湖南省2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

湖南省2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．設(shè)集合A={y|y=lnx}，B={x|xA．{x|0<x≤1} B．{x|?3≤x≤1}C．{x|0<x≤3} D．{x|?1≤x≤3}2．若z(2?i)=i，則z=A．15+25i B．?13．已知奇函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，且f(2)=1，則不等式f(x)+1<0的解集為（）A．(?1,1) B．(?2,2) C．4．某班同學(xué)利用課外實(shí)踐課，測(cè)量A，B兩地之間的距離，在C處測(cè)得A，C兩地之間的距離是4千米，B，C兩地之間的距離是6千米，且∠ACB=60°，則A，B兩地之間的距離是（）A．27千米 B．43千米 C．219千米 5．已知命題p：函數(shù)f(x)=x3+x+a在[1A．?30≤a≤?2 B．?30≤a≤?3C．?28≤a≤0 D．?30≤a≤06．2cosA．3sin20° B．sin20° C．?7．如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，A．43 B．45 C．468．已知長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱AA1=2A．5 B．3 C．6 D．2二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列結(jié)論不正確的是（）A．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥βB．若α∩β=m，n∥m，則n∥αC．若m?α，n?β，m⊥n，則α⊥βD．若m?α，m⊥β，則α⊥β10．已知函數(shù)f(x)=sinA．f(x)的圖象向左平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)=B．直線x=2π3是C．f(x)在[πD．f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(5π11．已知三棱錐P—ABC的所有棱長(zhǎng)都是6，D，E分別是三棱錐P—ABC外接球和內(nèi)切球上的點(diǎn)，則（）A．三棱錐P—ABC的體積是18B．三棱錐P—ABC內(nèi)切球的半徑是6C．DE長(zhǎng)度的取值范圍是[D．三棱錐P—ABC外接球的體積是27三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．某連鎖超市在A，B，C三地的數(shù)量之比為2:m:4，現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取18家該連鎖超市進(jìn)行調(diào)研，已知A地被抽取了4家，則13．若實(shí)數(shù)x>2y>0，則3yx?2y+xy的最小值為14．在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3，AD=2，點(diǎn)E在線段AB上，AE=1，沿DE將△ADE折起，使得AE⊥DC，此時(shí)四棱錐A—BCDE的體積為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．如圖，在三棱錐S—ABC中，已知∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=4，SB=5.（1）求三棱錐的體積VS?ABC（2）求側(cè)面SBC與側(cè)面SAB所成的二面角的余弦值.16．已知函數(shù)f(x)=2x?a?（1）求f(x)的解析式；（2）若不等式[f(x)]2?af(x)+1≥0對(duì)x∈R恒成立，求17．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，S為△ABC的面積，且43（1）求角A；（2）求b218．如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，（1）證明：AB⊥平面CC（2）求異面直線BC1與（3）在C1D上是否存在點(diǎn)E，使得平面BCE⊥平面ABC19．在復(fù)數(shù)域中，對(duì)于正整數(shù)n滿足zn?1=0的所有復(fù)數(shù)z=cos2kπn+isin2kπn（k∈Z）稱為單位根，其中滿足對(duì)任意小于n的正整數(shù)m，都有zm≠1，則稱這種復(fù)數(shù)為n次的本原單位根，規(guī)定1次本原單位根為1，例如當(dāng)n=4時(shí)，存在四個(gè)4次單位根±1，±i，因?yàn)?1=1，(?1)2=1，因此只有兩個(gè)4次本原單位根±i，對(duì)于正整數(shù)n，設(shè)n次本原單位根為z1，（1）直接寫出8次單位根，并指出哪些是8次本原單位根（無(wú)需證明）；（2）求出f8(x)，并計(jì)算f8（3）設(shè)所有16次本原單位根在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A1，A2，A3，…，Am，復(fù)平面內(nèi)一點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足

答案解析部分1．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】交集及其運(yùn)算【解析】【解答】解：易知集合A=R，由x2?2x?3≤0，解得?1≤x≤3，則集合所以A∩B=B={x|?1≤x≤3}.故答案為：D．【分析】求對(duì)數(shù)函數(shù)值域，解一元二次不等式求得集合A,2．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；共軛復(fù)數(shù)【解析】【解答】解：由z(2?i)=i，可得z=i2?i=故答案為：B．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義求解即可．3．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合【解析】【解答】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f?2=?f(2)=?1，

則不等式f(x)+1<0的解集即為f(x)<?1的解集，即為f(x)<?1=f?2的解集，

又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，所以，不等式f(x)+1<0的解集為(?∞,?2).

4．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理【解析】【解答】解：由余弦定理可得AB2=AC2故答案為：A.【分析】由題意，利用余弦定理求解即可.5．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；函數(shù)零點(diǎn)存在定理【解析】【解答】解：易知函數(shù)f(x)=x3+x+a在[1即(1+1+a)(27+3+a)≤0，解得?30≤a≤?2，要成為命題p成立的一個(gè)必要不充分條件，則選項(xiàng)是集合{a|?30≤a≤?2}的真子集.故答案為：D.【分析】由題意，先確定函數(shù)的單調(diào)性，再利用零點(diǎn)存在性定理結(jié)合充分、必要條件的定義判定即可.6．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山呛团c差的余弦公式【解析】【解答】解：2=2=cos故答案為：C.【分析】由題意，根據(jù)兩角和差的余弦公式化簡(jiǎn)即可.7．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征；多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問(wèn)題【解析】【解答】解：連接AC,AD1，B1連接AB1，交CD1于點(diǎn)因?yàn)锳B=4，所以AC=B1C=AD1=CD1=故答案為：C．【分析】連接AC,AD1，B1D1,B8．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的共線定理；棱柱的結(jié)構(gòu)特征【解析】【解答】解：因?yàn)锳P=λAC+(1?λ)AA1，所以由對(duì)稱性可知，線段CA1上的點(diǎn)到D1所以|PB|+|P當(dāng)P為線段CA1的中點(diǎn)，|PB故答案為：C．【分析】由AP=λAC+(1?λ)AA1，可得P,9．【答案】A,B,C【知識(shí)點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；平面與平面之間的位置關(guān)系【解析】【解答】解：A、若m//n，則α,β可能相交，故A錯(cuò)誤；

B、若α∩β=m，n//C、如圖所示：當(dāng)m?α,n?β,m⊥n，顯然D、由線面垂直的性質(zhì)可知若m?α,m⊥β，則故答案為：ABC.【分析】根據(jù)空間中的直線、平面的位置關(guān)系，結(jié)合反例逐項(xiàng)判斷即可.10．【答案】B,C,D【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)【解析】【解答】解：A、函數(shù)f(x)=sin(2x+π6)B、f(2πC、當(dāng)x∈[π4,D、f(5π故答案為：BCD.【分析】利用三角函數(shù)圖象的平移變換，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.11．【答案】A,C,D【知識(shí)點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；球的體積和表面積；球內(nèi)接多面體【解析】【解答】解：取BC的中點(diǎn)M，連接AM，PM，作PH⊥平面ABC，如圖所示：易證H在AM上，且AH=2HM=23，則PH=從而三棱錐P—ABC的體積V=1設(shè)三棱錐P—ABC內(nèi)切球的半徑為r，則VP?ABC=13S設(shè)三棱錐P—ABC外接球的半徑為R，球心為O，則R2=AH2+OH2=(PH?OH)2，即R2=12+OH顯然DE長(zhǎng)度的取值范圍是[6故答案為：ACD.【分析】作出棱錐的高，利用體積公式即可判斷A；利用內(nèi)切球的半徑公式計(jì)算即可判斷B；利用勾股定理建立方程求解外接球半徑，求出體積即可判斷CD.12．【答案】6【知識(shí)點(diǎn)】分層抽樣方法【解析】【解答】解：由分層抽樣得定義可得：22+m+4=418，解得m=3，

則故答案為：6.【分析】根據(jù)分層抽樣的定義計(jì)算即可.13．【答案】23+2【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式【解析】【解答】解：因?yàn)閤>2y>0，

所以3yx?2y當(dāng)且僅當(dāng)(x?2y)2=3y2，即x=(2+3)y時(shí)等號(hào)成立，

即故答案為：23+2；【分析】利用基本不等式求最小值，再由等號(hào)成立的條件求xy14．【答案】5【知識(shí)點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征；棱錐的結(jié)構(gòu)特征；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積【解析】【解答】解：設(shè)點(diǎn)A在平面BCDE上的投影為A1，如圖所示：

當(dāng)AE⊥DC時(shí)，因?yàn)锳A1⊥平面BCDE，CD?平面BCDE又因?yàn)锳A1∩AE=A，且AA1,AE?因?yàn)锳1E?平面AA過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE，如圖所示：

因?yàn)锳A1⊥平面BCDE，DE?平面BCDE，所以又因?yàn)锳A1∩A1F=A1且因?yàn)锳1F?平面AA設(shè)AA1=?在△ADE中，可得DE=5，AF=25在Rt△A1FE延長(zhǎng)EA1∩CD=G在Rt△DEG中，sin∠A1EF=DGDE，所以四棱錐A?BCDE的體積為13故答案為：53【分析】設(shè)點(diǎn)A在平面BCDE上的投影為A1，證得CD⊥平面AA1E和DE⊥平面AA1F，得到A1F⊥DE15．【答案】（1）解：因?yàn)椤蟂AB=∠SAC=90°，所以SA⊥AB，SA⊥AC，所以SA⊥平面ABC，又因?yàn)椤螦CB=90°，所以SΔABC又因?yàn)镾B=5，AB=AC2故VS?ABC（2）解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，作DE⊥SB于點(diǎn)E，連接CE，如圖所示：因?yàn)槠矫鍭BS⊥平面ABC，所以CD⊥平面ABS，又由三垂線定理知CE⊥SB，所以由DE⊥SB，CE⊥SB知∠CED為側(cè)面SBC與側(cè)面SAB所成的二面角的平面角.因?yàn)镾C=3，BC=4，SB=5，所以CE=12因?yàn)镃D=455所以cos∠CED=1?(【知識(shí)點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；二面角的平面角及求法【解析】【分析】（1）∠ACB=90°，AC=2,BC=4，可求S△ABC，∠SAB=∠SAC=90°，SA⊥平面ABC，勾股定理求出SA（2）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，作DE⊥SB于點(diǎn)E，結(jié)合定義可證得∠CED為側(cè)面SBC與側(cè)面SAB所成的二面角的平面角，求出所需邊長(zhǎng)，求解即可.16．【答案】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2x?a?所以f(?x)=f(x)，可得2?x即2x所以(2所以1+a=0，a=?1，故f(x)=2（2）解：由（1）知f(x)=2x+2?x，令t=因?yàn)椴坏仁絒f(x)]2?af(x)+1≥0恒成立，等價(jià)于所以a≤y2+1又因?yàn)閥≥2，所以(y+1y)min=【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法；函數(shù)的奇偶性；函數(shù)恒成立問(wèn)題；對(duì)勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)【解析】【分析】（1）由函數(shù)的偶函數(shù)，得f(?x)=f(x)，列式求解參數(shù)即可；（2）由（1）知f(x)=2x+2?x，令t=2x，通過(guò)參變分離，將原不等式轉(zhuǎn)化成a≤17．【答案】（1）解：因?yàn)閍2=b所以23所以3sinA+cos因?yàn)锳+π所以A+π6=（2）解：因?yàn)閎=4所以b2因?yàn)锽∈(0,所以2B+π所以sin(2B+故b2【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的余弦公式；正弦定理；余弦定理；輔助角公式【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式及余弦定理結(jié)合輔助角公式求解即可；（2）利用余弦定理以及正弦定理，結(jié)合輔助角公式，二倍角公式化簡(jiǎn)求范圍即可.18．【答案】（1）證明：由正三棱柱的定義可知△ABC是等邊三角形，CC因?yàn)锳B?平面ABC，所以CC因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，D為AB的中點(diǎn)，所以CD⊥AB，因?yàn)镃C1，CD?平面CC1D，且C（2）解：取A1B1的中點(diǎn)D1，連接易證CD∥C1D1，則設(shè)AA1=2，則AB=23，C1故cos∠BC1D1（3）解：在△CC1D因?yàn)镃E?平面CC1D，且AB⊥平面C因?yàn)锳B，C1D?平面ABC1，且AB∩C因?yàn)镃E?平面BCE，所以平面BCE⊥平面ABC設(shè)AA1=2，則C1C=2因?yàn)镾ΔCC1則C1E=CC1故在C1D上存在點(diǎn)E，使得平面BCE⊥平面ABC【知識(shí)點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征；異面直線及其所成的角；直線與平面垂直的判定；平面與平面垂直的判定【解析】【分析】（1）根據(jù)正三棱柱的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合線面垂直的判定證明即可；（2）取A1B1的中點(diǎn)D（3）先作C1D⊥CE于19．【答案】（1）解：z8?1=0的解為：z=cos所以8次單位根為1，?1，i，?i，22+22i，2故8次本原單位根為22+22i，2（2）解：f8又f4(x)=(x?i)(x+i)=x2+1所以f8由此猜想f（3）解：設(shè)16次單位根分別為z0，z1，z2，…，z不難發(fā)現(xiàn)z1，z3，z5，z7，z9，z所以|P又f16|z8|?1≤|所以|z即|P【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；復(fù)數(shù)的三角形式；復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義【解析】【分析】（1）由題意，先寫出z8?1=0的所有復(fù)數(shù)單位根，再根據(jù)該條件寫出（2）先證明對(duì)任意u∈N?都有（3）利用f16

試題分析部分1、試卷總體分布分析總分：150分分值分布客觀題（占比）63.0(42.0%)主觀題（占比）87.0(58.0%)題量分布客觀題（占比）12(63.2%)主觀題（占比）7(36.8%)2、試卷題量分布分析大題題型題目量（占比）分值（占比）填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.3(15.8%)15.0(10.0%)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.3(15.8%)18.0(12.0%)解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.5(26.3%)77.0(51.3%)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.8(42.1%)40.0(26.7%)3、試卷難度結(jié)構(gòu)分析序號(hào)難易度占比1普通(47.4%)2容易(47.4%)3困難(5.3%)4、試卷知識(shí)點(diǎn)分析序號(hào)知識(shí)點(diǎn)（認(rèn)知水平）分值（占比）對(duì)應(yīng)題號(hào)1空間中直線與平面之間的位置關(guān)系6.0(4.0%)92平面與平面垂直的判定17.0(11.3%)183平面向量的共線定理5.0(3.3%)84函數(shù)零點(diǎn)存在定理5.0(3.3%)55異面直線及其所成的角17.0(11.3%)186對(duì)勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)15.0(10.0%)167正弦定理15.0(10.0%)178復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算22.0