2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 12 空間的平行與垂直教學(xué)案 理

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專題12空間的平行與垂直

1.以選擇、填空題形式考查空間位置關(guān)系的判斷，及文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換，難度適

中;

2.以客觀題形式考查有關(guān)線面平行、垂直等位置關(guān)系的命題真假判斷或充要條件判斷等.

3.以多面體或旋轉(zhuǎn)體為載體(棱錐、棱柱為主)命制空間線面平行、垂直各種位置關(guān)系的證明題或探索

性問(wèn)題，以大題形式呈現(xiàn).

重點(diǎn)知識(shí)梳理

1.點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系

(1)平面的基本性質(zhì)

名稱圖形文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)AG1、

BG1

公理1平面內(nèi)，那么這條直線在此平>=7ca

jea

面內(nèi)BG*

若4、B、C三點(diǎn)不共線，

過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)有且

公理2則4、B、C在同一平面

只有一個(gè)平面

a內(nèi)且a是唯一的.

如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)平面a與。不重合，

公理3公共點(diǎn)，那么它們有且只有一若-e。，且尸e￡,則

%"]條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.on/3—a,且。ea

(2)平行公理、等角定理

公理4：若allc,b//c,則a〃4

等角定理：若力〃OB//aBx,則//加=N4Q5或N/仍+N4a3=180°.

2.直線、平面的平行與垂直

定理名稱文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

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聞a'

線面平行平面外一條直線與平面內(nèi)的________a

Zxza}=

的判定定一條直線平行，則這條直線與

a//b,

理此平面平行/，/

a

一條直線與一個(gè)平面平行，則

線面平行

過(guò)這條直線的任何一個(gè)平面a〃a,acP,a

的性質(zhì)定

與此平面的交線與該直線平AB=b,=a〃b

理二

行

面面平行如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交ZX：/aca,bea,a

的判定定的直線都平行于另一個(gè)平面，Ab=P,a〃B,b

理那么這兩個(gè)平面平行k__/〃a〃B

面面平行如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第a〃B且YAa

的性質(zhì)定三個(gè)平面相交，那么它們的交F\1=a且丫ClB=

理線平行22b=a〃b

線面垂直一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩aca,bea,a

的判定定條相交直線都垂直，則該直線J0b=A,1±a,1

理與此平面垂直±b=>l±Q

線面垂直ab

垂直于同一平面的兩條直線a±a,b±a=a

的性質(zhì)定7

平行z〃b

理

面面垂直

一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂Aa±a,acB,0a

的判定定a

線，則這兩個(gè)平面垂直/13

理/V

面面垂直兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)%a_LB,b￡B,a

/

的性質(zhì)定垂直于交線的直線與另一個(gè)03=a,b±a=>b

理平面垂直A/1a

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3.熟練掌握常見(jiàn)幾何體（柱、錐、臺(tái)、球）的兒何特征，明確各種幾何體的直觀圖與三視圖特征及相關(guān)

面積體積的計(jì)算公式，熟練掌握線線、線面、面面平行與垂直等位置關(guān)系的判定與性質(zhì)定理及公理，熟練

進(jìn)行線線、線面、面面平行與垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化是解答相關(guān)幾何題的基礎(chǔ).

【誤區(qū)警示】

1.應(yīng)用線面、面面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理時(shí)，必須按照定理的要求找足條件.

2.作輔助線（面）是立體幾何證題中常用技巧，作圖時(shí)要依據(jù)題設(shè)條件和待求（證）結(jié)論之間的關(guān)系結(jié)合

有關(guān)定理作圖.注意線線、線面、面面平行與垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.

a/\b

3.若a、b、。代表直線或平面，△代表平行或垂直，在形如的命題中，要切實(shí)弄清有

a/\cA\

a_L

哪些是成立的，有哪些是不成立的.例如a、b、c中有兩個(gè)為平面，一條為直線，命題〃萬(wàn)

al.pJ

a//a}

是成立的.〃=a〃￡是不成立的.

a//P]

卜高頻考點(diǎn)突破

考點(diǎn)一空間中點(diǎn)、線、面的位置

例1.已知加〃是兩條不同直線，％?是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是（）

A.若a,￡垂直于同一平面，則a與￡平行

B.若m,〃平行于同一平面，則加與〃平行

C.若。，萬(wàn)不平行，則在a內(nèi)不存在與尸平行的直線

D.若皿，口不平行，則卬與〃不可能垂直于同一平面

解析對(duì)于A,a,￡垂直于同一平面，a,產(chǎn)關(guān)系不確定，A錯(cuò)；對(duì)于B,m,n平行于同一平面，m,n

關(guān)系不確定，可平行、相交、異面，故B錯(cuò)：對(duì)于C,a,產(chǎn)不平行，但a內(nèi)能找出平行于A的直線，如a

中平行于a,產(chǎn)交線的直線平行于？，故C錯(cuò)；對(duì)于D,若假設(shè)m,n垂直于同一平面，則其逆否命

題即為D選項(xiàng)，故D正確.

答案D

【變式探究】已知孫〃表示兩條不同直線，。表示平面.下列說(shuō)法正確的是（）

A.若m//a,n//a,則m//n

B.若R_La,nua,則ZB_L〃

C.若而_La,mln,則"〃a

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D.若m//a,mVn,則nX.a

解析對(duì)于選項(xiàng)A,若mlta,nila,則m與n可能相交、平行或異面，A錯(cuò)誤；顯然選項(xiàng)B正確；對(duì)

于選項(xiàng)C,若m_La,mln,貝ijnca或n/a,C錯(cuò)誤3對(duì)于選項(xiàng)D,若mt!a,m_Ln,則n，a或nca或n

與a相交.D錯(cuò)誤.故選B.

答案B

考點(diǎn)二空間中平行的判定與垂直

例2.【2017江蘇，15]如圖，在三棱錐力-靦中，ABLAD,BCX,BD,平面4初上平面8a),點(diǎn)色

F(E與A,〃不重合)分別在棱44BD上,且阮1".

求證：(1)哥1〃平面46a

(2)ADLAC.

【答案】⑴見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析

【解析】證明：(1)在平面A8D內(nèi)，因?yàn)??，力〃，EF1AD,所以E/AB.

A

又因?yàn)镋F<Z平面ABC,ABu平面ABC,所以如〃平面ABC.

(2)因?yàn)槠矫嫫矫?(力，

平面ABDC平面BCD=BD,

BCu平面6微BCLBD,

所以8C,平面

因?yàn)锳Ou平面ABO,所以8CJ.AD.

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又4B_L4D,BCCAB=B,ABu平面46C,8Cu平面4%?,

所以平面ABC,

又因?yàn)镮Cu平面

所以4Mle

【變式探究】【2016高考江蘇卷】（本小題滿分14分）

如圖，在直三棱柱4吐454中，D,?分別為4氏a'的中點(diǎn)，點(diǎn)廠在側(cè)棱區(qū)6上，且/

求證：（1）直線龐〃平面4GA

（2）平面氏場(chǎng)_L平面4GE

（第16題）

【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）詳見(jiàn)解析

【解析】證明：（D在直三棱柱在。-4與。1中，/c"4G

在三角形ABC中，因?yàn)镈,E分別為AB,BC的中點(diǎn).

所以于是DE“AG

又因?yàn)镈Ee平面4G尸，4GU平面A^F

所以直線DE//平面4GF

（2）在直三棱柱A8C—4與0中，A41_L平面A|B￡

因?yàn)锳GU平面AB|C1,所以44,_1A￡

又因?yàn)锳CJAA，u平面A3耳u平面A54A，A￡A4,=/1,

所以AGJ■平面ABB|A

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因?yàn)?Qu平面ABB|A，所以

又因?yàn)锳Gu平面ACF，A尸u平面AGF，4GAF=A

所以平面AC|F

因?yàn)橹本€4。U平面片OE,所以平面gOE1平面4GE

【變式探究】如圖，在直三棱柱用C—484中，B^llACVBC,8C=CG.設(shè)9的中點(diǎn)為〃，&CCBC\=

求證：(1)然〃平面/4GG

(2)6G_L4瓦

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證明國(guó)由題意知，E為BK的中點(diǎn)，

又。為的中點(diǎn)，因此瓦"AC.

又因?yàn)槠矫鍭A*GC,ACU平面XWiQC,

所以?！辍捌矫嫠朗?

⑵因?yàn)槔庵鵄BC-A止Ki是直三棱柱，

所以01平面ABC.

因?yàn)锳Cu平面ABC,所以AClCti.

又因?yàn)锳C1BC,%u平面58跖BCu平面^型!，孫0=。,

所以AC1平面BCC皿.

又因?yàn)锽Qu平面BCC皿,

所以BQ1AC.

因?yàn)锽C=CClf

所以矩形6(當(dāng)是正方形，

因此BQlfliC.

因?yàn)?C,瓜比平面比IC,ACCBiC=C,

所以6G_L平面RAC.

又因?yàn)锳Ru平面BMC,

所以比」熊.

【舉一反三】【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】如圖，菱形A5C。的對(duì)角線AC與80交于點(diǎn)。，

A8=5,AC=6,點(diǎn)瓦產(chǎn)分別在49,8上，AE=CF=2,EF交BD于點(diǎn)H.將AOEF沿E尸折到

4

△D'EF位置,OD'=M.

(I)證明：D'H，平面ABC。；

(II)求二面角8—O'A—C的正弦值.

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【答案】（I）詳見(jiàn)解析；（H）

【解析】

（I）由已知得AD=CD,又由/E=CF得名=竺，故EF.

ADCD

因此即_LED,從而即_LZTff.由NB=5,，。=6得。。=笈0=，^亡而1=4.

由即“4C得也=必=白.所以Qff=l,D'H=DH=3.

DOAD4

于是D'H1+OH2=32+12=10=D，C?2

板DH工OH.

又DH工即,而OHflEF=H,

所以DR_L平面3CD.

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（II）如圖，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，麗的方向?yàn)閤軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系笈-書(shū)，則H（0,0,0）,

/(T-L0),5(0-5,0),C(3-1,0),少色0,3),屈=(3,-4,0),就=(6,0,0),石=(3,1,3).

設(shè)m=(馮是平面期少的法向量，則(_.，即L八，所以可取洲=(4,3,-5).

LmAD'=0M+M+3ZI=°

/、\n-AC=Qf6x.=0

設(shè)MnQiJz.Za)是平面4CD'的法向量，則｛—.，即L,八,所以可取加=(0,-3,1).

nAD'=0[3x2+y1+3z1=0

于是8s箭=高篇=￥'E（風(fēng)MX甯.因此二面角3-D'/-C的正弦值

m訴

25

【變式探究】如圖，己知△/比；〃是48的中點(diǎn)，沿直線切將翻折成△/'CD,所成二面角4

A.AA,際aB.AA'Dff^a

C.N/'C晾aD.N4ga

解析極限思想：若。=口則CB<nr,排除D；若<z=0,如圖，則/HDB,N4'⑦都可以

大于0,排除A,C.故選B.

答案B

考點(diǎn)三平面圖形的折疊問(wèn)題

例3、（2016?全國(guó)甲卷）如圖，菱形4靦的對(duì)角線"'與切交于點(diǎn)。，點(diǎn)笈廠分別在445上，AE

=CF,以交班于點(diǎn)〃將△麻沿必1折到△少牙■的位置.

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（2）若4?=5,AC=6,4￡=*OD'=272,求五棱錐〃'表的體積.

【解析】（1）證明：由已知得/C13D,AD=CD.

又由花=5得第=若，故月翻現(xiàn)

由此得助故部1電））所以月Cl五H

⑵由W"4C彳端=*=*

由刖=5,NC=6得D0=B0=7AB2Tg4.

r

所以0H-\fDH=DH=3.

于是ODn+附=（2/）2+12=9=。用，

故OD'VOH.

由（1）知，ACLHD',又ACLBD,BDCHD'=H,

所以“"L平面加'，于是1力_如.

又由如'VOH,ACCOH=O,所以如'_L平面力總

「JFDH,.9

又由褶而得""=]

11969

五邊形/比7詁的面積5=5*6義8—5乂5乂3=了.

所以五棱錐〃一4?。龍的體積乎X2#=q但.

【方法技巧】

平面圖形翻折問(wèn)題的求解方法

（1）解決與折疊有關(guān)的問(wèn)題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量，一般情況下，線段的長(zhǎng)度是不變

量，而位置關(guān)系往往會(huì)發(fā)生變化，抓住不變量是解決問(wèn)題的突破口.

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(2)在解決問(wèn)題時(shí)，要綜合考慮折疊前后的圖形，既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形.

【變式探究】如圖1,在正方形/版中，點(diǎn)反尸分別是四，比'的中點(diǎn)，加與跖交于點(diǎn)，，點(diǎn)&R

DGBR

分別在線段加/,加上，且弁=用將△/膽，XCFD,△戚分別沿龍；DF,折起，使點(diǎn)4B,C重合于

(7/7Kn

點(diǎn)尸，如圖2所示.

(1)求證：G兒L平面板1；

(2)若正方形465的邊長(zhǎng)為4,求三棱錐尸一麻的內(nèi)切球的半徑.

解析：(1)證明：在正方形初8中，ZA,4,NC為直角.

，在三棱錐P-DM中，PE,PF,PD兩兩垂直.

二.PDl平面PEF.

嚼嚼，艮嚼啜，，在△的中，RGIIPD.

，南1平面PEF.

(2)正方形ABCD邊長(zhǎng)為4.

由題意知，PE=PF=2,PD=\,即=2丑DF=2小.

?e?S^FEf^2，S&DPF=S〉DPli=4.

8斷X2y[2X7*\/5~~y12~%—6.

設(shè)三棱錐戶一吹內(nèi)切球的半徑為八

則三棱錐的體積/-斯=：X)X2X2X4=；(Sw+2Skw+Sw)?r,解得戶；.

三棱錐一一叱的內(nèi)切球的半徑為

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真題感悟

1.（2017?全國(guó)卷I）如圖，在下列四個(gè)正方體中，A,8為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，MN,0為所在棱的中

點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線4?與平面，冊(cè)Q不平行的是（）

解析:B選項(xiàng)中，4BIIMQ,且口平面MNQ,地口平面乂膽,則ABII平面AfiVO^C選項(xiàng)中，HB〃M0,

且□平面MA9,陽(yáng)口平面MVg,則48〃平面尺\(yùn)9；D選項(xiàng)中，ABHNQ,且45口平面聞口

平面MNQ,則AB/平面故選A.

答案：A

2.（2017?山東卷）由四棱柱/靦一464〃截去三棱錐。一5必后得到的幾何體如圖所示.四邊形力時(shí)

為正方形，0為AC與BD的交點(diǎn),￡為/。的中點(diǎn)，4氏1平面4閱9.

（1）證明：4?！ㄆ矫鏋榭?；

⑵設(shè)"是陽(yáng)的中點(diǎn)，證明：平面4EJLL平面A5.

證明：（1）取5〃的中點(diǎn)。，連接C4,44,

由于18（力一464〃是四棱柱，

所以4Q〃笫A,a=OC,

因此四邊形40s為平行四邊形，所以40〃QC

又acu平面8KB,4a平面反切，

所以40〃平面區(qū)6

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⑵因?yàn)?c1BD,E,M分別為加和。。的中點(diǎn)，

所以EMLBD,

又4止1平面48CD,BD口平面488,

所以4遮1BD,

因?yàn)?/p>

所以EMlBiA,AiElBiDi.

又4止，EM□平面由EMAiETiEM=E?

所以S1A1平面/且M

又S1A□平面比CDi,

所以平面4話Ml平面BiCDi.

3.【2017江蘇，15]如圖，在三棱錐4-及力中，ABVAD,BCX.BD,平面/皮小平面靦，點(diǎn)反F〈E

與4〃不重合）分別在棱/〃，BD上,且￡7」/〃

求證：（1）用〃平面力比'；

（2）ADLAC.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】證明：（1）在平面A3。內(nèi)，因?yàn)樗?在，EF1AD,所以EFAB.

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又因?yàn)槠矫媪C,A8u平面49C,所以￡F〃平面力紀(jì)

(2)因?yàn)槠矫嬖录?平面頗，

平面ABDn平面BCABD,

5Cu平面以4BC1BD,

所以方C_L平面KSD.

因?yàn)?Du平面所以夕C_LAD.

又疑13，BCcAB=B>3u平面板，ECu平面即；，

所以皿1平面ABC,

又因?yàn)镾CU平面ABC,

所以AD1AC.

1.12016高考浙江理數(shù)】已知互相垂直的平面〃/?交于直線］.若直線卬，〃滿足機(jī)〃則()

A.m//1B.m//nC.〃_!_/I),mln

【答案】C

【解析】由題意知?！?/,.,./(=/?,故選C.

2.12016高考新課標(biāo)2理數(shù)】是兩個(gè)平面，"2,〃是兩條直線，有下列四個(gè)命題：

(1)如果m_1_〃,〃2_1。,〃//尸，那么a_L〃.

(2)如果，〃_La,〃//a,那么加_L〃.

(3)如果a//△加ua,那么機(jī)//4.

(4)如果機(jī)//〃，。//力，那么相與a所成的角和〃與夕所成的角相等.

其中正確的命題有.(填寫(xiě)所有正確命題的編號(hào))

【答案】②③④

【解析】對(duì)于①，mLn,mLa,n///3,則a,夕的位置關(guān)系無(wú)法確定，故錯(cuò)誤；對(duì)于②，因?yàn)椤ā╟,

所以過(guò)直線“作平面,與平面夕相交于直線c,貝?。荨ā╟,因?yàn)閙_La,:./n_Lc,.?.〃?_!_”，故②正確；對(duì)于

③，由兩個(gè)平面平行的性質(zhì)可知正確；對(duì)于④，由線面所成角的定義和等角定理可知其正確，故正確的有

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②③④.

3.12016高考浙江理數(shù)】如圖，在回中，AB=B(=2,N4除120°.若平面4%外的點(diǎn)―和線段/C

上的點(diǎn)。，滿足廄%,PB=BA,則四面體7?力的體積的最大值是.

【答案】-

2

【解析】△皿，中，因?yàn)榧?EC=Z乙仿C=120°,所以NfiKD=NSa=3(r.

由余弦定理可得幺。2=/52+方。2-2疑力。80方=22+22-2X2X2COS1200=12,所以

47=2后.設(shè)皿=工，則0<x<2百，PC=2W-x.在&的中，由余弦定理可得

方。2=32+_2和4cos/=，+2?-2x28s3O°=/-2^x+4.故

」。=々-2岳+4.

在APBO中，PD=AD=x,PB=BA=2.

-人■，…m一口PD2+PB2-BD2x2+22-(x2-2y/3x+4)百,,

由余弦定理可得cosNBPD=----------------=-----------------------=>一，所cr以

2PDPB2-X-22

NBPD=30.

由此可得，將aABD沿BD翻折后可與△PBD重合，無(wú)論點(diǎn)D在任何位置，只要點(diǎn)D的位置確定，當(dāng)平

面PBDJ_平面BDC時(shí)，四面體PBCD的體積最大(欲求最大值可不考慮不垂直的情況).

過(guò)產(chǎn)作直線8。的垂線，垂足為。.設(shè)尸。=4,則SAP",=；8Oxd=gpO-P8sinN8P。，

即，JX2-2后x+4xd='x-2sin30,解得d=/”.

226一2氐+4

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而^BCD的面積S=gcr>BCsinNB8=g(2百一x>2sin30=g(2石一x).

當(dāng)平面PBD_L平面BDC時(shí)：

四面體PBCP的體積V=；S=sX，=：x；(2G—x)…*=：：(2、廠)一

33242_2屈+46次一2岳+4

觀察上式，易得x(—x)Vx+2坐一」,當(dāng)且僅當(dāng)x=2j§—尤，即x=G時(shí)取等號(hào)，同時(shí)我們可

2

以發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=6時(shí)，J》2一26X+4取得最小值,故當(dāng)X=J§時(shí)，四面體PBCD的體積最大，為g.

4.12016高考新課標(biāo)1卷】平面a過(guò)正方體力〃的頂點(diǎn)4a//平面外〃，al平面ABC代礫al

平面ABB、A、=n,則m、n所成角的正弦值為

(A)B(B)—(0立(1))-

2233

【答案】A

【解析】如圖，設(shè)平面CflQi。平面ABCD^m',平面CfiRi0平面ABBxAx=n',因?yàn)閍"平面

SR,所以加成*,則叫〃所成的角等于相，所成的角.過(guò)D】作引/與C,交3的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)E,連接CE,則CE為“.連接4方，過(guò)B,作出用/1匈8,交友】的延長(zhǎng)線于點(diǎn)及，則與片為曾’.連

接BD,則BD/CE,3用I鄧,則*所成的角即為所成的角，為60。，故冽/所成角的正弦

值為當(dāng)選A.

5.【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】在封閉的直三棱柱ABC—A4G內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，若4BL3C,

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A3=6,BC=8,A4,=3,則V的最大值是()

Qjrq2仃

(A)4n(B)——(C)6Ji(D)-——-

23

【答案】B

【解析】要使球的體積。最大，必須球的半徑K最大.由題意知球的與直三棱柱的上下底面都相切時(shí),

球的半徑取得最大值：，此時(shí)球的體積為:溷'荻=2"，故選B.

6.12016高考天津理數(shù)】已知一個(gè)四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示(單

位：m),則該四棱錐的體積為ml

(■II

【答案】2

【解析】由三視圖知四棱錐高為3,底面平行四邊形的一邊長(zhǎng)為2,其對(duì)應(yīng)的高為1,

因此所求四棱錐的體積V=1x(2xl)x3=2.故答案為2.

3

1.12015高考浙江，理8】如圖，已知A43C,。是A3的中點(diǎn)，沿直線CO將A4co折成AA'CD,

所成二面角A-CO—8的平面角為a,則()

A.ZA'DB<aB.ZA'DB>aC.ZA'CB<aD.ZA'CB<a

【答案】B.

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【解析】設(shè)設(shè)2=2,則由題意ao=AD=i,在空間圖形中，設(shè)

A,D2+DB1-AB212+12-?2-?

在&TC5中，ssN/DB=

2/DxDB2x1x12

在空間圖形中，過(guò)H作/N_LPC,過(guò)方作BM_LDC,垂足分別為"，M,

過(guò)N作花叱約，連結(jié)HP,「.”P(pán)JLDC,

則NHAT就是二面角H—CD—5的平面角，

在RtAA'ND中，=ADssNHDC=cos8,A'N=A'DsinZA'DC=sin9,

同理，BM=PN=Aa8,DM=cos0,BP=MN=2cos0,

顯然3P_L面/WP,故3P_LHP,

2

在Rt^A'BP中，A/?=A'B-BP2=t2-（2cos0）2=？2-4cos20,

cosa二cosNA,NPZ+優(yōu)-*sir?6+sM”（戶—4c#6）

在AA'NP中,

2ArNxNP2sin6xsine

2+2cos0-t-2-tcos"<91八，八ncos8

----------z-------=z—+—z—=—z—cosNADB+—―

2sirr。2sin~0sin~0sin~0sin~0,

—>0堂NOe=上

Vsin20,sin-0,cosa>cosZA'DB（當(dāng)2時(shí)取等號(hào)）,

...a,ZA'OBefO,%］,而曠=3》在［0,萬(wàn)］上為遞減函數(shù)，...。〈/4刀8,故選區(qū)

【考點(diǎn)定位】立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題

2.12015高考湖南，理10】某工件的三視圖如圖3所示，現(xiàn)將該工件通過(guò)切割，加工成一個(gè)體積盡可

能大的長(zhǎng)方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工件的一個(gè)面內(nèi)，則原工件材料的利用率為（材料利用

新工件的體積

原工件的體積

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4(0-IpD12(0-1)3

71

側(cè)視圖

【答案】A.

【解析】分析題意可知，問(wèn)題等價(jià)于圓錐的內(nèi)接長(zhǎng)方體的體積的最大值，設(shè)長(zhǎng)方體體的長(zhǎng)，寬，高分

別為x,>,h,長(zhǎng)方體上底面截圓錐的截面半徑為。，則，+尸=（幼尸=32,如下圖所示，圓錐的軸

截面如圖所示，則可知巴上士=—a,而長(zhǎng)方體的體積

12

x24-y2g

y=xyh<-^-h=2a21h=2a2(2-2a)

.IOO1。

<2x(—~—)3=—,當(dāng)且僅當(dāng)％=>，a=2—2ana=—時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)利用率為

3273

16

Q

27—,故選A.

1[209萬(wàn)

一九xlx2

3

【考點(diǎn)定位】1.圓錐的內(nèi)接長(zhǎng)方體；2.基本不等式求最值.

3.12015高考福建，理7】若/,〃？是兩條不同的直線，加垂直于平面a,則“/J?機(jī)”是“///a

的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

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【答案】B

【解析】若,因?yàn)閙垂直于平面a,貝或，ua；若〃/a,又m垂直于平面a,貝",

所以”是的必要不充分條件，故選B.

4.12015高考四川，理14】如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)

M在線段PQ上，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)。設(shè)異面直線EM與AF所成的角為。，則88。的最大值為.

【答案】|

AF=(1,-,O),E(-,O,O)八小/一八

【解析】建立坐標(biāo)系如圖所示.設(shè)A8=l,則22.設(shè)則

171

EM=(--,y,D(0,-]

2,由于異面直線所成角的范圍為2,所以

2(1-y)

644yl+5[2(1_/_j_町+1

l

44y+54/+5令8y+l=t」WtW9,則

名義=之"當(dāng)，=1時(shí)取等號(hào).所以

"+55

)當(dāng)歹=0時(shí)，取得最大值.

6府石木布5

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5.【2015高考浙江，理13】如圖，三棱錐A-BCO中，AB=AC=BD^CD=3,AD=BC=2,

點(diǎn)M,N分別是AO,8c的中點(diǎn)，則異面直線AN,CM所成的角的余弦值是

【解析】如下圖，連結(jié)DN,取。射中點(diǎn)尸，連結(jié)尸叫PJ則可知々MC即為異面直

PM=-AN=^/2

線3,CM所成角（或其補(bǔ)角）易得2

PC=JPN、CN'=及71=后,CM=4AC1-AM1=2^/2

2x2夜xa8,即異面直線AN,CM所成角的余弦值為8.

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6.12015高考新課標(biāo)2,理19］（本題滿分12分）

如圖，長(zhǎng)方體ABC￡>—44CQ中，A3=16,BC=1（）,A4,=8,點(diǎn)E,尸分別在其4，CR上,

4石=。尸=4.過(guò)點(diǎn)E,F的平面。與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形.

（I）在圖中畫(huà)出這個(gè)正方形（不必說(shuō)出畫(huà)法和理由）;

（II）求直線AF與平面。所成角的正弦值.

475

【答案】（I）詳見(jiàn)解析；（H）—.

15

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【解析】(I)交線圍成的正方形即GF如圖：

(H)作垂足為M,則.=4后=4,皿=必=8,因?yàn)辂?尸為正方形，所以

Eff=EF=BC=10.于是MH=同五國(guó)產(chǎn)=6,所以團(tuán)=10.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，應(yīng)的方向?yàn)?/p>

工軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一孫2,則次1000),"(10,10,0),即048),

n-FE=0,

?————.

尸(0,4,8),FE=(I0,0,0),班：=(0,Y8).設(shè)〃=(x?,z)是平面EffG真的法向蚩，貝=即

產(chǎn)=。，_孤菠萬(wàn)＞卜分=華

+及=。，所以可癡=(。43).又萬(wàn)=(-1。,4,詠故叩回15.所以直

述

線〃與平面區(qū)所成角的正弦值為1T.

7.12015江蘇高考，16](本題滿分14分)

如圖,在直三棱柱48。一44。1中，已知47_13。，8。=。6，設(shè)44的中點(diǎn)為。，=E.

求證：(1)OE〃平Wl41clC；

(2)BQ±ABf.

【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)詳見(jiàn)解析

【解析】(1)由三棱錐性質(zhì)知側(cè)面8用C。為平行四邊形,因此點(diǎn)￡為8。的中點(diǎn)，從而由三角形中位線

性質(zhì)得OE//AC,再由線面平行判定定理得。￡〃平面A4.GC(2)因?yàn)橹比庵鵄BC—ABC中

BC=CCi，所以側(cè)面BBC。為正方形，因此B￡_LBC，又ACJ.BC,ACICC,(可由直三棱柱推導(dǎo)),

因此由線面垂直判定定理得AC_L平面,從而ACJ.BC},再由線面垂直判定定理得BC,，平面，

進(jìn)而可得_LAg

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試題解析：（1）由題意知，E為BQ的中點(diǎn)，

又D為AB|的中點(diǎn)，因此DE//AC.

又因?yàn)镈EZ平面AAJC,ACu平面AA|JC,

所以DE〃平面AA|CQ.

（2）因?yàn)槔庵鵄BC-A]B】G是直三棱柱，

所以eg,平面ABC.

因?yàn)锳Cu平面ABC,所以AC_LCG.

又因?yàn)锳C_LBC,CGu平面BCGB],BCu平面BCGBi，BCf|CG=C,

所以ACJ_平面BCC1Kl.

又因?yàn)锽Gu平面BCGB]，所以BG-LAC.

因?yàn)锽C=CG,所以矩形BCGBI是正方形，因此BG，B1c.

因?yàn)锳C,B1c<=平面耳AC,人€：08￡=€：,所以86，平面0八€：.

又因?yàn)锳B】u平面B|AC,所以BC|_LAB].

8.12015高考浙江，理17】如圖，在三棱柱ABC—A4G-中，ABAC=90,AB=AC=2,A,A=4,

A在底面ABC的射影為8c的中點(diǎn)，。為4G的中點(diǎn).

（1）證明：4口_|_平面48。；

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(2)求二面角A「BD-8|的平面角的余弦值.

【答案】(1)設(shè)E為8c的中點(diǎn)，由題意得4E_L平面ABC,AELAE,???A5=AC,

AAEVBC,故AEL平面ABC,由O,E分別8c的中點(diǎn)，得且

DE=B}B,從而。￡〃AA,.?.四邊形A4ED為平行四邊形，故AO//AE,又1?AEJ.

平面...平面A8C1；(2)作4尸，80,且A尸BD=F,連結(jié)57，

由AE=E8=&,ZAyEA=ZA]EB=90,得4B=AA=4,由

AB=B]B,得。DB三ABIDB,由AELB。，得BF工BD,因此乙4,五用為二面角

A—30—4的平面角，由&，AB=4,ZDAlB=90,得80=3上，

41

4尸=4尸=一，由余弦定理得，cosN4FA=——.

38

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1.【2014高考安徽卷理第8題】從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì)，其中所成的角為60°

的共有（）

A.24對(duì)B.30對(duì)C.48對(duì)D.60對(duì)

【答案】C

【解析】在正方體松CD—4BO中，與上平面Z'3'C'D'中一條對(duì)角線4C'成60*的直線

有5b,B'C,A'D,AD',A'B7AB',ZT共八對(duì)直線，與上平面⑷5,C'D'中另一條對(duì)角

線60。的直線也有八對(duì)直線，所以一個(gè)平面中有16對(duì)直線，正方體6個(gè)面共有16x6對(duì)直線，去掉重復(fù)，

則有位絲=48對(duì).故選&

2

2.12014遼寧高考理第4題】已知加，〃表示兩條不同直線，a表示平面，下列說(shuō)法正確的是（）

A.若mlla,nJla,班ml/nB.若m_La,〃ua,則〃zJL〃

C.若機(jī)_La,m.Ln,則〃