判定的區(qū)別和聯(lián)系.

(4)舉例談談用反證法說理的基本思路

§1.1.4等腰三角形

教學目標：

1、理解等邊三角形的判別條件及其證明，理解含有30°角的直角三角形性質(zhì)及其證明，

并能利用這兩個定理解決一些簡單的問題。

2、經(jīng)歷實際操作，探索含有30°角的直角三角形性質(zhì)及其推理證明過程，發(fā)展合情推

理能力和初步的演繹推理的能力。

教學重難點：

重點：等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明.含30°角的直角三角形性質(zhì)定理的發(fā)現(xiàn)與證明.

難點：含30°角的直角三角形性質(zhì)定理的探索與證明.引導學生全面、周到地思考問題.

教學過程：

一、提問問題，引入新課

教師回顧前面等腰三角形的性質(zhì)和判定定理的基礎上，直接提出問題：等邊三角形作

為一種特殊的等腰三角形,具有哪些性質(zhì)呢？又如何判別一個三角形是等腰三角形呢？從而

引入新課。(教師應給學生自主探索、思考的時間)

二、自主探索

學生自主探究等腰三角形成為等邊三角形的條件，并交流匯報各自的結論，教師適時

要求學生給出相對規(guī)范的證明，概括出等邊三角形的判別條件，并引導學生總結出下表：

性質(zhì)判定的條件

等腰三角形等邊對等角等角對等邊

(含等邊三“三線合一”即等腰三有一角是60°

角形)角形頂角平分線，底邊

上的中線、高互相重合

等邊三角形三個角都相三個角都相等的三角

等,且每個角都是60°形是等邊三角形

三、實際操作提出問題

教師直接提出問題：我們還學習過直角三角形，今天我們研究個特殊的直角三角形:

含30°角的直角三角形。拿出三角板，做一做：

定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的'

半.

已知：如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZBAC=30°.求證：BC=^AB.

分析：從三角尺的拼擺過程中得到啟發(fā)，延長BC至D,使CD=BC,連接AD.

證明：在aABC中，ZACB=90°,ZBAC=30°ZB=60°.A

延長BC至D,使CD=BC,連接AD（如圖所示）./

VZACB=90"AZACB=90°/

VAC=AC,.,.△ABC^AADC（SAS）./

；.AB=AD（全等三角形的對應邊相等）.-----iI）

??.△ABD是等邊三角形（有一個角是60°的等腰三角形是等

邊三角形）.

BD=1AB.

四、變式訓練鞏固新知

直接提請學生思考剛才命題的逆命題：在直角三角形中，如果?條直角邊等于斜邊的

一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°嗎?如果是，請你證明它.

在師生分析的基礎上，給出證明：

已知：如圖,在RSABC中,ZC=90°,BC=1AB.

求證：NBAC=30°

證明：延長BC至D,使CD=BC,連接AD.

VZACB=90°,AZACD=90°.

又：AC=AC.

.,.△ACB^AACD(SAS).

.\AB=AD.

VCD=BC,BD.

又；BC=|AB,.\AB=BD.

.*.AB=AD=BD,

即aABD是等邊三角形.

AZB=60°.在RtZXABC中，ZBAC=30°.

教學中，教師可以引導學生思考：從前面定理證明的輔助線的作法中能否得到啟示？

呈現(xiàn)例題，在師生分析的基礎上，運用所學的新定理解答例題。

［例題］等腰三角形的底角為15°,腰長為2a,求腰上的高CD的長.

分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)在RtAADC中，AC=2a而NDAC是4ABC的?個外角，而

ZDAC=X15°=30°,根據(jù)在直角三角形中，30°角所對的直角邊是斜邊的一半，可求出CD.

D

解：VZABC=ZACB=15°

A

C

AZDAC=ZABC+ZACB=15°+15°=30°

ACD=1AC=^X2a=a（在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角

邊等于斜邊的一半）.

五、暢談收獲課時小結

讓學生對課堂學習進行小結，注意總結具體的知識、結論，以及解決問題的方法和蘊

含其中的思想，如分類討論思想、逆向思維等。

六、布置作業(yè)

§1.2.1直角三角形

教學目標：

1、掌握直角三角形的性質(zhì)定理（勾股定理）及判定定理的證明方法，并能應用定理解

決與直角三角形有關的問題。

2、結合具體例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，知道原命題成立，其逆命

題不一定成立.

教學重難點：

重點：1、了解勾股定理及其逆定理的證明方法.2、結合具體例子了解逆命題的概念,

識別兩個互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立.

難點：勾股定理及其逆定理的證明方法.

教學過程：

一、創(chuàng)設情境，引入新課

通過問題1,讓學生在解決問題的同時.，回顧直角三角形的一般性質(zhì)。

[問題1]?個直角三角形房梁如圖所示，其中BC1AC,

B.C1AC,,垂足分別是氏、Ci,那么BC的長是多少?BC呢?

由此提問：”?般的直角三角形具有什么樣的性質(zhì)呢？”從而引入勾股定理及其證明。

教材中曾利用數(shù)方格和割補圖形的方法得到了勾股定理.如果利用公理及由其推導出

的定理，能夠證明勾股定理嗎？

請同學們打開課本P18,閱讀“讀一讀”，了解一下利用教科書給出的公理和推導出的

定理，證明勾股定理的方法.

二、講述新課

閱讀完畢后，針對“讀一讀”中使用的兩種證明方法，著重討論第一種，第二種方法

請有興趣的同學課后閱讀.

(1).勾股定理及其逆定理的證明.

反過來，如果在一個三角形中，當兩邊的平方和等于第三邊的平方時，我們曾用度量

的方法得出“這個三角形是直角三角形”的結論.你能證明此結論嗎？

師生共同來完成.A

已知：如圖：在aABC中，AB2+AC2=BC2/

求證：Z^ABC是直角三角形.Bc

總結得勾股逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平

方，那么這個三角形是直角三角形.

(2).互逆命題和互逆定理.

這樣的情況，在前面也曾遇到過.例如“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”，交換條件和結

論，就得到“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”.又如“在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,

那么它所對的直角邊就等于斜邊的一半”.交換此定理的條件和結論就可得“在直角三角形

中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°”。

三、議一議

觀察下面三組命題：學生以分組討論形式進行，最后在教師的引導下得出命題與逆命題

的區(qū)別與聯(lián)系。

在兩個命題中，如果一個命題條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么這兩

個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題，相對于逆命題來說，另一個

就為原命題.

山此我們可以發(fā)現(xiàn)：原命題是真命題，而逆命題不一定是真命題.

四、想一想

要寫出原命題的逆命題，需先弄清楚原命題的條件和結論，然后把結論變換成條件，

條件變換成結論，就得到了逆命題.

請學生寫出命題“如果兩個有理數(shù)相等，那么它們的平方相等”的逆命題嗎?它們都是

真命題嗎？

五、隨堂練習

說出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假；

(1)四邊形是多邊形；(2)兩直線平行，內(nèi)旁內(nèi)角互補；(3)如果ab=0,那么a=0,b=0

六、課時小結

這節(jié)課我們了解了勾股定理及逆定理的證明方法，并結合數(shù)學和生活中的例子了解逆命

題的概念，會識別兩個互逆命題，知道，原命題成立，其逆命題不一定成立，掌握了證明方

法，進一步發(fā)展了演繹推理能力.

七、課后作業(yè)

習題1.5第1、2、3、4題

§1.2.2直角三角形

教學目標：

1、能夠證明直角三角形全等的“HL”的判定定理，進一步理解證明的必要性;

2、利用“HL”定理解決實際問題。

教學重難點:

利用“HL”定理解決問題

教學過程：

一、復習提問

1.判斷兩個三角形全等的方法有哪兒種？

2.已知一條邊和斜邊，求作一個直角三角形。想一想，怎么畫？同學們相互交流。

3、有兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形全等嗎？如果其中一個角是直角

呢？請證明你的結論。

我們曾從折紙的過程中得到啟示，作了等腰三角形底邊上的中線或頂角的角平分線，運

用公理，證明三角形全等，從而得出“等邊對等角“。那么我們能否通過作等腰三角形底邊

的高來證明“等邊對等角”.

教師順水推舟，詢問能否證明：”在兩個直角三角形中，直角所對的邊即斜邊和一條直

角邊對應相等的兩個直角三角形全等.”，從而引入新課。

二、引入新課

(1).“HL”定理.由師生共析完成

已知：在RtZSABC和RtZXA'B'C1中，ZC=ZC/=90°，AB=A'B'，BC=B'C'.

求證：RtAABC^RtAA7B'C

證明：在RtaABC中,AC=AB?—BC2（勾股定理）.

又；在雙△A'B'C'中，A'C'=A'C=A'B'2—B'C'2（勾股定理）.

AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C.

Z.RtAABC^RtAA'B'C'(SSS).

定理斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.

這一定理可以簡單地用“斜邊、直角邊”或“HL”表示.

練習：判斷F列命題的真假，并說明理由：

(1)兩個銳角對應相等的兩個直角三角形全等；

(2)斜邊及一銳角對應相等的兩個直角三角形全等；

(3)兩條直角邊時應相等的兩個直角三角形全等：

(4)一條直角邊和另一條直角邊上的中線對應相等的兩個直角三角形全等.

對于(1)、(2)、(3)一般可順利通過，這里教師將講解的重心放在了問題(4),

學生感覺是真命題，一時有無法直接利用已知的定理支持，教師引導學生證明.

三、做一做

問題你能用三角尺平分一個已知角嗎？請同學們用手中的三角尺操作完成，并在小

組內(nèi)交流，用自己的語言清楚表達自己的想法.

(設計做一做的目的為了讓學生體會數(shù)學結論在實際中的應用，教學中就要求學生能

用數(shù)學的語言清楚地表達自己的想法，并能按要求將推理證明過程寫出來。)

四、議一議

已知NACB=NBDA=90°,要使△ACBZBDA,還需要什么條件?把它們分別寫出來.

這是一個開放性問題，答案不唯一，需要我們靈活地運用公理和已學過的定理，觀察圖

形，積極思考，并在獨立思考的基礎匕通過同學之間的交流，獲得各種不同的答案.

五、例題學習CC'

如圖，在aABC絲△A'B'C'中，CD,C'D'分別分別

是高，并且AC=A'C',CD=C'D'.ZACB=ZA'CB'.//\」\

4DBA"1)'B'

求證：aABC絲△A'B'C'.

六、課時小結

本節(jié)課我們討論了在一般三角形中兩邊及其一邊對角對應相等的兩個三角形不一定全

等.而當一邊的對角是直角時，這兩個三角形是全等的，從而得出判定直角三角形全等的特

殊方法——HL定理，并用此定理安排了?系列具體的、開放性的問題，不僅進一步掌握了

推理證明的方法，而且發(fā)展了同學們演繹推理的能力.

七、課后作業(yè)

習題1.6第3、4、5題

§1.3.1線段的垂直平分線

教學目標：

1.證明線段垂直平分線的性質(zhì)定里和判定定理。2.經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，進

一步發(fā)展學生的推理證明能力.豐富對幾何圖形的認識。

教學重難點：

重點是運用幾何符號語言證明垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆命題。難點是垂直平分線的

性質(zhì)定理在實際問題中的運用。

教學過程：

一、創(chuàng)設情境，引入新課

如圖，A、B表示兩個倉庫，要在A、B一側的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的

距離相等，碼頭應建在什么位置？

其中“到兩個倉庫的距離相等”，要強調(diào)這幾個字在題中有4.

很重要的作用.________?B

線段是一個軸對稱圖形，其中線段的垂直平分線就是它的對

/------------

稱軸.我們用折紙的方法，根據(jù)折疊過程中線段重合說明了線段

垂直平分線的一個性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等.所以在這個問

題中，要求在“A、B一側的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等”利用此性

質(zhì)就能完成.

進一步提問：“你能用公理或?qū)W過的定理證明這一結論嗎？”

二、性質(zhì)探索與證明

教師鼓勵學生思考，想辦法來解決此問題。

通過討論和思考，引導學生分析并寫出已知、求證的內(nèi)容。

己知：如圖，直線MNLAB,垂足是3且AC=BC,P是MN上的點.

求證:PA=PB.

分析：要想證明PA=PB,可以考慮包含這兩條線段的兩個三角形是否全等.

證明：...MNLAB,

ZPCA=ZPCB=90°yk

VAC=BC,PC=PC,/I\

CTB

.,.△PCA^APCB(SAS).；|

，PA=PB(全等三角形的對應邊相等).

教師用多媒體完整演示證明過程.

三、逆向思維，探索判定

逆命題就很容易寫出來.“如果有一個點到線段兩個端點的距離相等，那么這個點在這

條線段的垂直平分線上.”

寫出逆命題后時，就想到判斷它的真假.如果真，則需證明它；如果假，則需用反例說

明.

引導學生分析證明過程，有如下證法：

已知：線段AB,點P是平面內(nèi)一點且PA=PB.

求證：P點在AB的垂直平分線上.

證法一：過點P作已知線段AB的垂線PC,PA=PB,PC=PC,

證法二：取AB的中點C,過PC作直線.

證法三：過P點作/APB的角平分線.

從同學們的推理證明過程可知線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆命題是真命題，

我們把它稱做線段垂直平分線的判定定理.

四、鞏固應用

在做完性質(zhì)定理和判定定理的證明以后，引導學生進行總結：(1)線段的垂直平分線

可以看成是到線段兩個端點距離相等的所有點的集合。

(2)到一條線段兩個端點的距離相等個點在這條線段的垂直平分線上.因此只需做出

這樣的兩個點即可做出線段的垂直平分線。

例題：已知：如圖1T8,在AABC中，AB=AC,0是z^ABC內(nèi)一點，且OB=0C.

求證：直線A0垂直平分線段BC。.

五、隨堂練習/'

課本P23；習題1.7：第1、2題

六、課堂小結BN―r

通過這節(jié)課的學習你有哪些新的收獲？還有哪些困惑？

七、課后作業(yè)

習題1.7第3、4題

§1.3.2線段的垂直平分線

教學目標：

1.能夠證明三角形三邊垂直平分線交于一點；2.經(jīng)歷猜想、探索，能夠作出符合條件的

三角形；

教學重難點：

重點：1、能夠證明與線段垂直平分線相關的結論.2、已知底邊和底邊上的高，能利

用尺規(guī)作出等腰三角形.難點：證明三線共點。

教學過程：

一、情景引入

尺規(guī)作圖作三條邊的垂直平分線。

“三角形三邊的垂直平分線交于一點.”、“這一點到三角形三個頂點的距離相等.”

等都是學生可以發(fā)現(xiàn)的直觀性質(zhì)。這節(jié)課我們來學習探索和線段垂直平分線有關的結論.

二、例題解析，

(1)教師引導學生分析，尋找證明方法。|/\

我們要從理論上證明這個結論，也就是證明“三線共點”，但

這是我們沒有遇到過的.不妨我們再來看一下演示過程，或許你能

從中受到啟示.色NN

通過演示和啟發(fā)，引導學生認同：“兩直線必交于一點，那么

要想證明'"三線共點'，只要證第三條直線過這個交點或者說這個點在第三條直線上即可.”

雖然我們已找到證明“三線共點”的突破口，詢問學生如何知道這個交點在第三邊的

垂直平分線上呢?師生共析，完成證明

(2)討論結束后，學生書寫證明過程。教師點評，注意幾

何符號語言的規(guī)范性。IA

我們得出的結論：\/I\

定理三角形三邊的垂直平分線相交于一點，并且這一

點到三個頂點的距離相等

三、引申拓展

(D已知三角形的一條邊及這條邊上的高，你能作出三角形嗎?如果能，能作幾個?所

作出的三角形都全等嗎？

(2)一知等腰三角形的底邊，你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎?如果能，能作幾個?所作出

的三角形都全等嗎？

(3)已知等腰三角形的底邊及底邊上的高，你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎?能作幾個？

(4)例題學習

已知底邊及底邊上的高，求作等腰三角形.

已知：線段a、h

(5)做?做：課本第25頁：教師引導學生分析作出草圖，注意對學生作法敘述的準

確性加以更正。

四、動手操作

(1)例題：已知直線1和1上一點P,用尺規(guī)作1的垂線，使它經(jīng)過點P.

學生先獨立思考完成，然后交流：說出做法并解釋作圖的理由。

(2)拓展：如果點P是直線1外一點，那么怎樣用尺規(guī)作1的垂線，使它經(jīng)過點P

呢？說說你的作法，并與同伴交流.

五、隨堂練習：：習題1.8第1、2題。

六、課時小結

本節(jié)課通過推理證明了“到三角形三個頂點距離的點是三角形三條邊的垂直平分線的

交點，及三角形三條邊的垂直平分線交于一點”的結論，并能根據(jù)此結論“已知等腰三角形

的底和底邊的高，求作等腰三角形”.

七、課后作業(yè)

習題1.8第3、4題

§1.4.1角平分線

教學目標：

1.會證明角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理.2.進?步發(fā)展學生的推理證明意識和能力，

培養(yǎng)學生將文字語言.轉化為符號語言、圖形語言的能力.

教學重難點：

正確地表述角平分線性質(zhì)定理的逆命題及其證明。

教學過程：

一、情境引入

我們曾用折紙的方法探索過角平分線上的點的性質(zhì)，步驟如下：

從折紙過程中，我們可以得出CD=CE,即角平分線上的點到角兩邊的距離相等.你能證明它

嗎？

二、探究新知

(1)引導學生證明性質(zhì)定理

請同學們自己嘗試著證明上述結論，然后在全班進行交流.

我們用公理和已學過的定理證明了我們折紙過程中得出的結論.我們把它叫做角平分

線的性質(zhì)定理。

(2)你能寫出這個定理的逆命題嗎？

我們在前面學習線段的垂直平分線時，已經(jīng)歷過構造其逆命題的過程，我們可以類比

著構造角平分線性質(zhì)定理的逆命題.

引導學生分析結論后完整地敘述出角平分線性質(zhì)定理的逆命題：

在一個角的內(nèi)部且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的角平分線上.

它是真命題嗎？你能證明它嗎？

沒有加“在角的內(nèi)部”時，是假命題.

證明如下：

已知：在么AOB內(nèi)部有一點P,且PD上OA,PE10B,D、E為垂足且PD=PE,

求證：點P在么AOB的角平分線上.

證明：PD10A,PE±OB,

AZPDO=ZPE0=90°.

在RtAODP和RtAOEP中

OP=OP,PD=PE,ARtAODPgRtZ\OEP(HL定理).

N1=N2(全等三角形對應角相等).

逆命題利用公理和我們已證過的定理證明了，那么我們就可以把這個逆命題叫做原定

理的逆定理.我們就把它叫做角平分線的判定定理。

(3)用直尺和圓規(guī)畫已知角的平方線及作圖的依據(jù)討論。

三、鞏固練習

綜合利用角平分線的性質(zhì)和判定、直角三角形的相關性質(zhì)解決問題。進一步發(fā)展學生

的推論證明能力。在學生獨立完成推理過程的基礎上，教師要給出書寫示范

例題：在AABC中，NBAC=60°,點D在BC上，AD=10,DE1AB,DF1AC,

垂足分別為E,F,且DE=DF,求DE的長.

(4)課本例題學習

四、隨堂練習課本第29頁1、2題。

五、課堂小結

這節(jié)課證明了角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，在有角的平分線（或證明是角的平分線）時，

過角平分線上的點向兩邊作垂線段，利用角平分線的判定或性質(zhì)則使問題迅速得到解決。

六、課后作業(yè)

習題1.9第1,2,3,4題.

§1.4.1角平分線

教學目標：

1、證明與角的平分線的性質(zhì)定理和判定定理相關的結論.

2、角平分線的性質(zhì)定理和判定定理的靈活運用.

教學重難點：

重點：1、三角形三個內(nèi)角的平分線的性質(zhì).2、綜合運用角平分線的判定和性質(zhì)定理，

解決幾何中的問題.難點：角平分線的性質(zhì)定理和判定定理的綜合應用.

教學過程：

一、設置情境問題，搭建探究平臺

問題1習題1.8的第1題作三角形的三個內(nèi)角的角平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？能證明自

己發(fā)現(xiàn)的結論一定正確嗎？于是，首先證明“三角形的三個內(nèi)角的角平分線交于一點”.

二、展示思維過程，構建探究平臺\c/

已知：如圖，設的角平分線.BM、0V相交于點只

證明：P點在/B4C的角平分線上./A/,

在證明過程中，我們除證明了三角形的三條角平分線相交于一點外，還有什么“附帶”

的成果呢？（PFPFPF,即這個交點到三角形三邊的距離相等.）

于是我們得出了有關三角形的三條角平分線的結論，即定理三角形的三條角平分線相

交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等.

下血我通過列表來比較三角形三邊的垂直平分線和三條角平分線的性質(zhì)定理

三邊垂直平分線三條角平分線

銳角三角形交于三角形內(nèi)一點

三角形鈍角三角形交于三角形外一點交于三角形內(nèi)一點

直角三角形交于斜邊的中點

交點性質(zhì)到三角形三個頂點的距離相等到三角形三邊的距離相等

問題2如圖：直線人心、心表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉站，

要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的地址有幾處？你如何發(fā)現(xiàn)的？

三、例題講解

如圖，在AABC中.AC=BC,ZC=90°,AD是aABC的角平分線，DE1AB,垂足為E.

(1)已知CD=4cm,求AC的長；

(2)求證：AB=AC+CD.

［例2］已知：如圖，P是么AOB平分線上的一點，PC±OA,J—yXB

PD10B,垂足分別為C、D.

求證：(1)OC=OD；(2)OP是CD的垂直平分線.

思考：圖中還有哪些相等的線段和角呢？

四、課時小結

本節(jié)課我們利用角平分線的性質(zhì)和判定定理證明了三角形三條角平分線交于一點，且

這一點到三角形各邊的距離相等.并綜合運用我們前面學過的性質(zhì)定理等解決了幾何中的計

算和證明問題.

五、課后作業(yè)

習題1.10第1、2題

§1.5三角形的證明回顧與思考

教學目標：

在回顧與思考中建立本章的知識框架圖，復習有關定理的探索與證明，證明的思路和方

法，尺規(guī)作圖等.

進一步掌握綜合法的證明方法，結合實例體會反證法的含義；提高學生用規(guī)范的數(shù)學語

言表達論證過程的能力.

教學重難點：

重點：通過例題的講解和課堂練習對所學知識進行復習鞏固是重點，

難點：是本章知識的綜合性應用對學生來講是難點。

教學過程：

一、創(chuàng)設問題情境，搭建“回顧與思考”的平臺

通過提問方式復習本章所學習的相關基本知識，如定理、逆定理等。

問題1：你能說說作為證明基礎的幾條公理嗎？

教師通過學生回答并整理出六條公理如下：

1.兩直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行；

2.兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等；

3.兩邊夾角對應相等的兩個三角形全等；（SAS）

4.兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等；（ASA）

5.三邊對應相等的兩個三角形全等；（SSS）

6.全等三角形的對應邊相等,對應角相等.

問題2：向你的同伴講述一兩個命題的證明思路和證明方法.

①綜合法：從己知出發(fā)利用學過的公理和己證明的定理進行合情推理和演繹推理；

②反證法.

（教師可關注基礎較差的學生，給于關注和指導）

問題3：你能說出對互逆命題嗎？它們的真假性如何？

問題4：任意畫一個角，利用尺規(guī)將其二等分、四等分.

已知：如圖,ZAOB

求作：（1）射線0C,使/AOC=/BOC：

（2）射線OD、0E,使/AOD=/DOC=NCOE=NEOB

二、建立本章的知識框架圖

本章所證明的命題大多與等腰三角形和直角三角形有關，主要包括哪些呢？

等腰三角形（含等邊三角形）、直角三角形的性質(zhì)定理及判定定理；線段垂直平分線

的性質(zhì)定理及判定定理；角平分線的性質(zhì)定理及判定定理.

1.通過探索、猜測、計算、證明得到的定理：

（1）與等腰三角形、等邊三角形有關的結論：

性質(zhì)：等腰三角形的兩個底角相等，即等邊對等角：

等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合；

等腰三角形兩底角的平分線相等，兩條腰上的中線相等，兩條腰上的高相等.

等邊三角形的三條邊都相等，三個角都相等，并且每個角都等于60°；

等邊三角形的三條角平分線、三條中線、三條高互相相等.

判定：有兩個角相等的三角形是等腰三角形；

有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形；

三個角都相等的三角形是等邊三角形.

（2）與直角三角形有關的結論:

勾股定理的逆定理；

在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；

斜邊和一直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.（HL）

（3）與?般三角形有關的結論：

在一個三角形中，兩個角不相等，它們所對的邊也不相等（用反證法證明）.

2.命題的逆命題及其真假：

在兩個命題中，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么這

兩個命題稱為互逆命題.其中一個命題稱為另一個命題的逆命題.

一個命題是真命題，它的逆命題不一定是真命題.如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是

真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理稱為互逆定理.其中?個定理稱為另一個定理的

逆定理.例如勾股定理及其逆定理.

3.尺規(guī)作圖

線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理；用尺規(guī)作線段的垂直平分線；已知底邊和底

邊上的高，用尺規(guī)作等腰三角形

角平分線的性質(zhì)定理和判定定理；用尺規(guī)作已知角的平分線.

三、例題講解

例1、已知：如圖，D是AABC的BC邊上的中點，DE1AC,DE±AB,垂足分別是E、F,

且DE=DF.求證：AABC是等腰三角形.

分析：要證AABC是等腰三角形，可證/B=/C.

例2、如圖，在aABC中，AB=AC,AB的垂直平分線交AC于點E,已知aBCE的周長為

8,AC-BC=2.求AB與BC的長.

分析：由已知AC-BC=2,即AB-BC=2,要求AB和BC的長，利用方程的思想，需找另

一個AB與BC的關系.

四、課時小結

本章的內(nèi)容總結如下:

與等腰二角形、等上二角形有關的結論

r通過探索、猜測、計算、證明得

到的定理與直角三角形有關的結論

與般三角形有關的結論

\命題的逆命題及其真假

~線段的垂直平分線

尺規(guī)作圖

、角的平分線

五、布置作業(yè)

課內(nèi)：A組題中的第3、4、5、6、7、8題;

課外：A組題中的9題，B組題第1、2、3題.

第二章一元一次不等式與一元一次不等式組

課題§2.1不等關系

學習①理解不等式的意義.

目標

②能根據(jù)條件列出不等式.

學習通過探尋實際問題中的不等式關系，認識不等式。

重點

學習實際問題中怎樣建立量與量之間的不等關系。

難點

學習過程學習內(nèi)容補充

調(diào)整

預習1.已知正方形的邊長為a,則正方形的面積為________

導學2.已知圓的半徑為r,則該圓的面積為_____________

學1、不等關系在日常生活中十分常見，你能舉出一些關于不等關系的例子嗎？

2、如圖1—1,用兩根長度均為/cm的繩子，分別圍成一個正方形和圓.

□O

習

圖1-1

(1)如果要使正方形的面積不大于25cm2,那么繩長/應滿足怎樣的關系式？

(2)如果要使圓的面積不小于100cn?,那么繩長/應滿足怎樣的關系式？

(3)當/=8時，正方形和圓的面積哪個大？/=12呢？

(4)你能得到什么猜想？改變，的取值，再試一試

研分析：?個是正方形和圓的面積計算公式—

另一個是了解“不大于”“大于”等詞的含意

(1)因為繩長/為正方形的周長，所以正方形的邊長為______，得面積

為__________，

要使正方形的面積不大于25cm2,就是___________________

(2)因為圓的周長為1,所以圓的半徑為_________________要使圓的面

討積不小于100cm2,就是_____________

(3)當/=8時，正方形的面積為

圓的面積為_____________________

二的面積大

當1=12時，正方形的面積為_________

圓的面積為七(cm2)

此時_____的面積大.

(4)(4)我們可以猜想，用長度均為/cm的兩根繩子分別圍成一個正方形

和圓，無論/取何值，圓的面積總大于正方形的面積，即

因為分子都是相等、分母