材料力學(xué)(第三版) 課件 第3章 扭轉(zhuǎn)

第3章扭轉(zhuǎn)3.1引言3.2扭力偶矩、扭矩與扭矩圖3.3-薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)試驗與剪切胡克定律3.4圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力與變形3.5圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度條件與剛度條件3.6圓柱形密圈螺旋彈簧的應(yīng)力與變形3.7非圓截面軸扭轉(zhuǎn)習(xí)題

3.1引言

扭轉(zhuǎn)是桿件的基本變形形式之一。例如，汽車的轉(zhuǎn)向軸(見圖3-1)上端受到經(jīng)由方向盤傳來的力偶Me作用，下端承受來自轉(zhuǎn)向器的阻抗力偶Me'作用，轉(zhuǎn)向軸各橫截面繞軸線作相對轉(zhuǎn)動。再如變速機(jī)構(gòu)中的傳動軸(見圖3-2)。

圖3-1圖3-2

桿件橫截面繞軸線作相對旋轉(zhuǎn)為主要特征的變形形式(見圖3-3)，稱為扭轉(zhuǎn)。截面間繞軸線的相對角位移，稱為扭轉(zhuǎn)角。圖3-3

由此可見，在垂直于桿件軸線的平面內(nèi)作用有力偶時，桿件產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。使桿件產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形的外力偶，稱為扭力偶，其力矩稱為扭力偶矩。凡是以扭轉(zhuǎn)變形為主要變形的構(gòu)件，稱為軸。

工程實際中有很多構(gòu)件，如攻絲的絲錐、車床的光杠、攪拌機(jī)軸、汽車的傳動軸等；還有一些軸類零件，如電動機(jī)主軸、水輪機(jī)主軸、機(jī)床傳動軸等，都是受扭構(gòu)件。除存在扭轉(zhuǎn)變形之外還有彎曲變形，這稱為組合變形。

3.2扭力偶矩、扭矩與扭矩圖

1.扭力偶矩的計算對于傳動軸等構(gòu)件，往往只給出軸所傳遞的功率和轉(zhuǎn)速，可利用動力學(xué)知識，根據(jù)功率、轉(zhuǎn)速和扭力偶矩之間的關(guān)系：求出作用在軸上的扭力偶矩為

2.扭矩與扭矩圖

為了計算圓軸的應(yīng)力和變形，首先要分析其橫截面上的內(nèi)力。如圖3-4(a)所示圓軸，承受外力偶矩Me作用，現(xiàn)用截面法分析任意橫截面n－n上的內(nèi)力。在n－n截面處假想地將圓軸截開，取其左段為研究對象，作用在軸左段上的外力偶矩為Me，由平衡理論可知，作用在n－n

截面上分布內(nèi)力系的合成結(jié)果必為一力偶，而且該力偶的作用面在橫截面內(nèi)。

將作用于橫截面的內(nèi)力偶矩稱為該截面的扭矩，用T來表示(見圖3-(b))。由軸左段平衡條件：

得n－n截面的扭矩為

圖3-4

例3-1已知傳動軸(見圖3-5(a))的轉(zhuǎn)速n=300r/min，主動輪為A，輸入功率PA=50kW，兩個從動輪為B、C，其中B輪輸出功率PB=30kW。試作軸的扭矩圖。圖3-5

解(1)扭力偶矩計算。A輪為主動輪，故MA的方向與軸的轉(zhuǎn)向一致；而作用在從動輪B、C上的扭力偶矩MB、MC的方向與軸的轉(zhuǎn)向相反。MA、MB的大小分別為

由靜平衡條件∑Mx=0，求得

(2)扭矩計算。用截面法求各段扭矩。在AB段內(nèi)，任選1－1截面為代表，從該截面截開，研究左段(見圖3-5(b))，假定1－1截面上的扭矩T1取正值，由平衡條件∑Mx=0，得

同理，在AC段內(nèi)，任選22截面為代表，從該截面截開，研究右段，假定22截面上的扭矩T2取正值(見圖3-5(c))，由平衡條件亦可求得

(3)畫扭矩圖。以橫坐標(biāo)x表示橫截面位置(與軸的受力圖上下對應(yīng))，以縱坐標(biāo)表示相應(yīng)的扭矩，按選定比例作出BA、AC兩段軸的扭矩圖。因為在每段內(nèi)扭矩是不變的，故扭矩圖由兩段水平線組成，如圖3-5(d)。由圖知，該傳動軸的最大扭矩發(fā)生在AB段內(nèi)，值為

3.3-薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)試驗與剪切胡克定律

1.薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與變形圖3-6(a)所示為一壁厚為δ、平均半徑為R0的薄壁圓筒(δ≤R0/10)。受扭前，在圓筒表面上畫出一組圓周線和縱向線組成的矩形方格。在兩端扭力偶矩Me的作用下，圓筒產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形(見圖3-6(b))。

圖3-6

2.純剪切與切應(yīng)力互等定理

3.剪切胡克定律

利用薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)可做純剪切試驗。試驗結(jié)果表明：對于大多數(shù)工程材料，如果切應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限τp，則切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比(見圖3-7)，即

上述關(guān)系稱為剪切胡克定律，比例常數(shù)G稱為材料的切變模量，其單位是Pa，常用單位是GPa。

理論和試驗均表明，對于各向同性材料，彈性模量E、泊松比μ與切變模量G三個彈性常數(shù)之間存在如下關(guān)系：

因此，當(dāng)已知任意兩個彈性常數(shù)時，由公式(3-5)可以確定第三個彈性常數(shù)。由此可見，各向同性材料只有兩個獨立的彈性常數(shù)。

圖3-7

4.剪切應(yīng)變能

圖3-8所示微體處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)。在切應(yīng)力τ的作用下，微體發(fā)生切應(yīng)變γ，頂面與底面間的相對位移為γdy，因此，作用在微體上的剪力所做之功或微體的應(yīng)變能為

由此得剪切應(yīng)變能密度為圖3-8

3.4圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力與變形

3.4.1試驗與假設(shè)首先通過試驗觀察圓軸的扭轉(zhuǎn)變形，并對其內(nèi)部變形規(guī)律作出假設(shè)。取一等截面圓軸，在其表面畫上圓周線和縱向線(見圖3-9(a))，然后在軸兩端加上一對大小相等、方向相反的扭力偶。

圖3-9

在小變形情況下，其變形特點與薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時相同

(見圖3-9(b))：

(1)各圓周線大小、形狀和間距都不變，只是繞軸線各自轉(zhuǎn)過了不同角度。

(2)各縱向線傾斜了同一角度γ，變形前的小矩形變成了平行四邊形。

由于圓周線大小、形狀和間距都不變，通過由表及里的想象和推測，可以對圓軸扭轉(zhuǎn)變形作出如下假定：變形前的橫截面，變形后仍保持平面，其形狀、大小和各橫截面之間的間距保持不變，且半徑仍保持直線。即各橫截面如同剛性圓片一樣，繞軸線作相對轉(zhuǎn)動。此假設(shè)稱為圓軸扭轉(zhuǎn)的平面假設(shè)，該假設(shè)已為理論和試驗所證實

3.4.2圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的一般公式

1.幾何方面

為了確定橫截面上各點處的應(yīng)力，需要了解軸內(nèi)各點處的變形。為此，用相距dx的兩個橫截面以及夾角無限小的兩個徑向縱截面，從軸內(nèi)切取一楔形體O1ABCDO2進(jìn)行分析(見圖3-10(a))。圖3-10

根據(jù)平面假設(shè)可知，楔形體變形后的形狀如圖中虛線所示，圓軸表面的矩形ABCD變?yōu)槠叫兴倪呅蜛BC'D'，距軸線任意位置ρ處的矩形abcd變?yōu)槠叫兴倪呅蝍bc'd'，即均在垂直于半徑的平面內(nèi)發(fā)生剪切變形。設(shè)楔形體左、右兩側(cè)面間的相對轉(zhuǎn)角為dφ，矩形abcd的切應(yīng)變?yōu)棣忙?，則由圖可知

由于dφ/dx是常量，所以切應(yīng)變γρ與點到軸心的距離ρ成正比。

2.物理方面

由剪切胡克定律可知，在剪切比例極限內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比，因此，橫截面ρ處的切應(yīng)力為

由此可得圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力分布規(guī)律：只存在與半徑垂直的切應(yīng)力，其大小沿半徑呈線性變化(見圖3-10(b))。實心與空心圓截面扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分布分別如圖3-11(a)、(b)所示。圖3-11

3.靜力學(xué)方面

圖3-12x

3.4.3-最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力

3.4.4圓軸的扭轉(zhuǎn)變形

3.5圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度條件與剛度條件

1.扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力

扭轉(zhuǎn)試驗是用圓截面試樣在扭轉(zhuǎn)試驗機(jī)上進(jìn)行的。試驗表明：塑性材料試樣在受扭過程中，先是發(fā)生屈服(見圖3-3(a))，如果繼續(xù)增大扭轉(zhuǎn)力矩，試樣最后沿橫截面被剪斷(見圖3-3(b))。脆性材料試樣受扭時，變形始終很小，最后在與軸線約成45°傾角的螺旋面發(fā)生斷裂(見圖3-13(c))。圖3-13

由此可見，對于受扭圓軸，塑性材料失效的標(biāo)志是屈服，試件屈服時橫截面上的最大切應(yīng)力即為材料的扭轉(zhuǎn)屈服應(yīng)力，用τs表示。屈服時試件表面會出現(xiàn)滑移線(見圖3-13(a))；脆性材料失效的標(biāo)志是斷裂，試件斷裂時橫截面上的最大切應(yīng)力即為材料的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度極限，用τb來表示。扭轉(zhuǎn)屈服應(yīng)力τs和扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度極限τb又統(tǒng)稱為材料的扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力，用τu來表示。

2.圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件

用材料的扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力τu除以安全系數(shù)n，得材料的扭轉(zhuǎn)許用應(yīng)力為

許用應(yīng)力。對于等截面圓軸，則要求

此時|T|max作用截面即為軸的危險截面；而對于變截面圓軸，則要求

此時，由于圓軸各段的抗扭截面系數(shù)不同，最大扭矩作用截面不一定是危險截面。需要綜合考慮扭矩和抗扭截面系數(shù)的大小，確定可能產(chǎn)生最大切應(yīng)力的各橫截面。式(3-15)、式(3-16)稱為圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件。

理論分析和試驗研究表明，材料的扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力[τ]與許用拉應(yīng)力[σ]之間存在下列關(guān)系：

3.圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件

工程中的有些軸，為了能正常工作，除要求滿足強(qiáng)度條件外，還要對軸的扭轉(zhuǎn)變形作一定的限制。例如機(jī)床主軸的扭轉(zhuǎn)角過大會影響加工精度，高速運轉(zhuǎn)的軸扭轉(zhuǎn)角過大會引起強(qiáng)烈振動。一般來說，對于有精度要求和限制振動的機(jī)械，都需要考慮軸的扭轉(zhuǎn)變形。在扭轉(zhuǎn)問題中，通常是限制單位長度的最大扭轉(zhuǎn)角θmax不得超過單位長度許用扭轉(zhuǎn)角[θ]。

因此，由式(3-7)，對于等截面圓軸，其扭轉(zhuǎn)剛度條件為

對于變截面圓軸

例3-3-一等截面實心圓軸，轉(zhuǎn)速n=300r/min，傳遞的功率P=331kW，若圓軸材料的許用切應(yīng)力[τ]=40MPa，單位長度許用扭轉(zhuǎn)角[θ]=0.5°/m，材料切變模量G=80GPa。試設(shè)計圓軸直徑d。

解圓軸所傳遞的外力偶矩為

此時，橫截面上的扭矩為

由圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件

得圓軸直徑

為了用剛度條件計算圓軸直徑，首先將單位長度許用扭轉(zhuǎn)角[θ]進(jìn)行單位換算：

由圓軸扭轉(zhuǎn)的剛度條件

得圓軸直徑

圓軸的直徑取較大值，取d=112

例3-5圖3-14所示為板式槳葉攪拌器，已知電動機(jī)的功率是17kW，攪拌器的轉(zhuǎn)速是60r/min，機(jī)械傳動的效率是90%，軸用?117×6不銹鋼管制成，材料的許用切應(yīng)力[τ]=30MPa，試按強(qiáng)度條件校核攪拌軸是否安全。

圖3-14

例3-6圖3-15所示兩圓軸用法蘭上的12個螺栓連接。已知軸傳遞的扭矩Me=50kN·m，法蘭邊厚t=20mm，平均直徑D=300mm，軸的許用切應(yīng)力[τ]=40MPa，螺栓的許用切應(yīng)力[τ]=60MPa，許用擠壓應(yīng)力[σbs]=120MPa，試求軸的直徑d和螺栓直徑d1。

解(1)求軸的直徑。

由軸的剪切強(qiáng)度條件

可得

圖3-15

例3-7圖3-16(a)所示A、B兩端分別固定的等截面圓軸，C處承受扭力偶矩M的作用，試求固定端A、B處的約束力偶矩。圖3-16

4.圓軸的合理截面與減緩應(yīng)力集中

在工程中，空心圓軸得到了廣泛的應(yīng)用，這主要是由扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的分布規(guī)律決定的。實心圓軸橫截面上的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分布如圖3-17(a)所示，當(dāng)截面周邊處的切應(yīng)力達(dá)到許用切應(yīng)力時，軸心附近各點處的切應(yīng)力仍很小，這部分材料就沒有充分發(fā)揮作用。所以，為了充分利用材料，宜將材料放置在離圓心較遠(yuǎn)的部位，作成空心軸，此時切應(yīng)力分布規(guī)律如圖3-17(b)所示，其切應(yīng)力和內(nèi)力的力臂都將增大，軸的抗扭能力將大大增強(qiáng)。圖3-17

3.6圓柱形密圈螺旋彈簧的應(yīng)力與變形

螺旋彈簧是工程中常用的機(jī)械零件，多用于緩沖裝置、控制機(jī)構(gòu)及儀表中，如車輛上用的緩沖彈簧，發(fā)動機(jī)進(jìn)排氣閥與高壓容器安全閥中的控制彈簧，彈簧秤中的測力彈簧等。螺旋彈簧有多種形式，最常用的是圓柱形螺旋彈簧，簧絲截面也為圓形。

如圖3-18(a)所示，圓柱形彈簧的主要幾何參數(shù)有：彈簧圈的平均直徑D，簧絲直徑d，螺旋線升角α。α≤5°時稱為密圈彈簧，α>5°時稱為松圈彈簧。密圈彈簧在受軸向拉壓載荷作用時，簧絲的主要變形形式為扭轉(zhuǎn)，松圈彈簧則為拉壓、扭轉(zhuǎn)、彎曲組合變形。此外，螺旋彈簧還可以按彈簧指數(shù)m=D/d分為兩類：m較大(d?D)時稱為輕型彈簧(細(xì)彈簧)，m較小時稱為重型彈簧(粗彈簧)。輕型彈簧的簧絲可近似按直桿進(jìn)行分析計算，重型彈簧的簧絲則應(yīng)考慮曲率引起的修正。本節(jié)主要介紹輕型密圈螺旋彈簧的應(yīng)力與變形。圖3-18

1.彈簧絲橫截面上的應(yīng)力

對于圖3-18(a)所示承受拉力F作用的密圈螺旋彈簧，利用截面法，以通過彈簧軸線的截面，將某一圈的彈簧絲截開，并取上半部分作為研究對象(見圖3-18(b))。由于螺旋升角α很小，因此所截截面可近似看成是彈簧絲的橫截面。于是，根據(jù)保留部分的平衡條件可知，在彈簧絲橫截面上必然同時存在剪力FS及扭矩T，其值分別為

2.彈簧的變形

彈簧在軸向壓(拉)力F作用下，軸線方向的總縮短(伸長)量為λ(見圖3-19(a))。試驗表明，在彈性范圍內(nèi)，F(xiàn)與λ成正比(見圖3-19(b))。當(dāng)軸向壓(拉)力從零增加到最終值F時，所做之功為

圖3-19

例3-8某柴油機(jī)的氣閥彈簧，彈簧平均半徑R=59.5mm，彈簧絲橫截面直徑d=14mm，有效圈數(shù)n=5。材料的[τ]=350MPa，G=80GPa。彈簧工作時承受壓力F=2500N。試校核彈簧的強(qiáng)度并計算其壓縮變形。

(2)變形計算。由式(3-25)計算彈簧的壓縮變形：

3.7非圓截面軸扭轉(zhuǎn)

1.自由扭轉(zhuǎn)與限制扭轉(zhuǎn)試驗研究和理論分析均表明，非圓截面軸扭轉(zhuǎn)時，橫截面將不再保持平面而發(fā)生翹曲(見圖3-20)。因此，基于平面假設(shè)推導(dǎo)的圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力與變形公式將不再適用。如果約束對非圓截面軸橫截面翹曲不加限制，該軸各橫截面翹曲程度相似，則橫截面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力。

如果約束對非圓截面軸的翹曲有所限制(如存在固定端約束)，則橫截面上不僅有切應(yīng)力還存在正應(yīng)力。橫截面的翹曲不受任何限制的扭轉(zhuǎn)稱為自由扭轉(zhuǎn)；反之稱為限制扭轉(zhuǎn)。精確分析表明，對于一般非圓實心軸，限制扭轉(zhuǎn)引起的正應(yīng)力很小，實際計算時可忽略不計。這里只討論自由扭轉(zhuǎn)。圖3-20

2.矩形截面軸的扭轉(zhuǎn)

由切應(yīng)力互等定理可知，矩形截面軸橫截面上的切應(yīng)力

分布具有以下特點：

(1)截面周邊各點處的切應(yīng)力指向必與周邊平行。

(2)截面凸角處的切應(yīng)力必為零。

如圖3-21所示，假設(shè)橫截面周邊A點處的切應(yīng)力不與

周邊平行，即存在垂直于周邊的切應(yīng)力分量τn時，則根據(jù)切

應(yīng)力互等定理，軸表面必存在與其數(shù)值相等的切應(yīng)力τn'，而

軸表面此時的切應(yīng)力τn'=0，可見τn=0，即截面周邊的切應(yīng)力必平行于周邊。同理，也可得出橫截面凸角處的切應(yīng)力必為零。

圖3-21

由彈性理論可知，矩形截面軸扭轉(zhuǎn)時，最大切應(yīng)力τmax發(fā)生在截面長邊中點處，而短邊中點處的切應(yīng)力τ1也有相當(dāng)大的數(shù)值(見圖3-22)。根據(jù)研究結(jié)果，矩形截面軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力τmax和τ1以及扭轉(zhuǎn)角φ可按下列公式計算：

式中：T為截面扭矩大小，G為材料切變模量；h與b分

圖3-22

別代表矩形截面長邊與短邊的長度；α、β及γ是與高寬比h/b有關(guān)的系數(shù)，其值見表3-1。

圖3-23

例3-9材料、橫截面積與長度均相同的兩根軸，一為圓形截面，一為正方形截面。若作用在軸端的扭力偶矩M也相同，試計算上述二軸的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力與扭轉(zhuǎn)變形，并進(jìn)行比較。

解設(shè)圓形截面軸的直徑為d，正方形截面軸的邊長為a，由于二者的面積相等，即

于是得

圓形截面軸的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力與變形分別為

正方形截面軸的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力與扭轉(zhuǎn)變形分別為

根據(jù)上述計算，得

可見，無論是扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度或是扭轉(zhuǎn)剛度，圓形截面軸均比正方形截面軸好。

3.橢圓等非圓截面軸的扭轉(zhuǎn)

對于橢圓、三角形等非圓截面軸，可按下列公式計算最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力與扭轉(zhuǎn)變形：

式中：Wt及It的量綱分別與WP及IP相同，其計算公式詳見單輝祖教授編寫的《材料力學(xué)》第二版附錄D。

習(xí)題題3-1圖

3-1試作題3-1圖所示各軸的扭矩圖。

3-2題3-2圖所示圓截面軸,直徑d=50mm,扭矩T=1kN·m。試計算橫截面上最大切應(yīng)力以及A點處(ρA=20mm)的切應(yīng)力。題3-2圖

3-3-題3-3圖所示空心圓截面軸,外徑D=40mm,內(nèi)徑d=20mm,扭矩T=1kN·m。試計算橫截面上最大切應(yīng)力以及A點處(ρA=15mm)的切應(yīng)力。題3-3-圖

3-4受扭圓筒,外徑D=42mm,內(nèi)徑d=40mm,外力偶矩Me=500N·m,切變模量G=75GPa。試計算圓筒橫截面上的切應(yīng)力,并計算筒表面縱線的傾角。

3-5題3-5圖所示切蔗機(jī)主軸由電動機(jī)經(jīng)三角皮帶輪帶動。已知電動機(jī)功率P=3.5kW,主軸轉(zhuǎn)速n=200r/min,主軸直徑d=30mm,軸的許用切應(yīng)力[τ]=40MPa,試校核該主軸強(qiáng)度(不考慮傳動損耗)。題3-5圖

3-6一帶有框式攪拌槳葉的主軸,其受力如題3-6圖所示。攪拌軸由電動機(jī)經(jīng)過減速器及圓錐齒輪帶動。已知電動機(jī)功率P=2.8kW,機(jī)械傳動效率η=85%,攪拌軸的轉(zhuǎn)速n=5r/min,軸的直徑d=75mm,軸的材料的許用切應(yīng)力[τ]=60MPa。試校核軸

強(qiáng)度。題3-6圖

3-7一圓軸直徑d=20mm,材料許用切應(yīng)力[τ]=100MPa,求此軸所能承受的扭矩T。若轉(zhuǎn)速n=100r/min,求此軸傳遞功率的許用值。

3-8實心圓軸與空心圓軸通過牙嵌式離合器相聯(lián)結(jié),見題3-8圖。已知軸的轉(zhuǎn)速n=100r/min,傳遞功率P=10kW,許用切應(yīng)力[τ]=80MPa,d1∶d2=0.6。試確定實心軸直徑d,空心軸的內(nèi)、外徑d1和d2。題3-8

3-9一圓軸以n=250r/min的轉(zhuǎn)速傳遞P=60kW的功率。如[τ]=40MPa,[θ]=0.8°/m,材料切變彈性模量G=80GPa,試設(shè)計該軸的直徑。

3-10一直徑d