高二數(shù)學(xué)等比數(shù)列知識點總結(jié)與經(jīng)典習(xí)題

/等比數(shù)列一.知識點梳理:1.等比數(shù)列的概念、有關(guān)公式和性質(zhì):（1）定義:
(2)通項公式:(3)求和公式:(4)中項公式:
推廣:
(5)性質(zhì):a、若m+n=p+q則
;b、若
成等差數(shù)列（其中
）,則
成等比數(shù)列。c、成等比數(shù)列。d、,
2.判斷和證明數(shù)列是等比數(shù)列常有三種方法：(1)定義法:對于n≥2的任意自然數(shù),驗證為同一常數(shù)；(2)通項公式法；(3)中項公式法:驗證都成立；(4)若{an}為等差數(shù)列,則{
}為等比數(shù)列（a>0且a≠1）；若{an}為正數(shù)等比數(shù)列,則{logaan}為等差數(shù)列（a>0且a≠1）。二.典型例題:【例1】若數(shù)列
中,
（n是正整數(shù)）,則數(shù)列的通項
練習(xí):1.若干個能唯一確定一個數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“基本量”.設(shè)是公比為q的無窮等比數(shù)列,下列的四組量中,一定能成為該數(shù)列“基本量”的是第組.(寫出所有符合要求的組號)①S1與S2;②a2與S3;③a1與an;④q與an.其中n為大于1的整數(shù),Sn為的前n項和.2.若等比數(shù)列的首項為

,末項為

,公比為

,則這個數(shù)列的項數(shù)為()A.3 B.4C.5 D.63．已知等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝3,a2＋a3＝6,則a7＝()A.64 B.81C.128 D.2434．等比數(shù)列{an}中,若a1＝1,a4＝8,則a5＝()A.16 B.16或－16C.32 D.32或－325．已知{an}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列,an>0,m＝a5＋a6,k＝a4＋a7,則m與k的大小關(guān)系是()A.m>kB.m＝kC.m<kD.m與k的大小隨q的值而變化6．已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù),且a3·a9＝2a

,a2＝1,則a1＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.

D.27.如果－1,a,b,c,－9成等比數(shù)列,那么()A.b＝3,ac＝9 B.b＝－3,ac＝9C.b＝3,ac＝－9 D.b＝±3,ac＝98.數(shù)列
的前n項和
_______________9.已知a+b+c,b+c－a,c+a－b,a+b－c成等比數(shù)列,公比為q,求證:(1)q3+q2+q=1;(2)q=
.【例2】已知數(shù)列,寫出數(shù)列的通項公式練習(xí):1.各項都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比q≠1,且a2,

a3,a1成等差數(shù)列,則

的值為()A.eq\f(1－\r(5),2) B.eq\f(\r(5)＋1,2)C.eq\f(\r(5)－1,2) D.eq\f(\r(5)＋1,2)或eq\f(\r(5)－1,2)2.若a,b,c成等比數(shù)列,則關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0()A.必有兩個不等實根B.必有兩個相等實根C.必?zé)o實根D.以上三種情況均有可能3.設(shè)數(shù)列
的各項為正數(shù)，若對任意的正整數(shù)
與2的等差中項等于其前
項和
與2的等比中項，求的通項公式.【例3】(錯位相減)求和:(1)
…練習(xí):1.在等比數(shù)列
中,S4=4,S8=20,那么S12=2.在等比數(shù)列{an}中,a1＋a2＝1,a3＋a4＝9,那么a4＋a5＝()A.27 B.27或－27C.81 D.81或－813．設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,公比q＝2,且a1·a2·a3·…·a30＝230,那么a3·a6·a9·…·a30等于()A.210 B.220C.216 D.2154．如果數(shù)列{an}是等比數(shù)列,那么()A.數(shù)列{a

}是等比數(shù)列B.數(shù)列{2an}是等比數(shù)列C.數(shù)列{lgan}是等比數(shù)列D.數(shù)列{nan}是等比數(shù)列5．在等比數(shù)列{an}中,a5a7＝6,a2＋a10＝5.則

等于()A.－

或－

B.

C.eq\f(3,2) D.eq\f(2,3)或eq\f(3,2)6.若互不相等的實數(shù)a、b、c成等差數(shù)列,c、a、b成等比數(shù)列,且a＋3b＋c＝10,則a＝()A.4 B.2C.－2 D.－47．一個等比數(shù)列前三項的積為2,最后三項的積為4,且所有項的積為64,則該數(shù)列有()A.13項 B.12項C.11項 D.10項等比數(shù)列{an}中,a1<0,{an}是遞增數(shù)列,則滿足條件的公比q的取值范圍是__________.9.已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比數(shù)列,則

的值為__________.10.在3和一個未知數(shù)間填上一個數(shù),使三數(shù)成等差數(shù)列,若中間項減去6則成等比數(shù)列,則此未知數(shù)是__________.11．有四個實數(shù),前三個數(shù)依次成等比數(shù)列,它們的積是－8,后三個數(shù)依次成等差數(shù)列,它們的積為－80,求出這四個數(shù)．能力拓展提升一、選擇題12.已知2a＝3,2b＝6,2c＝12,則a,b,c()A.成等差數(shù)列不成等比數(shù)列B.成等比數(shù)列不成等差數(shù)列C.成等差數(shù)列又成等比數(shù)列D.既不成等差數(shù)列又不成等比數(shù)列13．在數(shù)列{an}中,a1＝2,當(dāng)n為奇數(shù)時,an＋1＝an＋2；當(dāng)n為偶數(shù)時,an＋1＝2an－1,則a12等于()A.32 B.34C.66 D.6414．已知公差不為零的等差數(shù)列的第k、n、p項構(gòu)成等比數(shù)列的連續(xù)三項,則等比數(shù)列的公比為()A.eq\f(n－p,k－n) B.eq\f(p－n,p－k)C.eq\f(n－k,n－p) D.eq\f(k－p,n－p)15.若方程x2－5x＋m＝0與x2－10x＋n＝0的四個根適當(dāng)排列后,恰好組成一個首項為1的等比數(shù)列,則

的值是()A.4 B.2C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)二、填空題16.a、b、c成等比數(shù)列,公比q＝3,又a,b＋8,c成等差數(shù)列,則三數(shù)為__________.17．現(xiàn)有10個數(shù),它們能構(gòu)成一個以1為首項,－3為公比的等比數(shù)列,若從這10個數(shù)中隨機抽取一個數(shù),則它小于8的概率是________．三、解答題18.某工廠三年的生產(chǎn)計劃中,從第二年起每一年比上一年增長的產(chǎn)值都相同,三年的總產(chǎn)值為300萬元.如果第一年、第二年、第三年分別比原計劃產(chǎn)值多10萬元、10萬元、11萬元,那么每一年比上一年的產(chǎn)值的增長率都相同,求原計劃中每年的產(chǎn)值.19.(2010～2011·山東臨清實驗高中高二期中)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,點(n,Sn)在函數(shù)f(x)＝2x－1的圖象上,數(shù)列{bn}滿足bn＝log2an－12(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,當(dāng)Tn最小時,求n的值；(3)求不等式Tn<bn的解集.參考答案例題1.9n-1練習(xí)1.1.42.B[解析]

·(

)n－1＝

,∴(

)n－1＝

＝(

)3∴n＝4.3、A[解析]∵{an}是等比數(shù)列，a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，∴設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則a2＋a3＝(a1＋a2)q＝3q＝6，∴q＝2.∴a1＋a2＝a1＋a1q＝3a1＝3，∴a1＝1，∴a7＝a1q6＝26＝64.4.A[解析]a4＝a1q3＝q3＝8,∴q＝2,∴a5＝a4q＝16.5.C[解析]m－k＝(a5＋a6)－(a4＋a7)＝(a5－a4)－(a7－a6)＝a4(q－1)－a6(q－1)＝(q－1)(a4－a6)＝(q－1)·a4·(1－q2)＝－a4(1＋q)(1－q)2<0(∵an>0,q≠1).6.B[解析]設(shè)公比為q,由已知得a1q2·a1q8＝2(a1q4)2,即q2＝2,因為等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù),所以q＝

,故a1＝

＝

＝

,故選B.B[解析]由條件知

,∵

∴a2>0,∴b<0,∴b＝－3an=Sn-Sn-1=2n-1-[2n-1-1]=2n-2n-1=2n-1,an2是以a12=1為首項,4為公比的等比數(shù)列；S=4n-1/39、（1）a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c組成公比為q的等比數(shù)列,所以q3=(a+b-c)/(a+b+c),q2=(c+a-b)/(a+b+c)q=(b+c-a)/(a+b+c),q3+q2+q=(a+b-c)/(a+b+c)+(c+a-b)/(a+b+c)+(b+c-a)/(a+b+c)=(a+b+c)/(a+b+c)=1（2）因為a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c成等比數(shù)列,公比為q所以(c+a-b)/(b+c-a)=q,(a+b-c)/(c+a-b)=q

∴q=[(c+a-b)+(a+b-c)]/[(b+c-a)+(c+a-b)]=2a/(2c)=a/c.例題2、解an-an-1=3n-1將n=2,3,4,5代入得:a?-a?=31

a?-a?=32

a?-a?=33

an-an-1=3n-1

將上面的式子相加得:an-a1=31+32+33++3n-1an=1+31+32+33++3n-1=(1/2)(3?-1)練習(xí)1.C[解析]∵a2,

a3,a1成等差數(shù)列,∴a3＝a2＋a1,∵{an}是公比為q的等比數(shù)列,∴a1q2＝a1q＋a1,∴q2－q－1＝0,∵q>0,∴q＝

.∴

＝

＝

＝

.2.C[解析]∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2＝ac>0.又∵Δ＝b2－4ac＝－3ac<0,∴方程無實數(shù)根．3.（an+2）/2=√(2Sn)Sn=（an+2）2/8Sn+1=（an+1+2）2/8an+1=Sn+1-Sn=an+12/8+a(n+1)/2-an2/8-an/2

an+12/8-a(n+1)/2-an2/8-an/2=0an+12-4an+1-an2-4an=0a(n+1)=an+4an=-2+4n例題3.xSn=x+3x2+5x3+7x4+...+(2n-3)x(n-1)+(2n-1)xn①

因為Sn=1+3x+5x2+7x3+9x4+...+(2n-1)x(n-1)②

②-①得,(1-x)Sn=1+2[x+x2+x3+x4++xn-1]-(2n-1)xn

(1-x)Sn=1+2[(x-xn)/(1-x)]-(2n-1)xn

(1-x)Sn=1+(2x-2xn)/(1-x)-2nxn+xn(1-x)Sn=1+2x/(1-x)-2xn/(1-x)-2nxn+xn

(1-x)Sn=1+2x/(1-x)+{1-2n-2/(1-x)}xn

Sn={1+(2x)/(1-x)+[1-2n-2/(1-x)]xn}/(1-x)練習(xí)1.在等比數(shù)列中,依次每k項之和仍成等比數(shù)列。(S12-S8)/(S8-S4)=(S8-S4)/S4S12-S8=(S8-S4)2/S4=(20-4)2/4=64∴S12=64+20=842.B[解析]∵q2＝

＝9,∴q＝±3,因此a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27或－273.B[解析]設(shè)A＝a1a4a7…a28,B＝a2a5a8…a29,C＝a3a6a9…a30,則A.B.C成等比數(shù)列,公比為q10＝210,由條件得A·B·C＝230,∴B＝210,∴C＝B·210＝220.4.A[解析]設(shè)bn＝a

,則

＝

＝(

)2＝q2,∴{bn}成等比數(shù)列；

＝2an＋1－an≠常數(shù)；當(dāng)an<0時lgan無意義；設(shè)cn＝nan,則

＝

＝

≠常數(shù).5、D[解析]a2a10＝a5a7＝6.由

，得

或

.∴eq\f(a18,a10)＝eq\f(a10,a2)＝eq\f(3,2)或eq\f(2,3).故選D.6.D[解析]

消去a得:4b2－5bc＋c2＝0,∵b≠c,∴c＝4b,∴a＝－2b,代入a＋3b＋c＝10中得b＝2,∴a＝－4.7、B[解析]設(shè)前三項分別為a1,a1q,a1q2,后三項分別為a1qn－3,a1qn－2,a1qn－1.所以前三項之積a

q3＝2,后三項之積a

q3n－6＝4.兩式相乘得,a

q3(n－1)＝8,即a

qn－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝a

q

＝64,即(a

qn－1)n＝642,即2n＝642.所以n＝12.8、0<q<1[解析]∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2>a1,a3>a2))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q>a1,a1q＜a1q2))∴0＜q＜1.9、

[解析]∵a1,a3,a9成等比∴a

＝a1a9,即(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d),∴d＝a1,∴an＝a1＋(n－1)d＝nd,∴

＝

＝

.10、3或27[解析]設(shè)此三數(shù)為3、a、b,則

,解得

或

,∴這個未知數(shù)為3或27.11.由題意設(shè)此四個數(shù)為

,b,bq,a,則有

解得

或

所以這四個數(shù)為1,－2,4,10或－

,－2,－5,－8.12.A[解析]解法1:a＝log23,b＝log26＝log23＋1,c＝log212＝log23＋2.∴b－a＝c－b.13.C[解析]依題意,a1,a3,a5,a7,a9,a11構(gòu)成以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,故a11＝a1×25＝64,a12＝a11＋2＝66.故選C.14、A[解析]設(shè)等差數(shù)列首項為a1,公差為d,則q＝

＝

＝

＝

＝eq\f(p－n,n－k)＝eq\f(n－p,k－n).故選A.15.D[解析]由題意可知1是方程之一根,若1是方程x2－5x＋m＝0的根則m＝4,另一根為4,設(shè)x3,x4是方程x2－10x＋n＝0的根,則x3＋x4＝10,這四個數(shù)的排列順序只能為1.x3.4.x4,公比為2.x3＝2.x4＝8、n＝16.

＝

；若1是方程x2－10x＋n＝0的根,另一根