《數(shù)字信號處理》課件1第5章

第5章IIR數(shù)字濾波器設(shè)計5.1數(shù)字濾波器的基本概念

5.2模擬濾波器的設(shè)計

5.3利用模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器

習(xí)題

5.1數(shù)字濾波器的基本概念

5.1.1濾波的概念

在信號處理過程中，所處理的信號往往混有噪聲，從接收到的信號中消除或減弱噪聲是信號傳輸和處理中十分重要的問題。根據(jù)有用信號和噪聲的不同特性，消除或減弱噪聲，提取有用信號的過程稱為濾波，實現(xiàn)濾波功能的系統(tǒng)稱為濾波器。圖5.1.1是濾波過程的示意圖，如圖所示，濾波器可以將所需要的信號和干擾分離。例如，需要濾除聲音信號中的噪聲，就要設(shè)計一個合適的濾波器，它只能通過所需要的信號。但實際上，只有很少的情況中能夠完全濾除干擾；大多數(shù)情況下，只能折中處理，濾除絕大多數(shù)(并非全部)干擾，同時保留盡可能多(并非全部)的信號成分。圖5.1.1濾波過程數(shù)字濾波器和模擬濾波器(AnalogFilter，AF)有同樣的濾波概念，只是信號的形式和實現(xiàn)濾波的方法不同。模擬濾波器是用電阻、電容、電感及有源器件等構(gòu)成的，而數(shù)字濾波器是通過對輸入信號進(jìn)行數(shù)值運算的方法來實現(xiàn)濾波的。正因為有該不同點，數(shù)字濾波器具有比模擬濾波器精度高、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活、不要求阻抗匹配以及實現(xiàn)模擬濾波器無法實現(xiàn)的特殊濾波功能等優(yōu)點。對于數(shù)字濾波器要求系統(tǒng)的輸入、輸出信號均為數(shù)字信號。如果要處理的是模擬信號，可通過在輸入端和輸出端分別加上模/數(shù)轉(zhuǎn)換器和數(shù)/模轉(zhuǎn)換器的方法，就可以使用數(shù)字濾波器對模擬信號進(jìn)行濾波。數(shù)字濾波是通過離散時間系統(tǒng)來實現(xiàn)的，本書所討論的線性時不變系統(tǒng)可以用單位脈沖響應(yīng)h(n)、線性常系數(shù)差分方程和系統(tǒng)函數(shù)H(z)三種方式來描述，即(5.1.3)(5.1.2)(5.1.1)其中，x(n)為輸入信號，y(n)為濾波器的輸出信號，是對x(n)濾波后的結(jié)果。上面的卷積和求解差分方程的計算就是對x(n)的濾波，濾波特性由h(n)或ak和bk決定。后面會看到，所謂數(shù)字濾波器設(shè)計，就是根據(jù)濾波的要求，尋找濾波器單位脈沖響應(yīng)h(n)，或濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)(由ak和bk確定)的有效方法。

濾波器可用于波形成形、調(diào)制解調(diào)、信號提取、信號分離和信道均衡等。所以，學(xué)習(xí)濾波器的設(shè)計與實現(xiàn)是必不可少的。5.1.2濾波器的分類

濾波器的種類很多，但總的來說可以分成兩大類，即經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器。經(jīng)典濾波器即選頻濾波器，是假定輸入信號中的有用成分和希望去除的成分各自占有不同的頻帶(如圖5.1.1所示)，這樣，當(dāng)輸入信號通過一個線性系統(tǒng)(即濾波器)后可將欲去除的成分有效地去除。如果信號和噪聲的頻譜相互重疊，那么經(jīng)典濾波器將無能為力。現(xiàn)代濾波器的理論建立在隨機信號處理的理論基礎(chǔ)上，將信號和噪聲都視為隨機信號，利用它們的統(tǒng)計特征(如自相關(guān)函數(shù)、功率譜等)導(dǎo)出最佳的估值算法，從干擾中提取有用信號?，F(xiàn)代濾波器理論源于維納在20世紀(jì)40年代及其以后的工作，因此維納濾波器便是這一類濾波器的典型代表。此外還有卡爾曼濾波器、線性預(yù)測器、自適應(yīng)濾波器等。本書只討論經(jīng)典濾波器。

經(jīng)典濾波器從功能上可分為四種，即低通(LowPass，LP)、高通(HighPass，HP)、帶通(Band，Pass，BP)、帶阻(BandStop，BS)濾波器。當(dāng)然，每一種又有模擬濾波器(AF)和數(shù)字濾波器(DF)兩種形式。圖5.1.2給出了AF及DF的四種濾波器的理想幅頻響應(yīng)。由于理想濾波器的單位脈沖響應(yīng)均是非因果且是無限長的，因此是不可能實現(xiàn)的。在實際工作中，要求設(shè)計的濾波器必須是物理可實現(xiàn)且穩(wěn)定的。我們只能按某些準(zhǔn)則設(shè)計濾波器，使之盡可能逼近理想濾波器，這些理想濾波器可作為

逼近的標(biāo)準(zhǔn)用。另外需要注意的是，AF幅頻特性的頻率取值范圍為0～∞，而DF幅頻特性是以2π為周期的，在0～2π的頻率范圍內(nèi)，ω=0是零頻率，而ω=π是最高頻率。圖5.1.2理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性數(shù)字濾波器從實現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)上考慮，將濾波器分成無限長脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器和有限長脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器。

IIR濾波器的差分方程為

從式(5.1.4)可以看出，濾波器n時刻的輸出y(n)不僅與n時刻的輸入x(n)以及n時刻以前的輸入信號x(n－1)、x(n－2)、…、x(n－M)等有關(guān)，還與n時刻以前的輸出信號y(n－1)、y(n－2)、…、y(n－N)等有關(guān)。其單位脈沖響應(yīng)h(n)是無限長序列，而其結(jié)構(gòu)上存在反饋支路，屬于遞歸型結(jié)構(gòu)。(5.1.4)

FIR濾波器的差分方程為

從式(5.1.5)可以看出，濾波器n時刻的輸出y(n)只與n時刻的輸入x(n)以及n時刻以前的輸入信號x(n－1)、x(n－2)、…、x(n－M)等有關(guān)。其單位脈沖響應(yīng)h(n)是有限長序列，其結(jié)構(gòu)上不存在反饋支路，屬于非遞歸型結(jié)構(gòu)。(5.1.5)這兩類濾波器無論是在性能上還是在設(shè)計方法上都有很大的區(qū)別。FIR濾波器可以對給定的頻率特性直接進(jìn)行設(shè)計，而IIR濾波器目前最通用的方法是利用已經(jīng)很成熟的模擬濾波器的設(shè)計方法來進(jìn)行設(shè)計。因此在后面的章節(jié)介紹濾波器設(shè)計方法和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)時均按照IIR和FIR兩種濾波器分別進(jìn)行介紹。5.1.3濾波器的技術(shù)指標(biāo)

設(shè)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)H(ejω)為

H(ejω)=|H(ejω)|ejφ(ω)

(5.1.6)

式中，|H(ejω)|稱為幅頻特性，φ(ω)稱為相頻特性。幅頻特性表示信號通過該濾波器后各頻率成分衰減情況，而相頻特性反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況。因此，即使兩個濾波器幅頻特性相同，而相頻特性不一樣，對相同的輸入，濾波器輸出的信號波形也是不一樣的。下面分別介紹數(shù)字濾波器的幅頻特性和相頻特性指標(biāo)。

1.幅頻特性指標(biāo)

圖5.1.2所示的各種理想濾波器物理上是不可實現(xiàn)的，其根本原因是頻率響應(yīng)從通帶到阻帶之間有突變。為了物理上可實現(xiàn)，實際設(shè)計的濾波器在通帶與阻帶之間應(yīng)有一定寬度的過渡帶，以便允許幅頻特性平滑地下降。同時，通帶和阻帶內(nèi)不可能嚴(yán)格為1或0，應(yīng)允許有一定的偏差。容許偏差的極限稱為容限。以低通濾波器為例，實際數(shù)字濾波器的幅頻特性及技術(shù)指標(biāo)如圖5.1.3所示。圖5.1.3逼近理想低通濾波器的誤差容限圖5.1.3中，頻段［0，ωp］稱為通帶，ωp稱為通帶截止頻率，δp稱為通帶容限，在通帶內(nèi)幅頻特性要求為

1－δp<|H(ejω)|≤1+δp

|ω|≤ωp

頻段［ωs，π］稱為阻帶，ωs稱為阻帶截止頻率，δs稱為阻帶的容限，在阻帶內(nèi)幅頻特性要求為

|H(ejω)|≤δs

ωs≤|ω|≤π(5.1.8)(5.1.7)為了壓縮幅頻特性曲線的刻度范圍，直觀地看出通帶和阻帶頻響曲線，在工程中習(xí)慣用幅頻函數(shù)的衰減dB(分貝)值來描述濾波器的設(shè)計指標(biāo)。通帶內(nèi)允許的最大衰減用αp表示，阻帶內(nèi)允許的最小衰減用αs表示，αp和αs分別定義為(5.1.9)(5.1.10)式中均假定|H(ej0)|歸一化為1。當(dāng) 時，αp=3dB，此時的通帶截止頻率稱為3dB通帶截止頻率，常用ωc表示。ωp、ωc和ωs統(tǒng)稱為邊界頻率，它們在濾波器設(shè)計中是很重要的。圖5.1.4畫出了同一濾波器的幅頻函數(shù)曲線和衰減dB曲線。圖5.1.4(a)顯示不出阻帶響應(yīng)曲線(近似與零值坐標(biāo)軸重合)，而圖5.1.4(b)清楚地顯示出阻帶－40dB以下的響應(yīng)曲線，這樣便于觀察和描述濾波器頻率響應(yīng)特性。所以，在后面的濾波器設(shè)計中，用幅頻響應(yīng)函數(shù)的衰減dB值描述設(shè)計指標(biāo)。圖5.1.4幅頻特性和幅度衰減dB曲線的對比頻段［ωp，ωs］稱為過渡帶，在這個過渡帶內(nèi)幅頻特性平滑地從通帶下降到阻帶。從理論上說，過渡帶越窄越好。但是后面會看到，當(dāng)通帶和阻帶指標(biāo)不變時，過渡帶越窄，要求的濾波器階數(shù)越高，付出的代價和成本也越高。所以濾波器技術(shù)指標(biāo)要根據(jù)工程需要確定，而不是一味地追求高指標(biāo)。

2.相頻特性指標(biāo)

數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)H(ejω)為

H(ejω)=|H(ejω)|ejφ(ω)=Re［H(ejω)］+jIm［H(ejω)］

(5.1.11)則其對應(yīng)的相頻特性為

一個理想濾波器除了具有所期望的幅頻特性外，還應(yīng)具有線性相位，H(ejω)線性相位是指φ(ω)是ω的線性函數(shù)，即 φ(ω)=－αω+β

(5.1.13)

其中α和β為常數(shù)，β=0時稱為第一類線性相位，β≠0時稱為第二類線性相位。當(dāng)輸入信號x(n)經(jīng)過這樣的濾波器時，得到的輸出信號y(n)的頻譜為(5.1.14)(5.1.12)式(5.1.14)說明，輸出信號的相位譜是φY(ω)=φX(ω)－αω。對式(5.1.14)求傅里葉逆變換可得輸出信號

其中(5.1.15)(5.1.16)y0(n)與濾波器的相位無關(guān)。可以看出，濾波器相位－αω所引起的時延n－α與頻率無關(guān)，這意味著輸入信號的任何頻率成分都有一樣的時延。這說明，如果濾波器具有線性相位特性，則對輸入信號的時序不會有影響，即對輸入信號的位移是處處相等的。

例5.1.1設(shè)有一個復(fù)合正弦信號x(n)=cos(0.1πn)+cos(0.2πn)分別通過兩個低通濾波器，濾波器的頻率響應(yīng)如下：

則兩個濾波器的輸出信號y1(n)和y2(n)分別為輸入信號x(n)和輸出信號y1(n)和y2(n)的時域波形如圖5.1.5所示?？梢钥吹?，盡管兩個濾波器的幅頻特性完全一致，但是通過線性相位數(shù)字低通濾波器H1(ejω)的輸出信號y1(n)很好地保持了原始信號的波形，僅僅是延時了5個采樣點。而通過非線性相位數(shù)字低通濾波器H2(ejω)的輸出信號y2(n)則由于相位的失真而導(dǎo)致波形與輸入信號不一致。由此例可以看出，相頻響應(yīng)對信號濾波以后的影響及線性相伴的重要性。

通常IIR濾波器設(shè)計時只考慮幅頻特性，適用于對相位要求不敏感的場合，如語音通信等。而FIR濾波器設(shè)計時實現(xiàn)線性相位較容易，一般同時考慮幅頻和相頻特性，應(yīng)用對輸出波形有要求，如波形傳輸、圖像信號處理等應(yīng)用中。圖5.1.5系統(tǒng)相頻特性對系統(tǒng)輸出的影響 5.2模擬濾波器的設(shè)計

模擬濾波器設(shè)計本不屬于數(shù)字信號處理的內(nèi)容，但考慮到經(jīng)典模擬濾波器理論是設(shè)計IIR濾波器的基礎(chǔ)，因此有必要學(xué)習(xí)模擬濾波器的設(shè)計。本節(jié)簡要介紹模擬濾波器的基本概念和經(jīng)典設(shè)計公式，略去繁雜的公式推導(dǎo)。前面已介紹了選頻濾波器分為低通、高通、帶通和帶阻濾波器，而各種濾波器設(shè)計都是基于低通濾波器設(shè)計。因此，本節(jié)重點介紹低通模擬濾波器的設(shè)計公式和設(shè)計方法，然后簡要介紹從低通到高通、帶通和帶阻濾波器的頻率轉(zhuǎn)換方法。5.2.1模擬濾波器的幅度平方函數(shù)

給定模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)αp、Ωp、αs和Ωs，其中αp為通帶內(nèi)允許的最大衰減，αs為阻帶內(nèi)允許的最小衰減，αp和αs的單位為dB，Ωp為通帶上限角頻率，Ωs為阻帶下限角頻率。現(xiàn)希望設(shè)計一個模擬低通濾波器Ha(s)為

使其對數(shù)幅頻響應(yīng)10lg|Ha(jΩ)|2在Ωp和Ωs處分別達(dá)到αp和αs的要求。(5.2.1)

αp和αs都是Ω的函數(shù)，它們的大小取決于Ha(jΩ)的形狀，為此，我們定義一個衰減函數(shù)α(Ω)

即

|Ha(jΩ)|2=10－α(Ω)/10

(5.2.3)

顯然

αp=α(Ωp)=－10lg|Ha(jΩp)|2

αs=α(Ωs)=－10lg|Ha(jΩs)|2

這樣，式(5.2.3)把低通模擬濾波器的四個技術(shù)指標(biāo)和濾波器的平方幅度函數(shù)|Ha(jΩ)|2聯(lián)系了起來。(5.2.2)由于我們所設(shè)計的濾波器的沖激響應(yīng)一般都為實函數(shù)，因而Ha(jΩ)滿足

H*a(jΩ)=Ha(－jΩ)

(5.2.4)

所以

|Ha(jΩ)|2=Ha(jΩ)H*a(jΩ)=Ha(jΩ)Ha(－jΩ)

(5.2.5)

又因為，可實現(xiàn)的模擬濾波器一定是因果的，由傅里葉變換和拉普拉斯變換的關(guān)系，令jΩ=s，得到其幅度平方函數(shù)的拉普拉斯變換為

Ha(jΩ)Ha(－jΩ)|jΩ=s=Ha(s)Ha(－s)

(5.2.6)

式(5.2.6)中，Ha(s)和Ha(－s)的零-極點是象限對稱分布的，如圖5.2.1所示。圖5.2.1零、極點分布這樣，如果我們能由αp、Ωp、αs和Ωs求出|Ha(jΩ)|2，然后取出它的左半平面零點zj和極點pk，就可以用這些零極點組成一個穩(wěn)定的模擬濾波器，即

從這個意義上說，模擬濾波器的傳遞函數(shù)Ha(s)可由幅度平方函數(shù)|Ha(jΩ)|2直接設(shè)計出來。因此，平方幅度函數(shù)|Ha(jΩ)|2在模擬濾波器的設(shè)計中起到很重要的作用。(5.2.7)5.2.2模擬濾波器經(jīng)典類型

設(shè)計模擬濾波器時，不但要求頻率響應(yīng)指標(biāo)滿足信號處理的要求，而且還要求濾波器便于硬件實現(xiàn)。經(jīng)過多年研究開發(fā)，已經(jīng)找到了多種逼近理想濾波特性的濾波器函數(shù)，其濾波特性各有特色，而且這些模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)滿足硬件綜合實現(xiàn)條件。在此介紹五種經(jīng)典的模擬低通濾波器的特征。

1.巴特沃斯(Butterworth)濾波器

N階巴特沃斯低通濾波器的幅度平方響應(yīng)的表達(dá)式為(5.2.8)其中，N為濾波器階數(shù)，Ωc是3dB截止頻率。對幾種不同的階數(shù)N，給出歸一化(Ωc=1)巴特沃斯低通濾波器的幅頻響應(yīng)曲線如圖5.2.2所示。圖5.2.2巴特沃斯濾波器的幅頻響應(yīng)

從圖中可以看出：

(1)當(dāng)Ω=0時，|Ha(j0)|2=1，即濾波器在Ω=0處無幅度衰減。

(2)當(dāng)Ω=Ωc時，|Ha(jΩc)|2=0.5，|Ha(jΩc)|=0.707。即不管N取何值，所有的曲線都通過－3dB點，或者說衰減3dB，這就是3dB不變性。

(3)在Ω<Ωc的通帶內(nèi)，|Ha(jΩ)|2有最大平坦的幅度特性，即N階巴特沃斯低通濾波器在Ω=0處，|Ha(jΩ)|2Ω=0的前2N－1階導(dǎo)數(shù)為零，因此巴特沃斯濾波器可稱為最平幅度特性濾波器。隨著Ω由0變到Ωc，|Ha(jΩ)|2單調(diào)減小，N越大，減小得越慢，通帶內(nèi)特性越平坦。

(4)在Ω>Ωc，即過渡帶及阻帶中，|Ha(jΩ)|2也隨Ω增加而單調(diào)減小，但由于Ω/Ωc>1，故比通帶內(nèi)的速度要快得多，N越大，衰減速度越快，過渡帶越窄。

2.切比雪夫Ⅰ型(ChebyshevⅠ)濾波器

N階切比雪夫Ⅰ型低通濾波器的幅度平方響應(yīng)的表達(dá)式為

其中，N為濾波器階數(shù)，Ωp為通帶截止頻率，ε為通帶波紋幅度參數(shù)，CN(Ω)是N階切比雪夫多項式，后面兩者表達(dá)式如下：(5.2.9)

對幾種不同的階數(shù)N，取相同的通帶波紋幅度參數(shù)ε，對通帶截止頻率Ωp進(jìn)行歸一化，切比雪夫Ⅰ型低通濾波器的幅頻響應(yīng)曲線如圖5.2.3所示。圖中，通帶最大衰減αp=1dB，ε=0.5088。(5.2.11)(5.2.10)圖5.2.3切比雪夫Ⅰ型濾波器的幅頻響應(yīng)由圖中可見：

(1)N為偶數(shù)時，|Ha(jΩ)|2在Ω=0處值為 ，是通帶內(nèi)最小值；N為奇數(shù)時，|Ha(jΩ)|2在Ω=0處值為1，是通帶內(nèi)最大值。

(2)在Ω<Ωp的通帶內(nèi)，幅頻響應(yīng)特性曲線為等波紋，即|Ha(jΩ)|2等幅地在通帶最大值和通帶最小值之間擺動；隨著N的增加，通帶波紋增加。

(3)在Ω>Ωp時，即過渡帶及阻帶中，|Ha(jΩ)|2隨Ω增加而單調(diào)減小；階數(shù)N值越快，衰減速度越快，過渡帶越窄。

3.切比雪夫Ⅱ型(ChebyshevⅡ)濾波器

N階切比雪夫Ⅱ型低通濾波器的幅度平方響應(yīng)的表達(dá)式為

其中，N為濾波器階數(shù)，Ωp為通帶截止頻率，Ωs為阻帶截止頻率，ε為通帶波紋幅度參數(shù)，CN(Ω)是N階切比雪夫多項式。(5.2.12)對幾種不同的階數(shù)N，取相同的ε和αs，對阻帶截止頻率Ωs進(jìn)行歸一化，切比雪夫Ⅱ型低通濾波器的幅頻響應(yīng)曲線如圖5.2.4所示。

圖中，阻帶最小衰減αs=20dB，通帶最大衰減αp=1dB，ε=0.5088。由圖中可見：

(1)當(dāng)Ω=0時，|Ha(j0)|2=1，即濾波器在Ω=0處無幅度衰減。

(2)在Ω<Ωs，即通帶和過渡帶內(nèi)，隨著Ω增大，|Ha(jΩ)|2單調(diào)減?。籒越大，過渡帶內(nèi)衰減速度越快，過渡帶越窄。圖5.2.4切比雪夫Ⅱ型濾波器的幅頻響應(yīng)

(3)在Ω>Ωs的阻帶內(nèi)，幅頻響應(yīng)特性曲線為等波紋，N為偶數(shù)時，|Ha(jΩ)|2在Ω>Ωs處值為0，是阻帶內(nèi)最小值；N為奇數(shù)時，|Ha(jΩ)|2在Ω=Ωs處值為δs，是阻帶內(nèi)最大值。

4.橢圓(Elliptic)濾波器

N階橢圓低通濾波器的幅度平方響應(yīng)的表達(dá)式為

其中，N為濾波器階數(shù)，Ωp為通帶截止頻率，ε為通帶波紋幅度參數(shù)，UN(·)是N階雅可比橢圓函數(shù)。雅可比橢圓函數(shù)是經(jīng)典場論中的內(nèi)容，實際設(shè)計中該函數(shù)需要查表計算，橢圓濾波器由此而來。(5.2.13)又因為在1931年考爾(Cauer)首先對這種濾波器進(jìn)行了理論證明，所以其另一個通用名字為考爾(Cauer)濾波器。

橢圓濾波器的典型幅頻響應(yīng)特性曲線如圖5.2.5所示。由圖5.2.5(a)可見，橢圓濾波器通帶和阻帶波紋固定時，階數(shù)越高過渡帶就越窄；由圖5.2.5(b)可見，當(dāng)橢圓濾波器階數(shù)固定時，通帶和阻帶波紋越小則過渡帶就越寬。所以橢圓濾波器的階數(shù)N由通帶截止頻率Ωp、阻帶截止頻率Ωs、通帶最大衰減αp和阻帶最大衰減αs共同決定。相比前幾種濾波器，橢圓濾波器可以獲得對理想濾波器幅頻響應(yīng)的最好逼近，是一種性價比最高的濾波器，所以應(yīng)用非常廣泛。圖5.2.5橢圓濾波器的幅頻響應(yīng)

5.貝塞爾(Bessel)濾波器

前面四種模擬低通濾波器的設(shè)計是以幅頻響應(yīng)指標(biāo)為基準(zhǔn)的，而對相位響應(yīng)未作任何考慮。在許多應(yīng)用場合，希望所設(shè)計的模擬低通濾波器具有線性相位特性，并能逼近幅度指標(biāo)。實現(xiàn)這一目標(biāo)的一種方法是，在滿足幅度指標(biāo)的濾波器后面用一個全通模擬濾波器來校正相位特性，使級聯(lián)后的總系統(tǒng)在通帶內(nèi)逼近線性相位特性。但這種方法增加了模擬濾波器硬件的復(fù)雜度，對于設(shè)計A/D變換器中的抗混疊模擬濾波器和D/A變換器中的平滑模擬濾波器，這是不希望的。貝塞爾濾波器在通帶內(nèi)逼近線性相位特性。貝塞爾低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

Ha(s)為全極點型，并在Ω=0的點提供對線性相位特性好的逼近。即在直流頻率(Ω=0點)附近有最平坦的群延時特性。將系統(tǒng)函數(shù)的分母多項式BN(s)稱為貝塞爾多項式。

圖5.2.6(a)和(b)示出了典型的貝塞爾低通濾波器的幅頻響應(yīng)特性曲線和相頻特性曲線。應(yīng)當(dāng)注意，階數(shù)相同時，貝塞爾濾波器的選擇性比上述四種濾波器差。(5.2.14)圖5.2.6貝塞爾濾波器的幅頻和相頻特性

6.五種類型模擬濾波器的比較

前面討論了五種類型的模擬低通濾波器的設(shè)計方法，前四種(巴特沃斯、切比雪夫Ⅰ型、切比雪夫Ⅱ型和橢圓濾波器)是主要考慮逼近幅度響應(yīng)指標(biāo)的濾波器，第五種(貝塞爾濾波器)是主要考慮逼近線性相位特性的濾波器。為了正確地選擇濾波器類型以滿足給定的幅頻響應(yīng)指標(biāo)，必須比較四種幅度逼近濾波器的特性。為此，下面比較相同階數(shù)的歸一化巴特沃斯、切比雪夫Ⅰ型、切比雪夫Ⅱ型和橢圓濾波器的頻率響應(yīng)特性。圖5.2.7中濾波器指標(biāo)為N=6，歸一化截止頻率為1、最大通帶衰減為1dB、最小阻帶衰減為40dB。圖5.2.7四種模擬濾波器的幅頻特性對比調(diào)用MATLAB濾波器設(shè)計函數(shù)，很容易驗證：當(dāng)階數(shù)相同時，對相同的通帶最大衰減αp和阻帶最大衰減αs，巴特沃斯濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性，過渡帶最寬。兩種類型的切比雪夫濾波器的過渡帶寬度相等，比巴特沃思濾波器的過渡帶窄，但比橢圓濾波器的過渡帶寬。切比雪夫Ⅰ型濾波器在通帶具有等波紋幅頻特性，過渡帶和阻帶是單調(diào)下降的幅頻特性。切比雪夫Ⅱ型濾波器的通帶幅頻響應(yīng)幾乎與巴特沃斯濾波器相同，阻帶是等波紋幅頻特性。橢圓濾波器的過渡帶最窄，通帶和阻帶均是等波紋幅頻特性。

巴特沃斯和切比雪夫濾波器在大約四分之三的通帶上非常接近線性相位特性，而橢圓濾波器僅在大約半個通帶上非常接近線性相位特性。貝塞爾濾波器在整個通帶逼近線性相位特性，而其幅頻特性的過渡帶比其它四種濾波器寬得多。另一方面，在滿足相同的濾波器幅頻響應(yīng)指標(biāo)條件下，巴特沃斯濾波器階數(shù)最高，橢圓濾波器的階數(shù)最低，而且階數(shù)差別較大。所以，就滿足濾波器幅頻響應(yīng)指標(biāo)而言，橢圓濾波器的性能價格比最高，應(yīng)用較廣泛。

由上述比較可見，五種濾波器各具特點。工程實際中選擇哪種濾波器取決于對濾波器階數(shù)(階數(shù)影響處理速度和實現(xiàn)的復(fù)雜性)和相位特性的具體要求。例如，在滿足幅頻響應(yīng)指標(biāo)的條件下希望濾波器階數(shù)最低時，就應(yīng)當(dāng)選擇橢圓濾波器。5.2.3模擬低通濾波器的設(shè)計

模擬濾波器的一般設(shè)計過程如下：

(1)根據(jù)信號處理要求確定設(shè)計指標(biāo)；

(2)選擇濾波器類型；

(3)計算濾波器階數(shù)；

(4)通過查表或計算確定濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。計算濾波器階數(shù)和求系統(tǒng)函數(shù)的公式和方法與所選擇的濾波器類型有關(guān)。下面主要介紹巴特沃斯濾波器的設(shè)計方法。其實，對每種濾波器，都有相應(yīng)的計算機輔助設(shè)計程序或設(shè)計函數(shù)，因此，最主要的是掌握濾波器設(shè)計的基本原理與方法，至于那些復(fù)雜的計算公式及其計算過程，在實際設(shè)計中都是由計算機完成的。這里以巴特沃斯模擬低通濾波器設(shè)計為例進(jìn)行介紹。

由前述已知，巴特沃斯模擬低通濾波器的特性完全由階數(shù)N和3dB截止頻率Ωc確定，所以設(shè)計巴特沃斯模擬低通濾波器的過程可分兩步：第一步，根據(jù)設(shè)計指標(biāo)求階數(shù)N和3dB截止頻率Ωc；第二步，求系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。下面分別進(jìn)行推導(dǎo)和介紹。

1.求階數(shù)N和3dB截止頻率Ωc

給定模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)通帶內(nèi)允許的最大衰減αp、通帶截止角頻率Ωp、阻帶內(nèi)允許的最小衰減αs和阻帶截止角頻率Ωs。根據(jù)式(5.2.1)和式(5.2.2)，并考慮巴特沃斯濾波器的單調(diào)下降特性(若邊界頻率點滿足指標(biāo)，則其它頻率點必然滿足要求。)以及Ha(j0)=1，可以得到(5.2.16)(5.2.15)當(dāng)Ω=Ωp時，幅度平方響應(yīng)函數(shù)為

將上式代入(5.2.15)得

上式兩邊取指數(shù)后可得(5.2.18)(5.2.19)(5.2.17)同理，可得

式(5.2.19)除以式(5.2.20)消去Ωc，得到只有一個未知量N的方程：(5.2.20)(5.2.21)則

N的值為整數(shù)，通常N取大于或等于式(5.2.22)的整數(shù)。除了用式(5.2.22)計算N外，當(dāng)階數(shù)較低時，可以用曲線求得N后，由式(5.2.19)和式(5.2.20)均可求得Ωc：(5.2.22)

用式(5.2.23)和式(5.2.24)所求的Ωc均滿足指標(biāo)要求，只是用式(5.2.23)求Ωc時，通帶指標(biāo)剛好滿足要求，阻帶指標(biāo)有富裕量；用式(5.2.24)求Ωc時，阻帶指標(biāo)剛好滿足要求，通帶指標(biāo)有富裕量。實際設(shè)計時根據(jù)工程需求靈活選擇。(5.2.23)(5.2.24)

2.求系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)

將巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)寫成s的函數(shù)：

由上式可知，幅度平方函數(shù)有2N個極點，極點為(5.2.25)(5.2.26)式中，k=0，1，…，2N－1個極點等間隔分布在半徑為Ωc的圓上(該圓稱巴特沃斯圓)，間隔是 。例如N=3，極點間隔為 ，極點分布如圖5.2.8所示。為形成穩(wěn)定的濾波器，取s左半平面的N個極點(k=0，1，…，N－1)構(gòu)成Ha(s)；而右半平面的N個極點(k=N，N+1，…，2N－1)構(gòu)成Ha(－s)。

因此，巴特沃斯低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)可寫為(5.2.27)圖5.2.8三階巴特沃斯濾波器極點分布上面介紹的是通過直接計算極點來求系統(tǒng)函數(shù)的方法。在實際工程設(shè)計時，濾波器設(shè)計手冊會以表格形式列出各階巴特沃斯歸一化(Ωc=1)低通濾波器的各種參數(shù)(見表5.2.1)。由表5.2.1中參數(shù)可以寫出N階巴特沃斯歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)：(5.2.28)或

G(p)中的分母可選擇極點、分母多項式和分母因式三種形式。然后去歸一化，得到3dB截止頻率為Ωc的低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)：(5.2.30)(5.2.29)表5.2.1歸一化N階巴特沃思多項式系數(shù)

例5.2.1已知通帶截止頻率為fp=500Hz，通帶最大衰減為αp=1dB，阻帶截止頻率為fs=1000Hz，阻帶最小衰減為αs=20dB，按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計巴特沃斯低通濾波器，寫出系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。

解

(1)求階數(shù)N和3dB截止頻率Ωc。

所以取N＝5。按式(5.2.24)計算3dB截止頻率Ωc為

(2)求系統(tǒng)函數(shù)。

由式(5.2.26)，有

得5個極點分別為最后其中，b=9.842×1017，分母多項式系數(shù)如下表：

也可查表5.2.1得到

所以所設(shè)計濾波器的幅頻響應(yīng)曲線如圖5.2.9所示。由此例可見，階數(shù)較高時，計算量很大，而且數(shù)據(jù)范圍也很大。所以，實際工作中，根據(jù)技術(shù)指標(biāo)，一般利用計算機輔助來設(shè)計模擬低通濾波器。圖5.2.9巴特沃斯模擬低通濾波器的幅頻響應(yīng)(例5.2.1)5.2.4高通、帶通及帶阻濾波器的設(shè)計

在模擬濾波器設(shè)計手冊中，各種經(jīng)典濾波器的設(shè)計公式都是針對低通濾波器的，并提供低通原型到其它各種濾波器的頻率變換公式。所以，不論設(shè)計哪種濾波器，都可以先將該濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的歸一化低通原型濾波器指標(biāo)，按照該技術(shù)指標(biāo)先設(shè)計低通濾波器，再通過頻帶轉(zhuǎn)換，將低通的系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換成所需類型的濾波器系統(tǒng)函數(shù)。模擬高通、帶通、帶阻濾波器設(shè)計流程如圖5.2.10所示。設(shè)計過程中涉及的頻帶變換公式和指標(biāo)轉(zhuǎn)換公式較復(fù)雜，其推導(dǎo)更為復(fù)雜。本節(jié)首先介紹高通、帶通及帶阻濾波器的幅度特性參數(shù)，然后給出頻帶變換公式，最后舉例說明設(shè)計高通、帶通和帶阻濾波器的方法。對那些繁雜的設(shè)計公式推導(dǎo)不作敘述，有興趣的讀者請參閱相關(guān)書籍。圖5.2.10模擬高通、帶通、帶阻濾波器設(shè)計流程

1.模擬濾波器的幅度特性參數(shù)

高通濾波器的幅度特性如圖5.2.11(a)所示。圖中Ωph和Ωsh分別表示高通濾波器的通帶截止頻率和阻帶截止頻率；通帶最大衰減和阻帶最小衰減仍用αp和αs表示。

帶通濾波器的幅度特性如圖5.2.11(b)所示。圖中Ωpl和Ωpu分別表示帶通濾波器的通帶下限頻率和通帶上限頻率；Ωsl和Ωsu分別表示帶通濾波器的阻帶下限頻率和阻帶上限頻率；通帶最大衰減和阻帶最小衰減仍用αp和αs表示。另外定義Ω0=ΩpuΩpl，稱Ω0為通帶中心頻率；B=Ωpu－Ωpl，稱B為通帶帶寬，一般用B作為歸一化參考頻率。帶阻濾波器的幅度特性如圖5.2.11(c)所示。圖中Ωpl和Ωpu分別表示帶阻濾波器的通帶下限頻率和通帶上限頻率；Ωsl和Ωsu分別表示帶阻濾波器的阻帶下限頻率和阻帶上限頻率；通帶最大衰減和阻帶最小衰減仍用αp和αs表示。另外定義Ω20=ΩpuΩpl，稱Ω0為通帶中心頻率；B=Ωpu－Ωpl，稱B為通帶帶寬，一般用B作為歸一化參考頻率。圖5.2.11各種濾波器幅頻特性曲線及邊界頻率示意圖

2.模擬濾波器的頻帶轉(zhuǎn)換方法

為了敘述方便，用G(p)表示模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，λp、λs和λc分別表示歸一化模擬低通濾波器的通帶截止頻率、阻帶截止頻率和通帶3dB截止頻率，高通、帶通及帶阻濾波器對應(yīng)的頻帶變換關(guān)系如表5.2.2所示。表5.2.2模擬濾波器的頻帶變換關(guān)系下面舉例說明高通、帶通及帶阻模擬濾波器的方法。

例5.2.2設(shè)計模擬高通濾波器，fp=4kHz，fs=1kHz，幅度特性單調(diào)下降，fp處最大衰減為αp=0.1dB，阻帶最小衰減αs=40dB。

解

(1)高通技術(shù)指標(biāo)：

fp=4kHz，αp=0.1dB

fs=1kHz，αs=40dB

歸一化頻率為

(2)歸一化低通技術(shù)指標(biāo)：

(3)設(shè)計低通HLP(q)。采用巴特沃斯濾波器時，有取N＝5按式(5.2.24)計算3dB截止頻率λc為

查表得歸一化系統(tǒng)函數(shù)為

去歸一化得

(4)求模擬高通HHP(s)：

其中，分母多項式系數(shù)如下表：

HLP(q)和HHP(s)的幅頻響應(yīng)曲線如圖5.2.12所示。圖5.2.12例5.2.2所得低通、高通濾波器幅頻響應(yīng)

例5.2.3設(shè)計模擬帶通濾波器，通帶截止頻率為4kHz和7kHz，阻帶截止頻率為2kHz和9kHz，通帶最大衰減為1dB，阻帶最小衰減為20dB。

解

(1)模擬帶通濾波器的指標(biāo)為

fpl=4kHz，fpu=7kHz，αp=1dB

fsl=2kHz，fsu=9kHz，αs=20dB

此時通帶中心頻率為

f20=fplfpu=4000×7000=28×106

通帶帶寬為

B=fpu－fpl=7000－4000=3kHz

(2)歸一化低通技術(shù)指標(biāo)，根據(jù)表5.2.1可得

λs與－λs的絕對值可能不相等，一般取絕對值小的值，即λs=1.963，這樣在λs=1.963處的衰減能達(dá)到20dB，在λ=4處的衰減更能滿足要求。

(3)設(shè)計低通HLP(q)。采用巴特沃斯濾波器時

按式(5.2.24)計算3dB截止頻率λc為，取N＝5查表得歸一化系統(tǒng)函數(shù)為

去歸一化得

(4)求模擬帶通HBP(s)：

其中，分子系數(shù)b5=6.9703×1021，分母多項式系數(shù)如下表：

由運算結(jié)果可知，帶通濾波器是2N階的。HLP(q)和HBP(s)的幅頻響應(yīng)曲線如圖5.2.13所示。模擬帶阻濾波器的設(shè)計過程與帶通濾波器相近，在此就不再舉例說明了。圖5.2.13例5.2.3所得低通、高通濾波器幅頻響應(yīng)5.3利用模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器

利用模擬濾波器成熟的理論和設(shè)計方法來設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器是經(jīng)常用的方法。其設(shè)計過程如下：

(1)將數(shù)字濾波器設(shè)計指標(biāo)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的模擬濾波器指標(biāo)；

(2)設(shè)計相應(yīng)原模擬濾波器，得到模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)；

(3)將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。

這樣設(shè)計的關(guān)鍵是建立S平面與Z平面的映射關(guān)系，將S平面上的Ha(s)轉(zhuǎn)換成Z平面上的H(z)。為了保證轉(zhuǎn)換后的H(z)穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求，轉(zhuǎn)換關(guān)系必須滿足以下兩個要求：

(1)因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。也就是說，S平面的左半平面必須映射到Z平面的單位圓內(nèi)。

(2)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響，即S平面的虛軸必須映射到Z平面的單位圓上。如圖5.3.1所示。

S平面與Z平面的映射方法有多種，但工程上常用的是脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。本節(jié)重點介紹這兩種設(shè)計方法，并分析設(shè)計效果。圖5.3.1

S平面到Z平面的映射關(guān)系5.3.1脈沖響應(yīng)不變法

1.轉(zhuǎn)換原理

脈沖響應(yīng)不變法實際上是模擬濾波器離散化(將模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器)的一種方法。這種轉(zhuǎn)換方法的基本思想是波形逼近，使離散化后的數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n)最逼近模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t)。根據(jù)這種設(shè)計思想，利用拉普拉斯變換和Z變換，可推導(dǎo)出用脈沖響應(yīng)不變法從Ha(s)轉(zhuǎn)換成H(z)的公式。推導(dǎo)思路如圖5.3.2所示。圖5.3.2脈沖響應(yīng)不變法推導(dǎo)思路為了簡化推導(dǎo)，設(shè)模擬濾波器Ha(s)只有單階極點si(i=1，2，…，N)，且分母多項式的階次高于分子多項

式的階次，則Ha(s)可以用如下部分分式表示：

(1)對Ha(s)進(jìn)行拉普拉斯逆變換，可得到單位沖激響應(yīng)ha(t)：(5.3.2)(5.3.1)

(2)對ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n)：

(3)對h(n)進(jìn)行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)：

(4)對比式(5.3.3)和式(5.3.4)可知，Ha(s)的極點si映射到Z平面，其極點變成，系數(shù)Ai不變化。對Ha(s)有多階極點以及分子階次高于分母階次的復(fù)雜情況，其設(shè)計公式推導(dǎo)較為復(fù)雜，有興趣的讀者可參考相關(guān)資料。(5.3.4)(5.3.3)

2.S平面到Z平面的映射關(guān)系

由以上分析得出了S平面到Z平面的極點映射關(guān)系：

這里我們以采樣信號作為橋梁，推導(dǎo)S平面到Z平面的映射關(guān)系。

設(shè)ha(t)的采樣信號為，根據(jù)理想采樣過程，可表示為(5.3.5)對進(jìn)行拉普拉斯變換，得到(5.3.6)由于 ，可見采樣信號的拉普拉斯變換與相應(yīng)的序列的Z變換H(z)之間的映射關(guān)系可用下式表示：

z=esT

(5.3.7)

為了進(jìn)一步分析這種映射關(guān)系，將s表示為

s=σ+jΩ

(5.3.8)

而將z表示為

z=rejω

(5.3.9)

代入式(5.3.7)，得到

rejω=e(σ+jΩ)T=eσT·ejΩT

(5.3.10)

因此

r=eσT

ω=ΩT(5.3.11)總結(jié)S平面到Z平面的映射關(guān)系如下：

(1)z的模r僅對應(yīng)于s的實部σ，由此可得：

σ=0，r=1，S平面的虛軸映射為Z平面的單位圓上；

σ<0，r<1，S平面左半平面映射為Z平面的單位圓內(nèi)；

σ>0，r>1，S平面右半平面映射為Z平面的單位圓外。

這說明如果Ha(s)因果穩(wěn)定，轉(zhuǎn)換后得到的H(z)仍是因果穩(wěn)定的。

(2)z的幅角ω僅對應(yīng)于s的虛部Ω，即數(shù)字頻率與模擬頻率之間是線性關(guān)系，這是脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)點之一。

(3)由于z=esT是一個周期函數(shù)，可寫成

由式(5.3.12)可知，當(dāng)σ不變，模擬頻率Ω從變化到時，數(shù)字頻率ω則從－π變化到π。這表明，將S平面沿著jΩ軸分割成一條條寬為的水平帶，每條水平帶都將重疊映射到整個Z平面。此時 所在的S平面與H(z)所在的Z平面的映射關(guān)系如圖5.3.3所示。(5.3.12)，M為任意整數(shù)

圖5.3.3脈沖響應(yīng)不變法時S平面與Z平面的映射關(guān)系

3.混疊現(xiàn)象

我們知道模擬信號ha(t)的傅里葉變換Ha(jΩ)和其采樣信號的傅里葉變換之間的關(guān)系滿足式(2.4.5)，重寫如下：

將ω=ΩT代入上式，得(5.3.13)(5.3.14)上兩式說明，數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓函數(shù)。所以，如果模擬濾波器具有帶限特性，而且T滿足采樣定理，則數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)完全模仿了模擬濾波器頻率響應(yīng)。這是脈沖響應(yīng)不變法的最大優(yōu)點。但是，有限階數(shù)的模擬濾波器并不是帶限的，實際上總是存在頻譜混疊失真，如圖5.3.4所示?，F(xiàn)以一個具體的例子來說明混疊失真的影響。圖5.3.4脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊失真

例5.3.1二階巴特沃斯模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)為

用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)，并對采樣周期T取不同值，觀察頻譜混疊失真現(xiàn)象。

解采用待定系數(shù)法將Ha(s)部分分式展開：Ha(s)的極點為

比較分子分母系數(shù)，得到關(guān)于待定系統(tǒng)A1和A2的方程組：代入s1和s2的值求解，得到

按照式 ，得到通分并化簡整理得

其中，

T分別取0.2s、0.1s、0.05s時，模擬濾波器和數(shù)字濾波器的幅頻特性曲線如圖5.3.5所示。采樣周期T越小，頻譜混疊失真越小。圖5.3.5例5.3.1的幅度特性由圖5.3.4可見，頻譜混疊失真會使數(shù)字濾波器在ω=π附近的頻率響應(yīng)偏離模擬濾波器頻響特性曲線，混疊嚴(yán)重時使數(shù)字濾波器不滿足阻帶衰減指標(biāo)。所以，脈沖響應(yīng)不變法不適合設(shè)計高通和帶阻濾波器。

為了減少頻譜混疊失真，通常采取以下措施：

(1)選用具有銳截止特性的模擬濾波器。

(2)提高采樣頻率(1／T)。

(3)采用雙線性變換法(此法可徹底消除頻譜混疊失真)。

4.設(shè)計步驟

因為數(shù)字頻率與模擬頻率之間是線性關(guān)系，因此用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計數(shù)字濾波器是很簡單的，其步驟如下：

(1)利用ω=ΩT，將ωp、ωs轉(zhuǎn)換成Ωp、Ωs，而αp、αs不作變化。

(2)設(shè)計模擬低通濾波器Ha(s)。

(3)利用式(5.3.1)和(5.3.4)，將Ha(s)轉(zhuǎn)換為H(z)。

例5.3.2用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內(nèi)頻率低于0.2π時，容許幅度誤差在1dB以內(nèi)，在頻率0.4π到π之間的阻帶衰減大于15dB，指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。

解

(1)將數(shù)字低通的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬低通的技術(shù)指標(biāo)。

(2)設(shè)計模擬低通濾波器Ha(s)，取T=1s。

取N=4。查表得歸一化系統(tǒng)函數(shù)為其中，

A1=0.3536+j0.3536，A2=0.3536－j0.3536

A3=－0.8536+j0.8536，A4=－0.8536－j0.8536

p1=－0.3827+j0.9239，p2=－0.3827－j0.9239

p3=－0.9239+j0.3827，p4=－0.9239－j0.3827

按式(5.2.24)計算3dB截止頻率Ωc為去歸一化得

其中，

si=Ωcpi，Bi=ΩcAi

(3)將Ha(s)轉(zhuǎn)換成H(z)：如果取T=1ms，可得到同樣的設(shè)計結(jié)果。圖5.3.6同時給出了T=1s和T=1ms時，G(jΩ)和H(ejω)的幅頻曲線。從圖中可以看出，數(shù)字濾波器基本滿足技術(shù)指標(biāo)要求，但是，由于頻譜混疊失真，使數(shù)字濾波器在ω=π附近衰減明顯小于模擬濾波器在f=fs/2(圖(a)f=0.5Hz處，圖(c)f=500Hz處)附近的衰減。圖5.3.6例5.3.2的幅度特性對比例5.3.1和例5.3.2，總結(jié)采樣間隔T對濾波器設(shè)計的影響：

(1)如果直接由模擬低通濾波器Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器H(z)，則T的取值對轉(zhuǎn)換結(jié)果有影響，即T不同，則H(z)不同，頻率響應(yīng)當(dāng)然也不同。對于脈沖響應(yīng)不變法，T值越大，會使頻譜混疊失真越嚴(yán)重。

(2)如果給定數(shù)字濾波器指標(biāo)，先模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。此時在數(shù)字指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬指標(biāo)和S平面到Z平面的兩次轉(zhuǎn)換時都用到了T，這兩次變換是互逆過程，所以T的影響可相互抵消。若沒有特別說明，在設(shè)計時一般取T=1，以圖方便。脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)點是頻率坐標(biāo)變換是線性的，即ω=ΩT，如果不考慮頻率混疊現(xiàn)象，用這種方法設(shè)計的數(shù)字濾波器會很好地重現(xiàn)原模擬濾波器的頻率特性。另外一個優(yōu)點是數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，時域特性逼近好。

當(dāng)模擬低通的最高截止頻率超過了折疊頻率π/T時，會在數(shù)字化后產(chǎn)生頻譜混疊，再通過標(biāo)準(zhǔn)映射關(guān)系z=esT，結(jié)果在ω=π附近形成頻譜混疊現(xiàn)象。使數(shù)字濾波器的頻響偏移模擬濾波器的頻響。頻譜混疊現(xiàn)象是脈沖響應(yīng)不變法最大的缺點，因此這種方法只適合低通、帶通濾波器的設(shè)計，不適合高通、帶阻濾波器的設(shè)計。5.3.2雙線性變換法

1.轉(zhuǎn)換原理

脈沖響應(yīng)不變法是使數(shù)字濾波器在時域上模仿模擬濾波器，但會產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，這是由從S平面到Z平面的多值映射所造成的。為了克服這一缺點，對脈沖響應(yīng)不變法進(jìn)行改進(jìn)，采用非線性頻率壓縮的方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到±π/T之間，再用z=esT轉(zhuǎn)換到Z平面上，如圖5.3.7所示。圖5.3.7雙線性變換法的映射關(guān)系為了實現(xiàn)S平面上整個虛軸jΩ完全壓縮到S1平面上虛軸jΩ1的±π/T之間的轉(zhuǎn)換，利用正切變換實現(xiàn)頻率壓縮：

式中，K為任意正實常數(shù)，通常取 。當(dāng)Ω1從 經(jīng)過0變化到時，Ω則由－∞經(jīng)過0變化到＋∞，映射了整個虛軸。將這個關(guān)系解析延拓到整個S平面和S1平面，則得到(5.3.15)(5.3.16)再將S1平面通過

轉(zhuǎn)換到Z平面上，得到

同樣對z求解，得

式(5.3.17)和式(5.3.18)為雙線性變換法的變換公式，由于是s域與z域單值可逆映射變換，所以不會產(chǎn)生頻譜混疊失真。(5.3.18)(5.3.17)

2.S平面到Z平面的映射關(guān)系

雙線性變換法的映射情況如圖5.3.7所示。從S平面映射到S1平面，再從S1平面映射到Z平面，下面分析S平面到Z平面的映射關(guān)系。對于s=σ+jΩ，根據(jù)式(5.3.18)可得(5.3.19)因此

由式(5.3.20)可得以下結(jié)論：

σ=0，|z|=1，S平面的虛軸映射為Z平面的單位圓上；

σ<0，|z|<1，S平面左半平面映射為Z平面的單位圓內(nèi)；

σ>0，|z|>1，S平面右半平面映射為Z平面的單位圓外。(5.3.20)這樣如果Ha(s)因果穩(wěn)定，轉(zhuǎn)換后得到的H(z)也是因果穩(wěn)定的。同時，由于S平面到Z平面是一種單值映射關(guān)系，因此消除了頻率混疊現(xiàn)象，這是雙線性變換法相比脈沖響應(yīng)不變法而言最大的優(yōu)點。

下面分析模擬頻率Ω和數(shù)字頻率ω之間的關(guān)系。令s=jΩ，z=ejω，并代入式(5.3.17)中，有

即(5.3.21)(5.3.22)上式說明，模擬頻率Ω和數(shù)字頻率ω成非線性正切關(guān)系，如圖5.3.8所示。很明顯，S平面的整個負(fù)虛軸從Ω=－∞到Ω=0映射到Z平面的單位圓周從ω=－π(即z=－1)到ω=0(即z=1)的下半部分；而S平面的整個正虛軸從Ω=0到Ω=+∞映射到Z平面的單位圓周從ω=0(即z=1)到ω=+π(即z=－1)的上半部分；頻率軸是單值變換關(guān)系，且Ω→∞時，ω→π，即奈奎斯特折疊頻率。故不會有高于折疊頻率的分量，這就避免了頻率混疊現(xiàn)象。但這種映射的非線性程度是很高的，在ω=0附近還比較接近線性關(guān)系；當(dāng)ω增加時，Ω增加得愈來愈快，在Ω與ω之間出現(xiàn)了嚴(yán)重的非線性關(guān)系。圖5.3.8雙線性變換法的頻率映射關(guān)系

3.頻率畸變

雙線性變換法的模擬頻率Ω和數(shù)字頻率ω成非線性正切關(guān)系，正是因為這種非線性關(guān)系，消除了頻率混疊現(xiàn)象，但也導(dǎo)致了頻率軸的失真，稱為頻率畸變?；兊男Ч鐖D5.3.9所示。如果模擬濾波器的頻響具有片斷常數(shù)特性(即某一段頻率的幅頻特性近似等于某一常數(shù))，則轉(zhuǎn)換到Z平面數(shù)字濾波器仍具有片斷常數(shù)特性，但在特性轉(zhuǎn)折點發(fā)生了頻率畸變。因此，為了設(shè)計滿足特定幅度響應(yīng)的數(shù)字濾波器，首先要利用式(5.3.22)。將各頻帶的邊緣頻率預(yù)先加以畸變，從而找到它們的等效模擬頻率，再利用預(yù)畸后的邊緣頻率設(shè)計模擬原型濾波器Ha(s)，然后對Ha(s)進(jìn)行雙線性變換，得

到所需的數(shù)字濾波器H(z)。圖5.3.9雙線性變換法的頻率非線性畸變注意，只有當(dāng)濾波器幅頻響應(yīng)具有片斷常數(shù)特性時，經(jīng)雙線性變換后，才能得到與模擬濾波器具有相同片斷常數(shù)幅頻特性的數(shù)字濾波器，但在變換后，對于不是片斷常數(shù)的相位特性仍有非線性失真。因此，雙線性變換法適用于設(shè)計具有片斷常數(shù)特性的數(shù)字濾波器。在實際中，一般設(shè)計濾波器通帶和阻帶均要求是片斷常數(shù)，因此雙線性變換法得到了廣泛的應(yīng)用。

4.濾波器設(shè)計步驟

對照脈沖響應(yīng)不變法的設(shè)計過程，雙線性變換法的設(shè)計步驟如下：

(1)利用 ，對ωp、ωs進(jìn)行預(yù)畸，得到對應(yīng)的Ωp、Ωs，而αp、αs不作變化。

(2)設(shè)計模擬低通濾波器Ha(s)。

(3)利用式(5.3.18)，將Ha(s)轉(zhuǎn)換為H(z)。

例5.3.3試用雙線性變換法設(shè)計一個低通數(shù)字濾波器，給定技術(shù)指標(biāo)是fp=100Hz，fs=200Hz，αp=1dB，αs=15dB，抽樣頻率Fs=1000Hz。

解首先根據(jù)已知條件，得到數(shù)字頻率指標(biāo)：

這即是例5.3.2給出的技術(shù)指標(biāo)。

(1)將數(shù)字低通的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬低通的技術(shù)指標(biāo)：

為簡化計算取T=2s，有

(2)設(shè)計模擬低通濾波器Ha(s)：取N=3，查表得

按式(5.2.24)計算3dB截止頻率Ωc為

去歸一化，得到實際的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)為

(3)將Ha(s)轉(zhuǎn)換成H(z)：

圖5.3.10給出了用雙線性變換法設(shè)計出的數(shù)字濾波器的幅頻曲線。從圖(a)可以看出，ω=π附近曲線迅速地下降到零，無頻譜混疊失真，這正是雙線性變換法對模擬頻率進(jìn)行非線性壓縮的結(jié)果。從圖(b)可以看出，數(shù)字濾波器完全符合技術(shù)要求。圖5.3.10例5.3.3的幅頻特性5.3.3高通、帶通和帶阻IIR數(shù)字濾波器設(shè)計

前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了模擬低通濾波器的設(shè)計方法，基于s域頻率變換的模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計方法，基于脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法的數(shù)字低通濾波器設(shè)計方法。在此基礎(chǔ)上我們很容易得到高通、帶通及帶阻數(shù)字濾波器的設(shè)計方法。其設(shè)計的過程如圖5.3.11所示。圖5.3.11

IIR數(shù)字濾波器設(shè)計流程具體設(shè)計步驟如下：

(1)確定數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)。

(2)選擇合適的設(shè)計方法，將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)。

脈沖響應(yīng)不變法的轉(zhuǎn)換公式為

雙線性變換法的轉(zhuǎn)換公式為

(3)將所需類型模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器技術(shù)指標(biāo)。

(4)設(shè)計模擬低通濾波器。

(5)將模擬低通濾波器通過頻率變換，轉(zhuǎn)換成所需類型的模擬濾波器。

(6)采用脈沖響應(yīng)不變法或雙線性變換法，將所需類型的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成所需類型的數(shù)字濾波器。注意：如果設(shè)計的是數(shù)字低通或者數(shù)字帶通濾波器，既可采用脈沖響應(yīng)不變法，也可采用雙線性變換法，將模擬低通或者模擬帶通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通或者數(shù)字帶通濾波器。而對數(shù)字高通或者數(shù)字帶阻濾波器則只能采用雙線性