新課標(biāo)1、2卷立體幾何高考題含答案

精選新課標(biāo)1、2卷立體幾何高

考題含答案

(2023-2023)20231118

全國卷高考題(立體幾

何）20231118

學(xué)號

姓名

2023新課標(biāo)2卷

18.(本小題總分值12分)

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形,

PA_L平面ABCD,E為PD的中點.

(I)證明：PB〃平面AEC；

(II)設(shè)二面角D-AE-C為60。，AP=LAD=?

求三棱錐E-ACD的體積.

2

2023新課標(biāo)2卷

如圖，長方體ABC?！狝gCQ中,A8=16,/\/

BC=10,A4=8,點E,E分別在4g,C[D[―Iz

上，AE=￡>IF=4.過點E,b的平面a與;/n

〃/

此長方體的面相交，交線圍成一個--------1;

正方形.

(I)在圖中畫出這個正方形(不必說出畫法和

理由)；

(II)求直線心與平面a所成角的正弦值.

3

2023新課標(biāo)2卷

18.(2023課標(biāo)全國D,理18)(本小題總分值

12分)如圖，直三棱柱四。一43G中，D,總分別

是AB,能的中點，AAI=AC=CB=*B.

(1)證明：園〃平面4曲

(2)求二面角4。一總的正弦值.

4

2023新課標(biāo)1卷

18.（2023課標(biāo)全國I,理18）（本c，

小題總分值12分汝口圖，三棱柱/v1

ABC-AiBiCi中，CA=Cb,A3/\

=AAi,ZBAAi=60°.工1噸

4

⑴證明：AB±AiC；

（2）假設(shè)平面ABC_L平面AAiBiB9AB=CBf

求直線AiC與平面BBiCiC所成角的正弦值.

5

2023新課標(biāo)1卷

19.(本小題總分值12分)如圖三

棱錐ABC—AgG，11,

側(cè)面因GC為菱形,ABLB}C.

(I)證明：AC=Ag；

(II)假設(shè)AC_LAg,ZCBB}=60°,AB=Bc,求二面角

A-A4-c的余弦值.

6

2023新課標(biāo)1卷

(18)如圖，，四邊形ABCD為菱形，ZABC=120°,E,F是平面ABCD同一側(cè)的

兩點，BEJL平面ABCD,DF_L平面ABCD,BE=2DF,

小、

AE±ECo/\F

(1)證明：平面AEC_L平面AFC/x.

(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值'弋二二-一＞^

2023新課標(biāo)2卷

如圖，菱形ABCD的對角線AC與80交于點0,

AB=5,AC=6，點E,F分別在AD,CD上,

AE^CF=-fEF交BD于點H,將AO沿

EE折到ADEb位置，0。=所.

(I)證明：姐_L平面ABCD；

(ID求二面角B-D'A-C的正弦值.

7

2023新課標(biāo)1卷

如圖，在已2,B,C,D,E,尸為頂點的五面體

中，面ABEF為正方形，

AF^2FD,ZAFD=90f且二面

角D-AF^E與二面角

C-BE-F都是60.

(I)證明；平面ABER平面EFDG

(II)求二面角比冊2的余弦值.

8

答案:

2023新課標(biāo)2卷

(18)解：

(I)連接BD交AC于點O,連結(jié)EO。

因為ABCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點。

又E為PD的中點，所以EO〃PB。

EOu平面AEC,PB.平面AEC,所以

PB〃平面AEC.

(II)因為PA,平面ABCD,ABCD為矩形，/力/一

所以AB,AD,AP兩兩垂直。/，,y:笑導(dǎo)才

如圖，以A為坐標(biāo)原點，,月的方向為x/—I二------

軸的正方向，|麗|為單位長，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,那么

0((),百,0),E(0±

2

9

設(shè)伏，〃,0,0)(m80),那么c(/n,G,O),AC=(〃?,G,O)。

設(shè)4=(x,y,z)為平面ACE的法向量，

inx+=0,

小"=0,即

那么V31

鹿1?AE=0,——y+—z=0,

I2-2

可取小

又〃2=。,0,0)為平面DAE的法向量，

由題設(shè)卜05〈勺,々)|=；,即

0^4解得〃?=(

因為E為PD的中點，所以三棱錐￡-AC。的高為

2

三菱錐E-AC￡>的體積

V11631G

V=-x—x>/3x—x—=.

32228

2023新課標(biāo)2卷

(I)交線圍成的正方形EHGF如圖：

(II)作A.AB,垂足為M，那么AM==

EM=A4t=8,因為EHGF為正方形，所以

22

EH=EF=BC=10.于是MH=y/EH-EM=6,所

以AH=10.以。為坐標(biāo)原點，方的方向

為x軸的正方向，建立如下圖的空間/

直角坐標(biāo)系D-xyz,那么4(10,0,0),77(10,10,0),￡(10,4,8),

F(0,4,8)9FE=(10,0,0)>HE=(0,-6,8)?=(x,y,z)是平面EHGF

io

的法向量，那么上色支即段u,所以可取

n-HE=O,1-6y+8z=0,

[=(0,4,3)?又麗=(—10,4,8),故卜os<，/>|=^^[=至?所

11|n|-|AF|15

以直線心與平面a所成角的正弦值為售.

考點：1、直線和平面平行的性質(zhì)；2、直線和平

面所成的角.

2023新課標(biāo)2卷

解：(1)連結(jié)ZG交4。于點月

那么分為ZG中點.

又〃是四中點，連結(jié)以，那

么BCJ/DF.

因為所u平面4s陽0平面

A@,

所以因〃平面ABD.

⑵由4=龍=圣8得，ACX.BQ

以。為坐標(biāo)原點，回的方向為x軸正方向，建立

如下圖的空間直角坐標(biāo)系C-xyz.

設(shè)CA=2,那么設(shè)1,1,0),E(0,2,1),4(2,0,2),

CD=(1,1,0),CE=(0,2,1),CA=(2,0,2).

設(shè)〃=(為，％,Zi)是平面的法向量，

11

那么卜金=。，即行+乂=。，

[n-CA[=0,[2x]+2z}=0.

可取〃=(1,—1,—1).

同理，設(shè)山是平面4位的法向量，

那么卜里二°,可取刃=(2,L-2).

m?CA,=0,

從而COS<27,jn)=/4=近，

InIIm|3

故sin5,m)=冷.

即二面角片4。一月的正弦值為名

2023新課標(biāo)1卷

(1)證明：取A3的中點Q連結(jié)OC,OAi,

AiB.

因為CA=CBf所以

OC±AB.

由于AB=AAi,N

BAAi=60°,

故△AAib為等邊三

角形，

所以Q4i_LA氏

因為0。0。41=0,所以平面。AC.

又AiCu平面O41C,故Ab_LAC.

(2)解：由(1)知0C_LA5,OAi±AB.

又平面ABCJ?平面441515,交線為Ab,

所以O(shè)CJ■平面AAiBiB,

故。4,OAi,OC兩兩相互垂直.

12

以。為坐標(biāo)原點，礪的方向為X軸的正方向，

同|為單位長，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系0

-xyz.

由題設(shè)知4(1,0,0),4(0,73,0),C(0,0,6),

那么心=(1,0,6),函=涵=(—1,石，0),

AC=(0,-'V3).

設(shè)〃=(x,j,力是平面笈31GC的法向量，

那么卜嗎=0,即1+岳=0,可取n=m,1,-

n?BBX-0,-x+6y-0.

1)._

故cos<w,而〉=架5=-粵.

H|AC|5

所以AC與平面331GC所成角的正弦值為

Vio

了.

2023新課標(biāo)1卷

(I)連結(jié)BG，交8c于O,連結(jié)AO.因為側(cè)面BB￡C

為菱形，所以B?1Bq,且O為

4C與5G的中點.又AB1B￡,所以

B,C1平面ABO，故B.CLAO

又B0=CO，故AC=A耳

(ID因為AC±AB.且O為B.C的中點，所以

AO=CO又因為AB=BC，所以ABOA勺A8OC

13

故OAJ_OB,從而OA,OB,04兩兩互相垂

直.

以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB的方向為x軸正方向，

OB為單位長，建立如下圖空間直角坐標(biāo)系

O-xyz.因為ZCBB,=60°f所以ACBB]為等邊三角形.又

AB=BC,那么

((行、(八、

A0,0,^-,8(1,0,0),4。，芋0，C0，-芋。

[(),￡-￡],麗=麗=

設(shè)展(“Z)是平面的法向量，那么

所以可取心(1,也⑹

設(shè)而是平面的法向量，那么嚴(yán)任=°,同理可取

[〃?.G=o

那么cos值沖=舒4,所以二面角A-M—C的余弦值

2023新課標(biāo)1卷

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試題解析：（I）連接BD,設(shè)BDAAC=G,連接EG,FG,EF,在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB=1,由

ZABC=120°,可得AG=GC=④.

由BE1平面ABCD,AB=BC可知，AE=EC,

X'."AElEC,；.EG=?EG1AC,

在RtZXEBG中，可得BE=啦，故DF=—.

2

在RtAFDG中，可得FG=述.

2

在直角梯形BDFE中，由Bg,BE",DF哼可得EF考,

EG2+FG2=EF2,:.EGXFG,

VACnFG=G,...EGJ_平面AFC,

TEGu面AEC,；.平面AFC,平面AEC....6分

（ID如圖，以G為坐標(biāo)原點，分別以赤，前的方向為x軸，y軸正方向，|的

為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系G“yz,由（I）可得A（0,一6，0）,E（l,0,

行)，F(xiàn)(-1,0,—),C[0,G,0),AAE=(1,8，后)，CF=(-1,

2

-百，爭.T0分

AE?CFG

故cos<AE.CF〉=__________—_____

~\AE\\CF\~3

所以直線AE與CF所成的角的余弦值為字……12分

考點：空間垂直判定與性質(zhì)；異面直線所成角的

計算；空間想象能力，推理論證能力

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2023新課標(biāo)2卷

(D證明：VAE=CF^,

4

??EF//AC.

,**四邊形ABCD

??AC1BD,

???

??EF1BD9??EFLDH9??EFLD'H.

?AC=69??AO=35

又A8=5，AOA.OB9OB=4,

?A[7

??OH=——OD=]9

AO

??DH=D,H=39

?\|OZ)f=|o川2+|D'/7|29

??D'HLOH.

又「IEF=H9

￡>'"_1面ABCD.

⑵建立如圖坐標(biāo)系〃5Z.

8(5,0,0),C(l,3,0),D'(O,0,3),A(l,-3,0),

uuuuuuuuu

48=(4,3,0),m=(-l,3,3"AC=(0,6,0),

設(shè)面am法向量I=(x,y,z),

x=3

%-AB=04HJ4x+3y=()

由取y=-49

，.而=01-x+3y+3z=09

z=5

16

?u

??%=(3,-4,5).

同理可得面AD,C的法向量黑（3,。,1”

|9+5|775

5萬屈-25

J2返

25

2023新課標(biāo)1卷

【解析】

(1),**ABEF為正方形

?

??AF.LEF

YZAFD=90°

?\AFLDF

??

?DF^EF=F

AF±面EFDCAF±面ABEF

???平面ABEF上平面EFDC

(2)由(1)知ZDFE=ZCEF=6O°

AB//EF

ABU平面EFDC

Mu平面EFDC

；?A