立體幾何三大角度歸類2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)熱點題型歸納與分階培優(yōu)練（人教A版2019必修第二冊）（解析版）

專題8立體幾何三大角度歸類

目錄

【題型一】異面直線所成的角：旋轉(zhuǎn)角（圓錐型空間）................................................1

【題型二】異面直線所成的角：平移角型...........................................................3

【題型三】求直線與平面所成的角.................................................................7

【題型四】直線與平面所成角的范圍與最值..........................................................9

【題型五】二面角型計算求角.....................................................................11

【題型六】翻折型二面角.........................................................................15

培優(yōu)第一階一一基礎(chǔ)過關(guān)練.......................................................................18

培優(yōu)第二階一一能力提升練.......................................................................21

培優(yōu)第三階一一培優(yōu)拔尖練.......................................................................27

，律熱點題型歸納

【題型一】異面直線所成的角：旋轉(zhuǎn)角（圓錐型空間）

【典例分析】

若。，8,/是兩兩異面的直線，。與b所成的角是?，/與。、/與人所成的角都是則a的取值范圍是

7V5乃7T7T7C5乃7171

A.-B.■―,—C.—D.~

_66J2J1_36」\_62_

【答案】D

【分析】在空間選取一點。，過。分別作以方的平行線a、5,并設(shè)a、5確定的平面為夕,再將直線/平

移至「，使/,經(jīng)過點0,根據(jù)直線與平面所成角的定義和異面直線所成角的定義，通過討論可得直線,與。、匕所

成的角范圍是.

【詳解】作圖如下：在空間選取一點。，過。作設(shè)直線a、〃確定的平面為萬，

當(dāng)直線夕時:/,與a、5所成的角都是直角,此時所成的角達到最大值；

當(dāng)直線廣恰好在平面夕內(nèi),且平分a、5所成的銳角時，/與a、b所成的角都是J,

6

7t71

此時所成的角達到最小值.所以/'與。、?！傻慕欠秶?

_62_

因為/八a〃,力b,所以/與6所成的角等于/與。、。所成的角,

即/與a、b所成的角范圍是.故選D

【提分秘籍】

基本規(guī)律

異面直線所稱的角的范圍：異面直線成角e（o,勺

【變式訓(xùn)練】

1.已知a,b為異面直線，且所成的角為70°,過空間一點作直線1,直線1與a,b均異面，且所成的角均為50°,

則滿足條件的直線共有條

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】在空間取一過點P的平面a,過點P分別作a,b的平行線a\卜，則a\b所成銳角等于70。，所

成鈍角為110°,當(dāng)過P的直線PM的射影P在a，、b，所成銳角或鈍角的平分線上時，PM與兩條直線a,b

所成的角相等，分別求出兩種情況下PM與a,b的夾角的范圍，根據(jù)對稱性即可得出答案.

【詳解】在空間取一點P,經(jīng)過點P分別作a〃a\b〃b\

設(shè)直線a，、b，確定平面a,

當(dāng)直線PM滿足它的射影PQ在a，、b，所成角的平分線上時，

PM與a，所成的角等于PM與b，所成的角.

因為直線a,b所成的角為70。，得a，、b，所成銳角等于70。.

所以當(dāng)PM的射影PQ在a\b，所成銳角的平分線上時，

PM與a，、b，所成角的范圍是［35。，90°）.

這種情況下，過點P有兩條直線與atb所成的角都是50。.

當(dāng)PM的射影PQ在a\b，所成鈍角的平分線上時，PM與球、丫所成角的范圍是［55。，90°）.

這種情況下，過點P有0條直線（即PMun時）與a，、b所成的角都是50。.

綜上所述，過空間任意一點P可作與a,b所成的角都是50。的直線有2條.

故選B.

2..若兩異面直線所成角為60。，則成為“黃金異面直線對“，在連接正方體各頂點的所有直線中，“黃金異面

直線對“共有（）

A.12對B.24對C.36對D.48對

【答案】B

【分析】根據(jù)異面直線的定義，由正方體的對稱性，以4c為例，即可求得.

【詳解】正方體如圖示.

aB

若要出現(xiàn)所成角為60。的異面直線，則直線需為面對角線，以AC為例，與之構(gòu)成黃金異面直線對的直線有

4條,分別是AB,A'￡>,8C',C'￡>.

正方體的面對角線有12條，所以所求的黃金異面直線對共有寶=24對（每一對被計算兩次，所以要除

以2）.

故選：B

3.異面直線。、6成8（）。角，P為a、6外的一個定點，若過戶有且僅有2條直線與。、人所成的角相等且等

于a,則角a屬于集合（）

A.{?140°<a<50°}B.{?|50°<a<90°）

C.（a|40°<<z<90°}D.{<z|0°<a<40°}

【答案】A

【分析】將異面直線。，人平移到點P，則NBPE=80°,NEPO=100”由直線與。泊所成的角相等且等于。有

且只有2條，得到使直線在面8PE的射影為N8PE的角平分線，由此能出結(jié)果.

【詳解】解：先將異面直線。，〃平移到點P,即過點P作雙）//a,CEIIb,

則N8PE=80°,NEP。=100°,

而NBPE的角平分線與a,b的所成角為40°,

而NEP。的角平分線與。，〃的所成角為50°,

當(dāng)ae{a|40,<a<50°},直線與“，6所成的角相等且等于a有且只有2條，

使直線在面PBE的射影為NBPE的角平分線；

故選：A.

【題型二】異面直線所成的角：平移角型

【典例分析】

在長方體A8CO-4BCA中，AB=A￡>=2,44,=3,點E為棱上的點，且BE=2EB,,則異面直線DE

與A4所成角的正弦值為

A.@B.巫C.亞D.史

2

【答案】B

【分析】在AA上取點F,使得A尸=2以一連接可得EF//A與，得到異面直線OE與A內(nèi)所成

角就是相交直線EF與DE所成的角，在ADEF中，利用余弦定理和三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解.

【詳解】在長方體ABC。一A8CA中，A2=AD=2,AA=3,點E為棱8片上的點，且=如圖所

示，在A4上取點尸，使得AF=2E4一連接可得￡尸//4用,

所以異面直線OE與A與所成角就是相交直線EF與所成的角，

'設(shè)4)EF=?,

又由在直角AAOF中，AD=2,AF=2,所以力尸=+4尸=20,

在直角ABDE中，BD=2y/2,BE=2,所以DE=jBD、BE、=2耳，

在ADEF中，DF=2應(yīng),EF=2,DE=2瓜

DE1+EF2-DF-12+4-8_叢

山余弦定理可得cose=

2DEEF2x2?x2-3

所以異面直線DE與A片所成角的正弦值sin°=故選B.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為

共面直線問題來解決，具體步驟如下：

(1)平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角：

(2)認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

(3)計算：求該角的值，常利用解三角形；

(4)取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是(0,1,當(dāng)所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為兩

條異面直線所成的角.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，在正四棱臺ABCO-4B/。。/中，A出尸BiB=2,AB=4,則異面直線88/與CD/所成的角的余弦值為

A.無B."C.且D.-

3322

【答案】A

【分析】取BC中點M,鏈接A1C1,AiM,MCi從而NA1MC1是異面直線BBi與CDi所成的角，由此利用

余弦定理能求出異面直線BB,與CD,所成的角的余弦值.

【詳解】取BC中點M,鏈接AiG,A.M,MC,

,在正四棱臺ABCD-ABC1D1中,A,B|=B|B=2,AB=4

/.BC=AB=4,MC=2,A（Di=2

??.AiDiMC為平行四邊形

AAiM/ZDiC,

同理，B|Ci〃BM,BICI=BM=2,

ABBiCiC為平行四邊形，

ZA1MC1是異面直線BBi與CD,所成的角，

?；CiD|DC為等腰梯形，CCi=C,Di=D（D=2,DC=4,

NCC|Di=120°,DtC=2y/3

=26

又,:4G=20，G“=2

cosZ^MC,=12+4>=B即為異面直線BBI與CD,所成的角的余弦值為走

2x2x2V333

所以選A

2.如圖，在四棱錐中，PO_L平面A3CO,CDYBC,CD//AB,AB=2BC=2CD=2PD,則異

面直線PA與8c所成角的余弦值為（）

［答案］A

［養(yǎng)析】根據(jù)異面直線所成角的概念，作DE//BC,EF//PA,則ZDEF是異面直線R4與8C所成的角（或

補角），解三角形即可.

【詳解】分別取的中點E,F,連接8￡>,。瓦。尸,過點尸作加，氏），垂足為H,則H是30的中

點，如圖所示，

CD//AB,AB=2CD,所以C￡>〃EB,CD=EB,四邊形￡BC￡>為平行四邊形，有DE//BC,又EFHPA,

則NDEF是異面直線期與BC所成的角（或補角）.

CDLBC,CD//AB,則有￡）￡1他，

設(shè)8C=2,則。E=AE=￡8=C￡>=P￡>=2,AD=BD=JAE?+BE2=20，PAKACP+P》=26，

EF=B

FH=1,DH=6、DF=』FH、DH'=g，

故c°s/DEF=三上亙上空=上等二包.

2DEEF2x2xV33

則異面直線必與8C所成角的余弦值為走.

3

故選：A

3.如圖，己知矩形A8FE與矩形EFC。所成二面角D-￡F-B的平面角為銳角，記二面角￡>-EF-8的平面

角為a,直線EC與平面A8FE所成角為￡,直線EC與直線尸8所成角為九則（）.

A.P>a,p>yB.a>p,p>y

C.a>/3,y>pD.r,Y>P

【答案】C

【分析】過C作COJ?平面A8FE,垂足為O,連結(jié)E。，則a=NA￡￡>,P=/.CEO,y=ZCEF,由此能

求出結(jié)果.

【詳解】解：過C作COL平面A8FE,垂足為O,

?.?矩形A8FE與矩形EFCO所成二面角?！?B的平面角為銳角，

記二面角O-E/-B的平面角為a,直線EC與平面ABFE所成角為￡,

直線EC與直線FB所成角為y,

a=ZAED,P=Z.CEO,y=Z.CEA

'：CF>CO,：.a>/3,由線面角的性質(zhì)可得

故選：C.

【題型三】求直線與平面所成的角

【典例分析】

在空間，若ZAQ5=N4"=6(r,N5OC=90。，直線04與平面08c所成的角為。，則cosd=()

A.mB.正C.1D.-

【答案】A

【分析】取。4上一點A,作AHUHfljBOC于“，連接CW,NAO”為直線。4與平面50c所成的角，分

別作HELOB,交0B于點E,HFJ.OC,交0C于點尸，由己知得一OF//為等腰直角三角形，由此能求出

直線。4與平面BOC所成的角的余弦值.

【詳解】解：如圖，取Q4上一點A,過點A作砥_1_平面30c于H,連接OH,

則ZAOH為直線0A與平面08c所成的角6,

分別作HELQB,交0B于點E,HFLOC,交0C于點尸，連接AE、AF,得AEJ_O8,AFLOC,

因為N4O8=NAOC=6()。，ZOEA=NOFA,OA=OA,所以△OE4=AOE4,所以A￡=AF,

所以EH=FH,則0H為ZBOC的角平分線，由NBOC=90。，可得NFOH=45°,則NOF4=45°,所以

OF”為等腰直角三角形，令OF=a,則OA=2a,所以cosZACW=^=*，

【提分秘籍】

基本規(guī)律

計算線面角，一般有如下幾種方法：

(1)利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影,

即可確定線面角；

(2)在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度人從而不必作出線面角，

則線面角。滿足sin。=彳3為斜線段長)，進而可求得線面角；

(3)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)a為直線/的方向向量，〃為平面的法向量，則線面

角。的正弦值為sin。=卜仍<?,?>!

【變式訓(xùn)練】

1.正方體ABCQ-A耳G。中，直線AA與平面ACC0所成的角為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

［答案］A

【4析】根據(jù)給定條件，作出直線與平面所成的角，再在三角形中求解作答.

【詳解】正方體AB8-A與G2中，連接BQJAG=O,連接4。，如圖,

則有BQ^AG，而?平面ABCQ,耳0匚平面4￡和。，即有BQLAA，

又A41cAG=At,AA］,AiClu平面ACC0,因此8Q_L平面ACC；4,

則NB/。是直線AB|與平面ACGA所成的角，

在Rt.AB|O中，乙4。用=90,BQ=gBiD,=；ABi，則有/與40=30,

所以直線與平面人。04所成的角為30。.

故選：A

2.如圖，正四棱柱A8C3-AMGA中，AB=2,若直線8G與直線AC所成的角為6（）,則直線入與與平面

ACGA所成的角為（）

【答案】A

［分析］連接BR與AG交于點01，先利用線面垂直的條件證得平面ACGA,可知NB\AO\即為直

線AB|與平面ACGA所成的角，從而得出答案.

【詳解】連接與已與AG交于點。1，AC〃AG,所以41GB即為直線與直線AC所成的角，即

NAGB=60.該幾何體為正四棱柱，AB=AtA=2,可得A1=BG，所以4臺=36=A6=20.

連接A。，易得與aj.AC，J.AA,ACAA=A，AGu平面ACGA,A^U平面ACGA，所以B。1

平面ACC/,

所以N與AO1即為直線與平面ACG4所成的角，Ba=6,AB、=26,所以N4Aoi=30.

故選：A.

3.在正方體ABCD-AMR中,設(shè)直線BD｝與直線AD所成的角為。，直線BD.與平面8力6所成的角為夕,

則a+￡=（）

A.土B.2C.二D.如

4323

【答案】C

【分析】根據(jù)異面直線所成角及線面角的定義，可得直線與直線4。所成的角。=/&欣7,直線與

平面CDRG所成的角p=ND、BC,從而即可求解.

【詳解】解：在正方體48CO—A4G。中，

因為AD〃8C,所以直線BR與直線AD所成的角?=ZD,BC,

因為3cl平面C￡>￡>6,所以RC為。/在平面COD?上的射影，

所以直線與平面CDRG所成的角力=NBRC,

又5C/平面8DC，所以BCLRC,

所以NR8C+NBRC=],即&+/?=],

【題型四】直線與平面所成角的范圍與最值

【典例分析】

若直線/與平面a所成的角為（，直線。在平面a內(nèi)，則直線/與直線“所成的角的取值范圍是（）

?7t~\「萬萬］「乃］］「萬71

A.0,—B.—C.—?7TD.—

L3j162j\_32j163j

【答案】C

【分析】根據(jù)線面角的定義可知直線/與直線。所成的角的最小值，根據(jù)異面直線所成的角的定義知最大角

為直角，從而可得答案

【詳解】解：由題意可知直線/與直線。所成的角的最小值為直線與平面所成的角，所以直線/與直線。所成

的角的最小值為?，因為宜線/與宜線。所成的角的最大值為y,

TTTT

所以直線/與直線。所成的角的取值范圍是y.y,故選：C

【變式訓(xùn)練】

7T

1.若直線/與平面a所成的角為直線〃在平面a內(nèi)，且與直線/異面，則直線/與直線。所成角的取值范

圍是（）

八萬7171一兀71_71：71

A.0,-B.—C.D.—

L3J[62j]63j132j

[答案]D

【4析】根據(jù)線面角的定義可知/與直線。所成的角的最小值，根據(jù)異面直線所成角的定義知最大角為直角.

【詳解】由題可知直線/與直線。所成的角的最小值為直線與平面所成的角，所以/與直線”所成的角的最小

值為W■TT，又，,a為異面直線，則直線/與。所成角的最大值為TT

故直線/與直線。所成角的取值范圍是,故選：D

2.在正方體ABCC-A4GR中，點P在線段G2上，若直線與?與平面8儲。所成的角為凡則tan。的取值

范圍是（）

A.乎4B.[1,73]。.盟口.爭

【答案】D

【分析】連接耳c、GB相交于N點，由4平面得NB|RV是直線4P與平面BCR所成的角仇

設(shè)正方體的棱長為2,則4N=0,設(shè)GP=x（OVx42）,則

PN2=2+X2,所以由x的范圍可得答案.

如圖，正方體ABCO-A4Gq中，連接BC、GB相交于N點，則N是GB的中點，且8聲，平面RC月,

連接PN,

則ZBfN是直線與尸與平面3GA所成的角氏設(shè)正方體的棱長為2,則4N=0,設(shè)G尸=x（04x42）,

,.._B、N6_1

tan/rR>PrN—_____=_________=_________

所以B/2=8C：+G尸=4+/,2汽2=與尸-耳%2=2+一,所以'-w-VTT7行7，因

為04x42,所以141+^43,所以4

一IJ,，即且Wtan641.故選：D.

24/I+—3

V2

3.如圖，已知三棱錐O-MC,記二面角C-^-O的平面角為a,直線D4與平面ABC所成的角為耳，直

線OA與BC所成的角為/,貝ij()

A.a>pB.a</3C.a>yD.p>y

【答案】A

【分析】不妨設(shè)二棱錐O-ABC是棱長為2的正四面體，取AB中點E,OC中點M,AC中點N,連結(jié)

DE,CE,MN,EN,過。作OOLCE,交CE于O,連結(jié)AO,\)\\\ZDEC=a,ZDAO=。,NMNE=y,計算

求得其余弦值或直接求得角的度數(shù)，由此能求出結(jié)果.

【詳解】不妨設(shè)三棱錐ABC是棱長為2的正四面體，

取A3中點E,0c中點M，AC中點N,連結(jié)￡>E、CE、MN、EN、

過。作。O_LCE,交CE于0,連結(jié)A0,

a,4DAO=p,NMNE=y,DE=CE=不二\=瓜DC=2,

3+3-4

COSa=-----7=——r==—許子

2xV3xV33,——2|

26r

：.0AO3“V3,取BC中點尸，連結(jié)。尸、AF,則OFLBC,AFVBC,

cosp=---=----=——

AD23

又￡>bcAF=F,「.BC，平面.一。，人口二7二為。.

?般的，sina=sinZ.DEO==sinADAO=sin/3,

DEDA

當(dāng)a為銳角時，由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得

當(dāng)a為鈍角或直角時，由于異面直線所成的角是銳角或直角，此時顯然有々24.

由直線ZM與平面A5C所成的角是與平面內(nèi)所有直線所成的角中的最小角，可得尸4人

由于，的范圍是在夕和90。之間變化，因此a和/的大小關(guān)系不確定.

故A正確，B,C,D錯誤

故選：A.

【題型五】二面角型計算求角

【典例分析】

如圖，在四棱錐尸-ABC。中，底面A88為矩形，一PCD是等邊三角形，平面PCO_L底面ABC。，AQ=3,

四棱錐P-A3CO的體積為186,E為尸C的中點.平面Q48與平面ABC。所成二面角的正切值是（）

【答案】B

【分析】由PGJL底面ABCQ得出CD=6,進而由PF_LAB,FG1Afi得出平面H40與平面ABCD所成二

面角的正切值.

【詳解】分別取C3A8的中點為G,尸，連接P￡FG,PG,AG,8G,設(shè)CD=2a,（a>0）,則PG=ga.

因為一PCD是等邊三角形，所以PG_LC￡>,又因為平面PC。_L平面ABC。，平面PC。平面ABCO=C3,

PGu平面PCO,PG_L底面ABC。，因為四棱錐P-ABC。的體積為18々，所以g（3x2a）x&a=186，

解得a=3.

則PG_LFG,PG1.AG,PG±BG,所以R4=PB,PF±AB,

又因為底面A5CD為矩形，所以FG1AB,

所以4PFG為平面P4B與平面A3CO所成：面角的平面角，

【提分秘籍】

基本規(guī)律

計算二面角，常用方法

rr

u-v

|cos0|=i*ijr.

1.向量法：二面角a-1-〃的大小為6（046（乃），

2.定義法：在棱上任一點，分別在兩個半平面內(nèi)做棱的垂線，兩垂線所成的角即為二面角的平面角

3.垂面法：做與棱垂直的平面，交二面南兩個半平面，兩條交線所成的角即為二面角的平面角

【變式訓(xùn)練】

1.二面角a-/-/7的平面角為60。，A,2是棱/上的兩點，AC,8。分別在半平面a,夕內(nèi)，AC±l,BDII

且AB=AC=1,BD=2,則CO的長為（）

a

c

C.>/5D.2

【答案】D

【分析】利用二面角、空間向量的數(shù)量積運算、空間向量的模、夾角與距離求解問題

【詳解】?.?二面角a-/-力的平面角為60。，

A8是棱/上的兩點，AC,8/)分別在半平面a、夕內(nèi)，ACrl,BD11,

=60,AC-B4=0，ABBD=0,CD=CA+AB+BD|C￡>|=^(C4+AB+B￡>)：

=河+AB，+BQ，+2(C4?AB+CA?BE?+AB?BD)=府+AB，+8n?+2cA-BD

2.已知在長方體A8CC-A4GA中，AB=AD=i,44,=a,記平面AC。和平面ABC。的交線為/,己知

二面角A-1-A的大小為60。，則。的值為()

A.立B.1C.8D.2

3

【答案】C

【分析】如圖所示，連接A8,A.D//BC,得到A，2，B,C四點共面，確定二面角R-/-A的大小為

Z4BA=60。，計算得到答案.

【詳解】如圖所示：連接A8,AQ//BC,故'R，民C四點共面，

故平面AC"和平面ABC。的交線為BC,

8C/平面ABB|A，ABU平面AB耳4,故BC_LAB,義ABJ.BC,

A8u平面ABC。，A8u平面A8CD,,

故二面角A-'A的大小為NA%=60。，a=6

3.如圖所示，二面角的棱上有A,B兩點，直線AC,8。分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已

知A8=4,AC=6,BD=8,CD=2后，則該二面角的大小為（）

【答案】C

【分析】根據(jù)垂直的條件得。VAB=0，ABBD=0,再由向量的數(shù)量積運算可得cos〈以,而〉=-g,根據(jù)

圖示可求得二面角的大小.

【詳解】由題意得：CAAB=0,ABBD=0<

因為CD=C4+A8+BO，

所以|CD|2=+|呵+2CAAB+2ABBD+2CABD,

21

即（2a）-=62+42+82+2X6X8XCOS〈C4,BO〉，解得：cos<CA,B￡>）=--,

27r

又〈C4,5D〉w[0,司,則〈CA,BD〉=w，

由圖示得，該二面角為〈AC,BD〉為銳角，即該二面角為g,

故選：C.

【題型六】翻折型二面角

【典例分析】

如下圖，已知四邊形ABC。，ADEF,AFGH均為正方形,先將矩形ECHG沿A。折起，使二面角￡-AD-B

的大小為30。，再將正方形沿AF'折起，使二面角。的大小為30。，則平面AF'GT/'與平

面4BCO所成的銳二面角的余弦值為

【答案】B

【分析】根據(jù)射影面積法找到平面A8CD平面AFEO,平面A尸G"”'所成的銳.面角的關(guān)系，進而求的

結(jié)果.

【詳解】如圖，作"N_L￡>￡，G"N1DE'.

H'M±DE

DE',AD在平面AF'ED內(nèi)，由AO_LH'M_L平面AF'EZ).

DE'nAD=D

G"N±DE'

在平面內(nèi)，由AO，GW>nG"N_L面WE。.又因為△ADM與△FEW全等,

DE'nAD=D

設(shè)平面ABCD為平面a,平面AF'ED為平面p,平面AF'G"H'為平面y.

S四邊形Af'MW=S四邊形4尸'￡7)

由面積射影定理知：cos(Ar)=

S四邊形AFGTTS四邊形赫底〃，

cos(a,y)=S明幽幽_

同理可得cosg,⑼=:叫.陵,2

3四邊形4尸'￡。S四邊形AF'G"H'

3

所以cos(a,⑼.cosgy)=cos(a,/,故有cos(a,X)=cos30°cos30°=-

4

G"

【變式訓(xùn)練】

1.已知矩形A3CO中,AB=2,BC=\,折疊使點A,C重合,折痕為MN,打開平面ADMN,使二面角

A-MN-C的大小為3,則直線MN與直線4c的距離為()

A.走B.巫C.1D.—

242

【答案】B

【分析】設(shè)MN的中點為P,AC的中點為Q,則PQ為AC與MN的公垂線段，利用題設(shè)中的二面角可求公

垂線段的長度.

【詳解】如圖，設(shè)MN的中點為P,則折疊后二面角A-MV-C的平面角為/APC.

又尸A=PC=@，于是是邊長為好的正三角形.

22

設(shè)AC的中點為Q,則P0為AC與MN的公垂線段，也即直線MN與直線AC的距離，為尸。=蟲乂91=巫.

224

故選：B.

2.已知菱形A5CD中，2BAD",沿對角線8。折起，使二面角A-3O-C的平面角為0,若異面直線AC

3

與8。的距離是菱形邊長的則。=()

4

【答案】c

［分析】先找到二面角A-BD-C的平面角為ZAOC,再證明是異面直線AC與BD的距離，在RJAOM

中求解.

【詳解】如圖，設(shè)菱形的邊長為2a,連接兩條對角線ACBD=O

易得AC，BD,AO=OC=

A

DC

AB

B

菱形ABC。沿對角線8。折起,連接AC,得到三棱錐A-BCD

__\AOLBD

在菱形A3CO中，ACJ.BD,翻著后垂直不變，即八人，cQ

A01BD

CO1BD

即NAOC=6又因為LcMc所以301平面AOC,取AC中點M,連接OM

AOcCO=O

AO,COu面AOC

又因為OMu平面AOC所以。在J1OC中，AO=OC=岳，并且M為AC的中點,

所以QW_LAC故OM是異面宜線ACLjBO的距離

333

又因為異面直線AC與30的距離是菱形邊長的=所以O(shè)M=；x2a="

442

3

在RrAOM中，ZAOM=4所以5"_君，又因為

2COS2-7O-^-T2(2)

所以?=g.?.6=5故選：C

263

3.如圖已知矩形ABCD,AB=1,BC=6,沿對角線AC將“3C折起,當(dāng)二面角8-AC—。的余弦值為時,

則8與。之間距離為()

B

—

>c

D

D.叵

A.1B.上C.石

2

【答案】c

【分析】過8和。分別作BE,AC,DF1AC,根據(jù)向量垂直的性質(zhì),利用向量數(shù)量積進行轉(zhuǎn)化求解即可.

【詳解】解：過B和O分別作BELAC,DFJ.AC,

B

/1

/1\

/1\

//1?\\—

在矩形ABCD,AB=1,BC

'*****^\1

\1/

D

A1

-SfBc=S^ADC，??3AB，BC=~^AC?BE：.BE二二DF=上,則AE=CF=不，即即=2—1=1,

22

.?平面45C與平面AC。所成角的余弦值為一，f1

cos<EB,FD>=--,

BD=BE+EF+FD，

2

BD=(BE+EF+FD)=BE+EF+FD+2BE-EF+2FD-BE+2EF-FD=-+\+--2\EB\\FD[\COS<EB,

FD>=--2x—x—x(--)=-+-=3,貝lj80=6,即B與。之間距離為G，故選：C.

222322

M分階培優(yōu)練

培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練

1.在正方體中,E,F分別為48,4。的中點廁異面直線型：與E尸所成角的大小為（）

A.30B.45C.60D.90

【答案】C

【分析】由題易得EF〃與A，連接CD”即可得出sBCR為等邊三角形，從而得出所求角的大小為60°.

【詳解】如下圖所示，連接BDBQQC

EF//DB,DB//DR、:.EFHDR

則異面直線BC與所所成角為NA4c

=B.C=r>,c,gpBg為等邊三角形

卬8（=60二

故選:c.

2.如圖，空間四邊形ABC￡>中，平面平面8a）,NBA。=90。，且AB=AO,則A。與平面BCD所

成的角是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】B

【分析】過點A作AEJ_30,垂足為E.證明AD與平面BCD所成的角是-4DE,再求ZADE的大小即得解.

如圖，過點A作垂足為E.

因為平面平面BCD,AE1,BD,平面A3Dc平面8C￡>=3￡）,

所以AEJ_平面BCD

所以AD與平面BCD所成的角是4￡>E.

因為ZBAD=90°,RAB=AD,

所以/ADE=45.

所以AZ）與平面8CQ所成的角是45.

故選：B.

【點睛】本題主要考查直線和平面所成的角的計算，意在考查學(xué)生時該知識的理解掌握水平.

3.已知正方形A8C。的邊長為平面A8CD,PA=2,則PC與平面力5c。所成角是（）

A.30B.45C.60D.90

【答案】B

【分析】根據(jù)線面角的知識求得正確答案.

【詳解】由于"J_平面ABC。，ACu平面A8C。，

所以PAJ.AC,故NPC4是PC與平面ABC。所成角，

由于正方形ABCD的邊長為&,所以AC=J（司+（可=2=尸4,

所以NPC4=45。.

故選：B

4.已知正方體4BCO-A/B/C/。，則O/A與平面A8CD所成的角為（）

A.45°B.60°C.90°D.135°

【答案】A

【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)可知即為直線RA與平面ABC0所成的角，從而求出結(jié)果.

【詳解】解：依題意，如圖所示，

根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，DD、±平面ABCD,

ZD.AD即為直線RA與平面A3。所成的角，

又,/AD=DD、,NDQA=90°,

.?..4OR為等腰直角三角形，

二NRAD=45。，

故選：A.

5.自二面角內(nèi)任意一點分別向兩個面引垂線，則兩垂線所成的角與二面角的平面角的關(guān)系是（）

A.相等B.互補C.互余D.相等或互補

【答案】D

【3析】作出圖像數(shù)形結(jié)合即可判斷.

A為二面角a-//內(nèi)任意一點，ABLa,ACL/3,過B作8nl./于。、連接C。，

則/BDC為二面角a-//的平面角，乙48。=乙48=90。，

N8AC為兩條垂線48與AC所成角或其補角，

,//4+NBDC=180。，

當(dāng)二面角的平面角為銳角或直角時，AB與AC所成角與二面角的平面角大小相等，

當(dāng)二面角的平面角為鈍角時?，48與AC所成角與二面角的平面角大小互補.

故選：D.

6.過正方體A8CO-A8cq的頂點A作平面a,使正方形A8CD、正方形ABgd、正方形AORA所在平面

與平面a所成的二面角的平面角相等，則這樣的平面a可以作（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】由正方體性質(zhì)可直接判斷.

如圖所示，

由正方形可知，三棱錐A-ABO為正三棱錐，

所以平面AB￡）與平面ABCZ）,平面A88M，平面所成角均相等，

所以平面a〃平面A23,

同理，因為平面A4GA〃平面43a）,平面CCQQ//平面ABAA,平面BBCC〃平面AO"A，

所以平面ACB,,平面ACR,平面ABQ與平面ABCO,平面488園，平面4。。A所成角均相等，

所以有4個，

故選：D.

7.如圖，在長方體ABCO-AqCQ中，B4=8C,P為CQ的中點，則二面角B