2020-2021學(xué)年新教材數(shù)學(xué)北師大版（2019）第二冊學(xué)案與作業(yè)：3.2半角公式

3.2半角公式

基礎(chǔ)通關(guān)一水平一》

門5分鐘35分）

1o已女口cos~~總8￡（IT,2TT）,貝1sin，+cosg=（

A.—Bo-

55

C.--Do-

55

【解析】選D.因為0W（ir,2球所以

所“以，sm,-0+cos0-=1"o

225

1a

2.（2020?西安高一檢測）已如cosa=-g,a￡（n,9），%+：：&=（）

12

Ao二B.-2C.-D.2

22

【解析】選B。由cos（x=―|，a￡（m引，

QQ,.a2d4.Q

,0.31+ta%cos-+sin-i+sina-i1-ta丐

何a=~,---------<?=-I,----=-^=——，所以---

sin51-tan—cos一—sm—cosa—21+tan^-=-2o

22252

3.（2020?濟(jì)南高一檢測）>$.△ABC中，若sinBsinC=cos2*劃下面

等式一定成立的為（）

A.A=BBoA=C

C.B=CD.A=B=C

【解析】選C.在△ABC中，因為sinBsinC=cos2g=巴魯，

所以2sinBsinC=—cosBcosC+sinBsinC+l,

所以cosBcosC+sinBsinC=cosfB一CJ=1,

因為—7i〈B-C〈兀，所以B—C—0,B—Co

4o（2020?福州高一檢測）4知sin--cos450°<a<540°,

225

則tan］的值為o

2

【解析】由題意得（s嗚-cos

即1-sina=3所以sina=-,

55

因為450°<a〈540°,所以cosa=--,

5

vu,a1-cosaMw）c

所以tan一二----=\5-2.

2sina一

5

答案：2

5.（2020?永安高二檢測）若代卜祠,

=

化簡：-+-I--j--cos2（zo

J22\22--------------------

【解析】因為aW（n,1）,

所以支&引，

所以cosa<0,sin^>0,

J-1+-1cos2a=|cosa|=-cosa.

所以原式二l---cosa=sin-=sin-.

\2222

答案:sinS

2

6o(2020?浦東高二檢測)已知a,(o,g且a〈0,若sina=g,cos

刃喑

求：C)cos0的值；(2)tang的值.

【解析】(1)因為a,0￡(0,T),sina=*

所以cosa='

因為a<P，所以a—p￡($0),

又cos(a-6)二||,

所以sin(0邛)二系,

所以cosp=cos[a-(a-^)]

=cosacos(a-^)+sinasin(a-^)

_4X123X533

51351365,

(2)由(1)彳導(dǎo)cosP=||,所以sin[3=||,

sin/74

所以tan-=33-o

21+COS01+—7

65

I能力進(jìn)階一水平二》

（30分鐘60分）

一、單選題（每小題5分，共20分）

1.(2020?洛陽高二檢測)已知cos^=|,a^(0,2n),貝1sin(寧)

)

A等By/10c3，10Do

.10°10io

【解析】選C.因為角m是:的2僖,

YQY3

1-cos-1--1

所以sin2?_2—5—

4225’

因為a￡(0,2n),

所以苦（。,*

4

1_Vs

所以si?na-=

45-5，

aL.aL12V5

92

所以cos-=l-sm-=l--=——9.

44?55

所以sin(笠/=si唱+"

=s?ina-cos1-1+,cosa-s?inn-

4444

=^x—+—X—

525210

2.(2020?延安高一檢測)設(shè)cos(x+y)sinx一sin(x+y)cosx=!|,且

y是第叩象F艮角，則ta*的值是()

A。二B。土三C.—D+-

3223

【解析】選A。因為cos(x+y)sinx-sinfx+y)cosx二!|,所以siny=sin

[(x+y)-x]

=sin(x+yjcosx-cos(x+y)sinx=——,

因為y是第二象F艮角，所以cosy=Jl-sin2尸J1-（胃*由半角

12

公式得tan3二、噸一一咚=_工*星=.

21+cosy1+213183

3o（2020?三亞高一檢測）若3兀<X<4TI,則111^+（）

A.V2COSQ-0BO-V2COSQ-0

CoV2sin^-f)D.-企sin《-§

【解析】Co因為3?！磝<4兀，

所以當(dāng)<2K,sinm<0,cos|>0。

cosf|+|sin^cosf-sin^V2(^cosx---y/2si.nx-\

2227

=V2sinQ-|)o

【補楂訓(xùn)練】

給出下列等式:

(,11)\—1zr4tcana-=----2-

tan-2tana

2

業(yè)竺空碼竺生小fa—PJ;

，2sinasin0+cos(a+0)r

5n一57i

、tan—+tan——

412

C3J5n=-V3；

1-tan—

12

14幅心=必匕

21+cosa

其中正確的等式序號兵__________o(將你認(rèn)為正確的等式序號全

部寫出來)

*1—t^oY\^—1一tan2gc

【解析】對于等式(D,左邊二一f=2x一聲3,等式(1)不成

tan-2tan-tana

22

立；

對于等式(2),左邊二

_sinacos0+cosasin0-2sinacos0

2sinasin/?+cosacos/?-sinasin^

sinacos^-cosasin/?

cosacos/y+sinasin°

二/m—tan(a邛)，等式(2)不成立;

cos(a-pJ\7

5n一5n

,一i.tan—+tan—

對于等式(3),左邊二一45n繇

1-tan—tan—

412

=tan(—+—)=tan—

\41273

=tan(2ir-^=-tan^=一V3,等式j(luò)(3)成立;

/2a\.2Ct

對于等式(4),等式右邊二1廣S：a21=：sm.darP*等式(4)成立.

l+(2cos2--lJ2cos2-2

答案：(3)C4)

4.已知函數(shù)f(a)=4(sin2a―cos2a)+2,在銳角三角形ABC中f(AJ

=6,且cos2B=cos2C,則tanB的值為(J

A.lB.V2-1

CoV2+1D.0

2

【解析】選C。因為函數(shù)f(a)=4(sin2a-cos2a)+2

=4V2sin(2a-；)+2,

又因為在銳角三角形ABC中，f(A)=6,

所以f(A)=4V2sin(24-?)+2=6,

即sin(24-與=立，所以2A—2A3=鄴，解得A二或A=*舍

\4/2444442

去)，

又因為cos2B=cos2C,

所以2B=2C,即B=C=-,

8

匹

所以tanB=S1112g=^^=V2+1。

l+cos2B］上

2

【誤區(qū)警示】注意本題中銳角三角形的限制，產(chǎn)生多解后要對其

進(jìn)行檢驗。

二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對得5分，選對但不會的

得3分，有選錯的得。分）

5o（2020?長沙嵩一檢測）下列三角式中，值為1的是（）

A.4sin15°cos15°Bo2(cos2^-sin2^)

【解析】選ABC.A。4sin15°cos15°=2sinC2xl5°）=2sin30°=l,

本選項符合題意；

B.2（cos2-sin2]=2COS（2X￡）=2COS臺1,本選項符合題意；

2tan225：

C.7=tan（2x22.5。）=tan45。=1,本選項符合題意；

l-tan222.5°~

DoCOS^JcOS2X^=COS^7^1,本選項不符意。

6.已知知數(shù)f（x）=Ltan：x_2sinXCOSX,則下列選項正確的是（）

j.?ianx

A.函數(shù)f（x）的最小正周期是兀

Bo函數(shù)f（x）在區(qū)間卜,，上單調(diào)遹增

Co函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（、，0）對稱

Do函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x=」對稱

8

-1-COS2X

【解析】選AD.因為f(x)二言懸-2sinxcosx

H-1-+-C-O--S2-X

=cos2x-sin2x=V2cos^2x+*

對選項A,函數(shù)的最小正周期為T=*TI,故正確；

對選項B,因為—^<x<^<2x+^<p

所以f（x）在［、，外上單調(diào)遹減，故錯誤；

對選項C,fd=V^cos（-B+；）=聲,函數(shù)不關(guān)于點（一：，0）對稱，故

錯誤.

對選項D,f（f=&cos（-；+；）=&,函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x=—^對

稱，故正確。

【光速解題】B選項可以將區(qū)間端點值代人驗證得

f（-f〉鳴），故不成立，由對稱中心在平衡住置處及對稱軸對應(yīng)

的函數(shù)值為最大或最小值易知C錯D對。

三、填空題（每小題5分,共10分）

7。（2020?杭州高一檢測）若a的終邊上的點（x,y）滿足y=2x（%<0）,

貝］sina-cosa=,tan|=。

【解析】在a的終邊上，任意取一點（-1,-2）,

.--22

貝n1sma=-^==——產(chǎn)，

V1+4

~11

cosa=V"l+=4=-V5-,

r1VS

貝n1sma-cosa=--=——,

Vs5

/tana-=-1---c-o-s-a='i+Vs

2sina2

8.（2020?上海高一檢測）若△ABC為等腰三角形，頂角為A,cos

A=I，貝」sinB=.

【解題指南】利用等腰三角形進(jìn)行A,B兩角的關(guān)系轉(zhuǎn)化,從而由

A角的函數(shù)值得B角的函數(shù)值。

【解析】因為△ABC為等腰三角形，頂角為A,

所以B=一,sinB=sin（告上cos*

由半角公式得cos臺土產(chǎn)冥=±*

又cosA〈0,故A為鈍角:￡（;當(dāng)，

2\427

所以sinB=cos-=-o

210

令水'10

叩、斛答題（每小題10分，共20分）

rLCw,\4COS4X-2COS2X-1

9O已知函數(shù)f（X）二行\(zhòng)——

tan^—+xj?siM匕-叼

⑴求f（-部）的值；

C2）x￡0,；時，求g（x）=；f（xj+sin2x的最大值和最小值。

【解析】（l）f（x）=差干3"

tan^—+xj?$111/匕一叼

/1+COS2X\2--a

41-------j-2cos2x-l

os2(5%)

COS22X_COS22X

sin(三+%)(:05(三+%)|sin^+2x

COS22X,C

,J-------2cos2xo

-cos2x

2

所以?一加=2cos等=2cos千-低

(2)由(1)如f(x)=2cos2x,

g(x)=：f(x)+sin2x=cos2x+sin2x

—V2sin^2x+Z).

因為x￡[o,*所以三2x十三水

2J444

所以g(x)max=V^,g(x)min