江蘇省常州某中學(xué)2022-2023學(xué)年高三年級上冊1月月考數(shù)學(xué)試題 附答案

2022-2023學(xué)年江蘇常州市高級中學(xué)

高三年級1月月考數(shù)學(xué)試卷

一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的）

1.集合A={x|2x+3<7},8={xwN|x>-2},則（）

A.{0,1}B.{1}

C.{0,1,2)D.{1,2}

2.已知i為虛數(shù)單位，下列各式的運算結(jié)果為純虛數(shù)的是（）

A.?l+i)B.z(l-z)2C.i2(l+z)2D./+產(chǎn)+產(chǎn)+六

3.已知圓錐SO的底面半徑為3,母線長為5.若球。|在圓錐S。內(nèi)，則球。1的體積的

最大值為（）

9九「-324n

A.—B.9兀C.-----D.12%

23

4.若函數(shù)/（x）=x2sin（2x+e）（0<e<2乃）的圖象關(guān)于原點對稱，則9=（）

71-不

A.—B.—c”D/

42

5.己知兩個單位向量I,6的夾角為60。，設(shè)5=(其中x,y￡R),若[0|=3,

則外的最大值（）

A.2B.73C.3D.

6.曲線在E處的切線的傾斜角為%則83?的值為（）

44-33

A.—B.—C.-D.--

5555

7.已知點P是拋物線f=2y上的一點，在點尸處的切線恰好過點（0,-g）,則點P到

拋物線焦點的距離為（）

3

A.yB.1C.-D.2

2

8.在一個質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個面上分別標有數(shù)字1,2,3,4.連續(xù)拋擲這

個正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事件A為“兩次

記錄的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件B為“第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)“，事件C為“第二次記

錄的數(shù)字為偶數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（)

A.事件8與事件C是對立事件B.事件A與事件8不是相互獨立事件

C.P（A）.P（B）.P（C）=!D.P（ABC）=：

o

二、多選題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分)

9.關(guān)于一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、頻率分布直方圖和方差，下列說法正確的是

()

A.改變其中一個數(shù)據(jù)，平均數(shù)和中位數(shù)都會發(fā)生改變

B.頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等

C.若數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對稱，且在左邊“拖尾”，則平均數(shù)小于中位數(shù)

D.樣本數(shù)據(jù)的方差越小，說明樣本數(shù)據(jù)的離散程度越小

10.下列式子的運算結(jié)果為6的是()

A.2(sin35°cos25o-cos35osin25°)B.2(cos35°cos5o4-sin35osin5°)

71

Cl+tanl5。D叫

.Ianl5°1-tan2^

6

11.已知A(4,2),B(0,4),圓C:(X-4)2+()，-1)2=4,P為圓C上的動點，下

列結(jié)論正確的是()

A.1尸例-|尸川的最大值為2拓

B.麗.麗的最小值為T

c.x+y的最小值為5-20

D.NPH4最大時，|P8|=26

12.如圖，點。是正四面體HLBC底面A8C的中心，過點。且平行于平面的直線

分別交AC,BC于點M,N,S是棱PC上的點，平面SMN與棱處的延長線相交于

點Q,與棱P8的延長線相交于點H,則()

p

A.若MN〃平面B45,則4B〃RQ

B.存在點S與直線MN,使萬?（用+而）=0

C.存在點S與直線MN,使尸C_L平面SR。

111_3

D?閥門網(wǎng)+同一網(wǎng)

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知函數(shù)/（x）是定義在R上的增函數(shù)，且/（〃?+1）＞/（2初一1）,則機的取值范圍

是.

14.已知拋物線的方程為y=2以2,且過點（1,4）,則焦點坐標為

15.f(x)=sin3x+3cos2xxe的值域為.

16.“垛積術(shù)”（隙積術(shù)）是由北宋科學(xué)家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)，南宋數(shù)學(xué)家楊輝、

元代數(shù)學(xué)家朱世杰豐富和發(fā)展的一類數(shù)列求和方法，有菱草垛、方垛、芻童垛、三角

垛等等.某倉庫中部分貨物堆放成如圖所示的“菱草垛，，：自上而下，第一層1件，以后

每一層比上一層多1件，最后一層是"件.已知第一層貨物單價1萬元，從第二層起，貨

物的單價是上一層單價的;7，第〃層的貨物的價格為,若這堆貨物總價是

O

64-112^萬元，則〃的值為.

四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.對于數(shù)列｛《,｝,若存在正整數(shù)M,同時滿足如下兩個條件：①對任意〃GN*,都

有同WM成立；②存在2eN+，使得則稱數(shù)列｛4｝為品數(shù)列.

⑴若凡=1-〃，么=擊，判斷數(shù)列｛帽和色｝是否為凡數(shù)列，并說明理由：（5分）

（2）若8M數(shù)列｛q｝滿足4=p,??=sina?_,（n>2）,求實數(shù)p的取值集合.（5分）

18.靈活就業(yè)的崗位主要集中在近些年興起的主播、自媒體、配音，還有電競、電商

這些新興產(chǎn)業(yè)上.只要有網(wǎng)絡(luò)、有電腦，隨時隨地都可以辦公.這些崗位出現(xiàn)的背后

都離不開互聯(lián)網(wǎng)的加速發(fā)展和短視頻時代的大背景.甲、乙兩人同時競聘某公司的主

2

播崗位，采取三局兩勝制進行比賽，假設(shè)甲每局比賽獲勝的概率為二，且每局比賽都

分出了勝負.

（1）求比賽結(jié)束時乙獲勝的概率；（6分）

（2）比賽結(jié)束時，記甲獲勝的局數(shù)為隨機變量X,求隨機變量X的分布列.（6分）

19.在①4asin8cosA=?,②"sin28+csin，C=S+tOsin?A,

③6sinA+cosA=2+f.這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的

三角形存在，求出cosB的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.（7分）

問題：在AABC中，角A,B,C的對邊分別為“，b,c,已知cosC=g,

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

20.如圖，空間幾何體4DE-8CF中，四邊形A5CD是梯形，AB//CD,四邊形

CDEF是矩形，且平面ABCD_L平面CDEF,AD±DC,AB=AD=DE=2,EF=4,M

是線段AE上的動點.

（1）試確定點M的位置，使AC〃平面MD尸，并說明理由；（7分）

（2）在（1）的條件下，平面加。尸將幾何體ADE-8c/分成兩部分，求空間幾何體

/與空間幾何體的體積的比值.（7分）

21.已知圓G：（x+5>+y2=36,點C（5,0）,點M是圓G上的動點，MC的垂直平分

線交直線于點P.

（1）求點P的軌跡方程G;（5分）

（2）過點N（4,0）的直線/交曲線C?于A8兩點，在x軸上是否存在點G,使得直線

AG和8G的傾斜角互補，若存在，求出點G的坐標，若不存在，請說明理由.（6分）

22.設(shè)函數(shù)/（x）=hi￥—〃（x-l）e',其中acR.

（1）若。=—3,求/（幻的單調(diào)區(qū)間；（5分）

⑵若o<"L

e

（i）證明：/（x）恰有一個極值點；（5分）

（ii）設(shè)無。為/（x）的極值點，若為為/（x）的零點，且證明：3x0-xt>2.（6

分）

答案及解析：

1.A

【分析】化簡集合A8,再結(jié)合交集運算求解即可

【解析】由題意可得A={x|x<2},則An3={xeN|—2<X<2}={0,1}.

故選：A

2.C

【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算對選項進行逐一化簡可得答案.

【解析】對于A,2+，)=>1不是純虛數(shù)；

對于B,i(l-i)2=-2/=2是實數(shù)；

對于C,r(l+1)2=-2i為純虛數(shù)；

對于。，i+/+『+f一1一,+1=o不是純虛數(shù).

故選：C.

【注意】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

3.A

【分析】設(shè)圓錐s。的軸截面為等腰△SAB,則球a的體積最大時，球a的軸截面是

△SAB的內(nèi)切圓，根據(jù)三角形面積公式和內(nèi)切圓的性質(zhì)求出半徑，最后求出體積.

【解析】設(shè)圓錐SO的軸截面為等腰△SA8,則球a的體積最大時，球01的軸截面是

△SAB的內(nèi)切圓，所以％3=9尻50=；(&4+55+岫.廠，解得:r=1,所以球。1的體積

的最大值為9掾萬.

故選：A

【注意】本題考查了求球體積最大問題，考查了球的幾何性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運算能力.

4.C

【分析】根據(jù)題意知函數(shù)為奇函數(shù)，化簡可得sin(-2x+p)=sin(-2x-夕)，據(jù)此可求出。值.

【解析】因為函數(shù)/Q)=/sin(2x+e)(0<e<2])的圖象關(guān)于原點對稱，即—(%),

所以可得sin(-2x+9)=-sin(2x+s),即sin(-2x+p)=sin(-2x-p),

/.甲-2far-(p,即。=k兀,keZ9

,1-0<j<2p,\j=p.

故選：c

5.C

【分析】根據(jù)1*=3得到/+/+個=9,再利用均值不等式計算得到答案。

【解析】c=xa+yb,則乙？=（就+防）=x2a+y2b+2xya-b=x2+y2+xy=9

9=x2+y2+xy>2xy+xy=3xyxy<3,當x=y=M時等號成立。

故選：C

【注意】本題考查了向量的運算和均值不等式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。

6.D

【分析】先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得tana=-3,然后利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式、同角三

角函數(shù)的關(guān)系將cos（2a-彳）化間為「-------------,再代值可得答案

2sin-a+cosal+tan-a

2171

【解析】解：依題意，y=-——,所以tana=—；—；=-3,

xx11

乃、.-2sinacosa2tana3

所以cos|2a—=sin2a=——--------------=---------—=——

2）sina+cos'al+tan-a5

故選：D.

【注意】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線的傾斜角與斜率，三角恒等變換，屬于基礎(chǔ)題.

7.B

【解析】設(shè)P坐標為（%,%）,由導(dǎo)數(shù)求出線斜率，再由切線過點（0,-；）,可求得占,%,

然后可求得焦半徑.

【解析】拋物線方程為y'=x,設(shè)切點尸坐標為（x。,%）,切線斜率為％=x。，又

切線過點（0,-（），?,?*+5_丫，

2-xo

%

11111

0即尸a，,或p（—i，a），

拋物線標準方程為V=2y,°=1,P點到焦點的距離為<+與=（+2=1.

2222

故選：B.

【注意】本題考查直線與拋物線相切問題，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查拋物線的幾何性

質(zhì).利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切點坐標，利用焦半徑公式求出焦半徑，本題難度一般.

8.C

【分析】根據(jù)對立事件，獨立事件的概念及古典概型概率公式逐項分析即得.

【解析】對于A,事件8與事件C是相互獨立事件，但不是對立事件，故A錯誤;

對于B,對于事件A與事件B,P（A）=g,P（8）=g,P（A8）=；,事件A與事件8是相互獨立

事件，故B錯誤；

對于C,連續(xù)拋擲這個正四面體木塊兩次，記錄的結(jié)果一共有4x4=16種，

其中，事件A發(fā)生，則兩次朝下的點數(shù)為一奇一偶，有2x2+2x2=8種，所以

P（A）=*=L

''162

因為拋擲正四面體向下的數(shù)字為奇數(shù)和偶數(shù)的方法種數(shù)相同，所以P（8）=27=J1

所以P（A）P（B）P（C）=故C正確;

對于D,事件ABC表示第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)，第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)，故

尸（ABC）==故D錯誤.

''4x44

故選：C.

9.BCD

【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、頻率分布直方圖和方差的性質(zhì)，逐一分析選項，即可得答

案.

【解析】對于A：例如數(shù)據(jù)1,3,5,將數(shù)據(jù)改成2,3,5,數(shù)據(jù)的中位數(shù)未改變，仍為3,

故A錯誤；

對于B：根據(jù)頻率分布直方圖中，中位數(shù)的求法，可得B正確；

對于C：根據(jù)頻率直方圖可得，左邊“拖尾”，且不對稱，則平均數(shù)變小，中位數(shù)變大，所

以平均數(shù)小于中位數(shù)，故C正確；

對于D：方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定，離散程度越小，故D正確.

故選：BCD

10.BC

【解析】利用兩角和與差的正弦，余弦，正切公式化簡及特殊角的三角函數(shù)求值，即可判斷

選項.

【解析】對于A,2（sin35°cos25°-cos350sin250）=2sin（35°-25°）=2sinlO°w有，不合題

忌；

/o

對于B,2(cos35°cos5°+sin35°sin5°)=2cos(35°-5°)=2cos30°=2x=y/3,符合題

思、；

1+tan15。tan450+tan15°

對于C,=tan(450+15°)=tan60°=百,符合題意:

l-tanl5°1-tan45°tan15°

71於73

tan一33V3/T

______6_

==k=不符合題意;

對于D,.2乃

l-tan~—kJ3

6

故選：BC

11.AC

【分析】A.利用數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為三點共線，即可求解；

B.首先取的中點為。，轉(zhuǎn)化向量，麗.麗=麗2.5,再結(jié)合點與圓的位置關(guān)系，即可求

解；

C.利用直線。=》+、與圓相切，即可求6的最小值；

D.利用數(shù)形結(jié)合判斷當NPBA最大時，直線尸B與圓相切，即可求歸目.

【解析】對于A,|尸8|-|尸4國A8|=26，A正確.

對于B,記AB的中點為￡>,0（2,3）,

麗?麗=（而+網(wǎng)?（而+麗）=（麗-麗）?（而+歷）

=PD-DB2=PD-5>（8-2）2-5=7—8正，故B錯誤；

對于C,^b=x+y,當直線〃=x+y與圓C相切時，/?取到最值，

令1=3言=2，匕=5±20，所以最小值為5-2夜，故C正確.

對于D,當P8與圓C相切時，NPA4最大，此時|PB|=8CT=后,故D錯誤.

故選：AC

12.ACD

【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，可判斷A；由空間向量數(shù)量積可判斷B；當直線MN平

行于直線AS,SC=：PC時，通過線面垂直的判定定理可判斷C,由共面向量定理可判斷

D.

【解析】對于A,?.?MN〃平面平面SMN與棱R4的延長線相交于點Q,與棱P8的

延長線相交于點R，

平面SMNc平面PAB=RQ,

又MNu平面SMN,MN”平面PAB,MN"RQ,

???點。在面A8C上，過點。的直線交AC,BC于點M,N,：.MNu平面ABC,

又MNH平面PAB,平面ABCc平面pAB=AB，,MN//AB,

ABHRQ,故A正確；

對于B,設(shè)正四面體的棱長為。，.?.而?（而+而）=丙?用+丙?麗

=|ps|.|pe|cos600+|fs|.|^|cos600=a2>0,故B錯誤；

對于C,當直線MN平行于直線AB,S為線段PC上靠近C的三等分點，即SC=；PC,此

時PC,平面SRQ,

以下給出證明：在正四面體P-ABC中，設(shè)各棱長為。，

?.AABC,△P8C,△尸AC,鉆均為正三角形，

?.?點。為AABC的中心，MN//AB,

2

???由正三角形中的性質(zhì)，易得CN=CM=§。，

21JI

在ACM中，,:CN=JI,SC=-a,ZSCN=~,

???由余弦定理得，SN=J(-)+f—V-2---—cos-=—a,

3333

4

SC2+SN2=-a2=CN2,則SN1PC,

同理，SMrPC,又SMnSN=S,SMu平面SR。，SNu平面SRQ,

PC,平面SRQ,.?.存在點S與直線MN,使PC,平面SRQ,故C正確;

對于D,設(shè)。為BC的中點，則

____________2__.___2__.__.1_________

PO=PA+AO=PA+-AD=PA+-(PD-PA)=-(PA+PB+PC),

PA

又：P,。三點共線,：.PA=PQ,

?A,而

PB

VP,B,R三點共線,PR,

PR

PC

,：P,S,c三點共線,...PC=PS,

PS

設(shè)|用|=x,|西卜y,|麗卜z,貝1」所=回孫網(wǎng)樂+四雙

3x3y3z

VO,Q,R,S四點共面,㈣+四+圖”

3x3y3z

,,?_...11111113

又?.?網(wǎng)=1萬卜圖，.￡+豆+豆=廚，.i+rx同

1113

即國+國+網(wǎng)=網(wǎng)，故D正確

故選：ACD.

【注意】關(guān)鍵點注意：本題考查了線面平行的性質(zhì)定理、線面垂直的判定定理，考查了空間

向量數(shù)量積和共面向量定理，解題的關(guān)鍵是熟悉利用空間向量的共面定理，考查了轉(zhuǎn)化能

力與探究能力，屬于難題.

13.m<2

【分析】利用單調(diào)性將原不等式轉(zhuǎn)化為〃2+1從而可得結(jié)論.

【解析】因為函數(shù)/（X）是定義在R上的增函數(shù)，

所以，〃+1>2m-\,

解得m<2,

故答案為m<2.

【注意】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

【解析】將點。,4）代入拋物線方程可得。的值，即可求得拋物線方程進而得焦點坐標.

【解析】拋物線>=2改2過點。,4）,即有4=為，解得a=2,

則拋物線y=4/,即/=。）,的焦點坐標為j0,白］,

4I16；

故答案為：（0,.）.

【分析】先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡得/（x）=sin，3sin2x+3,xe令

f=sinx,可得8?）=/_3尸+3/€-y^,l利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域即可.

【解析】由題意，可得F（x）=sin3x+3cos2x=sin3x-3sin2x+3,xe-y,y,

☆f=sinx,fw--^-,1,即gQ）=r-3『+3,ts一一—,1

則g'(7)=3/-6，=3/Q-2),

當-@<f<0時，g()>0,當0</<1時，g'Q)>0,

2

■G'

即y=g⑺在---,0為增函數(shù)，在［04］為減函數(shù),

6乎,g(0)=3,g⑴=1,

又

O

6-36-

故函數(shù)的值域為:~i-，-

6-3+

故答案為:

3，

【注意】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，意在考查

計算能力，是基礎(chǔ)題.

⑹"I)6

r,根據(jù)錯位相減法求和即可求出.

【解析】由題意可得第〃層的貨物的價格為

【解析】解：由題意可得第n層的貨物的價格為為

設(shè)這堆貨物總價是S.=1j+2J+3./一3二@

7

貝與S”=「({POO+...+4(!，②，

2

由QA②可得」5“=1+

8”

3

7=8-(8+”)(()，

-n-

i_Z8

8

S,=64-8(8+辦］￡|,

???這堆貨物總價是64-112弓：萬元，

8(8+〃)=112,;.〃=6,

故答案為：；6?

【注意】本題考查了錯位相減法求和，考查了運算能力，以及分析問題和解決問題的能力,

屬于中檔題.

17.(1)數(shù)列｛4｝不是加數(shù)列，｛2｝是8M數(shù)列，理由見解析；

(2)｛/?|p>lngp<-l,peZ｝.

【分析】(1)根據(jù)加數(shù)列的定義依次判定數(shù)列｛%｝、也,｝即可；

(2)根據(jù)B“數(shù)列的定義，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)列的增減性依次討論當P"

o<P<1,-1<p<0,P4-l時的情況.

(1)

｛《J不是％數(shù)列，血，｝是數(shù)列.

因為。=1-〃("CN*),所以㈤=|1一〃|="一120,故為“｝不是6數(shù)列;

因為2=擊("?N*),所以聞=擊=擊41,

又伉=白=1,所以｛或｝是%數(shù)列；

(2)

若數(shù)列&｝為數(shù)列，則對于VeN，㈤4M成立，

且羯eN,|4卜M,有-M444M.

當pNl時，an=sinan_,e[-l,l],Bpa?<a,,

此時4最大，M=p,n=l,又MeN卡,則pNl且peN一

當0Wpv1時，設(shè)/(x)=sinx—x(0Wxv1),則/'(x)=cosx—1W0,

所以函數(shù)/*)在。1)上單調(diào)遞減，且〃0)=0,

所以sinx—xK0即sinxWx在[0,1)上恒成立,

所以sina,I<%,有4K%<--<a2<a}f

此時q最大，M=〃w[0,l)，〃=1,又MEN一故不存在滿足題意的M,舍去；

當一1<〃<0時，-sinl<a2=sinq=sinp<0,

由上述分析知，知=刨<1,結(jié)合MwN一故不存在滿足題意的舍去；

當〃K-1時，一1Vq=sinq=sinp41,則a1<a2<---<atl,

所以同之同N…之㈤，此時聞最大,M=M=|p|,n=l,

又MeN.,故pM-l且peZ.

綜上，實數(shù)p的取值集合為{p|pNl或PM-1,"Z}.

⑻⑴、

125

(2)答案見解析

【分析】(1)根據(jù)三局兩勝制可知，乙獲勝則有三種情況，分類即可求解.(2)根據(jù)隨機變

量所有取值的可能以及計算對應(yīng)的概率，即可求解，

(1)

比賽結(jié)束時，乙獲勝有三種情況：

①第一局甲勝，第二局乙勝，第三局乙勝，②第一局乙勝，第二局甲勝，第三局乙勝，③

第一局，第二局2勝，

.?tz的五擊升就.加￡)2333233336981

??比賽結(jié)束時乙獲勝的概率P=—x—x—+—x—x—+-x—=；

5555555512525125

(2)

由題意可得，X的所有可能取值為0,1,2,

尸(X=0)=(「|j總，

23332336

P(x=l)=-X—X—+—X—X—=

555555T25

44

P(X=2)=l-P(X=0)-P(X=l)=茂.

19.答案不唯一，具體見解析.

【分析】若選①，則由正弦定理可得4sinAsinBcosA=&sinB,化簡后可求出角A=g或

5,再由cosC=：求出sinC=2叵，然后由8$8=-8$（4+0可求出85〃的值；

若選②，則由正弦定理得^+/=S+c）/,^^b2+c2-bc=a2,再利用余弦定理可求

得cosA,從而可求出角A=1,再由cosC=:求出sinC=逑，然后由

333

cosB=-cos（4+C）可求出cos8的值；

若選③，由石sinA+cosA,+f結(jié)合輔助角公式和基本不等式可得sinjA+g]=l,則可

abyoJ

求出A=g,而利用基本不等式時有a=b,從而可得三角形為等邊三角形，與cosC=:相

矛盾，則可得問題中的三角形不存在

【解析】選①：因為4asin8cosA=百方，由正弦定理得4sinAsinBcosA=6sin8,

所以5￡（0"）,所以sinBwO,

所以4sinACOSA=G，sin2A=—，

2

又A￡（（U）,2AC（0,2?）,所以2A=?或用，即A=?或

因為cosC=2，Cw（O,乃），所以sinC=Jl-cos2c=延.

33

jr

當A=—時，cosB=-cos（A+C）

6

當A=?時，cosB=一cos(A+C)

f11732⑺276-1

—X---------------X-----------

\232376

因此8s8的值為中或嚕.

選②：因為匕sin?B+csin2C=(/?+c)sin2A,

由正弦定理得。3+d=S+c)/,

因為b+c>0,所以/+(?-歷=/,

r-r-K|.Z?2+—Q~1

所以cosA=——----=—,

2bc2

因為AE(0,4),所以A=q.

因為cosC=4，Ce(0,TT),所以sinC=Jl—cos?C=2y,

33

所以cosB=一cos(A+C)

1162靖276-1

——x----------x-------

(23236

因此cosB的值2返。.

6

選③：因為GsinA+cosA=2+f,所以2sin(A+g]=2+：,

ab\6Jab

因為2N2sin(A+石]=2+且22、/2><且=2,

I6Jab\ab

于是3+￡=2,即〃*且2sin(4+￡|=2,即sin[A+￡|二l,

注意到AE(0,T),4+，

O\OOJ

因此A+^=一,即A=J,

623

于是為等邊三角形，

因此cosC=g與cosC=；相矛盾，

故"U3C不存在.

【注意】關(guān)鍵點注意：此題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查三角函數(shù)恒等變換公式的

應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用正弦定理進行邊角互化，從而可求出角A的值，再結(jié)合三角函數(shù)

恒等變換公式求出cos8的值，考查計算能力，屬于中檔題

20.（1）當M是線段AE的中點時，AC〃平面肱》,理由見解析；（2）y.

4

【分析】（1）由線面平行的性質(zhì)定理確定M是線段AE的中點，然后根據(jù)線面平行的判定定

理證明.

（2）將幾何體ADE-補成三棱柱，由三棱柱和三棱錐體積得幾何體AB-COEF的體

積，再求得三棱錐F-DME的體積后可得所求比值.

【解析】（1）當例是線段AE的中點時，AC〃平面

證明如下：連接CE交DF于點N,連接MN,如圖，由于M、N分別是AE、CE的中點，

所以腦V〃AC,又MN在平面內(nèi)，且AC不在平面尸內(nèi)，所以AC//平面MDF.

（2）?.?四邊形CDEF是矩形，CDJ_￡）E.又CDL4。，且ADcZ）E=。，

，CD,平面4）E.

平面AfiC。/平面CD￡F,平面/IBC。c平面。EE=8,ADu平面ABC￡）,

ADVCD,所以平面C￡>E尸，又DEu平面CDEF,所以4￡>_L￡）E,

將幾何體ADE-3b補成三棱柱ADE-夕CF,

三棱柱ADE-8'CF的體積丫=Sa-CO=^x2x2x4=8,

則幾何體ADE-BCF的體積m=V-匕we=8-gxx2x2卜（4-2）=g,

又三棱錐廠一DEM的體積匕=gx（；x2x2x；jx4=；

4<204、1

???空間幾何體M—與空間幾何體的體積的比為3：［可-］）=1.

21.（1）—-^-=1；（2）存在，G（g,0）.

916U）

【分析】⑴連接PC,則|PC|=|PM|,即忸c|-|PG||=|MG|=6,則點尸的軌跡是以G，C

為左右焦點，2a=6的雙曲線，求解軌跡方程即可.

（2）由題意可知3c=-&?；時直線AG和BG的傾斜角互補.分類討論：當直線/斜率不存在

時，A,B關(guān)于x軸對稱，x軸上的任意點G都有3c=-當直線/斜率存在時，設(shè)直線

/的方程為：y=Mx-4）,（&xO）,與雙曲線方程聯(lián)立，整理得

（16-%2卜2+72/x744出+1）=0,設(shè)A（x”yJ,8仇,力），則

2

72k272H__144（Z:+l）⑷心一十“根據(jù)砥c=-G，可知

%+x2=-

16-9小9r_16'玉之一16-9429公一16

屋=*=一?=一三’整理得3一4&+%）-於+切+胱=。,

將Xi%,X|+w代入求解與,即可.

【解析】（1）連接PC,則|pq=|PM|,即忸q-|PG||=|MG|=6

.?|C,C|=10>6>0

.??點P的軌跡是以c「C為左右焦點，2a=6,2c=10的雙曲線.

即〃=3,c=5,b=>Jc2-a2=4

r2.2

???點戶的軌跡方程G為：--2L=i

（2）當直線/斜率不存在時，直線/的方程為：x=4,則A,B關(guān)于x軸對稱.

因為點G在x軸上

所以直線AG和BG關(guān)于x軸對稱.

則x軸上的任意點G都有L=-%，即直線AG和BG的傾斜角互補

當直線/斜率存在時，設(shè)直線/的方程為：y=Z（尤-4）,（&。0）

y=fc（x-4）

貝斗x2y2BP（16-9）l2）x2+72Fx-144（）t2+l）=0

------=1

916

???直線/交曲線c3于AB兩點

16-9小片04

\2/,、即&W±—

△=（72公）+4x（16-9jl2）xl44（z）t2+l）=576（7）l2+16）>03

設(shè)A（%，X）,3（"力）

則為，演是方程（16—9/）/+72小了一144（/+1）=0的兩根.

即72-72公_-i44（A:2+l）_144（^2+l）

、、'+々=_16_9今=9k—16'卬16-9公=9k276

假設(shè)存在點G($,0),使得直線AG和BG的傾斜角互補.

則％=也即上^植3=-4=-山)

大一與不一天%2一人0%一人0

.工「4二

即2再