八年級數(shù)學下冊第17章教案 (一)

第十七章勾股定理

17.1勾股定理（1）

【教學目標】

知識與技能

了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，掌握勾股定理的內(nèi)容，會用面積法證明勾股淀理。

過程與方法

培養(yǎng)在實際生活中發(fā)現(xiàn)問題總結(jié)規(guī)律的意識和能力。

情感、態(tài)度與價值觀

介紹我國古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激發(fā)愛國熱情，勤奮學習。

【教學重難點】

重點：勾股定理的內(nèi)容及證明。

難點：勾股定理的證明。

【導學過程】

【情景導入】

除地球外，別的星球上有沒有生命呢？

自古以來，人類就不斷發(fā)出這樣的疑問，特別是近年來不斷出現(xiàn)的UFO事件，更讓人們

相信有外星人的說法，如果真的有，那我們怎么和他們交流呢？

我國著名數(shù)學家華羅庚在多年前曾提出這樣的設(shè)想：向太空發(fā)射一種圖形，因為這種圖

形在幾千年前就已經(jīng)被人類所認識，如果他們是“文明人”，也必定認識這種圖形.

那么這到底是一種什么樣的圖形呢？它真的有那么大的魅力嗎？

下面就讓我們通過時光隧道，和古希臘的數(shù).學家畢達哥拉斯一起來研究這種圖形吧。

【新知探究】

探究一、：

1正方形A、B、C的面積有什么數(shù)量關(guān)系？

2以等腰直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積和以斜邊為邊長的大正方形的面積

之間有什么關(guān)系？

探究二、(1)那么一般的直角三角形是否也有這樣的特點呢?

(2)在方格紙上畫出一個直角邊分別為3和4的直角三角形，并以其三邊.為邊長向外作三個

正方形，并分別計算其面積。

(3)通過三個正方形的面積關(guān)系，你能說明直角三角形是否具有上述。結(jié)論嗎？

(4)對于更一般的情形將如何驗證呢？

方法一；

如圖，讓學生剪4個全等的直角三角形，拼成如圖圖形，利用面積證明。

S正方形==

方法二；

已知：在△ABC中，ZC=90°,/A、ZB,NC的對邊為a、b、c?

求證：a2+b2=c2?

分析：左右兩邊的正方形邊長相等，則兩個正方形

的面積相等。

左邊S=____

右邊S=—

左邊和右邊面積相等,

ab

ab

即

化簡可得。

方法三：

以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于，ab.

2

把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上.

,/RtAEAD絲RtACBE,

\ZADE=ZBEC.

ZAED+ZADE=90°,

\ZAED+ZBEC=90".

ZDEC=180°-90°=90°.

,?△DEC是一個等腰直角三角形,

它的面積等于Lc)

2

又：ZDAE=90°,ZEBC=90°,

AD/7BC.

，ABCD.是一個直角梯形，它的面積等于一

【知識梳理】

勾股定理的具體內(nèi)容是（）。

【隨堂練習】

1.如圖，直角^ABC的主要性質(zhì)是：ZC=90°,（用幾何語言表示）

⑴兩銳角之間的關(guān)系：;

（2）若NB=30°,則/B的對邊和斜邊：；

（3）三邊之間的關(guān)系：___________________

2.在RtZXABC中，ZC=90°

①若a=5,b=12,貝!Jc二；

②若a=15,c=25,則b=；

③若c=61,b=60,則a=；

④若a:b=3*4fc=10則SRLBC=0

3.已知在RJ^ABC中，NB=90°,a、b、c是AABC的三邊，則

（l）c=o（已知a、b,求c）

（2）a=o（已知b、c,求a）

（3）b=o（已矢IIa、c,求b）

4.直角三角形兩直角邊長分別為5和12,則它斜邊上的高為—

5.已知一個Rt△的兩邊長分別為3和4,則第三邊長的平方是（）

A、25B、14C、7D、7或25

6.等腰三角形底邊上的高為8,周長為32,「則三角形的面積為（）

A、56B、48C、40D、32

第十七章勾股定理

17.1勾股定理(2)

【教學目標】

知識與技能

會用勾股定理解決簡單的實際問題。

過程與方法

經(jīng)歷探究勾股定理在實際問題中的應用過程，感受勾股定理的應用方法。

情感、態(tài)度與價值觀

樹立數(shù)形結(jié)合的思想。

【教學重難點】

重點：勾股定理的應用。

難點：實際問題向數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化。

【導學過程】

L知識回顧】

1.①在解決問題時，.每個直角三角形需知道幾個條件？

②直角三角形中哪條邊最長？

2.在長方形或中，寬AB為1m,長BC為20，求"長.

(1)在長方形/靦中4從BC、4c大小關(guān)系？

【新知探究】

探究一、

例1、一個門框的尺寸如圖1所示.

①若有一塊長3米，寬0.8米的薄木板，問怎樣從門框通過？

②若薄木板長3米，寬1.5米呢？

③若薄木板長3米，寬2.2米呢？為什么？

圖1

探究二、

例2、如圖2,一個3米長的梯子45,斜著靠在豎直的墻4。上，這時4。的距離為2.5米.

①求梯子的底端6距墻角。多少米？

②如果梯的頂端A沿墻下滑0.5米至C

算一算，底端滑動的距離近似值(結(jié)果保留兩位小數(shù)).

圖2

【知識梳理】

(h)利用勾股定理解決實際問題有.哪些基本步驟i

.(2)你覺得解決實際問題的難點在哪里？你有什力，法？利:理解決實際

問題的注意點是什么？請與大家交流.

(3)本節(jié)課體現(xiàn)出哪些數(shù)學思想方法，都在什么情況下運用？

【隨堂練習】

1.書上P26練習

2.小明和爸爸媽媽.十一登香山，他們沿著45度的坡路走了500米，看到了一棵紅葉樹,

這棵紅葉樹的離地面的高度是米。

3.如圖，山坡上兩株樹木之間的坡面距離是米，則這兩株樹之間的垂直距離是

米，水平離是米。

1題圖2題圖3題圖

第十七章勾股定理

17.1勾股定理(3)

【教學目標】

知識與技能

能利用勾股定理，根據(jù)已知直角三角形的兩邊長求第三條邊長；并在數(shù)軸上表示無理數(shù)。

過程與方法

體會數(shù)與形的密切聯(lián)系，增強應用意識，提高運用勾股定理解決問題的能力。

情感、態(tài)度與價值觀

培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，并積極參與交流，并積極發(fā)表意見。

【教學重難點】

，重點：利用勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)。

難點：確定以無理數(shù)為斜邊的直角三角形的兩條直角邊長。

【導學過程】

【情景導入】

在八年級上冊中，我們曾經(jīng)通過畫圖得到結(jié)論：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角

形全等.學習了勾股定理后，你能證明這一結(jié)論嗎？

【新知探究】

探究一、已知：如圖，在和林△/8C中，N俏

NC=90",AB=A,B,AC=AC.

求證：之BC.

CB小B

探究二、畫圖

1.我們知道數(shù)軸上的點有的表示有理數(shù)，有的表示無理數(shù)，你能在數(shù)軸上畫出表示JT5的

點嗎？

2.分析：如果能畫出長為的線段，就能在數(shù)軸上畫出表示的點。容易知道，長

為、歷的線段是兩條直角邊都為的直角邊.的斜邊。長為而的線段能是直角邊為正

整數(shù)的直角三角形的斜邊嗎？

利用勾股定理，可以發(fā)現(xiàn)，長為舊的線段是直角邊為正整數(shù)、的直角三角

形的斜邊。

3.作法：在數(shù)軸上找到點A,使0A=,作直線/垂直于0A,在/上取點B,使AB=,

以原點0為圓心，以0B為半徑作弧，弧與數(shù).軸的交點C即為表示舊的點。

4.在數(shù)軸上畫出表示g的點？(尺規(guī)作圖)

【知識梳理】

(1)勾股定理有哪些方面的應用，本節(jié)課學習了勾股定理哪幾方面的應用？

(2)你能說說勾股定理求線段長的基本思路嗎？

(3)本節(jié)課體現(xiàn)出哪些數(shù)學思想方法？

【隨堂練習】

1.填空題

⑴在RtAABC,ZC=90°,a=8,b=15,貝Ic=。

⑵.在RtZ\ABC,ZB=90°,a=3,b=4,則c=。

⑶在RtZ\ABC,ZC=90",c=10,a：b=3：4,貝Ua=,b=。

(4)已知直角三角形的兩邊長分別為3cm和5cm,,則第三邊長為

2.己知等腰三角形腰長是10,底邊長是16,求這個等腰三角形面積。

C

△

3.已知直角三角形的兩邊長分別為5和12,求第三邊。

AD

4.己，知：如圖，等邊4ABC的邊長是6cm。

⑴求等邊AABC的高。⑵求SAAK。

第十七章勾股定理

17.2勾股定理的逆定理（1）

【教學目標】

知識與技能

體會勾股定理的逆定理得出過程，掌握勾股定理的逆定理。

過程與方法

探究勾股定理的逆定理的證明方法。

情感、態(tài)度與價值觀

理解原命題、逆命題、逆定理的概念及關(guān)系。

【教學重難點】

重點：掌握勾股定理的逆定理及簡單應用。

難點：勾股定理的逆定理的證明。

【導學過程】

L知識回顧】

回憶勾股定理的內(nèi)容.

題設(shè)（條件）：________________

結(jié)論：a2+Z?2=c2

【新知探究】

探究一、據(jù)說，古埃及人曾用下面的方法畫直角：把一根長繩打上等距離的13.個結(jié)，然

后以3個結(jié)間距，4個結(jié)間距、5個結(jié)間距的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中

一個角便是直角.你認為結(jié)論正確嗎？

1.如果三角形的三邊分別為3,4,5,這些數(shù)滿足關(guān)系：32+42=52,圍成的三角形是直角三

角形.

2.動手畫一畫：下列各組數(shù)中的兩數(shù)平方和等于第三.數(shù)的平方，分別以這些數(shù)為邊長畫

出三角形（單位：cm）,它們是直角三角形嗎？

①25,6,6.5；.②4,7.5,8.5.

探究二、如圖17.2-2若△力回的三邊長〃、b、C滿足a?+b2=C2,試證明△4%'是

直角三角形，請簡要地寫出證明過程.

1.此定理與勾股定理之間有怎樣的關(guān)系？

(1)什么叫互為逆命題

(2)什么叫互為逆定理

(3)任何一個命題都有，但任何一個定理未必都有

2.說出下列命題的逆命題。這些命題的逆命題成立嗎？

兩直線平行，內(nèi)錯角相等；

如果兩個實數(shù)相等，那么它們的絕對值相等；

全等三角形的對應角相等；

角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上。

探究三、例1:判斷由線段。、8、。組成的三角形是不是直角三角形：

(1)。=15,人=8,。=17；(2)Q=13,/?=14,。=15.

(3)〃=71=24,。=25；(4)Q=1.5,b=2,c=2.5；

2.如果三條線段長a,b,c滿足a?=c2-b2,這三條線段組成的三角形是不是直角三角

形？為什么？

3.A,B,C三地的兩兩距離如圖所示，A地在B地的正東方向,C地在B地的什么方向？

4.思考：我們知道3、4、5是一組勾股數(shù)，那么3k、4k、5k(k是正整數(shù))也是一組勾股數(shù)

嗎？一般地，如果a、b、c是一組勾股數(shù)，那么ak、bk、ck(k是正整數(shù))也是一組勾股數(shù)

嗎？請寫出你所知道的幾組勾股數(shù)。

【知識梳理】

(1)勾股定理的逆定理的內(nèi)容是什么？它有什么作用？

(2)本節(jié)課我們學習了原命題，逆命題等知識，你能說出它們之間的關(guān)系嗎？

(3)在探究勾股定理的逆定理的過程中，我們經(jīng)歷了哪些過程？

【隨堂練習】

1.下列各命題都成立，寫出它們的逆命題，這些逆命題成立嗎？

(1)內(nèi)錯角相等，兩直線平行；

(2)對頂角相等；

(3)全等三角形的對應角相等；

(4)如果兩個實數(shù)相等，那么它們的絕對值相等.

2.以下列數(shù)組為三角形的邊長：(1)5,12,13；(2)10,12,13；(3)7,24,25；(4)

6,8,10,其中能構(gòu)成直角三角形的有()

A.4組B.3組C.2組D.1組

3.五根小木棒,其長度分別為7,15,20,24,25,現(xiàn)將它們擺成兩個直角三角形，如圖,

其中正確的是（）

A.如果三角形三個角的度數(shù)比是3：4：5,那么這個三角形是直角三角形

B.如果直角三角形兩直角邊的長分別為a和b,那么斜邊的長為才+1?

C.若三角形三邊長的比為1：2：3,則這個三角形是直角三角形

D..如果直角三角形兩直角邊分別為a和b,斜邊為c,那么斜邊上的高h的長為一

C

第十七章勾股定理

17.2勾股定理的逆定理（2）

【教學目標】

知識與技能

1.進一步掌握勾股定理的逆定理，

2能應用勾股定理的逆定理解決簡單的實際問題

過程與方法

在不同條件、不同環(huán)境中反復運用定理，達到熟練使用，靈活運用的程度。

情感、態(tài)度與價值觀

培養(yǎng)數(shù)學思維以及合情推理意識，感悟勾股定理和逆定理的應用價值。

【教學重難點】

重點：勾股定理的逆定理及其應用

難點：勾股定理的逆定理的應用

【導學過程】

【知識回顧】

回憶勾股定理的逆定理

【新知探究】

探究一、例1.“遠航”號?、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠

航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里，它們離開港口一個半小時后相

距30海里.如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？

探究二、

例2.如圖，小明的爸爸在魚池邊開了一塊四邊形土地種了一些蔬菜，爸爸讓小明計算一下

土地的面積，以便計算一下產(chǎn)量。小明找了一卷米尺，測得AB=4米，BC=3米，CD=13米，

DA=12米,又已知/B=90°o

【知識梳理】

通過本節(jié)課的學習，我們更加明確了勾股定理及其逆定理的用途k\

及用法，你能說說嗎？\

［隨堂練習］

1.小強在操場上向東走80m后，又走了60m,再走100m回到原地。A

小強在操場上向東走了80m后，又走60m的方向

是O