2024-2025學(xué)年度北師版九上數(shù)學(xué)4.4探索三角形相似的條件（第一課時(shí)）【課件】

第四章圖形的相似4探索三角形相似的條件（第一課時(shí)）數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊BS版課前預(yù)習(xí)典例講練目錄CONTENTS課前導(dǎo)入數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊BS版01課前預(yù)習(xí)1.相似三角形的定義.

分別相等、

?成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.2.相似三角形的性質(zhì).相似三角形的對(duì)應(yīng)角

，對(duì)應(yīng)邊

?.3.相似三角形的判定定理一.

角分別相等的兩個(gè)三角形相似.三內(nèi)角

三邊

相等

成比例

兩內(nèi)角

數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊BS版02課前導(dǎo)入問題1這兩個(gè)三角形有什么關(guān)系？觀察與思考全等三角形

那這樣變化一下呢？相似三角形相似三角形定義：我們把三角分別相等、三邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.對(duì)應(yīng)角……？對(duì)應(yīng)邊……？問題2

根據(jù)相似多邊形的定義，你能說說什么叫相似三角形嗎？全等是一種特殊的相似定義

判定方法全等三角形相似三角形三角、三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等三角對(duì)應(yīng)相等，三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似角邊角ASA角角邊AAS邊邊邊SSS邊角邊SAS斜邊、直角邊HL問題3三角形全等的性質(zhì)和判定方法有哪些？需要三個(gè)等量條件思考

全等是一種特殊的相似，那你猜想一下，判定兩個(gè)三角形相似需要幾個(gè)條件？

學(xué)校舉辦活動(dòng)，需要三個(gè)內(nèi)角分別為90°，60°，30°

的形狀相同、大小不同的角紙板若干.小明手上的測量工具只有一個(gè)量角器，他該怎么做呢？情境引入？？？問題1

度量AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′的長，并計(jì)算出它們的比值.你有什么發(fā)現(xiàn)？CABA'B'C'兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似合作探究與同伴合作，一人畫△ABC，另一人畫△A′B′C′，使∠A=∠A′，∠B=∠B′，探究下列問題：這兩個(gè)三角形是相似的證明：在△ABC的邊AB（或AB的延長線）上，截取AD=A′B′，過點(diǎn)D作DE//BC，交AC于點(diǎn)E，則有

△ADE∽△ABC，∠ADE=∠B.∵∠B=∠B′，∴∠ADE=∠B′.又∵

AD=A′B′，∠A=∠A′，∴△ADE≌△A′B′C′.∴△A′B′C′∽△ABC.CAA'BB'C'DE問題2

試證明

△A′B′C′∽△ABC.由此得到利用兩組角判定兩個(gè)三角形相似的定理：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴△ABC∽△A'B'C'.符號(hào)語言：CABA'B'C'歸納：數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊BS版03典例講練

（1）如圖，在△ABC中，CE⊥AB，垂足為E，BD⊥AC，垂足為D，CE與BD交于點(diǎn)F，則圖中與△ABD相似的三角形有

?.△FBE，△ACE，△FCD

【解析】∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠

AEC＝∠ADB＝90°，∠BEF＝∠CDF＝90°.∵∠ABD＝∠FBE，∠ADB＝∠FEB，∴△ABD∽△FBE.

∵∠

A＝∠A，∠ADB＝∠AEC，∴△ABD∽△ACE.

∵∠

ACE＝∠FCD，∠AEC＝∠FDC，∴△ACE∽△FCD.

∴△ABD∽△FBE∽△ACE∽△FCD.

故答案為△FBE，△ACE，

△FCD.

【點(diǎn)撥】利用兩角判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，關(guān)鍵是在圖中找相

等的角.同時(shí)，需要注意公共角這一隱含的條件，如此題中∠

ABD＝∠FBE.

常見的隱含條件還有直角相等，對(duì)頂角相等.（2）如圖，已知∠1＝∠2，添加一個(gè)條件：

?（填一個(gè)即可），使△ABC∽△ADE成立.∠B＝∠D（或

∠C＝∠AED）

【解析】∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，即∠BAC＝∠DAE.

由∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE可得，△

ABC∽△ADE.

同理，由∠C＝∠AED，∠BAC＝∠DAE，可得△ABC∽△ADE.

故答案為∠B＝∠D（或∠C＝∠AED）.【點(diǎn)撥】對(duì)于此類開放性問題，先看結(jié)論，再找條件，關(guān)鍵是根據(jù)結(jié)論去找兩對(duì)等角.找相等角的技巧是“對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)角相等”，如：根據(jù)△ABC∽△ADE，“A”與“A”對(duì)應(yīng)，那么一定有∠

BAC＝∠DAE.

1.如圖，點(diǎn)E是?ABCD的邊BC的延長線上一點(diǎn)，連接AE交

CD于點(diǎn)F，則圖中共有相似三角形（

B

）A.4對(duì)B.3對(duì)C.2對(duì)D.1對(duì)（第1題圖）B2.如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D在AC上（點(diǎn)D

不與A，C兩點(diǎn)重合）.再添加一個(gè)條件：

?（填一個(gè)即可），就可證出△ABD∽△ACB.

（第2題圖）∠ABD＝∠C（或∠ADB＝∠

ABC

）

如圖，在正方形ABCD中，已知點(diǎn)M為BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F是AM

的中點(diǎn)，EF⊥AM，垂足為F，交AD的延長線于點(diǎn)E，交DC

于點(diǎn)N.

（1）求證：△ABM∽△EFA；（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的長.（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠

B＝90°，AD∥BC.

∴∠AMB＝∠EAF.

∵

EF⊥AM，∴∠

AFE＝90°.∴∠

B＝∠AFE＝90°.∴△ABM∽△EFA.

解得AE＝16.9.∴

DE＝AE－AD＝4.9.【點(diǎn)撥】在兩個(gè)三角形中找兩組相等的角，是證明兩個(gè)三角形相似的基本方法.（1）∠EAF＝∠B；如圖，已知AB∥CD，AD，BC相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F為EC上一點(diǎn)，且∠EAF＝∠C.

求證：證明：（1）∵AB∥CD，∴∠

B＝∠C.

又∵∠EAF＝∠C，∴∠

EAF＝∠B.

（2）AF2＝EF·FB.

如圖，

在Rt△ABC

中，已知∠BAC＝90°，

AD⊥BC于點(diǎn)D.

（1）求證：AD2＝BD·CD；（2）若BD＝30，CD＝20，求AB與AC的長.

（2）由本題的圖形結(jié)構(gòu)可以得到三個(gè)重要等積式（俗稱射影定理）：①AD2＝BD·CD；②AB2＝BD·BC；③AC2＝CD·BC.

在該圖形中，只要知道其中兩條線段的長度，就可以求出其他線段的長度.

如圖，在△ABC中，已知AB＝AC，點(diǎn)P，D分別是BC，AC

邊上的點(diǎn)，且∠APD＝∠B.

（1）求證：AC·CD＝CP·BP；（1）證明：∵AB＝AC，∴∠

B＝∠C.

∵∠

APD＝