材料力學(xué)(第三版) 課件 第8章 組合變形

第8章組合變形8.1引言8.2拉(壓)彎組合變形8.3彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合習(xí)題

8.1引言

1.組合變形的概念與工程實(shí)例

在工程實(shí)際中，桿件的受力變形情況種類(lèi)很多，有不少構(gòu)件同時(shí)發(fā)生兩種或兩種以上的基本變形。例如，圖8-1是工程中常見(jiàn)的鉆桿簡(jiǎn)圖，鉆桿受扭矩作用，同時(shí)鉆桿的自重沿鉆桿的軸向作用，所以鉆桿的變形既有軸向拉伸變形，又有扭轉(zhuǎn)變形。又如，圖8-2是機(jī)械設(shè)備中的傳動(dòng)軸，傳動(dòng)輪上的作用力使傳動(dòng)軸既有扭轉(zhuǎn)變形，又有彎曲變形。桿件同時(shí)發(fā)生兩種或兩種以上基本變形的情形稱(chēng)為組合變形。

圖8-1

圖8-2

2.疊加原理及其適用范圍

在線(xiàn)彈性、小變形條件下，構(gòu)件的內(nèi)力、應(yīng)力和變形等均與外力呈線(xiàn)性關(guān)系。可以認(rèn)為，載荷的作用是獨(dú)立的，每一載荷所引起的內(nèi)力、應(yīng)力、變形都不受其他載荷的影響。幾個(gè)載荷同時(shí)作用在桿件上所產(chǎn)生的應(yīng)力、變形，等于各個(gè)載荷單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的應(yīng)力、變形之和，此即疊加原理。當(dāng)桿件在復(fù)雜載荷作用下同時(shí)發(fā)生幾種基本變形時(shí)，根據(jù)靜力等效原則，先將外力進(jìn)行分解、簡(jiǎn)化、分組，使簡(jiǎn)化后的每一組載荷只對(duì)應(yīng)一種基本變形，再分別計(jì)算每一種基本變形下產(chǎn)生的內(nèi)力、應(yīng)力和變形，然后將所得結(jié)果疊加，便可得到組合變形時(shí)構(gòu)件的內(nèi)力、應(yīng)力和變形，其結(jié)果與各力的加載次序無(wú)關(guān)。

8.2拉(壓)彎組合變形

8.2.1桿件同時(shí)承受橫向力與軸向力作用如圖8-3(a)所示的矩形截面梁，在自由端截面形心上作用一斜向下的集中力F，其作用線(xiàn)位于梁的縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)，與梁軸線(xiàn)的夾角為θ。因?yàn)榱的作用線(xiàn)既不與軸線(xiàn)重合，又不與軸線(xiàn)垂直，所以梁的變形既不是單純的軸向拉壓，也不是單純的平面彎曲，而是軸向拉伸與彎曲的組合變形。

圖8-3

危險(xiǎn)面上總的正應(yīng)力可由拉應(yīng)力和彎曲正應(yīng)力疊加而得，其分布情況如圖8-3(d)所示，截面的上邊緣有最大正應(yīng)力，其值為

截面的下邊緣有最小正應(yīng)力，其值為

例8-1圖8-4(a)為一懸臂式吊車(chē)機(jī)架簡(jiǎn)圖。機(jī)架由單根18號(hào)工字鋼AB及拉桿AC構(gòu)成。橫梁AB的跨度l=2m，作用在AB梁中點(diǎn)的載荷W=25kN，材料的許用應(yīng)力[σ]=100MPa，α=30°，梁與拉桿的自重不計(jì)。試校核橫梁AB的強(qiáng)度。

圖8-4

解(1)外力分析。以橫梁AB為研究對(duì)象，作用在橫梁上的力有載荷W

，拉桿的拉力FA

，支座B的反力FBx、FBy，如圖8-4(b)所示。將A點(diǎn)的作用力分解為FAx和FAy。可以將作用在AB梁上的力分為兩組，其中W、FAy、FBy使梁發(fā)生彎曲變形，而FAx、FBx使梁發(fā)生軸向壓縮變形。故梁AB發(fā)生壓彎組合變形。

由梁的靜平衡方程可解得各未知力的大小為

(2)判斷危險(xiǎn)截面及危險(xiǎn)點(diǎn)。AB梁在軸向壓力作用下發(fā)生壓縮變形時(shí)，等截面梁任一截面上的軸力相等，均為21.65kN，任意橫截面均為危險(xiǎn)截面，由于壓縮時(shí)橫截面上應(yīng)力均勻分布，其上任意一點(diǎn)均為危險(xiǎn)點(diǎn);AB梁在橫向力作用下發(fā)生彎曲變形時(shí)，最大彎矩在中點(diǎn)D，該截面應(yīng)為梁的危險(xiǎn)截面。因?yàn)閺澗卦谖ｋU(xiǎn)截面上引起的正應(yīng)力呈線(xiàn)性分布，危險(xiǎn)截面上下邊緣處各點(diǎn)均為可能的危險(xiǎn)點(diǎn)，并且材料的抗拉、抗壓能力相同，所以此梁的危險(xiǎn)點(diǎn)應(yīng)在應(yīng)力絕對(duì)值最大的點(diǎn)，即D截面上邊緣各點(diǎn)均為危險(xiǎn)點(diǎn)。

8.2.2偏心拉(壓)

與桿的軸線(xiàn)平行但不重合的載荷稱(chēng)為偏心載荷，由偏心載荷引起的變形稱(chēng)為偏心拉伸或偏心壓縮，偏心拉(壓)本質(zhì)上是軸向拉(壓)與彎曲的組合變形。現(xiàn)以矩形截面桿為例，討論偏心拉壓強(qiáng)度問(wèn)題。

圖8-5(a)所示的矩形截面立柱，集中力F與軸線(xiàn)平行但不重合，作用點(diǎn)距形心主軸y、z的垂直距離分別用ez、ey表示，稱(chēng)之為偏心距。當(dāng)ey≠0，ez≠0時(shí)，稱(chēng)為雙向偏心壓縮;而當(dāng)ey、ez之一為零時(shí)，則稱(chēng)為單向偏心壓縮。

圖8-5

圖8-6

偏心壓(拉)桿任一橫截面均為危險(xiǎn)截面，危險(xiǎn)點(diǎn)是距中性軸最遠(yuǎn)處的點(diǎn)。對(duì)矩形截面，不難看出危險(xiǎn)點(diǎn)為圖8-6(a)中的A點(diǎn)或C

點(diǎn)，危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為單向應(yīng)力狀態(tài)。若桿用塑性材料制成，則其強(qiáng)度條件為

若桿用脆性材料制成，當(dāng)桿件橫截面上出現(xiàn)拉應(yīng)力時(shí)，則應(yīng)分別建立拉壓強(qiáng)度條件：

8.2.3截面核心

例8-2某鉆床結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖8-7所示，鉆床在鉆孔時(shí)受到F=15kN的工件反力作用，已知偏心距e=0.4m，鉆床立柱直徑d=125mm，鑄鐵立柱的許用拉應(yīng)力[σt]=35MPa，許用壓應(yīng)力[σc]=120MPa。試校核該立柱的強(qiáng)度。圖8-7

解(1)外力分析。

將作用在鉆頭上的力F平移到立柱軸線(xiàn)，同時(shí)得到一個(gè)力和一個(gè)附加力偶，附加力偶之矩Me=F·e，力F使立柱產(chǎn)生軸向拉伸，附加力偶使立柱產(chǎn)生平面彎曲。所以，立柱的變形為拉彎組合變形。

(2)內(nèi)力分析。

軸向拉伸的軸力FN=F=15kN，附加力偶矩即為彎矩，其值為M=F·e=6kN·m。

(3)危險(xiǎn)點(diǎn)判斷。

軸向拉力在任一橫截面上任意一點(diǎn)引起的應(yīng)力相等，作用在立柱任一橫截面的彎矩相等，彎矩在左側(cè)引起最大壓應(yīng)力，在右側(cè)引起最大拉應(yīng)力，從彎曲考慮危險(xiǎn)點(diǎn)為立柱左側(cè)

或右側(cè)面上的任意一點(diǎn)。

(4)應(yīng)力分析與強(qiáng)度校核。

短柱的截面為矩形，尺寸為b×h，如圖8-8所示，試確定截面核心。圖8-8

8.3彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合

8.3.1彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形時(shí)軸的強(qiáng)度計(jì)算現(xiàn)以圖8-9所示的電機(jī)軸外伸段為例，討論桿件作彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算問(wèn)題。電機(jī)軸的外伸端裝一皮帶輪，兩邊皮帶張力分別為F1和F2，設(shè)F1>F2，輪的自重忽略不計(jì)。

圖8-9

由以上分析可知，C1、C2兩點(diǎn)處切應(yīng)力和彎曲正應(yīng)力均為最大，故C1、C2兩點(diǎn)均為危險(xiǎn)點(diǎn)。對(duì)于由抗拉、抗壓強(qiáng)度相同的塑性材料制成的軸，只要研究其中一點(diǎn)就夠了?，F(xiàn)取C1點(diǎn)為研究對(duì)象，在C1點(diǎn)附近截取一單元體，如圖8-10(e)所示。單元體的側(cè)面上有正應(yīng)力σ和切應(yīng)力τ，為平面應(yīng)力狀態(tài)，必須利用強(qiáng)度理論建立強(qiáng)度條件。由平面應(yīng)力狀態(tài)極值應(yīng)力的計(jì)算公式，可得C1點(diǎn)處的主應(yīng)力為

圖8-10

上述強(qiáng)度條件中的(8-9)和(8-11)兩式，適用于圖8-10(e)所示的平面應(yīng)力狀態(tài)，其中的σ和τ可正可負(fù)，并且不用考慮應(yīng)力是由何種變形引起的;而式(8-10)和式(8-12)不僅適用于彎扭組合下的圓形截面桿件，也適用于空心圓軸的計(jì)算，此時(shí)，式中的Wz要用空心圓軸的抗彎截面模量。

例8-4某傳動(dòng)軸如圖8-11所示。已知電動(dòng)機(jī)通過(guò)聯(lián)軸器作用在截面A上的外力偶矩Me=1kN·m，皮帶緊邊和松邊的張力分別為F和F'，其中F=2F'，軸承C、B的間距l(xiāng)=200mm，皮帶輪的直徑D=300mm，軸用Q235鋼制成，許用應(yīng)力[σ]=160MPa。試按第三強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)軸的直徑d。圖8-11

解(1)外力分析。

8.3.2雙向彎曲時(shí)軸的強(qiáng)度計(jì)算

設(shè)圓軸彎曲時(shí)，在兩個(gè)正交的縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)均存在彎矩，xy面內(nèi)的彎矩記為Mz，xz面內(nèi)的彎矩記為My，如圖8-12(a)所示。Mz在截面上的A、A'點(diǎn)處引起最大彎曲正應(yīng)力，My在截面上的B、B'點(diǎn)處引起最大彎曲正應(yīng)力。

圖8-12

例8-5圖8-13(a)為一傳動(dòng)軸的示意圖。C輪皮帶處于水平位置，D

輪皮帶處于鉛垂位置，兩皮帶的張力分別為F=3900N，F(xiàn)'=1500N，兩輪的直徑均為600mm，材料許用應(yīng)力[σ]=80MPa。試按第四強(qiáng)度理論確定實(shí)心軸的直徑。

圖8-13

例8-6位于水平面內(nèi)的等圓截面曲桿AB，其軸線(xiàn)為1/4圓弧，圓弧的半徑R=600mm，桿的B端固定，A

端承受鉛垂載荷F=1.5kN，如圖8-14(a)所示。材料的許用應(yīng)力[σ]=80MPa，試按第三強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)曲桿的直徑圖8-14

習(xí)題

題8-1圖

8-1試求題8-1圖所示的構(gòu)件在指定截面上的內(nèi)力分量,并分析構(gòu)件將發(fā)生何種變形。

8-2試分別求出題8-2圖所示不等截面及等截面桿內(nèi)的最大正應(yīng)力,并作比較。題8-2圖

8-3一鑄鐵C形夾具如題8-3圖所示,材料拉伸和壓縮許用應(yīng)力分別為[σt]=40MPa,[σc]=20MPa,試確定結(jié)構(gòu)的許可夾緊力P的大小。題8-3圖

8-4三角形構(gòu)架ABC受力如題8-4圖所示。水平桿AB由No32a號(hào)工字鋼制成,材料的許用應(yīng)力[σ]=150MPa,試求AB桿的最大應(yīng)力并校核強(qiáng)度。題8-4圖

8-5題8-5圖所示鉆床,受力F=15kN,鑄鐵立柱的許用拉應(yīng)力[σt]=35MPa,試確定立柱的直徑d。題8-5圖

8-6有一拉桿如題8-6圖所示,截面為邊長(zhǎng)a的正方形,拉力F與桿軸重合。后因使用上的需要,在桿的某一段范圍內(nèi)開(kāi)一a/2寬的切口。試求m-m截面上的最大拉應(yīng)力,并和截面削弱以前的拉應(yīng)力值進(jìn)行比較。題8-6圖

8-7受拉構(gòu)件形狀如題8-7圖所示,已知截面尺寸為40mm×5mm,通過(guò)軸線(xiàn)的拉力F=12kN?，F(xiàn)拉桿開(kāi)有切口,如不計(jì)應(yīng)力集中影響,當(dāng)材料的許用應(yīng)力[σ]=100MPa時(shí),試確定切口的容許最大深度,并繪出切口截面的應(yīng)力變化圖。題8-7圖

8-8-卷?yè)P(yáng)機(jī)軸為圓形截面,直徑d=30mm,其他尺寸如題8-8圖所示。機(jī)軸材料的許用應(yīng)力[σ]=120MPa,試用第三強(qiáng)度理論確定許可起重載荷[F]。題8-8-圖

8-9一起重螺旋的載荷和尺寸如題8-9圖所示。已知起重載荷W=40kN。若起重時(shí)推力F=320N,力臂l=500mm,起重最大高度h=300mm,螺紋內(nèi)徑d=40mm,螺桿的許用應(yīng)力[σ]=100MPa。試用第三強(qiáng)度理論校核螺桿強(qiáng)度。題8-9圖

8-10一垂直軸安裝兩只帶輪,如題8-10圖所示。B輪直徑d1=100mm,C輪直徑d2=250mm,軸受到的膠帶張力如圖所示。若軸的許用應(yīng)力[σ]=140MPa,試校核軸的強(qiáng)度。題8-10圖

8-11題8-11圖為一齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu),軸AB的中間段傳遞的外力偶矩為1200N·m,假定齒輪嚙合力沿著節(jié)圓切線(xiàn)方向,材料許用應(yīng)力[σ]=80MPa,各構(gòu)件自重忽略不計(jì),圖中尺寸單位為mm。試按第三、第四強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)該軸的直徑。題8-11圖

8-12如題8-12圖所示,圓截面折桿ABC位于水平面內(nèi),AB段與BC段垂直,L=150mm,a=140mm。鉛垂向下的作用力F=20kN,材料的許用應(yīng)力[σ]=160MPa。

(1)畫(huà)出AB段的彎矩圖和扭矩圖。

(2)指出危險(xiǎn)截面的位置并且用最大切應(yīng)力理論確定AB段的直徑。題8-12圖

8-13如題8-13圖所示的傳動(dòng)軸,直徑d=80mm,轉(zhuǎn)速n=110r/min,傳遞功率P=11kW,外伸段長(zhǎng)度l=520mm,膠帶緊邊張力為其松邊張力的3倍,皮帶輪直徑D=660mm,若軸的許用應(yīng)力[σ]=70MPa,試按第三強(qiáng)度理論校核該傳動(dòng)軸外伸段的強(qiáng)度。題8-13圖

8-14如題8-14圖所示的傳動(dòng)軸,在外力偶矩Me的作用下作勻速轉(zhuǎn)動(dòng),輪直徑D=0.5m,拉力F1=10kN,F2=5kN,軸的直徑d=90mm,l=500mm。若軸的許用應(yīng)力[σ]=50MPa,試按第三強(qiáng)度理論校核軸的強(qiáng)度。圖8-12

8-15如題8-15圖所示,水平直角折桿受豎直力P作用,已知軸直徑d=100mm,E=200GPa,在D截面頂點(diǎn)K測(cè)出軸向應(yīng)變?chǔ)?=2.75×10-4,若材料的許用應(yīng)力[σ]=160MPa。試求該折桿危險(xiǎn)點(diǎn)的相當(dāng)應(yīng)力σr3,并用第三強(qiáng)度理論校核該桿的強(qiáng)度。