線性代數(shù)經(jīng)管類教材

第二章矩陣矩陣是線性代數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的基本概念和數(shù)學(xué)工具，是研究和求解線性方程組的一個(gè)十分有效的工具；矩陣在數(shù)學(xué)與其他自然科學(xué)、工程技術(shù)中，以及經(jīng)濟(jì)研究和經(jīng)濟(jì)工作中處理線性經(jīng)濟(jì)模型時(shí)，也都是一個(gè)十分重要的工具.本章討論矩陣的加法、減法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置、逆運(yùn)算、初等變換等問(wèn)題.§2.1

矩陣的概念一、線性方程組的概念含有n個(gè)未知量的線性方程組稱為n元線性方程組，它的一般形式為：（1）其中是未知量，是系數(shù)，是常數(shù)當(dāng)(1)式中不全為0時(shí)，稱為非齊次線性方程組；當(dāng)(1)式中時(shí)，稱為齊次線性方程組；線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)按原位置可排為增廣矩陣系數(shù)矩陣

由個(gè)數(shù)排成的行列的數(shù)表稱為矩陣.簡(jiǎn)稱矩陣.記作二、矩陣的概念注:矩陣是數(shù)表，行、列數(shù)不一定相等.

行列式是數(shù)，行數(shù)和列數(shù)相等.主對(duì)角線次對(duì)角線當(dāng)m=n時(shí)，A稱為n階矩陣或n階方陣當(dāng)m=1時(shí)，稱為行矩陣（向量）當(dāng)n=1時(shí)，稱為列矩陣（列向量）

元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣記作或

.例如是一個(gè)矩陣,是一個(gè)矩陣,是一個(gè)矩陣,是一個(gè)矩陣,是一個(gè)矩陣.三、幾種常見(jiàn)的特殊方陣1、n階上三角矩陣2、n階下三角矩陣3、n階對(duì)角矩陣不全為04、數(shù)量矩陣：主對(duì)角線上元素都相等的對(duì)角矩陣.5、單位矩陣：主對(duì)角線上元素都是1的對(duì)角矩陣.§2.2

矩陣運(yùn)算一、同型矩陣與矩陣相等同型矩陣：行數(shù)和列數(shù)分別相等的矩陣.矩陣相等：對(duì)應(yīng)元素相等的同型矩陣.記為：A=B例例1設(shè)解二、矩陣的加法和減法1.加法注：矩陣的加法、減法只能在兩個(gè)同型矩陣之間進(jìn)行；兩個(gè)矩陣相加（減）時(shí)，對(duì)應(yīng)元素進(jìn)行相加（減）.設(shè)矩陣A=(aij)

，記

A=(

aij)，稱

A為矩陣A的負(fù)矩陣.

由矩陣加法的定義，顯然有A+(

A)=O，由此，矩陣的減法可定義為Ａ

B=Ａ+(

B)

設(shè)A

(aij)m

n

B

(bij)m

n是兩個(gè)m

n矩陣

規(guī)定

A

B

(aij

bij

)m

n

設(shè)A

(aij)m

n

B

(bij)m

n是兩個(gè)m

n矩陣

規(guī)定

A

B

(aij

bij

)m

n

2.減法

設(shè)A

B

C

O都是m

n矩陣

則(1)A

B

B

A

(2)(A

B)

C

A

(B

C)

(3)A

O

A

(4)A

(

A)

O

3.矩陣加法的運(yùn)算律：三、數(shù)乘運(yùn)算

設(shè)A

(aij)m

n

k為任意一個(gè)數(shù)

規(guī)定

kA

(kaij)m

n

注：矩陣的數(shù)乘仍然是一個(gè)與原矩陣同型的矩陣，并且，是用數(shù)k與矩陣的每一個(gè)元素相乘.(1)

(A

B)

A

B

(2)(

)A

A

A

(3)(

)A

(

A)

由數(shù)乘矩陣運(yùn)算的定義可知：數(shù)量矩陣aEn就是數(shù)a與單位矩陣En的乘積.矩陣數(shù)乘的運(yùn)算律：

設(shè)

是數(shù)

則例1已知求2A-3B.例2已知且A+2X=B,求X.四、乘法運(yùn)算設(shè)矩陣A=(aij)

m×k

、B=(bij)

k×n

，則矩陣A與B的乘積為一m×n

階矩陣C=(cij)

m×n，記C=AB，且

就是說(shuō)，矩陣C的第i行第j列的元素等于矩陣A的第i行的所有元素與矩陣B的第j列的對(duì)應(yīng)元素的乘積之和。設(shè)例3求：C=AB.解：注意只有當(dāng)左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘.BA沒(méi)有意義

因?yàn)锽的列數(shù)不等于A的行數(shù)

例4設(shè)矩陣求：AB、BA和AC.可以看出(1)AB

BA

(2)由AB

O不能推出

A

O或B

O

(3)由AB

AC、A

O不能推出B=C.解:總結(jié)：一般而言，矩陣乘法不滿足交換律和消去律、兩個(gè)非零矩陣的乘積可能是零矩陣.

定義：如果矩陣A與B滿足AB

BA

則稱A與B可交換

此時(shí)A與B必為同階方陣.AE=EA=A，n階單位矩陣與所有n階方陣可交換.矩陣的乘法的運(yùn)算律(1)矩陣乘法結(jié)合律：(AB)C

A(BC)

(2)分配律：(A

B)C

AC

BC

C(A

B)

CA

CB；(3)數(shù)乘結(jié)合律k(AB)

(kA)B

A(kB)

(4)EmAm

n

=Am

n;Am

nEn=Am

n.

例5

證明

如果CA

AC

CB

BC

則有(A

B)C

C(A

B)

(AB)C

C(AB)

1、設(shè)練習(xí)題求：C=AB.2、計(jì)算3、計(jì)算1解:故2解:3解:方陣的冪的性質(zhì):k、l為任意正整數(shù)

(1)AkAl

Ak

l

(2)

(Ak)l

Akl

因?yàn)榫仃嚦朔ú粷M足交換律：五、方陣的冪稱Am為矩陣A的m次冪.設(shè)A是n階方陣，定義：例6設(shè)矩陣求Am,其中m是正整數(shù).解:結(jié)論:對(duì)角矩陣的冪歸結(jié)為主對(duì)角線上每個(gè)元素分別求冪.六、矩陣的轉(zhuǎn)置

定義：將m

n矩陣A的行與列互換

得到的n

m矩陣

稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣

記為AT或A

即如果例轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算規(guī)律例7設(shè)求：對(duì)稱矩陣與反對(duì)稱矩陣：設(shè)A為n階方陣，若AT=A，即aij

=aji

(i,j=1,2,…,n)，稱矩陣A為對(duì)稱矩陣；若AT=

A，即aij

=

aji

(i,j=1,2,…,n)，稱矩陣A為反對(duì)稱矩陣.四階對(duì)稱矩陣四階反對(duì)稱矩陣?yán)?：設(shè)A為n階對(duì)稱矩陣，證明：對(duì)于任意n階方陣P,PTAP必為對(duì)稱矩陣.如果已知PTAP為n階對(duì)稱矩陣，問(wèn)A是否必為對(duì)稱矩陣？證明：因?yàn)锳為對(duì)稱矩陣，必有AT=A,則=PTAP(PTAP)T=PTATP所以PTAP為對(duì)稱矩陣.但是矩陣乘法不滿足消去律，在矩陣等式兩邊，未必能把PT和P消去，所以不能推出AT=A，A未必是對(duì)稱矩陣.反之，如果PTAP為對(duì)稱矩陣：則有(PTAP)T=PTAP，PTATP=PTAP,注意：行列式和方陣是兩個(gè)不同的概念，且它們的記號(hào)是不同的.七、方陣的行列式定義由階方陣的元素按原來(lái)的順序構(gòu)成的行列式，叫做方陣的行列式，記作或運(yùn)算規(guī)律八、方陣多項(xiàng)式例8設(shè),求f(A).九、小結(jié)矩陣運(yùn)算加法、減法數(shù)與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘矩陣的冪方陣的行列式矩陣的轉(zhuǎn)置

（2）只有當(dāng)左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘,且矩陣相乘不滿足交換律.

（1）只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.注意

（3）矩陣的數(shù)乘運(yùn)算與行列式的數(shù)乘運(yùn)算不同.§2.3方陣的逆矩陣一、逆矩陣的定義二、矩陣可逆的充要條件三、逆矩陣的性質(zhì)1、只有方陣才有逆矩陣；

3、如果矩陣A可逆

則A的逆矩陣是唯一的

注意

設(shè)A是一個(gè)n階方陣

若存在一個(gè)n階方陣B

使得

AB

BA

En

(1)則稱A是可逆矩陣（或非奇異矩陣）并稱方陣B為A的逆矩陣

記為A

1，即A

1=B,若滿足（1）式的方陣B不存在，則稱A為不可逆矩陣（或奇異矩陣）.定義2

3.1(逆矩陣)一、逆矩陣的定義2、由AB

BA

En可得矩陣A和B互為逆矩陣；4、定理2

1(矩陣可逆的充要條件)

n階方陣A

(aij)為可逆矩陣的充要條件是|A|≠0

且二、矩陣可逆的充要條件伴隨矩陣法例1求矩陣的伴隨矩陣解：

結(jié)論：

2階方陣求伴隨矩陣，主對(duì)角線上元素交換位置，次對(duì)角線上元素取反.例2求矩陣的逆矩陣?yán)?求矩陣的逆矩陣A-1.

結(jié)論：1、對(duì)角矩陣的逆歸結(jié)為主對(duì)角線上每個(gè)元素來(lái)求逆（倒數(shù)）.2、當(dāng)n≥3時(shí)，用伴隨矩陣求逆矩陣計(jì)算量很大，特別是當(dāng)n≥4時(shí)，不宜用伴隨矩陣法來(lái)求逆矩陣.在§2.5

節(jié)中會(huì)介紹用初等變換求逆矩陣的方法.推論：對(duì)于n階方陣A、B若有AB=E，則：A、B均可逆，且它們互為可逆矩陣.證明：∵AB=E∴|A||B|=1

故

|A|≠0且|B|≠0，A、B均可逆，且A－1=B，B－1=A.

例4設(shè)n階方陣A滿足，求A、A-En和A+2En的逆矩陣.這一結(jié)論說(shuō)明

如果要驗(yàn)證矩陣B是矩陣A的逆矩陣

只要驗(yàn)證一個(gè)等式AB

E或BA

E即可

三、逆矩陣的性質(zhì)

(1)若A可逆

則A

1也可逆

且(A

1)

1

A

逆矩陣的性質(zhì)

(4)可逆矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣AT是可逆矩陣

且(AT

)

1

(A

1)T

(2)兩個(gè)同階可逆矩陣A、B的乘積是可逆矩陣

且

(AB)

1

B1A1

(3)若A可逆,k是不為零的常數(shù)，則kA也可逆，且

(5)當(dāng)P可逆時(shí)，(6)A為n階可逆矩陣，k為任意正整數(shù).例5設(shè)A為n階方陣，證明：例6設(shè)A為三階方陣且，求：

練習(xí)題：P54第8題一、矩陣的初等變換的定義二、用初等行變換求可逆矩陣的逆矩陣三、用矩陣的初等變換求解矩陣方程§2.5矩陣的初等變換注意：矩陣的初等變換與行列式的計(jì)算有本質(zhì)區(qū)別.計(jì)算行列式是求值過(guò)程，前后用等號(hào)連接.對(duì)矩陣施初等變換則是變換過(guò)程，變換前后的兩個(gè)矩陣不相等，因此，用箭頭“→”連接變換前后的矩陣，而且不需要將矩陣改號(hào)或提取公因數(shù).定義1(矩陣的初等變換)

對(duì)矩陣施以下三種行(列)變換

稱為矩陣的初等行(列)變換

(1)交換矩陣的兩行(列)

(2)以數(shù)非零的數(shù)k乘矩陣的某一行(列)

(3)把矩陣的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上

一、矩陣的初等變換的定義定義2(等價(jià)矩陣)

若矩陣A經(jīng)過(guò)若干次初等變換變成矩陣B,則稱A與B等價(jià).記為：

矩陣之間的等價(jià)關(guān)系有以下三條性質(zhì)：

(1)反身性：

(2)對(duì)稱性：則

(3)傳遞性：則定義3(行階梯形矩陣)

滿足下列兩個(gè)條件的矩陣稱為行階梯形矩陣：（1）如果存在零行（元素全為零的行），則零行應(yīng)位于非零行（元素不全為零的行）的下方；

（2）各非零行中從左至右第一個(gè)非零元（稱為主元）下方的元素全為零?！獭倘魏我粋€(gè)矩陣都能經(jīng)過(guò)矩陣的初等行變換化成行階梯形矩陣。定義4(行最簡(jiǎn)形矩陣)

若階梯形矩陣進(jìn)一步滿足如下兩個(gè)條件，稱為行最簡(jiǎn)形矩陣：（1）各行主元都是1；（2）主元所在列的其他元素都是0。例1將矩陣A化為階梯形矩陣思想：例2求

的逆矩陣.

二、用初等行變換求可逆矩陣的逆矩陣三、用矩陣的初等變換求解矩陣方程例3求解矩陣方程：練習(xí)題：

§2.6矩陣的秩一、矩陣秩的概念二、矩陣秩的計(jì)算定義1(k階子式)

在m

n矩陣A中

任取k行k列(k

min(m,n))

位于這些行和列的相交處的元素按照原來(lái)的次序所構(gòu)成的k階行列式

稱為矩陣A的一個(gè)k階子式

值不為零的子式稱為非零子式.在m

n矩陣A中

k階子式的總個(gè)數(shù)為定義2(矩陣的秩)

在m

n矩陣A中

非零子式的最高階數(shù)稱為A的秩，記作r(A)或秩(A)

當(dāng)A

O時(shí)

規(guī)定r(A)

0

一、矩陣的秩的概念結(jié)論：階梯形矩陣的秩等于它的非零行數(shù).二、矩陣秩的計(jì)算定理：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩.

例1求下列矩陣的秩定義3(滿秩矩陣)設(shè)A是n階方陣，若r(A)=n,則稱A為滿秩矩陣.關(guān)于矩陣的秩，有以下結(jié)論：

(1)r(A)

r(AT)

(2)對(duì)于m

n矩陣A

有0

r(A)

min(m,n)

(3)(4)§2.7矩陣與線性方程組非齊次線性方程組

非齊次線性方程組的一般形式為其矩陣形式為Ax

b

其中A稱為方程組的系數(shù)矩陣

我們把矩陣稱為線性方程組Ax

b的增廣矩陣

解

方程組的解為x1

7

x2

1

x3

2

①②②-3①③+①③-2②②-2③①-4③①+2②用消元法解線性方程組的過(guò)程

實(shí)質(zhì)上就是對(duì)該方程組的增廣矩陣施以初等行變換化成最簡(jiǎn)形矩陣的過(guò)程

用初等行變換法解例1的過(guò)程是

解

(階梯形矩陣)①②②-3①③+①①+2②②-2③①-4③③-2②最后一個(gè)矩陣稱為行簡(jiǎn)化階梯形矩陣

用初等行變換法解例1的過(guò)程是

解

這就是方程組的解

它對(duì)應(yīng)的方程組為

解

由行最簡(jiǎn)形矩陣得這就是方程組的同解方程組

其中x3與x4可取任意值

稱為自由未知量。這種解稱為方程組的一般解

因?yàn)樽杂晌粗靠梢匀我馊≈倒史匠探M有無(wú)窮多個(gè)解

解

因?yàn)樽詈笠粋€(gè)矩陣的最后一行對(duì)應(yīng)的方程是“0

x4

2”

此等式不論各未知量取什么值都不可能成立

故方程組是無(wú)解的

在例1中

n

3

r(A

b)

r(A)

3

方程組有唯一解

在例2中

n

4

r(A

b)

r(A)

2<4

方程組有無(wú)窮多解

在