洛陽(yáng)市某中學(xué)2021年春高二數(shù)學(xué)（理）下學(xué)期3月考試卷附答案解析

洛陽(yáng)市一中2021年春高二數(shù)學(xué)（理）下學(xué)期3月考試卷

一、單選題

InY

1.設(shè)曲線y=——在點(diǎn)（L。）處的切線與直線工一卬+1=0垂直，則。二（）

x+1

2.函數(shù)y=J的圖象大致是（）

二1y

B.

二個(gè)y

D.

0\

3.函數(shù)/（X）=爐—2cv+LX在X=2處取極小值，則。=（）

A.6或2B.6或-2C.6D.2

4.已知函數(shù)y=/（x）的圖象如圖所示,則其導(dǎo)函數(shù)y=/'（%）的圖象可能是（）

/vpV

上皿*cD比

5.若點(diǎn)尸是曲線y=爐一111X上任一點(diǎn)，則點(diǎn)尸到直線》一了一4=0的最小距離是（）

A.y/2B.3C.2aD.2G

6.在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b（c若函數(shù)/（力=,/+云2+（02+,2-團(tuán)卜+1無(wú)

極值點(diǎn)，則角8的最大值是

7.函數(shù)/(力=?—111尤20(4€/?)恒成立的一個(gè)必要不充分條件是()

A.aeL+8)B.?G[0,+OO)C.?e[l,+oo)D.ae(—,e]

8.定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,若對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有/(力>/'(力，且〃x)+2020為奇

函數(shù)，則不等式.f(x)+2()20e'<0的解集是()

A.(-？,0)B.(0,+?)C.D.g+oo)

9.已知函數(shù)f(x)=%3+以2+H+C,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是

A.3xoeR,f(xo)=O

B.函數(shù)y=f(x)的圖像是中心對(duì)稱圖形

C.若是f(x)的極小值點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(-8,x0)單調(diào)遞減

D.若％是f(x)的極值點(diǎn)，貝！]f'(xo)=O

10.已知函數(shù)/(月=；。^+2辦+lnx在區(qū)間(0,+8)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

A.[0,1]B.[0,+oo)C.(—l,+oo)D.(―1,1)

11.己知函數(shù)/(x)=x-alnx+a(aeR)有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是()

A.(e,+oo)B.(e2,+oo)C.(e2,e3)D.(e2,2e2)

,x2,x<0,

12.已知/(x)=〈,若r(x)+(i—a)/(x)—“=()恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.毛，則x+w的取值范圍是

e,x>Q

()

A.(―l,4<o)B.(—1,2In2—2]C.(—co,2—2In2]D.(—co,2In2—2]

二、填空題

_____i

13.已知函數(shù)/1(x)=sinx+Jl—x2,則J/(x)dx=_.

-1

14.已知函數(shù)/(司=2幺-lnx+1,則的單調(diào)減區(qū)間為.

15.已知函數(shù)/(xb/+x-sinx,若/(2力+/卜2-3)>0,則實(shí)數(shù)x的取值范圍為.

2

16.已知函數(shù)/(x)=/+〃2與函數(shù)g(x)=-lng-；,2)的圖象上至少存在一對(duì)關(guān)于x軸對(duì)稱的

點(diǎn)，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是.

三、解答題

13

17.已知函數(shù).f(x)=§x3—5%2-4%+4.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)》目一3,6］時(shí)，求函數(shù)/(x)的最大值和最小值.

18.已知函數(shù)/(x)=V一3x.

(1)求函數(shù)/(x)的極值；

(2)若g(x)=1①1+alnx在工”)上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

x

19.已知函數(shù)/(x)=x-alnx(aGR).

(1)當(dāng)。=2時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)41,/(D)處的切線方程;

(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

20.在第六個(gè)國(guó)家扶貧日到來(lái)之際，中共中央總書記、國(guó)家主席①、中央軍委主席習(xí)近平對(duì)脫貧攻堅(jiān)工作作出

重要指示強(qiáng)調(diào)，新中國(guó)成立70年來(lái)，中國(guó)共產(chǎn)黨堅(jiān)持全心全意為人民服務(wù)的根本宗旨，堅(jiān)持以人民為中心的發(fā)

展思想，帶領(lǐng)全國(guó)各族人民持續(xù)向貧困宣戰(zhàn).某縣政府響應(yīng)號(hào)召，實(shí)施整治環(huán)境吸引外地游客的脫貧

戰(zhàn)略，效果顯著.某旅行社組織了兩個(gè)旅游團(tuán)于近期來(lái)到了該縣的某風(fēng)景區(qū).數(shù)據(jù)顯示，近期風(fēng)景區(qū)中每天空氣

質(zhì)量指數(shù)近似滿足函數(shù)/(。=I］*+121nfT-6(4KY22,aeR),其中，為每天的時(shí)亥!I.若在凌晨4

點(diǎn)時(shí)刻，測(cè)得空氣質(zhì)量指數(shù)為21.8.

(I)求實(shí)數(shù)。的值；

(H)求近期每天在［4,22］時(shí)段空氣質(zhì)量指數(shù)最高的時(shí)刻入(參考數(shù)值：In2。0.7)

21.已知函數(shù)/aeR.

(1)若。＜0,求函數(shù)“X)的單調(diào)減區(qū)間；

(2)若關(guān)于x的不等式2%欣〈/'(%)+。2+1恒成立，求實(shí)數(shù)a的范圍.

3

iwc-n

22.已知函數(shù)/(x)-Inx(m,neR).

x

(I)若函數(shù)/(%)在(L/(D)處的切線與直線x—y=O平行，求實(shí)數(shù)〃的值；

(ED若“=1時(shí)，函數(shù)“X)恰有兩個(gè)零點(diǎn)辦,.(0＜玉＜吃)，證明：西+々＞2.

解析

洛陽(yáng)市一中2021年春高二數(shù)學(xué)(理)下學(xué)期3月考試卷

一、單選題

InY

1.設(shè)曲線y=——在點(diǎn)(1,0)處的切線與直線x—@+1=0垂直，則。=()

x+1

11

A.---B.—C.—2D.2

22

【答案】A

【分析】函數(shù)求導(dǎo)，計(jì)算左=/'(1),利用切線與直線x-a.y+l=0垂直，求得。值.

/f1,j——I.]njc

【詳解】由題意得，((幻=(lnx)(%+l)-lnMx+D=x*〉0)，

(x+1)2(x+1)2

?.?在點(diǎn)(1,0)處的切線與直線x—ay+l=0垂直，

一x—=—1,解得a=—

2a2

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

4

【分析】根據(jù)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，可排除選項(xiàng)c、D；利用奇偶性可排除選項(xiàng)B,進(jìn)而可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閥=一，所以歹=〃「，

令y'=0可得，x=0,x=2,

即函數(shù)有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)，可排除選項(xiàng)c、D；

又因?yàn)楹瘮?shù)y=j即不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)，可排除選項(xiàng)B,

故選：A.

【點(diǎn)睛】函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：

(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.

(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；

(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；

(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.

3,函數(shù)/(x)=V—24+/尤在1=2處取極小值，則。=()

A.6或2B.6或-2C.6D.2

【答案】D

【分析】先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)/'(2)=0求得c,再代入驗(yàn)證是否滿足題意.

【詳解】/'(X)—3*2—45+/'(2)=12—8c+c2=0c=2或c=6

當(dāng)c=6時(shí)，(x)=3x2—24x+36=3(x-2)(x—6),

當(dāng)x<2時(shí)/'(x)>0,當(dāng)2Vx<6時(shí)/'(x)<0,函數(shù)/(x)在x=2處取極大值，不符題意，舍去;

當(dāng)c=2時(shí)，/'(x)=3%2—8x+4=(%—2)(3x—2),

當(dāng)x>2時(shí)/'(x)>0,當(dāng)：<x<2時(shí)/'(x)<0,函數(shù)/(x)在x=2處取極小值,

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)極值，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

5

【分析】由原函數(shù)的圖象可知y=/（x）在（F,0）上先單調(diào)遞增，后單調(diào)遞減，再單調(diào)遞增，在（0,+力）上單

調(diào)遞減；可確定出導(dǎo)函數(shù)在每個(gè)區(qū)間是大于零，還是小于零，分析各個(gè)選項(xiàng)中的圖象，即可得出結(jié)論.

【詳解】由"X）的圖象可知：y=/（x）在（-8,0）先單調(diào)遞增，后單調(diào)遞減，

再單調(diào)遞增，而在（0,+力）上單調(diào)遞減，

故＞=/'（X）在區(qū)間（-30，。）上先大于。，后小于0，

再大于0,在（0,+力）上尸（x）恒小于0.

分析選項(xiàng)中各個(gè)圖象，只有選項(xiàng)A符合，故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查原函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.原函數(shù)在區(qū)間上遞增，則導(dǎo)函數(shù)圖象在x

軸上方，原函數(shù)在區(qū)間上遞減，則導(dǎo)函數(shù)圖象在x下方.

5.若點(diǎn)尸是曲線y=Y—]nx上任一點(diǎn)，則點(diǎn)尸到直線》一丁一4=0的最小距離是（）

A.V2B.3C.272D.273

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，設(shè)出點(diǎn)P，根據(jù)點(diǎn)P處的切線斜率為1，求得切點(diǎn)，再用點(diǎn)到直線的距離公式即可求得結(jié)果.

【詳解】要使點(diǎn)尸到直線x-y-4=0的最小距離，只需點(diǎn)尸為曲線與直線x-y—4=0平行的切線的切點(diǎn)，

即點(diǎn)P為斜率為1的切線的切點(diǎn)，

設(shè)。（毛，為），毛＞。，＞=/一卜羽兒「2%-；=1,

解得外）=1或％=一耳（舍去），

11-1-41r

點(diǎn)P（1,D到直線y—4=0的距離為—=2,2,

所以曲線y=d—inx上任一點(diǎn)到直線x-y-4=0距離最小值為2夜.

6

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查由切線的斜率，求切點(diǎn)坐標(biāo)，涉及點(diǎn)到直線的距離公式，屬基礎(chǔ)題.

6.在AA8C中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,C若函數(shù)/(耳=；*3+"2+.2+。2一的卜+1無(wú)

極值點(diǎn)，則角3的最大值是

11117r兀

A.-B.-C.—D.一

6432

【答案】C

【詳解】函數(shù)/(X)=gd+笈2+(〃2+，一覺卜+1無(wú)極值點(diǎn)，則導(dǎo)函數(shù)無(wú)變號(hào)零點(diǎn)，

/'(x)=*+2bx+/+c2—,△=/?2——c24-<0=>cosB—“+'..—>—

2ac2

5€(0,不)，5€(0,3].故最大值為：

故答案為C.

7.函數(shù)/(x)=ax-Inx?O(aeR)恒成立的一個(gè)必要不充分條件是()

A.ae；，+8)B.?G[0,+OO)C.ae[l,+oo)D.aw(F,e]

【答案】B

【分析】先利用參變分離法求/(力=以一InxNO(awR)恒成立時(shí)。的范圍，再與選項(xiàng)條件比較包含關(guān)系,

即可作出選擇.

]n

,Y

【詳解】Q/(x)=ox-lnx>0..a>(---)max

X

AInx,1-lnx

令y=——，貝iJy=——z-=0x=e

XX

當(dāng)Ovxce時(shí)y'>0,當(dāng)時(shí)y'vO,因此當(dāng)元=e時(shí)%俶=,，。之!，

*ee

因?yàn)镴,+8)為[0,+8)真子集，所以函數(shù)〃x)=ar—Inx之O(aeR)恒成立的一個(gè)必要不充分條件是

ae[0,+8),類似可得A是充要條件，C是充分不必要條件，D既不是充分條件也不是必要條件.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立、充要關(guān)系判斷，考查綜合分析求解判斷能力，屬中檔題.

8.定義在R上的函數(shù)〃力的導(dǎo)函數(shù)為第x),若對(duì)任意實(shí)數(shù)》,有〃x)>/'(x),且〃x)+2020為奇

函數(shù)，則不等式/(力+2020/<0的解集是()

7

A-(-?⑼B.(0,+?)C.18,皆D,g,+oo)

【答案】B

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=4i+2020,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得單調(diào)性，利用單調(diào)性求解不等式的解集.

【詳解】/(x)+2020為奇函數(shù)，所以/(0)+2020=0,/(0)=-2020

考慮函數(shù)尸(x)=+2020,尸(x)=<o，

所以產(chǎn)(力=1單+2020在"上單調(diào)遞減，

F(0)=^^+2020=0.

/(%)+2020/<0的解集等價(jià)于+2020<0的解集，

e'

即F(x)<尸(0)的解集為(0,+8).

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查構(gòu)造函數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合奇偶性和特殊值求解不等式，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù).

9.已知函數(shù)f(x)=%3+以2+公+c,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是

A.BxoeR,f(xo)=0

B.函數(shù)y=f(x)的圖像是中心對(duì)稱圖形

C.若％是f(x)的極小值點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(-8,x0)單調(diào)遞減

D.若％是f(x)的極值點(diǎn)，貝!|f'(xo)=0

【答案】C

【詳解】試題分析：由于三次函數(shù)的三次項(xiàng)系數(shù)為正值，當(dāng)Xf—8時(shí)，函數(shù)值f—8,當(dāng)xf+8時(shí)，函數(shù)值

也f+8,又三次函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，故一定穿過(guò)x軸，即一定mxoCR,f(xo)=0,選項(xiàng)A中的結(jié)論正

確；函數(shù)f(x)的解析式可以通過(guò)配方的方法化為形如(x+nO'+nG+nO+h的形式，通過(guò)平移函數(shù)圖象，函數(shù)的

解析式可以化為y=x，+nx的形式，這是一個(gè)奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)f(x)的圖象是中心對(duì)

稱圖形，選項(xiàng)B中的結(jié)論正確；由于三次函數(shù)的三次項(xiàng)系數(shù)為正值，故函數(shù)如果存在極值點(diǎn)x“xz,則極小值點(diǎn)

x2>x?即函數(shù)在一8到極小值點(diǎn)的區(qū)間上是先遞增后遞減的，所以選項(xiàng)C中的結(jié)論錯(cuò)誤；根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)

系，顯然選項(xiàng)D中的結(jié)論正確.

【解析】函數(shù)的零點(diǎn)、對(duì)稱性、單調(diào)性、極值.

10.已知函數(shù)/(x)=gav2+2辦+lnx在區(qū)間(0,+8)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

8

A.[0,1]B.[0,+oo)C.(—L+oo)D.(—1,1)

【答案】B

【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為/'WNo,即a2一—」一在區(qū)間(0,+8)上恒成立,再根據(jù)一一」一<0可得答案.

x+2xx+2x

【詳解】因?yàn)?(x)=+2ax+lnx,

所以f*(x)=ar+2a+—,

x

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=~ax2+2ar+lnx在區(qū)間(0,+8)上為增函數(shù)，

所以6+2。+420,即——」一在區(qū)間(0,+℃)上恒成立，

xx+2x

因?yàn)閥=f+2X=(X+—1在(0,+00)上遞增，

所以X?+2x>0,所以—;~—<0,

x2+2x

所以aNO.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了不等式恒成立問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化劃歸思想,屬于中檔題.

11.已知函數(shù)/、(x)=x-alnx+a(aeR)有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是()

A.(e,+oo)B.(e2,+°o)C.(/,")D.(e2,2e2)

【答案】B

【分析】對(duì)f(x)求導(dǎo)，分類討論各種情況下的零點(diǎn)個(gè)數(shù)則可求出a的取值范圍.

【詳解】/(x)=l--=—(x>0),

XX

當(dāng)aWO時(shí)，/(x)>。，.??/(x)在(0,38)上單調(diào)遞增，不合題意，

當(dāng)。>0時(shí)，0<尢<。時(shí)，ru)<o；時(shí)，/'(x)>0,???/(十)在(0,。)上單調(diào)遞減，在3yo)上單

調(diào)遞增，???f(x)min=.f(a)=2a-alna,依題意得2o-alnav0,JQ>/,取*/=/,則玉<。，

22

x2>at且/(x)=/(e)=e>0,f(^x2)=f^a^=a-2a\na+a=a(a-2\na-^-1),令

g(a)=a-21na+l,

則g,(fi)=l-j>0,Ag(。)在卜2,+a))上單調(diào)遞增，

???以4)>且(/)=/一3>0,

9

...在(e,a)及(〃述2)上各有一個(gè)零點(diǎn)，故a的取值范圍是(e2,+00),

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，考查學(xué)生分類討論的能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

“、x2,x<00

12.己知/(x)=〈,若尸(％)+(1一a)/(x)一。=0恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.％,則玉+々的取值范圍是

e,x>0

()

A.(―l,+<x))B.(—1,2In2—2]C.(~oo,2-21n2]D.(—00,2In2—2]

【答案】D

【分析】對(duì)方程/2(x)+(i—a)/(x)—a=o進(jìn)行求解得/(x)=a,再求出玉+9=lna-JZ3>D,利

用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值，即可得答案；

【詳解】f2(x)+(\-a)f(x)-a=0,(/(x)+l)(/(x)—a)=0=/(x)=-l或/(x)=a,

x<0

-/f(x)=<5一,/(x)>0,f(x)=-\(舍去)，

e,x>0

-2

Xy=a,1-

/.<=>x]=-\Ja,x2=lna,

e"=a,

玉+x2=h\a-y[a(a>1),

2

:?令t=則y=21nr—r,y=：-1,

y>0=>l<Z<2,y<0=>/>2,

???函數(shù)y在(1,2)單調(diào)遞增,在(2,+8)單調(diào)遞減，

???Wax=M2)=21n2-2,

r.x,+x2G(-<x>,2In2-2],

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值、方程的根，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考

查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于。的函數(shù)值域問(wèn)題.

二、填空題

____?

13.已知函數(shù)/(x)=sinx+Jl—J,貝(I]7(力公=_.

-1

10

71

【答案】一

2

11

【詳解】J"%）公=siax+Ji-/

ii________i______

而「irudr=（-cosx）lL=0,JJ1一在公表示半圓f+。=i（y之。）的面積,即/，[_%2公=工,則

-1-1-12

111________

dx=卜iuzix+

-]-1

點(diǎn)睛：本題考查微積分基本定理、定積分的幾何意義；求定積分的值主要有兩種方法:

⑴利用微積分基本定理求解，即找出函數(shù)/(X)的原函數(shù)尸(處進(jìn)行求解，即

[hf(x)dx=F(x)t=F(b)-F(a)；

Ja

⑵利用函數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解，主要涉及五2—爐,62—(X—幻2的定積分，如J：yla2-x2dx表示

y=yja2-x2,即半圓f+爐1=20)的面積.

14.已知函數(shù)/(x)=2f—lnx+1,則/(x)的單調(diào)減區(qū)間為.

【答案】

【分析】先求函數(shù)定義域，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，使導(dǎo)函數(shù)小于零，求出的解集與定義域求交集就是所求的單調(diào)減

區(qū)間

【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)?0,+紇)，

由/(x)=2%2-lnx+1,得/'(x)=4x-，,

令/(x)<0,則4/一1<0，解得一]<x<5，

又因?yàn)閤〉0,所以0<%<,，

2

所以“X)的單調(diào)減區(qū)間為(0,,

故答案為：I2J

【點(diǎn)睛】此題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，解題時(shí)要注意函數(shù)的定義域，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.己知函數(shù)/(x)=Y+x—sinx,若/(2》)+/卜2-3)>0,則實(shí)數(shù)x的取值范圍為.

【答案】(―,一3)-(1,+00)

11

【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷了(X)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)奇偶性，將目標(biāo)不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，再求一元二次不等式即可.

【詳解】解：因?yàn)?(一力=一9一%+5缶1=一/(力，且其定義域?yàn)镽,故“X)是奇函數(shù)：

又/,(x)=3x2+l-cosx>l-cosx>0,故/(x)在/?上單調(diào)遞增.

故/(2x)+/(f—3)>(),

也即/(2x)>/(3-x2)

故可得2x>3-/，即f+Zx—3>0，

(x+3)(x-l)>0,

解得X?T?,—3)U(1,+°0).

故答案為：(―00,—+8).

16.已知函數(shù)/(幻=/+加與函數(shù)g(x)=——2])的圖象上至少存在一對(duì)關(guān)于x軸對(duì)稱的

點(diǎn)，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是.

【答案】[2-ln2,2]

【分析】使用等價(jià)轉(zhuǎn)化，原問(wèn)題等價(jià)于Zz(x)=/(x)+g(x)=x2+inx—3x+機(jī)在；,2有零點(diǎn)，通過(guò)〃'(x)

的符號(hào)判斷函數(shù)可力的單調(diào)性并計(jì)算值域，值域包含0,然后簡(jiǎn)單計(jì)算即可.

【詳解】原問(wèn)題等價(jià)于〃(x)=/(x)+g(x)=x2+lnx-3x+加在g,2有零點(diǎn)，

而“(X)=2X+L-3='(2X-1)(X-1),

XX

知力(尤)在單調(diào)遞減，在(1,2]單調(diào)遞增，

又〃(1)=〃?-2,A(2)-ln2—2+m,|=-ln2--+m,

⑴4

,c5c3In28-ln?八

In2-2+機(jī)一|-In2-----\-m=2In2——=------------->0

I4J44

所以可判斷力(2)>/?(；],

因而/z(x)的值域?yàn)樯稀ā?,ln2—2+可，又M")有零點(diǎn),

由機(jī)一2<0Wln2-2+w得帆e[2—ln2,2].

12

故答案為：［2—In2,2］

【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)，考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，以及對(duì)分析能力和計(jì)算能

力的考查.，屬中檔題.

三、解答題

13

17.己知函數(shù)/(x)=§d-2x2—4x+4.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)xe［-3,6］時(shí)，求函數(shù)”X)的最大值和最小值.

4744

【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是(一8,—1)和(4,內(nèi))，單調(diào)遞減區(qū)間是(一1,4):(2)最大值為工，最小值為一一.

【分析】⑴求得函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)數(shù)/'(x)=f-3x-4,分別解不等式/'(x)>0和/'(x)<0,可分

別得出函數(shù)y=/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間；

⑵利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［-3,6］上的極大值和極小值，并與〃一3)、“6)的大小關(guān)系，由

此可得出該函數(shù)在區(qū)間［-3,6］上的最大值和最小值.

1a

【詳解】⑴?//(X)=-x3x2-4%+4,/,(X)=X2-3X-4=(X+1)(X-4).

令/'(x)>0得％<—1或x>4；令/"(x)<。得-1<x<4.

所以，函數(shù)y=/(x)單調(diào)遞增區(qū)間是(一8,—1)和(4,*?),單調(diào)遞減區(qū)間是(一1,4)；

⑵由⑴可知，當(dāng)XG［-3,-1)時(shí),當(dāng)XG(-1,4)時(shí),/'(x)<0；當(dāng)xe(4,6］時(shí)，f'(x)>0.

所以，函數(shù)y=/(x)的極大值為/(—1)=衛(wèi)，極小值為"4)=—竺，

63

1Q

v/(-3)=-y,f(6)=-2,貝！1/(4)<〃-3)<〃6)</(—1),

所以，當(dāng)元=一1時(shí)-，函數(shù)y=/(x)有最大值為衛(wèi)，

當(dāng)％=4時(shí)，函數(shù)y=/(x)有最小值為一苦.

【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.已知函數(shù)/⑴二%3一?》.

(1)求函數(shù)的極值；

13

(2)若g(x)=/^1+alnx在工+8)上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

x

【答案】(1)極大值為2;極小值為—2；(2)［-l,+oo)

【分析】(1)求出了'(X),進(jìn)而求出廠(%)>0,./(%)<0的解，得出/(x)的單調(diào)區(qū)間，即可求出結(jié)論；

(2)求出g'(x),由g'(x)NO在口,內(nèi))上恒成立，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為“與新函數(shù)的最值關(guān)系，通過(guò)求導(dǎo)求

出新函數(shù)的最值，即可求解.

【詳解】(1)f'(x)=3x2-3=3(x+l)(x-1),

令/'(x)=。，得x=-l或x=l.

當(dāng)/'(x)>0時(shí)，x<—1或x>l；

當(dāng)了'(x)<0時(shí)，

隨》的變化，r(x),/(x)變化如下表所示：

X(-8,—1)-1(-1,1)1(1,同

/'(x)+0—0+

單調(diào)遞增極大值2單調(diào)遞減極小值-2單調(diào)遞增

因此，當(dāng)尤=—1時(shí)，/(x)有極大值，且極大值為2；

當(dāng)x=l時(shí)，“X)有極小值，且極小值為-2.

(2)^(x)——x~H----3+alnx,則g'(x)=2x——H—.

XXX

因?yàn)間(無(wú))在U,4w)上是單調(diào)增函數(shù)，所以g'(x)20在［1,+8)上恒成立,

即不等式2x-4020在［1,4W)上恒成立，

XX

也即。2—2廠在［1,+8)上恒成立.

X

設(shè)//(X)=4-2工2,貝=--y-4x.

XX

當(dāng)X￡［l,+8)時(shí)，//(x)vO恒成立，

所以〃。)在工+o。)上單調(diào)遞減，

Wmax=h(y)=~\.

14

所以

即實(shí)數(shù)。的取值范圍為［-1,+8).

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，涉及到函數(shù)的單調(diào)性、極值最值問(wèn)題，不等式恒成立與最值關(guān)系，分離參

數(shù)是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.

19.已知函數(shù)/(x)=x-alnx(aeR).

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)41,/(D)處的切線方程；

(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

【答案】(1)x+y—2=0(2)當(dāng)aWO時(shí)增區(qū)間(0,+8),當(dāng)a>0時(shí)增區(qū)間(。,物)，減區(qū)間(0,a)

2

【詳解】試題分析：(1)當(dāng)a=2時(shí)，/(x)=x-21nx,求得切點(diǎn)為A(l,l),/'(x)=l—求得斜率為

r⑴1故切線方程為丁一1=一3一1)；(2)函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8),/'(x)=l—g=當(dāng)

時(shí)，...x〉。，.../'(幻>。恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)a〉0時(shí)，/W在(0,。)上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單

調(diào)遞增.

試題解析：

9

(1)：a=2^：.f(x)=x-2lnxf/./(l)=l-21nl=l,即A(l,l)

2

=八1)=1-2=-1,

X

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知所求切線的斜率k=/'(I)=-1,

所以所求切線方程為y-l=-(x—l),即x+y—2=0.

(2)r(幻=1一0=",

XX

當(dāng)aVO時(shí)，〈x〉。，.../'(x)>0恒成立，

；?f(x)在定義域(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，令/'(x)=0,得x=a,

vx>0.f\x)>0,得x>a；/'(x)<。得0cx<a；

/(x)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增.

【解析】導(dǎo)數(shù)與切線、單調(diào)區(qū)間.

20.在第六個(gè)國(guó)家扶貧日到來(lái)之際，中共中央總書記、國(guó)家主席①、中央軍委主席習(xí)近平對(duì)脫貧攻堅(jiān)工作作出

重要指示強(qiáng)調(diào)，新中國(guó)成立70年來(lái)，中國(guó)共產(chǎn)黨堅(jiān)持全心全意為人民服務(wù)的根本宗旨，堅(jiān)持以人民為中心的發(fā)

展思想，帶領(lǐng)全國(guó)各族人民持續(xù)向貧困宣戰(zhàn).某縣政府響應(yīng)號(hào)召，實(shí)施整治環(huán)境吸引外地游客的脫貧

戰(zhàn)略，效果顯著.某旅行社組織了兩個(gè)旅游團(tuán)于近期來(lái)到了該縣的某風(fēng)景區(qū).數(shù)據(jù)顯示，近期風(fēng)景區(qū)中每天空氣

質(zhì)量指數(shù)近似滿足函數(shù)/⑺=I*+12InfT-6(4K，422,aeR),其中，為每天的時(shí)亥!j.若在凌晨4

點(diǎn)時(shí)刻，測(cè)得空氣質(zhì)量指數(shù)為21.8.

15

(I)求實(shí)數(shù)"的值;

(n)求近期每天在［4,22］時(shí)段空氣質(zhì)量指數(shù)最高的時(shí)刻f.(參考數(shù)值：ln2a0.7)

【答案】(I)600；(II)12時(shí).

【分析】(1)將，=4代入解析式，解關(guān)于a的方程，即可得出結(jié)論；

(2)求尸”),求出/?)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出/Q)極值，即可求解.

【詳解】解：(I)由〃4)=21.8得莞+24x0.7—4—6=21.8,

所以。=600；

(II)由/⑺=萼也-+12心-—6

'')產(chǎn)+144

600(144-『)

12T/、600(12+/)1

得/'(，)=+丁=(127)

(『+144)2f

由/'(f)=O得t=12.

列表得

t(4,12)12(12,22)

/⑺+0-

/(0增極大值減

所以函數(shù)/(1)在f=12時(shí)取極大值也是最大值，

所以近期每天空氣質(zhì)量指數(shù)最高的時(shí)刻為12時(shí).

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

21.已知函數(shù)/+以2-02工+3,(IER.

(1)若a<0,求函數(shù)“X)的單調(diào)減區(qū)間；

(2)若關(guān)于x的不等式2xlnx?/'(x)+a2+l恒成立，求實(shí)數(shù)a的范圍.

(a、

【答案】(1)三，一(2)

(3a)a2-2

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函的遞減區(qū)間即可；

3r1/、3工1

(2)問(wèn)題等價(jià)于QN/HX---------在(0,+8)上恒成立，令九(x)=bvc---------,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)

22x22x

性求出a的范圍即可.

16

【詳解】解(1)f(x)=3V+2av--=(3x?a)(A+H)

由『(x)VO且aVO得：一〈六^一。

3

函數(shù)/"(x)的單調(diào)減區(qū)間為(三■，-a]

(2)依題意Xd(0,+8)口寸，不等式(A-)+a?+l恒成立,

3r1

等價(jià)于---------在(0,+8)上恒成立.

22x

h(x}=lwc~————

''22x

則〃(力瀉+￥-叫”(?。)

當(dāng)xG(0,1)時(shí)，/1(x)>0,h(x)單調(diào)遞增

當(dāng)xG(1,+8)時(shí)，/](%)<0,h(x)單調(diào)遞減

當(dāng)x=\時(shí)一，h