材料力學(xué)(第三版) 課件 第1-3章 緒論、軸向拉壓與材料的力學(xué)性能、扭轉(zhuǎn)

第1章緒論1.1材料力學(xué)的任務(wù)與研究對象1.2材料力學(xué)的基本假設(shè)1.3外力與內(nèi)力1.4應(yīng)力與應(yīng)變1.5桿件變形的基本形式習(xí)題

1.1-材料力學(xué)的任務(wù)與研究對象

機(jī)械和工程結(jié)構(gòu)都是由許多零件或部件組成的，組成機(jī)械與工程結(jié)構(gòu)的零、部件統(tǒng)稱為構(gòu)件。當(dāng)機(jī)械或工程結(jié)構(gòu)工作時，每個構(gòu)件都將受到外力的作用。在外力作用下，構(gòu)件的形狀、尺寸都將發(fā)生變化，這種變化稱為變形。構(gòu)件的變形分為兩類：一類是外力卸除后能夠消失的變形，稱為彈性變形；另一類是外力卸除后不能消失的變形，稱為塑性變形或殘余變形。

1.1.1-材料力學(xué)的任務(wù)

實踐表明：構(gòu)件的變形與作用力有關(guān)。當(dāng)作用力過大時構(gòu)件將產(chǎn)生顯著塑性變形或發(fā)生斷裂，這在工程中是不允許的。為了保證機(jī)械或工程結(jié)構(gòu)能夠安全、正常工作，構(gòu)件應(yīng)

有足夠的能力承擔(dān)相應(yīng)的載荷。為此，一般需要滿足如下三方面的要求。

(1)強(qiáng)度要求：在規(guī)定載荷作用下構(gòu)件不應(yīng)發(fā)生破壞。這里所指的破壞，不僅是指構(gòu)件在外力作用下的斷裂，還包含構(gòu)件產(chǎn)生過大的塑性變形，如儲氣罐在工作時不應(yīng)發(fā)生爆裂。強(qiáng)度是指構(gòu)件抵抗破壞的能力。

(2)剛度要求：在規(guī)定載荷作用下構(gòu)件不應(yīng)發(fā)生過大的彈性變形，如機(jī)床主軸若產(chǎn)生過大彈性變形會影響加工精度。剛度是指構(gòu)件抵抗彈性變形的能力。

(3)穩(wěn)定性要求：在規(guī)定載荷作用下構(gòu)件應(yīng)保持其原有的平衡狀態(tài)。受壓的細(xì)長桿件，如千斤頂?shù)穆輻U、內(nèi)燃機(jī)的挺桿等，當(dāng)壓力增大到一定值時會突然變彎。穩(wěn)定性是指構(gòu)件保持其原有平衡狀態(tài)的能力。

1.1.2材料力學(xué)的研究對象

工程中有各種形狀的構(gòu)件，按照其幾何特征，主要可分為桿件、板件和塊。

一個方向的尺寸遠(yuǎn)大于其他兩個方向尺寸的構(gòu)件，稱為桿件(見圖1-1)。桿件是工程中最常見、最基本的構(gòu)件。梁、軸、柱等均屬桿類構(gòu)件。

桿件橫截面的幾何中心稱為形心，各橫截面形心的連線稱為桿件的軸線。橫截面與軸線相互正交。軸線為直線的桿稱為直桿；軸線為曲線的桿稱為曲桿。所有橫截面形狀和尺

寸相同的桿稱為等截面桿；橫截面的形狀和尺寸不完全相同的桿稱為變截面桿。

圖1-1

一個方向的尺寸遠(yuǎn)小于其他兩個方向尺寸的構(gòu)件，稱為板件(見圖1-2)。平分板件厚度的幾何面，稱為中面。中面為平面的板件稱為板(見圖1-2(a))，中面為曲面的板件稱為殼(見圖1-2(b))。薄壁容器等均屬此類構(gòu)件。

三個方向幾何尺寸相近的構(gòu)件稱為塊。

圖1-2

1.2材料力學(xué)的基本假設(shè)

構(gòu)件在外力作用下會產(chǎn)生變形，制造構(gòu)件的材料稱為變形固體。變形固體的性質(zhì)是多方面的，從不同角度研究問題，側(cè)重面也有所不同。在研究構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性問題時，為了抽象出力學(xué)模型，掌握與研究問題有關(guān)的主要因素，略去一些次要因素，材料力學(xué)對變形固體做出如下基本假設(shè)：

(1)連續(xù)性假設(shè)：假設(shè)組成固體的物質(zhì)毫無間隙地充滿了固體的幾何空間。實際上，組成固體的粒子之間存在著空隙(圖1-3是球墨鑄鐵的顯微組織，圖1-4是普通碳素鋼的顯微組織，圖1-5是優(yōu)質(zhì)碳素鋼的顯微組織)。但這種空隙的大小與構(gòu)件尺寸相比極其微小，可以忽略不計，于是就認(rèn)為固體在其整個體積內(nèi)是連續(xù)的。這樣，構(gòu)件內(nèi)的一些力學(xué)量(例如各點的位移)可用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表示，對這些函數(shù)可進(jìn)行坐標(biāo)增量為無限小的極限分析。

圖1-3圖1-4圖1-5

應(yīng)該指出，連續(xù)性不僅存在于構(gòu)件變形前，而且存在于變形后，即構(gòu)件內(nèi)變形前相鄰的質(zhì)點變形后仍保持鄰近，既不產(chǎn)生新的空隙或空洞，也不出現(xiàn)重疊現(xiàn)象。所以，上述假設(shè)也稱為變形連續(xù)性假設(shè)。

(2)均勻性假設(shè)：假設(shè)固體內(nèi)各點處具有完全相同的力學(xué)性能。材料在外力作用下所表現(xiàn)的性能，稱為材料的力學(xué)性能。

上述兩種假設(shè)可統(tǒng)稱為均勻連續(xù)性假設(shè)。以此假設(shè)為基礎(chǔ)，研究構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性問題所得出的結(jié)論是滿足工程要求的。而對于發(fā)生在晶粒大小范圍內(nèi)的力學(xué)問題，

均勻連續(xù)性假設(shè)則不成立。

(3)各向同性假設(shè)：假設(shè)材料沿各個方向具有完全相同的力學(xué)性能。沿各個方向具有相同力學(xué)性能的材料稱為各向同性材料。例如玻璃為典型的各向同性材料。金屬的各個晶粒均屬于各向異性體，但由于金屬構(gòu)件所含晶粒極多，而且晶粒的排列也是完全無序的，因此，在各個方向上力學(xué)性質(zhì)趨于相同，宏觀上可將金屬視為各向同性材料。在今后的討論中一般都將變形固體假定為各向同性的。

1.3外力與內(nèi)力

1.外力及其分類研究某一構(gòu)件時，該構(gòu)件以外的其他物體作用在該構(gòu)件上的力稱為外力。按外力的作用方式，可將作用在構(gòu)件上的外力分為表面力和體積力。表面力是作用于物體表面的力，又可分為分布力和集中力。分布力是連續(xù)作用于物體表面的力，如作用于油缸內(nèi)壁上的油壓力等。

按載荷隨時間變化的情況又可將外力分為靜載荷與動載荷。載荷緩慢地由零增加到某一定值，以后即保持不變，或變動不顯著，這種載荷稱為靜載荷。如機(jī)器緩慢地放置在基礎(chǔ)上，機(jī)器的重量對基礎(chǔ)的作用便是靜載荷。載荷隨時間的變更而變化，這種載荷稱為動載荷。隨時間交替變化的載荷稱為交變載荷，物體的運動在短時內(nèi)突然改變所引起的載荷稱為沖擊載荷。

2.內(nèi)力與截面法

由剛體靜力學(xué)可知，為了分析兩物體之間的相互作用力，必須將該二物體分離。同樣，要分析構(gòu)件的內(nèi)力，例如要分析圖1-6(a)所示桿件橫截面m-m上的內(nèi)力，可以假想沿著該截面將桿件切開，切開截面的內(nèi)力如圖1-6(b)所示。由連續(xù)性假設(shè)可知，內(nèi)力是作用在切開截面上的連續(xù)分布力。

圖1-6

應(yīng)用力系簡化理論，將上述分布力向橫截面的任一點(如形心C)簡化，得主矢FR與主矩M(見圖1-7(a))。為了分析內(nèi)力，沿截面軸線方向建立坐標(biāo)軸x，在所切橫截面內(nèi)建立坐標(biāo)軸y與z，并將主矢與主矩沿上述三軸分解(見圖1-7(b))，得內(nèi)力分量FN、FSy與FSz，以及內(nèi)力偶矩Mx、My與Mz。

沿著軸線的內(nèi)力分量FN，稱為軸力；作用線位于所切橫截面的內(nèi)力分量FSy與FSz，稱為剪力；矢量沿著軸線的內(nèi)力偶矩分量Mx，稱為扭矩；矢量位于所切橫截面的內(nèi)力偶矩My與Mz，稱為彎矩。

圖1-7

將桿件假想地切開以顯示內(nèi)力，并由平衡條件建立內(nèi)力與外力間的關(guān)系或由外力確定內(nèi)力的方法，稱為截面法，它是分析桿件內(nèi)力的一般方法，可將其歸納為以下三個步驟：

(1)截：欲確定構(gòu)件某一截面上的內(nèi)力時，假想地用一平面將構(gòu)件沿該截面分為兩部分。

(2)?。喝∑渲腥我徊糠譃檠芯繉ο?，棄去另一部分，并用作用于截面上的內(nèi)力代替棄去部分對留下部分的作用。

(3)算：對留下的部分建立靜平衡方程，確定該截面上的內(nèi)力。

例1-1某搖臂鉆床如圖1-8(a)所示，承受載荷F作用。試確定m-m截面上的內(nèi)力。圖1-8

1.4應(yīng)力與應(yīng)變

1.應(yīng)力設(shè)在圖1-9(a)所示受力構(gòu)件的m-m截面上，圍繞C點取一微小面積ΔA，ΔA上內(nèi)力的合力為ΔF。則ΔF與ΔA的比值稱為ΔA上的平均應(yīng)力，并用pm表示，即

一般情況下，內(nèi)力在截面上并非均勻分布，平均應(yīng)力的大小、方向?qū)㈦S所取ΔA的大小不同而變化。當(dāng)ΔA→0時，平均應(yīng)力的極限值稱為C點的內(nèi)力集度，或總應(yīng)力p，即

總應(yīng)力p的方向就是當(dāng)ΔA→0時ΔF的極限方向。

通常將總應(yīng)力p沿截面的法向與切向分解為兩個量(見圖1-9(b))。沿截面法向的應(yīng)力分量稱為正應(yīng)力，用σ表示；沿截面切向的應(yīng)力分量稱為切應(yīng)力，用τ表示。顯然有圖1-9

2.應(yīng)變

假想將構(gòu)件分割成許多微小的單元體。構(gòu)件受力后不僅各單元體的位置發(fā)生改變，而且單元體棱邊的長度發(fā)生改變(見圖1-10(a))，相鄰棱邊間的夾角也發(fā)生改變(見圖1-10(b))。圖1-10

圖1-11

例1-3兩邊固定的矩形薄板如圖1-12所示。變形后ab和ad兩邊保持為直線。a點沿垂直方向向下移動0.025mm。試求ab邊的平均線應(yīng)變和ab、ad兩邊夾角的變化量。圖1-12

1.5桿件變形的基本形式

桿件受外力作用時發(fā)生的變形是多種多樣的。對其進(jìn)行仔細(xì)分析，可以將桿件的變形分為以下四種基本形式：(1)拉伸或壓縮變形：這種變形是由沿軸線方向作用的外力所引起的變形，表現(xiàn)為桿件長度的伸長或縮短，任意橫截面間只有沿軸線方向的線位移(見圖1-13(a))。

(2)剪切變形：這種變形是由等值、反向、相距很近、作用線垂直于軸線的一對力引起的變形，表現(xiàn)為橫截面沿外力作用方向發(fā)生相對錯動(見圖1-13(b))。

(3)扭轉(zhuǎn)變形：這種變形是由力偶矩大小相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面均垂直于桿件軸線的兩個力偶引起的變形，表現(xiàn)為桿件的任意兩個橫截面繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動(見圖1-13(c))。

(4)彎曲變形：這種變形是由垂直于桿件軸線的橫向力，或由作用于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的一對等值、反向的力偶引起的變形，表現(xiàn)為桿件軸線由直線變?yōu)榍€(見圖1-13(d))。

圖1-13

習(xí)題

圖1-1

1-1-分別求題1-1圖所示結(jié)構(gòu)中構(gòu)件m-m、n-n橫截面上的內(nèi)力,并指明各構(gòu)件的變形形式。

1-2分別求出題1-2圖所示桿件指定截面上的內(nèi)力。題1-2圖

1-3如題1-3圖所示,拉伸試樣上A、B兩點的距離為l,稱為標(biāo)距。受力作用后,用變形儀測出兩點的距離增量為Δl=5×10-2mm,若l=100mm,試求A、B兩點間的平均線應(yīng)變。題1-3圖

1-4在題1-4圖所示結(jié)構(gòu)中,當(dāng)力作用在把手上時,引起搖臂AB順時針轉(zhuǎn)過θ=0.002rad,求繩子BC的平均線應(yīng)變。題1-4圖

1-5如題1-5圖所示,三角形薄板因受外力作用而變形,角點B垂直向上的位移為0.03mm,水平位移為0,變形過程中AB與BC始終保持為直線。試求沿OB方向的平均線應(yīng)變,并求AB與BC兩邊在B點的切應(yīng)變。題1-5圖

1-6構(gòu)件變形后的形狀如題1-6圖中虛線所示。試求棱邊AB與AD的平均線應(yīng)變,以及A點處直角∠BAD的切應(yīng)變。題1-6圖第2章軸向拉壓與材料的力學(xué)性能2.1引言2.2-拉壓桿的內(nèi)力與應(yīng)力2.3材料拉伸與壓縮時的力學(xué)性能2.4拉壓桿的強(qiáng)度計算2.5拉壓桿的變形計算2.6簡單拉壓靜不定問題2.7連接件的強(qiáng)度計算習(xí)題

2.1引言

在生產(chǎn)實踐中經(jīng)常遇到承受拉伸或壓縮的桿件。例如，圖2-1(a)所示的連接螺栓承受拉力作用，圖2-1(b)所示的活塞桿承受壓力作用。此外，如起重鋼索在起吊重物時承受拉力作用；千斤頂?shù)穆輻U在頂起重物時承受壓力作用；而桁架中的桿件，則不是受拉就是受壓。

圖2-1

工程中受拉或受壓的桿件很多，它們的外形各不相同，加載方式也迥異，但它們的共同特點是：作用于桿件上的外力或其合力的作用線沿桿件軸線，而桿件的主要變形為軸向伸長或縮短。作用線沿桿件軸線的載荷，稱為軸向載荷。以軸向伸長或縮短為主要特征的變形形式，稱為軸向拉壓。以軸向拉壓為主要變形的桿件，稱為拉壓桿。圖2-2是等截面拉壓桿的力學(xué)簡圖，圖中虛線表示變形后的形狀。

圖2-2

2.2-拉壓桿的內(nèi)力與應(yīng)力

2.2.1軸力與軸力圖對于圖2-3(a)所示兩端承受軸向載荷F作用的拉壓桿，為了顯示和確定橫截面上的內(nèi)力，應(yīng)用截面法，沿橫截面m-m假想地將桿件分成兩部分(見圖2-3(b)、(c))。兩段桿件在橫截面m-m上相互作用的內(nèi)力是一個分布力系，其合力為FN。根據(jù)二力平衡條件可知，F(xiàn)N必沿桿件軸線方向，所以稱為軸力。軸力或為拉力，或為壓力。習(xí)慣上把拉伸時的軸力規(guī)定為正，壓縮時的軸力規(guī)定為負(fù)。

軸力的代數(shù)值可以由桿件左段(或右段)的平衡方程∑Fx=0求得。由圖2-3(b)，得

圖2-3

例2-1試?yán)L制圖2-4(a)所示拉壓桿的軸力圖。

解(1)計算桿件各段的軸力。根據(jù)該拉壓桿承受的外力，將桿件分為AB、BC、CD三段，分別以11、2-2與33截面為各段代表性截面。

先計算AB段的軸力。沿11截面假想地將桿件截開，取其受力簡單的左段桿為研究對象，假定該截面上的軸力FN1為正(見圖2-4(b))，由平衡方程∑Fx=0，得

故

再計算BC段的軸力。沿2-2截面假想地將桿件截開，以左段作為研究對象，假設(shè)軸力FN2為正(見圖2-4(c))，由平衡方程∑Fx=0，得

故

FN2為負(fù)值，表示實際軸力方向與假設(shè)方向相反，即為壓力。

同樣可算得CD段33截面(見圖2-4(d))上的軸力為FN3=-4kN。

(2)繪軸力圖。以平行于桿軸的坐標(biāo)x表示橫截面的位置，垂直于桿軸的另一坐標(biāo)FN表示相應(yīng)截面的軸力，繪制的這種圖線就是軸力圖(見圖2-4(e))。在工程中，有時可將x和FN坐標(biāo)軸省略，這樣的軸力圖如圖2-4(f)所示。軸力圖需要標(biāo)明軸力的單位與各段的正、負(fù)和數(shù)值，并且要與桿件的橫截面位置相對應(yīng)，以便清晰表明軸力沿桿軸的變化情形。顯然，由軸力圖2-4(e)、(f)可以看出，該拉壓桿在AB段受拉，在BCD段受壓；桿內(nèi)軸力的最大值為12kN。

圖2-4

2.2.2-橫截面上的應(yīng)力

圖2-5(a)所示為一等截面直桿，變形前，在其側(cè)面畫兩條垂直于桿軸的橫線ab與cd。然后，在桿兩端施加一對大小相等、方向相反的軸向載荷F。拉伸變形后，發(fā)現(xiàn)橫線ab與cd仍為直線，且仍垂直于桿件軸線，只是間距增大，分別平移至圖示a'b'與c'd'位置。根據(jù)這一現(xiàn)象，可以假設(shè)：變形前原為平面的橫截面，變形后仍保持為平面且仍垂直于軸線。這就是軸向拉壓時的平面假設(shè)。由此可以設(shè)想，組成拉壓桿的所有縱向纖維的伸長是相同的。又由于材料是均勻的，所有縱向纖維的力學(xué)性能相同，可以推斷各縱向纖維的受力是一樣的。因此，拉壓桿橫截面上各點的正應(yīng)力σ相等，即橫截面上的正應(yīng)力是均勻分布的。

圖2-5

2.2.3圣維南原理

當(dāng)作用在桿端的軸向外力，沿橫截面非均勻分布時，外力作用點附近各截面的應(yīng)力，也為非均勻分布。圣維南(Saint-Venant)原理指出，力作用于桿端的分布方式，只影響桿端局部范圍內(nèi)的應(yīng)力分布，影響區(qū)域的軸向范圍約為1~2個桿端的橫向尺寸。此原理已為大量試驗與計算所證實。例如，圖2-6(a)所示承受集中力F作用的桿，其截面寬度為h，在x=h/4與x=h/2的橫截面11與2-2上，應(yīng)力明顯為非均勻分布(見圖2-6(b)、(c))，但在x=h的橫截面33上，應(yīng)力則趨向均勻分布(見圖2-6(d))。

圖2-6

2.2.4拉壓桿斜截面上的應(yīng)力

考慮圖2-7(a)所示拉壓桿，利用截面法，沿任一斜截面m-m將桿切開，該截面的方位以其外法線軸n與x軸間的夾角α表示。仿照證明橫截面上正應(yīng)力均勻分布的方法，可知斜截面m-m上的應(yīng)力pα亦為均勻分布(見圖2-7(b))，且其方向與桿軸平行。

圖2-7

由式(2-2)可知，當(dāng)α=0°時，正應(yīng)力最大，其值為

即拉壓桿的最大正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上，其值為σ。

由式(2-3)可知，當(dāng)α=45°時，切應(yīng)力最大，其值為

即拉壓桿的最大切應(yīng)力發(fā)生在與桿軸成45°的斜截面上，其值為σ/2。

為便于應(yīng)用上述公式，現(xiàn)對方位角與切應(yīng)力的正負(fù)符號作如下規(guī)定：以x軸正向為始邊，向斜截面外法線方向旋轉(zhuǎn)，規(guī)定方位角α逆時針轉(zhuǎn)向為正，反之為負(fù)；切應(yīng)力使得研究對象順時針轉(zhuǎn)動為正，反之為負(fù)。按此規(guī)定，圖2-7(c)所示之α與τα均為正。

例2-2-圖2-8(a)圖2-8(a)所示右端固定的階梯形圓截面桿，同時承受軸向載荷F1與F2-作用。試計算桿橫截面上的最大正應(yīng)力。已知載荷F1=20kN，F(xiàn)2=50kN，桿件AB段與BC段的直徑分別為d1=20mm與d2=30mm。圖2-8

例2-3圖2-9(a)所示的軸向受壓等截面桿，橫截面面積A=400mm2，載荷F=50kN。試計算斜截面m-m上的正應(yīng)力與切應(yīng)力。圖2-9

2.3材料拉伸與壓縮時的力學(xué)性能

材料的力學(xué)性能也稱為機(jī)械性能，是指材料在外力作用下所表現(xiàn)出的變形、破壞等方面的特性。材料的力學(xué)性能要通過試驗來測定。在室溫下，以緩慢平穩(wěn)的加載方式進(jìn)行試驗，是測定材料力學(xué)性能的基本試驗。

2.3.1拉伸試驗與應(yīng)力應(yīng)變曲線

為了便于比較不同材料的試驗結(jié)果，需要將試驗材料按國家標(biāo)準(zhǔn)的規(guī)定加工成標(biāo)準(zhǔn)試樣。常用的標(biāo)準(zhǔn)拉伸試樣如圖2-10所示，標(biāo)記m與n之間的桿段為試驗段，其長度l稱為標(biāo)距。對于試驗段直徑為d的圓截面試樣(見圖2-10(a))，通常規(guī)定

而對于試驗段橫截面面積為A的矩形截面試樣(見圖2-10(b))，則規(guī)定

圖2-10

試驗時，首先將試樣安裝在材料試驗機(jī)的上、下夾頭內(nèi)(見圖2-11)，并在標(biāo)記m和n處安裝測量變形的儀器。然后開動試驗機(jī)，緩慢加載，試驗段的拉伸變形用Δl表示。通過測量力與變形的裝置，試驗機(jī)可以自動記錄所加載荷以及相應(yīng)的伸長量，得到拉力F與變形Δl間的關(guān)系曲線如圖2-11所示，稱為試樣的拉力伸長曲線或拉伸圖。試驗一直進(jìn)行到試樣斷裂為止。

圖2-11

2.3.2-低碳鋼拉伸時的力學(xué)性能

低碳鋼(含碳量0.25%以下)是工程中廣泛使用的金屬材料，其應(yīng)力應(yīng)變曲線非常典型。圖2-12所示為Q235鋼的應(yīng)力應(yīng)變曲線。現(xiàn)以該曲線為基礎(chǔ)，并根據(jù)試驗過程中觀察到的現(xiàn)象，介紹低碳鋼拉伸時的力學(xué)性能。

圖2-12

1.彈性階段(O~b)

在拉伸的初始階段，應(yīng)力應(yīng)變曲線為一直線(圖中之Oa)，說明在此階段內(nèi)，正應(yīng)力與線應(yīng)變成正比，即

引入比例常數(shù)E，可得

上述關(guān)系稱為胡克定律，比例常數(shù)E稱為材料的彈性模量。

線性階段最高點a所對應(yīng)的應(yīng)力，稱為材料的比例極限，用σp表示；直線Oa的斜率在數(shù)值上等于材料的彈性模量E。Q235鋼的比例極限為σp≈200MPa，彈性模量為E≈200GPa。

從a點到b點，圖線ab稍微偏離直線Oa，正應(yīng)力σ和線應(yīng)變ε不再保持嚴(yán)格的線性關(guān)系，但變形仍然是彈性的，即卸除載荷后變形將完全消失，試件恢復(fù)原始尺寸。b點所對應(yīng)的應(yīng)力是材料只產(chǎn)生彈性變形的最高應(yīng)力，稱為彈性極限，用σe表示。對于大多數(shù)材料，在應(yīng)力應(yīng)變曲線上，a、b兩點非常接近，工程上常忽略這點差別，也可以說，應(yīng)力不超過彈性極限時，材料服從胡克定律。

2.屈服階段(b~c)

超過彈性極限之后，應(yīng)力與應(yīng)變之間不再保持線性關(guān)系。當(dāng)應(yīng)力增加至某一定值時，應(yīng)力應(yīng)變曲線呈現(xiàn)水平階段(可能有微小波動)。在此階段內(nèi)，應(yīng)力幾乎不變，而應(yīng)變急劇增大，材料暫時失去抵抗變形的能力，這種現(xiàn)象稱為屈服。屈服時所對應(yīng)的應(yīng)力最小值稱為材料的屈服應(yīng)力或屈服極限，用σs表示，低碳鋼Q235的屈服極限為σs≈235MPa。如果試件表面光滑，屈服時試件表面出現(xiàn)與軸線約成45°的線紋(見圖2-13)。如前所述，在桿件的45°斜截面上作用有最大切應(yīng)力，因此，上述線紋可認(rèn)為是由最大切應(yīng)力所引起的，稱之為滑移線。

圖2-13

3.強(qiáng)化(硬化)階段(c~e)

經(jīng)過屈服階段之后，材料又恢復(fù)了抵抗變形的能力。這時，要使材料繼續(xù)變形需要增大應(yīng)力。經(jīng)過屈服滑移之后，材料重新呈現(xiàn)抵抗繼續(xù)變形的能力，這種現(xiàn)象稱為冷作硬化或強(qiáng)化。強(qiáng)化階段的最高點e所對應(yīng)的應(yīng)力，稱為材料的強(qiáng)度極限，用σb表示。低碳鋼Q235的強(qiáng)度極限為σb≈380MPa。強(qiáng)度極限是材料所能承受的最大應(yīng)力，它是衡量材料強(qiáng)度的另一重要指標(biāo)。

4.頸縮階段(e~f)

當(dāng)應(yīng)力增至最大值σb之后，試件的某一局部顯著收縮(見圖2-14)，產(chǎn)生所謂頸縮現(xiàn)象。圖2-14

2.3.3卸載定律及冷作硬化現(xiàn)象

如將試件拉伸到超過彈性范圍后的任意一點處，如圖2-12中的d點，然后緩慢卸除拉力，應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系將沿圖中dd'直線回到d'點。斜直線dd'近似地平行于直線Oa。說明材料在卸載過程中應(yīng)力與應(yīng)變呈線性關(guān)系，這就是卸載定律。

試件卸載后，在短期內(nèi)再次加載，應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系基本上沿卸載時的斜直線d'd變化，直到d點后又沿曲線def變化。可見，在再次加載過程中，直到d點以前，材料的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系服從胡克定律。比較曲線Oabcdef和d'def，可見第二次加載時，其比例極限有顯著提高。這種現(xiàn)象稱為冷作硬化現(xiàn)象或加工硬化現(xiàn)象。冷作硬化現(xiàn)象經(jīng)退火后可消除。

2.3.4材料的塑性

材料能經(jīng)受較大塑性變形而不破壞的能力，稱為材料的塑性或延性。材料的塑性用延伸率或斷面收縮率度量。

試樣拉斷后，由于保留了塑性變形，試驗段的長度由原來的l變?yōu)閘1，將殘余變形與試驗段原長l的比值，稱為材料的延伸率，并用δ表示，即

低碳鋼的延伸率約為25%~30%。延伸率大的材料，在軋制或冷壓成型時不易斷裂，并能承受較大的沖擊載荷。在工程中，通常將延伸率較大(δ≥5%)的材料稱為延性或塑性材料；延伸率較小(δ<5%)的材料稱為脆性材料。結(jié)構(gòu)鋼、鋁合金、黃銅等為塑性材料；而工具鋼、灰鑄鐵、玻璃、陶瓷等屬于脆性材料。

設(shè)試樣的原始橫截面面積為A，拉斷后縮頸處的最小截面面積為A1，則斷面收縮率為

Q235鋼的斷面收縮率ψ≈60%。

2.3.5其他材料拉伸時的力學(xué)性能

圖2-15所示為30鉻錳硅鋼、50鋼、硬鋁等金屬材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線?？梢钥闯觯鼈償嗔褧r均具有較大的殘余變形，屬于塑性材料。不同的是，有些材料不存在明顯的屈服階段。

圖2-15x

對于不存在明顯屈服階段的塑性材料，工程中通常以卸載后產(chǎn)生數(shù)值為0.2%的殘余應(yīng)變所對應(yīng)的應(yīng)力作為屈服應(yīng)力，稱為名義屈服極限，并用σ0.2表示。如圖2-16所示圖2-16

至于脆性材料，例如鑄鐵，從開始受力直至斷裂，變形始終很小，既不存在屈服階段，也無頸縮現(xiàn)象。圖2-17所示為鑄鐵拉伸時的應(yīng)力應(yīng)變曲線，斷裂時的應(yīng)變僅為0.4%~0.5%，斷

口垂直于試樣軸線，即斷裂發(fā)生在最大拉應(yīng)力作用面，斷口表面呈粗糙顆粒狀。

圖2-17

2.3.6復(fù)合材料與高分子材料的拉伸力學(xué)性能

復(fù)合材料具有強(qiáng)度高、剛度大與密度小的特點。碳/環(huán)

氧(即碳纖維增強(qiáng)環(huán)氧樹脂基體)是一種常用復(fù)合材料，圖2-18所示為某種碳/環(huán)氧復(fù)合材料沿纖維方向與垂直于纖維方向的拉伸應(yīng)力應(yīng)變曲線。

圖2-18

高分子材料也是一種常用的工程材料，圖2-19所示為幾種典型高分子材料拉伸時的應(yīng)力應(yīng)變曲線。圖2-18

2.3.7材料在壓縮時的力學(xué)性能

低碳鋼壓縮時的應(yīng)力應(yīng)變曲線如圖2-20(a)所示，為了便于比較，圖中還畫出了拉伸時的應(yīng)力應(yīng)變曲線?？梢钥闯觯皦嚎s曲線與拉伸曲線基本重合，壓縮與拉伸時的屈服應(yīng)力與彈性模量基本相同。不同的是，過了屈服階段后，隨著壓力不斷增大，低碳鋼試樣愈壓愈“扁平”(見圖2-20(b))，因而得不到壓縮強(qiáng)度極限。因為可以從拉伸試驗測定低碳鋼壓縮時的力學(xué)性能，所以一般不進(jìn)行低碳鋼壓縮試驗。

圖2-20

鑄鐵壓縮時的應(yīng)力應(yīng)變曲線如圖2-21(a)所示。壓縮強(qiáng)度極限遠(yuǎn)高于拉伸強(qiáng)度極限(約為3~4倍)。其他脆性材料如混凝土與石料等也具有上述特點，所以脆性材料宜作承壓構(gòu)件。鑄鐵壓縮破壞的形式如圖2-21(b)所示，斷口的方位角約為45°~55°。由于該截面上存在著較大的切應(yīng)力，所以，鑄鐵壓縮破壞是由最大切應(yīng)力所引起的。

為便于查閱與比較，表2-1列出了幾種常用材料在常溫、靜載下σs、σb和δ的數(shù)值。

圖2-21

2.3.8應(yīng)力集中

由于結(jié)構(gòu)與使用等方面的需要，許多構(gòu)件常常帶有溝槽(如螺紋)、油孔和圓角(構(gòu)件由粗到細(xì)的過渡圓角)等。在外力作用下，構(gòu)件中鄰近溝槽、油孔或圓角的局部范圍內(nèi)，應(yīng)

力急劇增大。例如，圖2-22(a)所示含圓孔的受拉薄板，圓孔處截面A-A上的應(yīng)力分布如圖2-22(b)所示，最大局部應(yīng)力σmax顯著超過該截面的平均應(yīng)力。由于截面急劇變化所引起的應(yīng)力局部增大現(xiàn)象稱為應(yīng)力集中。圖2-22

應(yīng)力集中的程度用應(yīng)力集中因數(shù)K表示，其定義為

式中：σn為名義應(yīng)力。名義應(yīng)力是在不考慮應(yīng)力集中條件下求得的平均應(yīng)力。最大局部應(yīng)力是由試驗或數(shù)值計算方法確定的。圖2-23給出了含圓孔與帶圓角板件在軸向受力時的應(yīng)力集中系數(shù)。

圖2-23

對于由塑性材料制成的構(gòu)件，應(yīng)力集中對其在靜載荷作用下的強(qiáng)度影響很小。因為當(dāng)最大局部應(yīng)力σmax達(dá)到屈服應(yīng)力σs后，該處材料的變形可以繼續(xù)增長而應(yīng)力卻不再加大。如果繼續(xù)增大載荷，則所增加的載荷將由同一截面的未屈服部分承擔(dān)，以致屈服區(qū)不斷擴(kuò)大(見圖2-24)，應(yīng)力分布逐漸趨于均勻。所以，在研究塑性材料構(gòu)件的靜強(qiáng)度問題時，通常可以

不考慮應(yīng)力集中的影響。

圖2-24

2.4拉壓桿的強(qiáng)度計算

2.4.1失效與許用應(yīng)力通常將材料的強(qiáng)度極限與屈服極限統(tǒng)稱為材料的極限應(yīng)力，用σu表示。對于脆性材料，強(qiáng)度極限為其唯一強(qiáng)度指標(biāo)，通常以強(qiáng)度極限作為極限應(yīng)力；對于塑性材料，其屈服應(yīng)力小于強(qiáng)度極限，通常以屈服應(yīng)力作為極限應(yīng)力。

根據(jù)分析計算所得構(gòu)件的應(yīng)力，稱為工作應(yīng)力。在理想情況下，為了充分利用材料的強(qiáng)度，似乎可以使構(gòu)件的工作應(yīng)力接近于材料的極限應(yīng)力，但實際上是不可能的，原因如下：

(1)作用在構(gòu)件上的外力常常估計不準(zhǔn)確。

(2)構(gòu)件的外形與所受外力往往比較復(fù)雜，進(jìn)行分析計算常常需要進(jìn)行一些簡化。因此，計算所得應(yīng)力(即工作應(yīng)力)與實際應(yīng)力有一定的差別。

(3)實際材料的組成與品質(zhì)難免存在差異，不能保證構(gòu)件所用材料與標(biāo)準(zhǔn)試樣具有完全相同的力學(xué)性能，更何況由標(biāo)準(zhǔn)試樣測得的力學(xué)性能，本身也帶有一定的分散性，這種差別在脆性材料中尤為顯著。

(4)為了確保安全，構(gòu)件還應(yīng)具有適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度儲備，特別是對于因破壞將帶來嚴(yán)重后果的構(gòu)件，更應(yīng)該給予較大的強(qiáng)度儲備。

由此可見，構(gòu)件工作應(yīng)力的最大容許值，必須低于材料的極限應(yīng)力。對于由確定材料制成的具體構(gòu)件，工作應(yīng)力的最大容許值，稱為許用應(yīng)力，并用[σ]表示。許用應(yīng)力與極限應(yīng)力的關(guān)系為

式中，n為大于1的因數(shù)，稱為安全因數(shù)。

2.4.2-強(qiáng)度條件

根據(jù)以上分析，為了保證拉壓桿在工作時不因強(qiáng)度不夠而破壞，桿內(nèi)的最大工作應(yīng)力σmax不得超過材料的許用應(yīng)力[σ]，即要求

上述判據(jù)稱為拉壓桿的強(qiáng)度條件或強(qiáng)度設(shè)計準(zhǔn)則。對于等截面拉壓桿，上式可寫為

利用上述條件，可以解決以下三類強(qiáng)度問題：

(1)強(qiáng)度校核。

(2)設(shè)計截面。例如對于等截面拉壓桿，其所需橫

截面的面積為

(3)確定承載能力。如果已知拉壓桿的截面尺寸和許用應(yīng)力，根據(jù)強(qiáng)度條件可以確定該桿所能承受的最大軸力，其值為

例2-4圖2-25所示空心圓截面桿，外徑D=20mm，內(nèi)徑d=15mm，承受軸向載荷F=20kN，材料的屈服應(yīng)力σs=235MPa，安全系數(shù)ns=1.5。試校核桿的強(qiáng)度。圖2-25

解桿件橫截面上的正應(yīng)力為

材料的許用應(yīng)力為

可見，工作應(yīng)力小于許用應(yīng)力，說明桿件能夠安全工作。

例2-5圖2-26所示起重機(jī)的起重鏈條由圓鋼制成，承受的最大拉力為F=15kN。已知圓鋼材料為Q235鋼，考慮到起重時鏈條可能承受沖擊載荷，取許用應(yīng)力[σ]=40MPa。若只考慮鏈環(huán)兩邊所受的拉力，試確定圓鋼的直徑d。圖2-26

解利用截面法，可以求得鏈環(huán)每邊截面上的軸力為

所需圓環(huán)的橫截面面積為

由此可得鏈環(huán)的圓鋼直徑為

故可選用d=16mm的標(biāo)準(zhǔn)鏈環(huán)圓鋼。

例2-6圖2-27(a)所示為簡易旋臂式吊車，斜拉桿由兩根50×50×5的等邊角鋼所組成，水平桿由兩根10號槽鋼組成。材料都是Q235鋼，許用應(yīng)力[σ]=120MPa。整個三角架可繞O1O1軸轉(zhuǎn)動，電動葫蘆可沿水平桿移動。當(dāng)電葫蘆在圖示位置時，求最大起吊重量F(包括電葫蘆自重)。兩桿自重略去不計。

圖2-27

解(1)受力分析。AB、AC兩桿的兩端均可簡化為鉸鏈連接，故吊車的計算簡圖如圖2-27(b)所示。取節(jié)點A為研究對象，其受力圖如圖2-27(c)所示。設(shè)AC桿受拉力FN1，AB桿受壓力FN2。由平面匯交力系的平衡條件

得

2.5拉壓桿的變形計算

當(dāng)桿件承受軸向載荷時，其軸向與橫向尺寸均發(fā)生變化。桿件沿軸線方向的變形稱為軸向變形或縱向變形；垂直于軸線方向的變形稱為橫向變形。

2.5.1拉壓桿的軸向變形與胡克定律

圖2-282.5.2-拉壓桿的橫向變形與泊松比

例2-7圖2-29所示連接螺栓，連接部分的長度l=600mm，直徑d=100mm，擰緊螺母時連接部分的伸長變形Δl=0.30mm，螺

栓用鋼制成，其彈性模量E=200GPa，泊松比μ=0.30。試計算螺栓橫截面上的正應(yīng)力、螺栓的預(yù)緊力及橫向變形。圖2-29

例2-8圖2-30所示桁架由桿1和2組成，并在節(jié)點A承受集中載荷F作用。桿1用鋼桿制成，彈性模量E1=200GPa，橫截面積A1=100mm2，桿長l1=1m；桿2用硬鋁管制成，彈性模量E2=70GPa，橫截面積A2=250mm2；載荷F=10kN。求節(jié)點A的

位移。

圖2-30

2.5.3軸向拉壓時的應(yīng)變能

在外力作用下，彈性體發(fā)生變形，載荷在相應(yīng)位移上做功。與此同時，彈性體因變形具有做功的能力，即具有能量。當(dāng)外力逐漸減小時，變形逐漸消失，彈性體又將釋放出儲存的能量而做功。如機(jī)械鐘表的發(fā)條被擰緊而產(chǎn)生變形，發(fā)條內(nèi)儲存能量；隨后發(fā)條在放松的過程中釋放能量，帶動齒輪系使指針轉(zhuǎn)動。彈性體因變形而儲存的能量，稱為應(yīng)變能，并用Vε表示。

圖2-31

彈性體單位體積內(nèi)存儲的應(yīng)變能稱為應(yīng)變能密度，并用νε表示。因為拉壓桿各部分的受力與變形是均勻的，桿的每一單位體積內(nèi)存儲的變形能應(yīng)相同，所以其應(yīng)變能密度為

利用功能原理可以解決與構(gòu)件或結(jié)構(gòu)變形有關(guān)的問題，這種方法稱為能量法。

2.6簡單拉壓靜不定問題2.6.1靜不定問題分析討論的問題中，桿件的約束力與軸力都可由靜平衡方程完全確定，這類問題稱為靜定問題。在有些情況下，桿件的約束力與軸力并不能全由靜平衡方程解出，這類問題稱為靜不定問題或超靜定問題。在靜定問題中，未知力的數(shù)目等于獨立靜平衡方程的數(shù)目，所有未知力具有確定的解；在靜不定問題中，未知力的數(shù)目多于獨立靜平衡方程的數(shù)目，即存在所謂的多余約束，未知力的解不完全確定。未知力數(shù)目與獨立靜平衡方程數(shù)目之差稱為靜不定次數(shù)。

圖2-32

桁架三根桿原交于一點A，變形后它們?nèi)越挥谝稽c，此外，由于桿1與桿2的受力及抗拉剛度均相同，結(jié)構(gòu)對稱節(jié)點A應(yīng)沿鉛垂方向下移，由A移動到A'，桁架的變形如圖2-32(c)所示?？梢?，為保證三桿變形后仍交于一點，即保證結(jié)構(gòu)的連續(xù)性，桿1、桿2的變形Δl1、Δl2-與桿3的變形Δl3之間應(yīng)滿足如下關(guān)系：

保證結(jié)構(gòu)連續(xù)性所滿足的變形幾何關(guān)系，稱為變形協(xié)調(diào)條件，該條件用數(shù)學(xué)方程寫出來稱之為變形協(xié)調(diào)方程。變形協(xié)調(diào)條件即為求解靜不定問題的補(bǔ)充條件。

設(shè)三桿的變形均處于線彈性范圍，則由胡克定律可知，各桿的變形與軸力間的關(guān)系分別為

示變形與軸力的關(guān)系式稱為物理方程。將式(d)、(e)代入式(c)，得到用軸力表示的變形協(xié)調(diào)方程即補(bǔ)充方程：

最后，聯(lián)立求解方程(a)、(b)、(f)，得

所得結(jié)果均為正，說明各桿軸力均為拉力的假設(shè)是正確的。

綜上所述，求解靜不定問題必須考慮以下三個方面：滿足靜平衡方程；滿足變形協(xié)調(diào)條件；符合力與變形之間的物理關(guān)系。概而言之，即應(yīng)綜合考慮靜力學(xué)、幾何與物理三方面。

例2-10圖2-33所示結(jié)構(gòu)，梁BD可視為剛體，載荷F=50kN，桿1與桿2的彈性模量均為E，橫截面面積均為A，許用拉應(yīng)力[σt]=160MPa，許用壓應(yīng)力[σc]=120MPa，試確定各桿的橫截面面積。圖2-33

解(1)問題分析。剛性梁BD在B處受固定鉸鏈支座約束，如果再受桿1或桿2中某一個二力桿件約束，結(jié)構(gòu)就是一個平面靜定結(jié)構(gòu)；但是該結(jié)構(gòu)是在桿1與桿2共同約束下，顯然存在著多余約束，屬于靜不定結(jié)構(gòu)。

在載荷F作用下，剛性梁BD將繞B點沿順時針方向作微小轉(zhuǎn)動(如圖2-33(a)之虛線所示)，桿1伸長，桿2縮短。與此相應(yīng)，桿1受拉，桿2受壓，其受力如圖2-33(b)所示，未知約束力共有4個，平面任意力系的獨立平衡方程只有3個，故為一靜不定問題。

(2)建立平衡方程。因為本例只需求出軸力FN1與FN2，建立平衡方程

另外兩個包括未知力FBx、FBy的平衡方程不必一一列出。

(3)建立補(bǔ)充方程。由變形關(guān)系圖2-33(a)，可寫出變形協(xié)調(diào)方程為

根據(jù)胡克定律，得物理方程為

將式(c)、(d)代入式(b)，得補(bǔ)充方程為

(4)軸力計算與截面設(shè)計。聯(lián)立求解平衡方程(a)與補(bǔ)充方程(e)，得

根據(jù)拉壓桿的強(qiáng)度條件，得桿1與桿2所需之橫截面面積分別為

但是，由于該結(jié)構(gòu)的軸力是在A1=A2-的條件下求得的，如果桿1與桿2取不同的面積，軸力將隨之改變。因此，應(yīng)取

(5)討論。

2.6.2-熱應(yīng)力與預(yù)應(yīng)力

靜不定問題的另一重要特征是，溫度的變化以及制造誤差會在靜不定結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生應(yīng)力，這些應(yīng)力分別稱為熱應(yīng)力(溫度應(yīng)力)與預(yù)應(yīng)力(初應(yīng)力、裝配應(yīng)力)。

靜不定結(jié)構(gòu)中的熱應(yīng)力是由于熱膨脹(或收縮)受到約束而引起的。設(shè)桿件的原長為l，材料的線膨脹系數(shù)為α，則當(dāng)溫度改變ΔT時，桿長的改變量為

對于圖2-34所示的兩端固定桿，由于溫度變形被固定端所限制，桿內(nèi)即引起熱應(yīng)力。

為了分析該桿的熱應(yīng)力，假想地將B端的約束解除，以支反力FR代替其作用，桿的軸向變形包括由溫度引起的變形和約束力引起的變形兩部分，即

由于桿的總長不變，因而有

由此求得桿內(nèi)橫截面上的正應(yīng)力即熱應(yīng)力為

圖2-34

不難看出，當(dāng)溫升較大時，熱應(yīng)力的數(shù)值相當(dāng)可觀，不可忽視。例如，對于鋼管，E=200GPa，α=1.25×10-5/℃，ΔT=40℃時，桿內(nèi)的熱應(yīng)力σT=100MPa。為了避免出現(xiàn)過高的熱應(yīng)力，蒸汽管道中有時設(shè)置伸縮節(jié)(見圖2-35)，鋼軌在兩段接頭之間預(yù)留一定量的縫隙等，以削弱熱膨脹所受的限制，降低溫度應(yīng)力。圖2-35

在加工制造構(gòu)件時，尺寸上的一些微小誤差難以避免。對于靜定結(jié)構(gòu)，加工誤差只不過是造成結(jié)構(gòu)幾何形狀的微小變化，不會引起內(nèi)力。但對靜不定結(jié)構(gòu)，加工誤差卻往往要引起內(nèi)力。例如圖2-32所示桁架，若桿3比設(shè)計長度短Δ，裝配時為了將三根桿下端連接于一點，必須使桿3拉長，使桿1、2縮短。桿系經(jīng)裝配后，桿3內(nèi)便產(chǎn)生拉應(yīng)力，而桿1、2-內(nèi)便產(chǎn)生壓應(yīng)力。這種由于加工誤差而在裝配時產(chǎn)生的應(yīng)力稱為裝配應(yīng)力。

例2-11在圖2-36(a)所示結(jié)構(gòu)中，橫梁AB為剛性桿。1、2兩桿的抗拉剛度分別為E1A1、E2A2。由于加工誤差，1桿比名義長度短了δ，試求1、2桿的內(nèi)力。圖2-36

解(1)靜力平衡方程。設(shè)1、2桿的軸力分別為FN1、FN2，見圖2-36(b)。由AB桿的平衡方程∑MA=0，得

(2)幾何方程。由于橫梁AB是剛性桿，因此結(jié)構(gòu)變形后，它仍為直桿，由圖2-36(c)可以看出，1、2兩桿的伸長Δl1、Δl2-與δ應(yīng)滿足以下關(guān)系：

(3)物理方程。兩桿的變形如圖所示，其伸長量分別為

聯(lián)立求解式(a)、式(b)、式(c)，可以得到

2.7連接件的強(qiáng)度計算

工程實際中，為了將機(jī)械零部件或結(jié)構(gòu)構(gòu)件互相連接起來，通常要用到螺栓、鉚釘、銷軸、鍵塊、木榫、焊接等連接方式。在這些連接中的螺栓、鉚釘、銷軸、鍵塊、榫頭等稱為連接件。工程上常用的連接件以及被連接的構(gòu)件在連接處的應(yīng)力，都屬于所謂“加力點附近的局部應(yīng)力問題”。

由于應(yīng)力的局部性質(zhì)，連接件的橫截面上或被連接件連接處的應(yīng)力分布是很復(fù)雜的，很難作出也沒有必要作出精確的理論分析。因此，對于連接件的強(qiáng)度問題，工程上大都采用實用計算法。這種方法的要點是：一方面，對連接件的受力與應(yīng)力分布進(jìn)行簡化與假定，從而計算出各部分的“名義應(yīng)力”；另一方面，根據(jù)同類連接件的實物或模擬破壞實驗，由前述應(yīng)力公式計算其破壞時的“極限應(yīng)力”；然后根據(jù)上述兩方面得到的計算結(jié)果，建立強(qiáng)度條件，作為連接件設(shè)計的依據(jù)。

2.7.1剪切與剪切強(qiáng)度條件

如圖2-37所示，當(dāng)作為連接件的銷釘兩側(cè)承受一對大小相等、方向相反、作用線互相平行且相距很近的力作用時，其主要失效形式之一是沿兩側(cè)外力之間并與外力作用線平行的橫截面發(fā)生剪切破壞。發(fā)生剪切破壞的橫截面稱為剪切面。剪切面上的內(nèi)力既有剪力FS，又有彎矩，但彎矩很小，可以忽略。利用截面法和靜力平衡方程不難求得剪切面上的剪力。例如，由圖2-37(c)可得

圖2-37

2.7.2-擠壓與擠壓強(qiáng)度計算

擠壓接觸面上的應(yīng)力分布也是很復(fù)雜的。因此，在工程中同樣采取實用計算的方法，即假定擠壓應(yīng)力在有效擠壓面上均勻分布。有效擠壓面簡稱擠壓面，其面積用符號Abs表

示，它是指實際擠壓面面積在垂直于總擠壓力作用線平面上的投影。若實際擠壓面為平面，如圖2-38(a)所示的鍵，則圖示陰影部分實際擠壓面的面積就是有效擠壓面的面積Abs。對于銷釘、鉚釘?shù)葓A柱形連接件，其實際擠壓面為半圓柱面，擠壓面上的實際應(yīng)力分布如圖2-38(b)所示。

圖2-38

根據(jù)實驗與分析結(jié)果，其最大擠壓應(yīng)力約等于有效擠壓面上的平均應(yīng)力。故對于圓柱形連接件，若直徑為d，連接板厚度為δ，則有效擠壓面的面積為Abs=δd，如圖2-37(c)所示。于是，擠壓應(yīng)力為

實用計算的擠壓強(qiáng)度條件為

式中：[σbs]為許用擠壓應(yīng)力，它也是根據(jù)同類構(gòu)件的擠壓破壞實驗確定極限擠壓力，并由式(2-26)計算名義擠壓強(qiáng)度極限，再除以擠壓安全因數(shù)得到的。實驗表明，對于鋼材，有

式中：[σ]為拉伸許用應(yīng)力。

例2-12-圖2-39所示的鋼板鉚接件中，已知鋼板的許用應(yīng)力為[σ]=98MPa，許用擠壓應(yīng)力[σbs]=196MPa，鋼板厚度δ=10mm，寬度b=100mm，鉚釘直徑d=17mm，鉚釘許用切應(yīng)力[τ]=137MPa，擠壓許用應(yīng)力為[σbs]=314MPa。若載荷Fp=23.5kN。試校核鋼板與鉚釘?shù)膹?qiáng)度。

圖2-39

解(1)接頭破壞形式分析。鉚接接頭的破壞形式可能有如下四種：鉚釘被剪斷；鉚釘與孔壁相互擠壓產(chǎn)生顯著塑性變形；鋼板沿鉚釘孔中心所在的截面被拉斷；鋼板被拉豁。對于鋼板，由于自鉚釘孔邊緣線至端部的距離比較大，該鋼板縱向承受剪切的面積較大，因而具有較高的抗剪切強(qiáng)度，拉豁的可能性比較小。因此，本例中只需校核鋼板的拉伸強(qiáng)度和擠壓強(qiáng)度，以及鉚釘?shù)臄D壓和剪切強(qiáng)度。現(xiàn)分別計算如下：

(2)對鋼板進(jìn)行強(qiáng)度校核。

(3)對鉚釘進(jìn)行強(qiáng)度校核。

例2-13如圖2-40所示，齒輪用平鍵與軸連接(圖中只畫出了軸與鍵，沒有畫齒輪)。已知軸的直徑d=70mm，鍵的尺寸為b×h×l=(20×12×100)mm，傳遞的扭轉(zhuǎn)力偶矩為Me=2kN·m，鍵的許用切應(yīng)力[τ]=60MPa，許用擠壓應(yīng)力為[σbs]=100MPa。試校核鍵的強(qiáng)度。

圖2-40

例2-14圖2-41所示為一沖床工作簡圖，最大沖壓力Fmax=400kN，沖頭材料的許用擠壓應(yīng)力為[σbs]=400MPa，鋼板的剪切強(qiáng)度極限τb=360MPa。試設(shè)計沖頭的最小直徑值及所能沖剪鋼板的厚度最大值。圖2-41

解(1)按沖頭壓縮強(qiáng)度計算d。

故有

取沖頭的最小直徑為dmin=36mm。

(2)按鋼板剪切強(qiáng)度計算厚度t。要完成沖剪工作，剪切面上的切應(yīng)力應(yīng)大于其剪切強(qiáng)度極限，即

可得

因此取能沖剪鋼板的最大厚度值tmax=9.8mm。

習(xí)題題2-1圖

2-1試畫題2-1圖所示各桿的軸力圖,并確定軸力的最大值。

2-2-題2-2圖所示階梯形圓截面桿AC,承受軸向載荷F1=200kN,F2=100kN,AB段的直徑d1=40mm。如欲使BC與AB段的正應(yīng)力相同,試求BC段的直徑。題2-2-圖

2-3題2-3圖所示軸向受拉等截面桿,橫截面面積A=500mm

2,載荷F=50kN,試求圖示斜截面m-m上的正應(yīng)力與切應(yīng)力,以及桿內(nèi)的最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力。題2-3圖

2-4題2-4圖所示桿件,承受軸向載荷F作用。該桿由兩根木桿粘接而成,欲使粘接面上的正應(yīng)力為其切應(yīng)力的2倍,問粘接面的方位角θ應(yīng)取何值?題2-4圖題2-4圖

2-5某材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線如題2-5圖所示,試根據(jù)該曲線確定:

(1)材料的彈性模量E、比例極限σp與名義屈服極限σ0.2。

(2)當(dāng)應(yīng)力增加到σ=350MPa時,材料的正應(yīng)變ε,以及相應(yīng)的彈性應(yīng)變εe與塑性應(yīng)變εp。

題2-5圖

2-6三根桿的尺寸相同但材料不同,材料的σε曲線如題2-6圖所示,試問哪一種:①強(qiáng)度高?②剛度大?③塑性好?題2-6圖

2-7題2-7圖所示含圓孔板件,承受軸向載荷F作用。試求板件橫截面上的最大拉應(yīng)力(考慮應(yīng)力集中)。已知載荷F=32kN,板寬b=100mm,板厚δ=15mm,孔徑d=20mm。題2-7圖

2-8題2-8圖所示桁架,由圓截面桿1、2組成,并在節(jié)點A承受鉛垂向下的載荷F=80kN。桿1、桿2的直徑分別為d1=30mm和d2=20mm,兩桿的材料相同,屈服極限σs=320MPa,安全系數(shù)n=2.0。

(1)試校核桁架的強(qiáng)度。

(2)試確定載荷F的最大許可值[F]。題2-8圖

2-9題2-9圖所示的鏈條由兩層鋼板組成,每層板的厚度t=4.5mm,寬度H=65mm,h=40mm,鉚釘孔直徑d=20mm,鋼板材料的許用應(yīng)力[σ]=80MPa。若鏈條的拉力F=25kN,校核它的拉伸強(qiáng)度。題2-9圖

2-10題2-10圖所示桁架,承受載荷F作用。試求該載荷的許用值[F]。設(shè)各桿的橫截面面積均為A,許用應(yīng)力均為[σ]。(只考慮強(qiáng)度問題)題2-10圖

2-11蒸汽機(jī)的汽缸如題2-11圖所示,汽缸內(nèi)徑D=560mm,內(nèi)壓強(qiáng)p=2.5MPa,活塞桿直徑d=100mm,所用材料的屈服極限σs=300MPa。(1)試求活塞桿的正應(yīng)力及工作安全系數(shù)。(2)若連接汽缸和汽缸蓋的螺栓直徑為30mm,其許用應(yīng)力[σ]=60MPa,求連接汽缸蓋所需的螺栓數(shù)。題2-11圖

2-12-題2-12圖所示硬鋁試樣,厚度δ=2-mm,試驗段板寬b=20mm,標(biāo)距l(xiāng)=70mm。在軸向拉力F=6kN的作用下,測得試驗段伸長Δl=0.15mm,板寬縮短Δb=0.014mm。試計算硬鋁的彈性模量與泊松比。題2-12-圖

2-13題2-13圖所示圓截面桿,F=4kN,F1=F2-=2kN,l=100mm,d=10mm,E=200GPa。試求桿的軸向變形Δl。題2-13圖

2-14題2-14圖所示螺栓,擰緊時產(chǎn)生Δl=0.10mm的軸向變形。試求預(yù)緊力F,并校核螺栓的強(qiáng)度。已知:d1=8.0mm,d2-=6.8mm,d3=7.0mm;l1=6.0mm,

l2=29mm,l3=8mm,E=210GPa,[σ]=500MPa。題2-14圖

2-15題2-15圖所示鋼桿,橫截面面積A=2500mm2,彈性模量E=210GPa,軸向載荷F=200kN,試在下列兩種情況下確定桿端的支反力:(1)間隙δ=0.6mm;(2)間隙δ=0.3mm。題2-15圖

2-16試計算題2-16圖所示桁架節(jié)點A的水平位移與鉛垂位移。設(shè)各桿各截面的拉壓剛度均為EA。題2-16圖

2-17在題2-17圖所示鋼筋混凝土柱的橫截面上,鋼筋面積與混凝土面積之比為1∶40。二者的彈性模量之比為10∶1,問二者各承擔(dān)多少載荷?題2-17圖

2-18兩鋼桿如題2-18圖(a)、(b)所示,已知截面積A1=1×102-mm2,A2=A3=2×102-mm2。試求當(dāng)溫度升高30℃時,各桿橫截面上的最大正應(yīng)力。鋼的線膨脹系數(shù)αl=12.5×10-6/℃,彈性模量E=210GPa。題2-18圖

2-19一種制作預(yù)應(yīng)力鋼筋混凝土的方式如題2-19圖所示。首先用千斤頂以拉力F拉伸鋼筋(見圖(a)),然后澆注混凝土(見圖(b))。待混凝土凝固后,卸除拉力F(見圖(c)),這時,混凝土受壓,鋼筋受拉,形成預(yù)應(yīng)力鋼筋混凝土。設(shè)拉力F使鋼筋橫截面產(chǎn)生的初應(yīng)力σ0=820MPa,鋼筋與混凝土的彈性模量之比為8∶1,橫截面面積之比為1∶30,試求鋼筋與混凝土橫截面上的預(yù)應(yīng)力。

題2-19圖

2-20題2-20圖所示銷釘連接,已知F=18kN,板厚t1=8mm,t2=5mm,銷釘與板的材料相同,許用切應(yīng)力為[τ]=60MPa,許用擠壓應(yīng)力為[σbs]=200MPa,試設(shè)計銷釘?shù)闹睆絛。題2-20圖

2-21兩塊鋼板厚度t=6mm,用三個鉚釘連接,如題2-21圖所示。已知F=50kN,材料的許用切應(yīng)力為[τ]=100MPa,許用擠壓應(yīng)力為[σbs]=280MPa,試設(shè)計銷釘?shù)闹睆絛?，F(xiàn)在若用直徑為12mm的鉚釘,則鉚釘數(shù)應(yīng)該是多少?題2-21圖

2-22-車床的傳動光桿上裝有安全聯(lián)軸器,當(dāng)傳遞的扭力矩超過一定值時,安全銷即被剪斷。已知題2-22圖所示安全銷的平均直徑d=5mm,軸的直徑為20mm,銷釘?shù)募羟袠O限應(yīng)力τu=370MPa,求安全聯(lián)軸器所能傳遞的最大力偶矩Me。題2-22圖第3章扭轉(zhuǎn)3.1引言3.2扭力偶矩、扭矩與扭矩圖3.3-薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)試驗與剪切胡克定律3.4圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力與變形3.5圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度條件與剛度條件3.6圓柱形密圈螺旋彈簧的應(yīng)力與變形3.7非圓截面軸扭轉(zhuǎn)習(xí)題

3.1引言

扭轉(zhuǎn)是桿件的基本變形形式之一。例如，汽車的轉(zhuǎn)向軸(見圖3-1)上端受到經(jīng)由方向盤傳來的力偶Me作用，下端承受來自轉(zhuǎn)向器的阻抗力偶Me'作用，轉(zhuǎn)向軸各橫截面繞軸線作相對轉(zhuǎn)動。再如變速機(jī)構(gòu)中的傳動軸(見圖3-2)。

圖3-1圖3-2

桿件橫截面繞軸線作相對旋轉(zhuǎn)為主要特征的變形形式(見圖3-3)，稱為扭轉(zhuǎn)。截面間繞軸線的相對角位移，稱為扭轉(zhuǎn)角。圖3-3

由此可見，在垂直于桿件軸線的平面內(nèi)作用有力偶時，桿件產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。使桿件產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形的外力偶，稱為扭力偶，其力矩稱為扭力偶矩。凡是以扭轉(zhuǎn)變形為主要變形的構(gòu)件，稱為軸。

工程實際中有很多構(gòu)件，如攻絲的絲錐、車床的光杠、攪拌機(jī)軸、汽車的傳動軸等；還有一些軸類零件，如電動機(jī)主軸、水輪機(jī)主軸、機(jī)床傳動軸等，都是受扭構(gòu)件。除存在扭轉(zhuǎn)變形之外還有彎曲變形，這稱為組合變形。

3.2扭力偶矩、扭矩與扭矩圖

1.扭力偶矩的計算對于傳動軸等構(gòu)件，往往只給出軸所傳遞的功率和轉(zhuǎn)速，可利用動力學(xué)知識，根據(jù)功率、轉(zhuǎn)速和扭力偶矩之間的關(guān)系：求出作用在軸上的扭力偶矩為

2.扭矩與扭矩圖

為了計算圓軸的應(yīng)力和變形，首先要分析其橫截面上的內(nèi)力。如圖3-4(a)所示圓軸，承受外力偶矩Me作用，現(xiàn)用截面法分析任意橫截面n－n上的內(nèi)力。在n－n截面處假想地將圓軸截開，取其左段為研究對象，作用在軸左段上的外力偶矩為Me，由平衡理論可知，作用在n－n

截面上分布內(nèi)力系的合成結(jié)果必為一力偶，而且該力偶的作用面在橫截面內(nèi)。

將作用于橫截面的內(nèi)力偶矩稱為該截面的扭矩，用T來表示(見圖3-(b))。由軸左段平衡條件：

得n－n截面的扭矩為

圖3-4

例3-1已知傳動軸(見圖3-5(a))的轉(zhuǎn)速n=300r/min，主動輪為A，輸入功率PA=50kW，兩個從動輪為B、C，其中B輪輸出功率PB=30kW。試作軸的扭矩圖。圖3-5

解(1)扭力偶矩計算。A輪為主動輪，故MA的方向與軸的轉(zhuǎn)向一致；而作用在從動輪B、C上的扭力偶矩MB、MC的方向與軸的轉(zhuǎn)向相反。MA、MB的大小分別為

由靜平衡條件∑Mx=0，求得

(2)扭矩計算。用截面法求各段扭矩。在AB段內(nèi)，任選1－1截面為代表，從該截面截開，研究左段(見圖3-5(b))，假定1－1截面上的扭矩T1取正值，由平衡條件∑Mx=0，得

同理，在AC段內(nèi)，任選22截面為代表，從該截面截開，研究右段，假定22截面上的扭矩T2取正值(見圖3-5(c))，由平衡條件亦可求得

(3)畫扭矩圖。以橫坐標(biāo)x表示橫截面位置(與軸的受力圖上下對應(yīng))，以縱坐標(biāo)表示相應(yīng)的扭矩，按選定比例作出BA、AC兩段軸的扭矩圖。因為在每段內(nèi)扭矩是不變的，故扭矩圖由兩段水平線組成，如圖3-5(d)。由圖知，該傳動軸的最大扭矩發(fā)生在AB段內(nèi)，值為

3.3-薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)試驗與剪切胡克定律

1.薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與變形圖3-6(a)所示為一壁厚為δ、平均半徑為R0的薄壁圓筒(δ≤R0/10)。受扭前，在圓筒表面上畫出一組圓周線和縱向線組成的矩形方格。在兩端扭力偶矩Me的作用下，圓筒產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形(見圖3-6(b))。

圖3-6

2.純剪切與切應(yīng)力互等定理

3.剪切胡克定律

利用薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)可做純剪切試驗。試驗結(jié)果表明：對于大多數(shù)工程材料，如果切應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限τp，則切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比(見圖3-7)，即

上述關(guān)系稱為剪切胡克定律，比例常數(shù)G稱為材料的切變模量，其單位是Pa，常用單位是GPa。

理論和試驗均表明，對于各向同性材料，彈性模量E、泊松比μ與切變模量G三個彈性常數(shù)之間存在如下關(guān)系：

因此，當(dāng)已知任意兩個彈性常數(shù)時，由公式(3-5)可以確定第三個彈性常數(shù)。由此可見，各向同性材料只有兩個獨立的彈性常數(shù)。

圖3-7

4.剪切應(yīng)變能

圖3-8所示微體處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)。在切應(yīng)力τ的作用下，微體發(fā)生切應(yīng)變γ，頂面與底面間的相對位移為γdy，因此，作用在微體上的剪力所做之功或微體的應(yīng)變能為

由此得剪切應(yīng)變能密度為圖3-8

3.4圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力與變形

3.4.1試驗與假設(shè)首先通過試驗觀察圓軸的扭轉(zhuǎn)變形，并對其內(nèi)部變形規(guī)律作出假設(shè)。取一等截面圓軸，在其表面畫上圓周線和縱向線(見圖3-9(a))，然后在軸兩端加上一對大小相等、方向相反的扭力偶。

圖3-9

在小變形情況下，其變形特點與薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時相同

(見圖3-9(b))：

(1)各圓周線大小、形狀和間距都不變，只是繞軸線各自轉(zhuǎn)過了不同角度。

(2)各縱向線傾斜了同一角度γ，變形前的小矩形變成了平行四邊形。

由于圓周線大小、形狀和間距都不變，通過由表及里的想象和推測，可以對圓軸扭轉(zhuǎn)變形作出如下假定：變形前的橫截面，變形后仍保持平面，其形狀、大小和各橫截面之間的間距保持不變，且半徑仍保持直線。即各橫截面如同剛性圓片一樣，繞軸線作相對轉(zhuǎn)動。此假設(shè)稱為圓軸扭轉(zhuǎn)的平面假設(shè)，該假設(shè)已為理論和試驗所證實

3.4.2圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的一般公式

1.幾何方面

為了確定橫截面上各點處的應(yīng)力，需要了解軸內(nèi)各點處的變形。為此，用相距dx的兩個橫截面以及夾角無限小的兩個徑向縱截面，從軸內(nèi)切取一楔形體O1ABCDO2進(jìn)行分析(見圖3-10(a))。圖3-10

根據(jù)平面假設(shè)可知，楔形體變形后的形狀如圖中虛線所示，圓軸表面的矩形ABCD變?yōu)槠叫兴倪呅蜛BC'D'，距軸線任意位置ρ處的矩形abcd變?yōu)槠叫兴倪呅蝍bc'd'，即均在垂直于半徑的平面內(nèi)發(fā)生剪切變形。設(shè)楔形體左、右兩側(cè)面間的相對轉(zhuǎn)角為dφ，矩形abcd的切應(yīng)變?yōu)棣忙眩瑒t由圖可知

由于dφ/dx是常量，所以切應(yīng)變γρ與點到軸心的距離ρ成正比。

2.物理方面

由剪切胡克定律可知，在剪切比例極限內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比，因此，橫截面ρ處的切應(yīng)力為

由此可得圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力分布規(guī)律：只存在與半徑垂直的切應(yīng)力，其大小沿半徑呈線性變化(見圖3-10(b))。實心與空心圓截面扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分布分別如圖3-11(a)、(b)所示。圖3-11

3.靜力學(xué)方面

圖3-12x

3.4.3-最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力

3.4.4圓軸的扭轉(zhuǎn)變形

3.5圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度條件與剛度條件

1.扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力

扭轉(zhuǎn)試驗是用圓截面試樣在扭轉(zhuǎn)試驗機(jī)上進(jìn)行的。試驗表明：塑性材料試樣在受扭過程中，先是發(fā)生屈服(見圖3-3(a))，如果繼續(xù)增大扭轉(zhuǎn)力矩，試樣最后沿橫截面被剪斷(見圖3-3(b))。脆性材料試樣受扭時，變形始終很小，最后在與軸線約成45°傾角的螺旋面發(fā)生斷裂(見圖3-13(c))。圖3-13

由此可見，對于受扭圓軸，塑性材料失效的標(biāo)志是屈服，試件屈服時橫截面上的最大切應(yīng)力即為材料的扭轉(zhuǎn)屈服應(yīng)力，用τs表示。屈服時試件表面會出現(xiàn)滑移線(見圖3-13(a))；脆性材料失效的標(biāo)志是斷裂，試件斷裂時橫截面上的最大切應(yīng)力即為材料的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度極限，用τb來表示。扭轉(zhuǎn)屈服應(yīng)力τs和扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度極限τb又統(tǒng)稱為材料的扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力，用τu來表示。

2.圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件

用材料的扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力τu除以安全系數(shù)n，得材料的扭轉(zhuǎn)許用應(yīng)力為

許用應(yīng)力。對于等截面圓軸，則要求

此時|T|max作用截面即為軸的危險截面；而對于變截面圓軸，則要求

此時，由于圓軸各段的抗扭截面系數(shù)不同，最大扭矩作用截面不一定是危險截面。需要綜合考慮扭矩和抗扭截面系數(shù)的大小，確定可能產(chǎn)生最大切應(yīng)力的各橫截面。式(3-15)、式(3-16)稱為圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件。

理論分析和試驗研究表明，材料的扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力[τ]與許用拉應(yīng)力[σ]之間存在下列關(guān)系：

3.圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件

工程中的有些軸，為了能正常工作，除要求滿足強(qiáng)度條件外，還要對軸的扭轉(zhuǎn)變形作一定的限制。例如機(jī)床主軸的扭轉(zhuǎn)角過大會影響加工精度，高速運轉(zhuǎn)的軸扭轉(zhuǎn)角過大會引起強(qiáng)烈振動。一般來說，對于有精度要求和限制振動的機(jī)械，都需要考慮軸的扭轉(zhuǎn)變形。在扭轉(zhuǎn)問題中，通常是限制單位長度的最大扭轉(zhuǎn)角θmax不得超過單位長度許用扭轉(zhuǎn)角[θ]。

因此，由式(3-7)，對于等截面圓軸，其扭轉(zhuǎn)剛度條件為

對于變截面圓軸

例3-3-一等截面實心圓軸，轉(zhuǎn)速n=300r/min，傳遞的功率P=331kW，若圓軸材料的許用切應(yīng)力[τ]=40MPa，單位長度許用扭轉(zhuǎn)角[θ]=0.5°/m，材料切變模量G=80GPa。試設(shè)計圓軸直徑d。

解圓軸所傳遞的外力偶矩為

此時，橫截面上的扭矩為

由圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件

得圓軸直徑

為了用剛度條件計算圓軸直徑，首先將單位長度許用扭轉(zhuǎn)角[θ]進(jìn)行單位換算：

由圓軸扭轉(zhuǎn)的剛度條件

得圓軸直徑

圓軸的直徑取較大值，取d=112

例3-5圖3-14所示為板式槳葉攪拌器，已知電動機(jī)的功率是17kW，攪拌器的轉(zhuǎn)速是60r/min，機(jī)械傳動的效率是90%，軸用?117×6不銹鋼管制成，材料的許用切應(yīng)力[τ]=30MPa，試按強(qiáng)度條件校核攪拌軸是否安全。

圖3-14

例3-6圖3-15所示兩圓軸用法蘭上的12個螺栓連接。已知軸傳遞的扭矩Me=50kN·m，法蘭邊厚t=20mm，平均直徑D=300mm，軸的許用切應(yīng)力[τ]=40MPa，螺栓的許用切應(yīng)力[τ]=60MPa，許用擠壓應(yīng)力[σbs]=120MPa，試求軸的直徑d和螺栓直徑d1。

解(1)求軸的直徑。

由軸的剪切強(qiáng)度條件

可得

圖3-15

例3-7圖3-16(a)所示A、B兩端分別固定的等截面圓軸，C處承受扭力偶矩M的作用，試求固定端A、B處的約束力偶矩。圖3-16

4.圓軸的合理截面與減緩應(yīng)力集中

在工程中，空心圓軸得到了廣泛的應(yīng)用，這主要是由扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的分布規(guī)律決定的。實心圓軸橫截面上的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分布如圖3-17(a)所示，當(dāng)截面周邊處的切應(yīng)力達(dá)到許用切應(yīng)力時，軸心附近各點處的切應(yīng)力仍很小，這部分材料就沒有充分發(fā)揮作用。所以，為了充分利用材料，宜將材料放置在離圓心較遠(yuǎn)的部位，作成空心軸，此時切應(yīng)力分布規(guī)律如圖3-17(b)所示，其切應(yīng)力和內(nèi)力的力臂都將增大，軸的抗扭能力將大大增強(qiáng)。圖3-17

3.6圓柱形密圈螺旋彈簧的應(yīng)力與變形

螺旋彈簧是工程中常用的機(jī)械零件，多用于緩沖裝置、控制機(jī)構(gòu)及儀表中，如車輛上用的緩沖彈簧，發(fā)動機(jī)進(jìn)排氣閥與高壓容器安全閥中的控制彈簧，彈簧秤中的測力彈簧等。螺旋彈簧有多種形式，最常用的是圓柱形螺旋彈簧，簧絲截面也為圓形。

如圖3-18(a)所示，圓柱形彈簧的主要幾何參數(shù)有：彈簧圈的平均直徑D，簧絲直徑d，螺旋線升角α。α≤5°時稱為密圈彈簧，α>5°時稱為松圈彈簧。密圈彈簧在受軸向拉壓載荷作用時，簧絲的主要變形形式為扭轉(zhuǎn)，松圈彈簧則為拉壓、扭轉(zhuǎn)、彎曲組合變形。此外，螺旋彈簧還可以按彈簧指數(shù)m=D/d分為兩類：m較大(d?D)時稱為輕型彈簧(細(xì)彈簧)，m較小時稱為重型彈簧(粗彈簧)。輕型彈簧的簧絲可近似按直桿進(jìn)行分析計算，重型彈簧的簧絲則應(yīng)考慮曲率引起的修正。本節(jié)主要介紹輕型密圈螺旋彈簧的應(yīng)力與變形。圖3-18

1.彈簧絲橫截面上的應(yīng)力

對于圖3-18(a)所示承受拉力F作用的密圈螺旋彈簧，利用截面法，以通過彈簧軸線的截面，將某一圈的彈簧絲截開，并取上半部分作為研究對象(見圖3-18(b))。由于螺旋升角α很小，因此所截截面可近似看成是彈簧絲的橫截面。于是，根據(jù)保留部分的平衡條件可知，在彈簧絲橫截面上必然同時存在剪力FS及扭矩T，其值分別為

2.彈簧的變形

彈簧在軸向壓(拉)力F作用下，軸線方向的總縮短(伸長)量為λ(見圖3-19(a))。試驗表明，在彈性范圍內(nèi)，F(xiàn)與λ成正比(見圖3-19(b))。當(dāng)軸向壓(拉)力從零增加到最終值F時，所做之功為

圖3-19

例3-8某柴油機(jī)的氣閥彈簧，彈簧平均半徑R=59.5mm，彈簧絲橫截面直徑d=14mm，有效圈數(shù)n=5。材料的[τ]=350MPa，G=80GPa。彈簧工作時承受壓力F=2500N。試校核彈簧的強(qiáng)度并計算其壓縮變形。

(2)變形計算。由式(3-25)計算彈簧的壓縮變形：

3.7非圓截面軸扭轉(zhuǎn)

1.自由扭轉(zhuǎn)與限制扭轉(zhuǎn)試驗研究和理論分析均表明，非圓截面軸扭轉(zhuǎn)時，橫截面將不再保持平面而發(fā)生翹曲(見