第4章指數(shù)概念與對數(shù)函數(shù)（基礎(chǔ)、典型、易錯(cuò)、新文化、壓軸）專項(xiàng)訓(xùn)練-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)考試滿分全攻略（人教A版2019必修第一冊）（解析版）

第4章指數(shù)概念與對數(shù)函數(shù)（基礎(chǔ)、典型、易錯(cuò)、新文化、壓軸）

分類專項(xiàng)訓(xùn)練

【基礎(chǔ)】

一、單選題

1.（2022.江蘇常州.高一期中）若x>0,y>0,則下列各式中，恒等的是（）

A.lgx+lgy=lg(x+y)B.Igx2=(lgx)2

C.1g/=9

D.lgx-lgy=lg(xxj-)

n

【答案】c

【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算法則可判斷各選項(xiàng)的正誤.

【詳解】對于AD選項(xiàng)，lgx+lgy=lg（xxy）,AD均錯(cuò);

對于B選項(xiàng)，lg/=21gxH（lgx）2,B錯(cuò):

對于C選項(xiàng)，lg/=蛇，C對.

n

故選：C.

21

2.（2022?江蘇南京?高一期中）計(jì)算8：+93的結(jié)果是（）

7

D.

6

【答案】B

【分析】由指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得到答案.

【詳解】83+9^=[（2）3]5+[（3）2]^=22+3-1=4+1=y

故選：B.

3.（2022.安徽?高一期中）已知函數(shù)〃x）的定義域?yàn)椋ǎǎ?y），則函數(shù)F（x）=f（2,-4）+^/^7的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（2,3]B.（-2,3]C.[-2,3]D.（0,3]

【答案】A

【分析】"x）的定義域?yàn)閥=f（2'-4）,y=5N兩個(gè)函數(shù)定義域的交集，列出不等式組求解即可.

2r-4>0ix>2

【詳解】由題可知，\八=

3-x.O[x<3

故選：A.

Q

4.（2022?陜西咸陽?高一期中）若4*=3,2'=|,則2x+y的值為（）

A.2B.1C.8D.3

【答案】D

Q

【分析】將4*=3,2，=1轉(zhuǎn)化為對數(shù)的形式求出x,y,然后代入2x+y化簡求值即可

【詳解】因?yàn)?"=3,所以x=Iog43=：log23；

OQ

又2>=?所以y=log21

[88

所以2x+y=2x51og23+log2§=log23+log2§

10g2x3=lo3

=（1）§28=log22=3

故選：D.

5.（2022?全國?高一單元測試）我國某科研機(jī)構(gòu)新研制了一種治療新冠肺炎的注射性新藥，并已進(jìn)入二期臨

床試驗(yàn)階段.已知這種新藥在注射停止后的血藥含量c（t）（單位：mg/L）隨著時(shí)間r（單位：h）的變化用

指數(shù)模型描述，假定某藥物的消除速率常數(shù)k=0.1（單位：h-1）.剛注射這種新藥后的初始血

藥含量c°=2000mg/L,且這種新藥在病人體內(nèi)的血藥含量不低于1000mg/L時(shí)才會對新冠肺炎起療效，現(xiàn)

給某新冠病人注射了這種新藥，則該新藥對病人有療效的時(shí)長大約為（）（參考數(shù)據(jù)：

ln2~0.693,ln3?1.099）

A.5.32hB.6.23hC.6.93hD.7.52h

【答案】C

【分析】利用已知條件。"）=。2-"=20006如'，該藥在機(jī)體內(nèi)的血藥濃度變?yōu)?000mg/L時(shí)需要的時(shí)間為4,

轉(zhuǎn)化求解即可.

【詳解】解：由題意得：

c（f）=qeH=2000e"

設(shè)該要在機(jī)體內(nèi)的血藥濃度變?yōu)?000mg/L需要的時(shí)間為乙

c(r,)=20006*°1,1>1000

2

故-0.1fN-ln2,r<—?6.93

故該新藥對病人有療效的時(shí)長大約為6.93〃

故選：C

6.（2022?湖南?高一課時(shí)練習(xí)）中國共產(chǎn)黨第十八屆中央委員會第五次全體會議認(rèn)為，到2020年全面建成

小康社會，是我們黨確定的“兩個(gè)一百年”奮斗目標(biāo)的第一個(gè)百年奮斗目標(biāo).全會提出了全面建成小康社會新

的目標(biāo)要求：經(jīng)濟(jì)保持中高速增長，在提高發(fā)展平衡性、包容性、可持續(xù)性的基礎(chǔ)上，到2020年國內(nèi)生產(chǎn)

總值和城鄉(xiāng)居民人均收入比2010年翻一番，產(chǎn)業(yè)邁向中高端水平，消費(fèi)對經(jīng)濟(jì)增長貢獻(xiàn)明顯加大，戶籍人

口城鎮(zhèn)化率加快提高.

設(shè)從2011年起，城鄉(xiāng)居民人均收入每一年比上一年都增長/2%.下面給出了依據(jù)“到2020年城鄉(xiāng)居民人均收

入比2010年翻一番''列出的關(guān)于p的四個(gè)關(guān)系式：

①（l+p%）xl0=2；

②（1+「％嚴(yán)=2；

③10（i+p%）=2；

④l+10xp%=2.

其中正確的是（）

A.①B.②C.③D.@

【答案】B

【分析】根據(jù)題目條件，列出指數(shù)式方程.

【詳解】已知從2011年起，城鄉(xiāng)居民人均收入每一年比上一年都增長2％.

則由到2020年城鄉(xiāng)居民人均收入比2010年翻一番，可得：（l+p%>°=2；

正確的關(guān)系式為②.

故選：B

二、多選題

7.（2022?陜西咸陽?高一期中）下列表達(dá)式中不走砸的是（）

523

A.々3.京=々（々>0）B.=〃6

c.=叫D.聒=產(chǎn)

【答案】CD

【分析】對A,同底數(shù)的基相除可判斷，對B,幕的乘方運(yùn)算，對C,利用開偶次方根的條件可判斷，對D,

令a<0進(jìn)行判斷即可.

5252

【詳解】對A,非+.=6下=%〃>0）,故A正確；

對B,（a2）'=aM=a6,故B正確；

對C,當(dāng)a>0,d=G無意義，故C錯(cuò)誤；

a

對D,若°<0,行=『5無意義，故D錯(cuò)誤；

故選：CD.

8.（2022?全國?高一課時(shí)練習(xí)）已知”，6均為不等于1的正數(shù)，則下列選項(xiàng)中與logR相等的有（）

1B?胃

A.?C.kg網(wǎng)8D.log,*"

log2

【答案】AD

【分析】根據(jù)換底公式可判斷.

【詳解】uTT=log?b'拌=bg%"，loga&=log〃“，log〃,,6"=log,*.

1°gbaig”

故選：AD.

三、填空題

9.（2022?江蘇南京?高一期中）在對數(shù)式蜒“（2-司=。（。>0,。工1）中，實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

【答案】（-2）

【分析】根據(jù)真數(shù)位置大于0得x的取值范圍.

【詳解】由于2-x>0,得x<2

故答案為：（TO,2）.

10.（2022?浙江?德清縣教育研訓(xùn)中心高--期中）碳14是一種著名的放射性物質(zhì)，像鈾235、鋸90、碘131、

鈾137、鐳226等也都是放射性物質(zhì).放射性物質(zhì)是指那些能自然地向外輻射能量，發(fā)出射線的物質(zhì).在一個(gè)

給定的單位時(shí)間內(nèi)，放射性物質(zhì)的質(zhì)量會按某個(gè)衰減率衰減.一般是用放射性物質(zhì)質(zhì)量衰減一半所用的時(shí)間

來描述其衰減情況，這個(gè)時(shí)間被稱做半衰期.若在連續(xù)兩個(gè)半衰期里，放射性物質(zhì)將衰減為原有物質(zhì)的

【答案】-##0.25

【分析】根據(jù)半衰期的定義求解即可.

【詳解】根據(jù)題意可知，一個(gè)半衰期里放射性物質(zhì)衰減為原來的則連續(xù)兩個(gè)半衰期里，放射性物質(zhì)將

衰減為原來的

故答案為：—.

4

、.lOg16

11.（2022?江西?高一期末）1en2ln2+-ls^-=______.

1叫4―

【答案】4

（分析】利用對數(shù)恒等式以及換底公式可求得結(jié)果.

【詳解】解：=+限.8=2+log,16=2+2=4.

1*4

故答案為：4.

12.（2022?全國?高一）2021年3月20日，國家文物局公布，四川三星堆考古發(fā)掘取得重大進(jìn)展，考古人員

在三星堆遺址內(nèi)新發(fā)現(xiàn)6座祭祀坑，經(jīng)碳14測年法測定，這6座祭祀坑為商代晚期遺址，碳14測年法是

根據(jù)碳14的衰變程度測度樣本年代的一種測量方法，已知樣本中碳14的原子數(shù)N隨時(shí)間，（單位：年）的

變化規(guī)律是N=N°2一套，則該樣本中碳14的原子數(shù)由N。個(gè)減少到+個(gè)時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間（單位：年）為

【答案】11460

【分析】代入函數(shù)值，求出自變量.

【詳解】當(dāng)f=0時(shí)，N=N°,若N=2,則T品_戶，所以-4=-2,『=11460.

4乙一乙5730

故答案為：11460

1

13.（2022?全國?高一專題練習(xí)）[（_5）4了_15。的值是.

【答案】4

【分析】根據(jù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.

【詳解】原式=5"；_]=5—1=4.

故答案為：4.

四、解答題

14.（2022?福建省南平市高級中學(xué)高一期中）已知"x=°:貝ijf（f（2））=___________.

[-2x+3,（xN1）

3

【答案】-##1.5

2

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式特征代入即可求解.

a

【詳解】/（2）=-2X2+3=-1,/（/（2））=/（-1）=2-'4-1=-,

3

故答案為：~

2

05_2

15.（2022.廣西.高一階段練習(xí)）（1）化簡0K+已）'+4x0.252+目3

（2）已知。+6=6,“6=4,且“>〃，求卓芻的值.

.+崔

【答案】（1）兀+1；（2）當(dāng).

【分析】（1）根據(jù)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)基的運(yùn)算法則即可求解;（2）根據(jù)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)基的運(yùn)算法則即可求解.

1_2

3

【詳解】⑴^H3-7t|+^J+4x^p^=7t-3+|+l+^=7t+l

(2)a>h:.a—h=yj(a+b)2—4ah=「36-16=2百,

則業(yè)

a+b-2a沖6-2x2指

a-b2755

后+b*

16.（2022?湖南?高一課時(shí)練習(xí)）1986年切爾諾貝利（現(xiàn)屬烏克蘭）發(fā)電廠的放射性物質(zhì)泄漏到大氣中，奧

地利被碘131污染（半衰期8天），當(dāng)?shù)?31的含量為10%時(shí)將干草喂給奶牛是安全的.那么農(nóng)民需要等待

多久才能使用這些干草？

【答案】27天

【分析】設(shè)農(nóng)民需要等待x天才能使用這些干草，得到方程（；取=10%,結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可求解.

【詳解】設(shè)農(nóng)民需要等待x天才能使用這些干草，

根據(jù)題意得（占=10%,可得x=8呵卡=81og210?26.58,

所以農(nóng)民需要等待大約27天才能使用這些干草.

17.（2022?四川成都?高一開學(xué)考試）LogisrM模型是常用的預(yù)測區(qū)域人口增長的模型之一，其形式為

其中［是間隔年份，時(shí)的人口數(shù)量，K是有關(guān)人口極限規(guī)模的待定參數(shù)，八C是有關(guān)人口

增長率和初始人口數(shù)量的特定參數(shù)，已知某地區(qū)的人口數(shù)據(jù)如下表;

時(shí)間2010年2015年2020年

間隔年份/（單位：年）0510

人口數(shù)量C（單位：萬）8086.36892.076

該地區(qū)某中學(xué)學(xué)生組成的建模小組對以上數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和計(jì)算，發(fā)現(xiàn)Logistic函數(shù)￡=,八麗能比較

好地描述2010年起該地區(qū)的人口數(shù)量匕（單位：萬）與間隔年份單位：年）的關(guān)系.

（1）請估計(jì)該地區(qū)2030年的人口數(shù)量（結(jié)果保留3位小數(shù)）；

（2）請估計(jì)該地區(qū)2020年到2030年的年平均增長率a（結(jié)果保留3位小數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)；e3ao.607,0.368,廣皿叫?i.oio.

I92.076）

【答案】（1）101.351萬

（2）0.010

【分析】（1）根據(jù)題意直接代入公式計(jì)算即可;

（2）直接利用增長率的公式求解即可.

⑴

2030年即間隔年份為20年,

該地區(qū)的人口數(shù)量混笳

1十U.DXv

120

=101.351

1+0.5x0.368

該地區(qū)2030年的人口數(shù)量大約為101.351萬.

（2）

由表可知2020年的人口數(shù)量為92.076萬,

又由（1）知2030年的人口數(shù)量大約為101.351萬,

101.351

則有92.076x(1+〃)*)=101.351,即(1+。1=

92.076

101351

解得a=i-V"_1a0.010，

I92.076）

所以該地區(qū)2020年到2030的年平均增長率a大約為0.010.

【典型】

一、單選題

1.（2022?山東濰坊?高一期末）三個(gè)數(shù)。=4嗎6=0.54,c=log°s4的大小關(guān)系為（）

A.c<b<aB.b<a<c

C.h<c<aD.c<a<h

【答案】A

【分析】利用指數(shù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可以判定。>1,。<8<1,。<0,從而做出判定.

【詳解】因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=4'是單調(diào)增函數(shù)，y=0.5、是單調(diào)減函數(shù)，對數(shù)函數(shù)y=logo.5x是單調(diào)減函數(shù)，所

4

以〃=4°$>4°=1,0<h=0.5<0.50=l,c=log054<log051=0,

所以cvhva,

故選：A

2.（2022?寧夏吳忠區(qū)青銅峽市教育局高一開學(xué)考試）已知/（力=］，”一1k+%""1（。>（）,4*］）是減函數(shù),

log?x,x>l

則a的取值范圍是（）

A.（0,1］B.（0$）C.川口.展）

【答案】D

【分析】利用分段函數(shù)在R上單調(diào)遞減的特征直接列出不等式組求解即得.

【詳解】因函數(shù)”司=,：；［匕；2”/，1（4>0,〃"）是定義在口上的減函數(shù)，

5?-1<0

則有<0<"1,解得

（5。-1）+2。2log”1

所以〃的取值范圍是

故選：D

3.（2022?內(nèi)蒙古赤峰?高一期末（文））若函數(shù)/（x）唯一的一個(gè)零點(diǎn)同時(shí)在區(qū)間（0,16）,（0,4）,（0,2）內(nèi)，

那么下列命題中正確的是()

A.函數(shù)“X)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點(diǎn)

B.函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,1)或(1,2)內(nèi)有零點(diǎn)

C.函數(shù)/(x)在區(qū)間[2,16)上無零點(diǎn)

D.函數(shù)在區(qū)間(1,16)內(nèi)無零點(diǎn)

【答案】C

【分析】題目中所給的零點(diǎn)所在區(qū)間的交集為(0,2),但零點(diǎn)與1的大小未知，結(jié)合選項(xiàng)可得答案.

【詳解】由題意，函數(shù)F(x)唯一的一個(gè)零點(diǎn)在(0,2)內(nèi)，則函數(shù)在[2,y)上無零點(diǎn)，但零點(diǎn)與1的大小未知,

排除A,B,D選項(xiàng)，故選：C

4.(2022?廣東汕頭?高一期末)一個(gè)容器裝有細(xì)沙acm?,細(xì)沙從容器底部一個(gè)細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出，

rmin后剩余的細(xì)沙量為y=ae"'(cm),經(jīng)過8min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，若容器中的沙子只有開

始時(shí)的八分之一，則需再經(jīng)過的時(shí)間為().

A.24minB.26minC.8minD.16min

【答案】D

【分析】依題意有"防=",解得匕=殍，得到丫=加錚，再令y=:，求解得至H的值，減去最初的8min

28y-ue8

即得所求.

【詳解】依題意有四3=即e?=

1]n2,

兩邊取對數(shù)得一8Z?=ln—=-ln2,「.y=ae8,

28

_ln2]In21

當(dāng)容器中只有開始時(shí)的八分之一，貝IJ有四丁

88

兩邊取對數(shù)得-感f=In』=-31n2,f=24,

88

所以再經(jīng)過的時(shí)間為24-8=16(min).

故選:D.

5.(2022.全國.高一課時(shí)練習(xí))若g是函數(shù)〃x)=2f—or+3的一個(gè)零點(diǎn)，則的另一個(gè)零點(diǎn)為()

A.1B.2C.(1,0)D.(2,0)

【答案】A

a

【分析】由;是函數(shù)〃x）=2W-儂+3的一個(gè)零點(diǎn)，可得。值，再利用韋達(dá)定理列方程解出了（力的另一個(gè)

零點(diǎn).

【詳解】因?yàn)間是函數(shù)〃力=2/一以+3的一個(gè)零點(diǎn)，所以，（|）=2x]|）|-4xg+3=0,解得a=5.設(shè)

另一個(gè)零點(diǎn)為?%,則/+；=]，解得/=1，所以“X）的另一個(gè)零點(diǎn)為1.

故選：A.

6.（2022?四川?遂寧中學(xué)高一開學(xué)考試）設(shè)/（可是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在（0,y）單調(diào)遞增，則（）

-2~\「3~

A.{1幅3）>/（1）>/圖

-3-1「2-

B.〃-隰3）>/圖s>/（|『

■21「3-

C-f圖>止晦3）>，目

-「2-

Df>f

-S。>〃-陷3）

【答案】A

2

【分析】利用基指對函數(shù)的單調(diào)性可以判定log-〉（3y

>0.進(jìn)而結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和偶函數(shù)的性

質(zhì)可以得到答案.

【詳解】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得log?3>log22=l,

由幕函數(shù)y=￡在（°，+8）上單調(diào)遞增，和指數(shù)函數(shù)y=1|）在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞減,

32

且g>g>0可知:

>0,

又???/（力在（0,+8）單調(diào)遞增,

又???“X)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，???/(—log?3)=/(k)g23),

~2~|「3~

,-./(-log23)>/05審，

故選：A.

二、多選題

7.(2022?四川?成都市金牛區(qū)實(shí)外高級中學(xué)有限公司高一期中)若存在實(shí)數(shù)f,對任意的xe(O,s],不等式

(2x—Y—f)(l—f—x)40恒成立，則S的值可以()

A

V5-1r75+1「3-亞n3+非

2222

【答案】ABC

【分析】根據(jù)題意將原不等式化為[(—)-(*-1)2][(1-/)7卜0,則其轉(zhuǎn)化為存在實(shí)數(shù)，，使得在區(qū)間(0,5]

上，函數(shù)y=(x-i)2與函數(shù))，=尤的圖象恒在直線y=iT的兩側(cè)，再根據(jù)數(shù)形結(jié)合，和二次函數(shù)的對稱性，

即可求出結(jié)果.

【詳解】不等式(2x—fT)(lT—*)40可化為[(1T)―(X-1)[[(1T)-X]40,

問題轉(zhuǎn)化為：存在實(shí)數(shù)乙使得在區(qū)間(0,s]上，

函數(shù)y=(x—I)?與函數(shù)y=x的圖象恒在直線y=l7的兩側(cè),

如圖畫出函數(shù)y=(x—以與函數(shù)y=x的圖象,

由廣"廣得戶等或(舍去),

從而得$-1=與1

由二次函數(shù)的對稱性知y=iT與y=(x-l)2圖象的右邊交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為75+1

2

故在區(qū)間［o,號一上，函數(shù)y=(x-l)2與函數(shù)y=x的圖象恒在直線y=lT的兩側(cè)，

所以實(shí)數(shù)$的取值范圍為0,誓^.即選項(xiàng)ABC符合題意.

故選:ABC.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)與方程、二次函數(shù)的性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合能力，屬于中檔題.

8.(2022?海南?高一期末)已知。＞0且函數(shù)與函數(shù)g(x)=a'在同一個(gè)坐標(biāo)系中的圖象可

能是()

【答案】BC

【分析】按和031分類,確定g(x)的單調(diào)性，.f(x)的最高點(diǎn).

【詳解】當(dāng)時(shí)，g(x)=。'是增函數(shù)，只有B、D滿足，此時(shí)/(X)的最高點(diǎn)大于1,故B滿足，D不滿

足；

當(dāng)時(shí)，g(x)=。'是減函數(shù)，只有A、C滿足，此時(shí)Ax)的最高點(diǎn)大于0,小于1,故C滿足，A不滿

足；

故選：BC.

9.(2022?浙江湖州?高一期末)下列四組函數(shù)中為同一函數(shù)的組是()

A.丫7與、=正'B.〃x)=l與〃x)=x°

2

c.y=k+l|與y=Jx2+2x+iD.y=log2xlg^=log4x

【答案】AC

【分析】依次判斷函數(shù)的定義域與對應(yīng)關(guān)系是否相同，即可得解.

【詳解】對于A,函數(shù)y=x定義域?yàn)槠吆瘮?shù)》=#7="定義域?yàn)榉捕x域與對應(yīng)關(guān)系相同，所以為同

一函數(shù)，故A正確：

對于B,函數(shù)/("=1定義域?yàn)镵,函數(shù)f(x)=d定義域?yàn)閧x|x*O},定義域不同，所以不為同一函數(shù)，

故B錯(cuò)誤；

對于C,函數(shù)y=|x+l|定義域?yàn)镽,函數(shù)y=+2x+l=J(x+1)=4+1］定義域?yàn)镽,定義域與對應(yīng)關(guān)系相

同，所以為同一函數(shù)，故C正確；

對于D,函數(shù)y=1ogzx定義域?yàn)?0,+力)，函數(shù)y=k)g/2定義域?yàn)閧xlxwO},定義域不同，所以不為同一

函數(shù)，故D錯(cuò)誤；

故選：AC

三、填空題

(2*x<0

10.(2022?全國?高一期末)已知={,g(x)=〃x)+x+m,若g(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)，則陽的

log2x,x>0

取值范圍是.

【答案】［一1,內(nèi))

【分析】g(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)，得y=/(幻與y=-xr〃的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，再用數(shù)形結(jié)合的方法求出〃，的取

值范圍.

【詳解】畫出函數(shù)/(X)的圖像，如圖所示

再畫出直線之后上下移動，直線與函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程/(x)=-x-機(jī)有兩個(gè)解，也就是函

數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)滿足-”正1,即加之-1,

故答案為：

11.(2022.全國?高一專題練習(xí))已知函數(shù)f(x)=130：。)則//但］=____.

［log,x,(x>0)L12萬

【答案】|

【分析】由分段函數(shù)的解析式，先求的值，代入可得答案.

【詳解】f(x)=］」(*)"口=唾金=_1.

［log2x(x>0)<2；2

則/=/(-1)=3-'=|.

故答案為：

12.(2022?全國?高一課時(shí)練習(xí))在用二分法求函數(shù)〃x)的零點(diǎn)近似值時(shí)，若第一次所取區(qū)間為［-2,6］,則

第三次所取區(qū)間可能是.(寫出一個(gè)符合條件的區(qū)間即可)

【答案】［-2,0］或［0,2］或［2,4］或［4,6］(寫一個(gè)即可).

【分析】根據(jù)二分法的概念，可求得結(jié)果.

【詳解】第一次所取區(qū)間為［-2,6］,則第二次所取區(qū)間可能是［-2,2］,［2,6］；第三次所取區(qū)間可能是［-2,0］,

［0,2］,［2,4］,［4,6］.

故答案為：［-2,0］或［0,2］或［2,4］或［4,6］(寫一個(gè)即可).

13.(2022?江蘇省阜寧中學(xué)高一階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=f+2奴+1在區(qū)間［1,2］上有零點(diǎn)，則。的取值范

圍為.

【答案】—1##——■<a<—］

L4J4

【分析】函數(shù)〃x)在區(qū)間［L2］上有零點(diǎn)，即〃x)=0在［1,2］有方程根，按△=()和A>0兩種情況討論，可

解出。的取值范圍.

【詳解】函數(shù)/(?=爐+2如+1在區(qū)間［1,2］上有零點(diǎn)，即/(司=犬+2曲:+1=0在［1,2］有方程根，

當(dāng)△=4/-4=0時(shí)，。=±1,

2

若a=l,/(x)=(x+l),在區(qū)間口，2］上沒有零點(diǎn),

若a=—l,f(x)=(x-l)2,在區(qū)間［1，2］上有零點(diǎn)，故a=T滿足題意;

當(dāng)△=4c『-4>0,即或”-1時(shí)，，/(力=/+20%+1在區(qū)間［1,2］上有零點(diǎn),

即Y+2以+1=0在［1,2］有方程根，根據(jù)韋達(dá)定理可知，兩根互為倒數(shù)，

應(yīng)有〃力/(2)4。，即(2a+2)(4〃+5)V。，解得一；4a<7,

故答案為：-［LI.

14.(2022.全國.高一單元測試)已知函數(shù)〃x)=W-2x+log.色在卜,￡|內(nèi)恒小于零，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是

［答案】［上,11

(分析］由題意得出log?(x—1)>(x—1)2對任意的X€(l，a恒成立，然后對底數(shù)〃分。>1和0<。<1兩種情況

討論，結(jié)合圖象找出關(guān)鍵點(diǎn)得出關(guān)于〃的不等式(組)求解，可得出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】/(x)=/-2x+log“=X2-2X+log,,a-log,,(x-l)=(x-l)2-log“(x-1),

x—1

3

則不等式log.(x-l)>(x-l)2對任意的xe1,恒成立.

3I1

當(dāng)a>l時(shí)，l<x<-,則—此時(shí)Iog〃(x-1)<log“5<log,1=0,則不等式108“(工一1)>(工一1)o”對

任意的x{l,|

不成立;

當(dāng)0<。<1時(shí)，如下圖所示:

由圖象可知，若不等式log“(x-l)>(x-1)2對任意的xe(l,|卜亙成立,

0<。<1

解得本

因此，實(shí)數(shù)。的取值范圍是^7,1

L16）

故答案為1）.

【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)不等式恒成立問題，解題時(shí)要注意對底數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類討論，并利用數(shù)形結(jié)

合思想得出一些關(guān)鍵點(diǎn)列不等式（組）求解，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.

15.（2022?浙江?杭十四中高一期末）定義max{a,6}為a,b中的最大值，函數(shù)/（x）=max{2*T,2—x}的最小

,3

（2m—1）r-4--尤>。

值為C,如果函數(shù)g（x）=I）4'-在R上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為.

m\x<c

【答案】（0,；

【分析】根據(jù)圖象，將函數(shù)/（X）寫成分段函數(shù)的形式，分析可得其最小值，即可得C的值，進(jìn)而可得

（2w-l）<0

+由減函數(shù)的定義可得<

0</?<1,解得機(jī)的范圍，即可得答案.

mx,x<\3

（2/n-l）4--<m

由題意，在同一坐標(biāo)系下畫出y=2=?=2-*的圖象，可知

/(x)=1c2*7r_>1JKc=/(D=1

,3

則g(x)=.(2"[l)x+4，x/，因?yàn)間(x)為減函數(shù),

mx,x<1

(2m-l)<0

必有,

解可得：即m的取值范圍為(02；

4I4」

故答案為(0,；,

16.(2022?全國?高一專題練習(xí))己知函數(shù)/(x)=|log2W,g(x)=gx,若對任意xe［a,+8),總存在兩個(gè)

p4,使得g(x)?/($)=l,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】［2,+8)

【分析】由已知可得，〃不)4,畫出在仁,

4］上的函數(shù)圖象，可得出進(jìn)而求得實(shí)數(shù)。的

取值范圍.

127

【詳解】〃々)=而J=7x&［a,+oo'),:.f(xQ)<-,

作出f(x)在［^，4］上的函數(shù)圖象如圖：

對任意xw［a，+8),總存在兩個(gè)玉>?；，4,使得g(x)?/(%)=l,

2

.0<—<1,解得aN2.

故答案為：［2,+8).

四、解答題

17.(2022?湖南?高一課時(shí)練習(xí))比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大小:

(1)0.2,"和0.2、

⑵1.26和1.2%

(3)0.3°，和O.3-01;

(4)1.35標(biāo)和1.354.

【答案】⑴0.2°3<0.2°2

(2)1.2°-3>1.20-2

⑶0.3°/<0.3如

⑷1.35°°>1.35”

【分析】（1）利用指數(shù)函數(shù)），=0.2,是減函數(shù)可求解;

（2）利用指數(shù)函數(shù)y=1.2"是增函數(shù)可求解；

（3）利用指數(shù)函數(shù)y=0.3*是減函數(shù)可求解；

（4）利用指數(shù)函數(shù)y=1.35'是增函數(shù)可求解；

（1）

因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=02’是減函數(shù)，K0.3>0.2,所以0.2'*<O.*?

⑵

因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)），=1.2,是增函數(shù)，K0.3>0.2,所以1.2°3>1.2°2

（3）

因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=03是減函數(shù)，且0.1>-0.1,所以0.3°/<0.3刈

（4）

因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=1.35*是增函數(shù)，K0.2>-0.2,所以1.35°2>1.35心

II

18.（2022?全國?高一課時(shí)練習(xí)）己知x+N=a,xy=b,且x>y>0,用表示；一）：.

X2+9

[答案]:二2、

da2-4b

【分析】將幕指數(shù)化為根式形式，利用平方差公式和完全平方公式化簡即可.

【詳解】（x—y『=（x+?-4肛="2-4〃，因?yàn)閤>y>。，所以x-y>0,所以x-y=Ja?一⑨.

除比二G-6（G歷_x^-y-2y[xy_a-2\[b

八\[x+y[y（?+6）（五一6）x-y4a1-4b

19.（2022?全國?高一課時(shí)練習(xí)）近年來，我國在航天領(lǐng)域取得了巨大成就，得益于我國先進(jìn)的運(yùn)載火箭技

術(shù).據(jù)了解，在不考慮空氣阻力和地球引力的理想狀態(tài)下，可以用公式v=%ln”計(jì)算火箭的最大速度v（單

m

位：m/s）.其中%（單位m/s）是噴流相對速度，m（單位：kg）是火箭（除推進(jìn)劑外）的質(zhì)量，M（單位:

kg）是推進(jìn)劑與火箭質(zhì)量的總和，—稱為“總質(zhì)比”，已知A型火箭的噴流相對速度為2000m/s.

m

參考數(shù)據(jù)：In230a5.4,1.6481.649.

（1）當(dāng)總質(zhì)比為230時(shí)，利用給出的參考數(shù)據(jù)求A型火箭的最大速度；

（2）經(jīng)過材料更新和技術(shù)改進(jìn)后，A型火箭的噴流相對速度提高到了原來的1.5倍，總質(zhì)比變?yōu)樵瓉淼?，若

要使火箭的最大速度增加500m/s,記此時(shí)在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前的總質(zhì)比為T,求不小于T的最小整數(shù)？

【答案】（1）10800m/s

（2）45

【分析】（1）運(yùn)用代入法直接求解即可；

（2）根據(jù)題意列出不等式，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和已知題中所給的參考數(shù)據(jù)進(jìn)行求解即可.

（1）

當(dāng)總質(zhì)比為230時(shí)，u=2000In230?2000x5.4=10800,

即4型火箭的最大速度為10800m/s.

（2）

A型火箭的噴流相對速度提高到了原來的1.5倍，所以4型火箭的噴流相對速度為2000XL5=3000M/S,總

質(zhì)比為？?，

3m

由題意得：3000In-2000In>500

3"zm

=>In>0.5n/->Z5n”227/

27，"211nin

因?yàn)?.648<e05<1.649.所以44.496<27e05<44.523，

即44.496<T<44.523,所以不小于T的最小整數(shù)為45.

20.（2022?北京西城?高一期末）已知函數(shù)"x）=log2m.

⑴若〃4）=1，求〃的值；

（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；

⑶若〃x）之m對于xep,”）恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的范圍.

【答案】（1）-3

(2)奇函數(shù)，證明見解析

【分析】(1)代入x="，得到log，N=l,利用對數(shù)的運(yùn)算即可求解;

(2)先判斷奇偶性，然后分析定義域并計(jì)算/(x),/(-x)的數(shù)量關(guān)系，由此完成證明;

⑶將已知轉(zhuǎn)化為機(jī)<[/(x)Ln，求出〃x)在[3,4w)的最小值，即可得解.

⑴

n—\Cl—I

/(a)=l,「.log?幺」=1,即——=2,解得a=—3,

a+\Q+I

所以。的值為-3

⑵

“X)為奇函數(shù)，證明如下:

[T>o

由-x+1,解得：x>l或x<T,所以定義域?yàn)?-8,-l)u(l,y)關(guān)于原點(diǎn)對稱,

x+lwO

x-1

X/(-x)=log2^l=log2^=log2=1O,

x+\|-^77T=-^W

所以〃x)為奇函數(shù);

⑶

?^/(x)=log2^l=log2^=log/l

2

又外部函數(shù)y=|。氏"為增函數(shù)，內(nèi)部函數(shù)y=i-二j在[3,+oo)上為增函數(shù),

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知函數(shù)/(x)在[3,物)上為增函數(shù),

所以/(Ain=/⑶=1°g2言=1嗝J=T，

又機(jī)對于X43,+O))恒成立，所以加<[/(x)Ln，所以m4—I，

所以實(shí)數(shù)，”的范圍是

21.(2022?云南昆明?高一期末)已知函數(shù)/(x)=ln(l+x)-ln(l-x).

⑴求函數(shù)/")的定義域；

⑵解不等式：/(2x-l)>ln3；

(3)已知g(x)=-or2-60-1)，⑴-5的圖象在/軸的上方，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴(一草)

[31

⑵jx—<x<1

(3)67e(-00,-9)

l+x>0

【分析】(1)由題意知?八，解不等式可得解；

[l-x>0

(2)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合單調(diào)性解不等式；

(3)由已知得g(x)>0對恒成立，BP-or2+6x+l>0,利用參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化為。<二+9,令

XX

/??)=『+&,即"的)min，求出的)最值即得解.

(1)

fl+X>0

由題意I八，解得-1VXV1

[l-x>0

所以f(x)的定義域?yàn)?-1,1)

(2)

因?yàn)楹瘮?shù)>=ln(l+x)在(T1)上單調(diào)遞增，函數(shù)y=ln(l-x)在(-1,1)上單調(diào)遞減，

所以f(x)=ln(l+x)—ln(l-x)在(-1,1)上單調(diào)遞增.

又小…修爪佃

所以原不等式可化為〃2x-1)>/

-1<2x—1<1

所以c,1，解得

2x-l>-4

I2

所以原不等式解集為

(3)

加1+x2

g(x)=-ax2-6(x-l)e,-v-5=-ax'+6x+1

由題意，g(X)的圖象始終在X軸的上方，

即g(x)>0對XW(-1,1)恒成立，所以有-以2+6x+1>0

當(dāng)x=0時(shí)，上式顯然成立；

、1,cq6x4-116

當(dāng)xW0時(shí)，a<---=-7+—

XXX

令L=f,因?yàn)閄W(T,1),所以，€(7,-1)(L+8)

X

令/z(f)=/+6r,/e(-00,-1)(l,+oo),即a</l⑴min

當(dāng)?=—3時(shí)，h(t)min=h(-3)=-9

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是ae(-8,-9)

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立問題，不等式恒成立問題常見方法：

①分離參數(shù)“2/(x)恒成立(a>“切3即可)或aVf(x)恒成立(“4/(x)m,“即可);

②數(shù)形結(jié)合(y=f(x)圖像在y=g(x)上方即可)；

③討論最值〃磯面？0或八力四40恒成立.

【易錯(cuò)】

一.選擇題(共1小題)

—x0

1.(2021秋?武漢期末)已知函數(shù)/(x)=1'，若方程/(x)+bf(x)+1=0有六個(gè)相異

-X+2x,x>04

實(shí)根，則實(shí)數(shù)6的取值范圍()

A.(-2,0)B.(-2,-1)C.(-5,0)D.(-5,-1)

44

【分析】先將函數(shù)進(jìn)行換元，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)問題.同時(shí)在結(jié)合函數(shù)/(x)的圖象，確定6的取值

范圍.

【解答】解：令f=/(x),則原函數(shù)方程等價(jià)為?+加+工=0.

4

作出函數(shù)/(X)的圖象如圖1:

圖象可知當(dāng)由0<fVl時(shí)，函數(shù)r=/(x)有3個(gè)交點(diǎn).

所以要使/(X)+bf(x)+工=0有六個(gè)相異實(shí)根，

則等價(jià)為有兩個(gè)根”,t2,

且0<r2<l.

令g（力=理+9+_1,

4

'△>0

f(0)=^>0

b2-l>0b>1或b<-1

b>4

則由根的分布（如圖2）可得］f(l)=l+b-^>0'即'b>《，即,

4

-2<b<0-2<b<0

0<^-<1

解得-L<b<-1,

4

則實(shí)數(shù)6的取值范圍是（-§，-1）.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，以及二次函數(shù)根的分布，解決本題的關(guān)鍵是利用換元，將

復(fù)合函數(shù)轉(zhuǎn)化為我們熟悉的二次函數(shù)，換元是解決這類問題的關(guān)鍵.

二.填空題（共2小題）

2.（2021秋?西青區(qū)期末）函數(shù)/（x）=/〃|x|-’的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3.

X-1

【分析】由=0得/〃Ix|=」一,然后分別作出函數(shù)y=/川力與y=」_的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可

X-1X-1

得到結(jié)論.

【解答】解：由f（x）=ln\x\--L_=o得/川

x-1x-1

設(shè)函數(shù)y=/川M與y=—」一，分別作出函數(shù)y=/川川與y=—工一的圖象如圖：

x-lx-l

由圖象可知兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè),

故函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)，

故答案為：3

【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，根據(jù)函數(shù)和方程之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化