印度與阿拉伯的數學

受《九章算術》或中國其它算書的影響。

施里德哈勒(Sridhara,9世紀):《計算概要》,日用數學著作。印度古代和中世紀最偉大的數學家和天文學家數學著作：《莉拉沃蒂》（Līlāvatī）和《算法本源》

代表印度古代數學最高水平的著作天文著作：《天球》和《天文系統(tǒng)之冠》《莉拉沃蒂》共有13章：第一章給出算學中的名詞術語；第二章是關于整數、分數的代數運算，包括加、減、乘、除、平方、開平方、立方、開立方等；第三章論各種計算法則和技巧；第四章關于利率等方面的應用題；第五章數列計算問題，主要是等差數列和等比數列；第六章關于平面圖形的度量計算；第七至十章關于立體幾何的度量計算；第十一章為測量問題；第十二章是一些代數問題，包括不定方程；第十三章是一些組合問題。該書很多數學問題用歌謠的形式給出。（四）婆什迦羅《算法本源》主要是算術和代數著作。什迦羅對不定方程有特別的興趣，除對“庫塔卡”問題外，他把婆羅摩笈多關于佩爾方程的特殊解法改造成一般性的解法。對ax

2+1=y2

，婆什迦羅首先選擇適當的整數k，找出ax2+k=y2的一組特解(

,

)，即a

2+k=

2，另外再找一個整數m，使（1，m）是ax2+（m2-a）=y2的一組特解，使用“瑟馬薩”組合，得到滿足ax2+k(m2-a）=y2,即最后根據“庫塔卡”方法，可以找到m使k

m

+

,并且使

m2-a

最小。計算則（

1

，

1）是方程ax

2+k1=y2的解。用

1

，

1，k1代替

，

，k，重復做上面的演算，若干次后就得到ax2+p=y2的特解（其中p=1，

2，

4），再根據婆羅摩笈多的方法得到ax

2+1=y2的無窮個解。

婆什迦羅能夠熟練地使用諸如和差與半角等三角公式，在解二次方程中能夠認識并廣泛使用無理數，討論了形如和的無理數的平方根。

阿拉伯帝國的興起

阿拉伯的代數

阿拉伯的三角學與幾何學

阿拉伯國家指以阿拉伯民族為主體的國家，大多分布在亞洲西部和北非一帶，一般使用阿拉伯語，信奉伊斯蘭教。然而“阿拉伯數學”并非指阿拉伯國家的數學，而是指8-15世紀阿拉伯帝國統(tǒng)治下的中亞西亞地區(qū)的數學，包括穆斯林、希臘人、波斯人和基督徒等所寫的阿拉伯文數學著作。4.2

阿拉伯數學阿拉伯帝國的興起

公元629年（唐貞觀三年），伊斯蘭教創(chuàng)始人穆罕默德攻取麥加，兩年后統(tǒng)一阿拉伯半島。接著他和繼承者以“右手拿可蘭經，左手拿刀”通過武力迅速擴張，不久即建立了橫跨歐、亞、非三洲的大食帝國，成為中東地區(qū)的政治、經濟、文化中心。早期這些阿拉伯的游牧民族文化落后，有許多是目不識丁，可是就在穆罕默德的伊斯蘭教《圣訓》中明確的教導（“要尋求學問，即使它遠在中國”）下，阿拉伯人對別的種族和教派是寬大的，并容許異教徒自由活動，因此許多希臘人、波斯人、印度人、猶太人和基督徒的學者和他們合作建立起伊斯蘭的文明及文化。帝國是以哈里發(fā)為最高執(zhí)政者，他兼有軍、政、教三權。先后出現了奧米雅王朝（遷都于大馬士革，公元661年—750年）和阿拔斯王朝（遷都于巴格達，公元750年—1055年），到755年阿拉伯帝國分裂為兩個獨立王國，東部王國以巴格達為首都，西部王國以西班牙的哥爾多華（Cordova）為首都。

阿拉伯人所征服的敘利亞、埃及、美索不達美亞、伊朗、印度等都是世界文化發(fā)達較早的地區(qū)，這些文化遺產大多數被阿拉伯人接受并保存下來。例如他們占領了印度就把印度學者請到巴格達傳播印度文化。公元773年，印度天文學家將印度的天文學及數學書籍譯成阿拉伯文。印度的數字及記數法也在這時候傳入阿拉伯。阿拉伯的幾個哈里發(fā)都重視教育及注意培養(yǎng)科學人材。在阿拉伯西班牙,教育十分普及,幾乎每一個人都會寫字，學者極受尊重。大學教育更是發(fā)達，科爾多華、賽維利亞、托勒多、馬拉加和格拉那達等城，都有規(guī)模龐大的綜合性大學，是當時西方學術教育中心都市。教學科目有算術、幾何、物理、天文、生物、醫(yī)學、哲學、法學、倫理學等。建立學術研究機構，圖書館和天文臺。阿爾-馬蒙時代的“智慧宮”是繼亞歷山大博物館以后世界上最大的學術研究機構。在各地建立的清真寺一般都設有圖書館和學校。巴格達、色拉子（Shiraz）、莫夫、科爾多華都有獨立的圖書館。在穆斯林西班牙就有70座公共圖書館，藏有從各地搜集來的珍貴書籍。就以哈干姆二世時來說吧！科爾多華的圖書館藏書達60多萬冊。

政府組織人力從事古希臘文化遺產的整理和翻譯工作。在“智慧宮”與花拉子米同時的著名翻譯家就有11位。在翻譯中有的被校訂,有的被增補,還有的被注釋,從而使大量的古代文化遺產獲得新生。被翻譯的古典著作中包括歐幾里得、阿基米德、阿波羅尼斯、梅耐勞斯、海倫、托勒密和丟番圖等著名學者的數學和天文著作。

8世紀末，印度數學家及天文學家婆羅摩笈多的著作也被譯成了阿拉伯文。后來,印度的數學知識不斷地傳入了伊斯蘭各國。古希臘人的原著，也主要通過阿拉伯人的譯述而傳入西歐和中歐的。西方正是通過這些譯本才了解古希臘文化遺產。而且有些古希臘著作，還有阿拉伯文譯本流傳下來。

花拉子米(約783~850):《還原與對消計算概要》(al-Kitābal-mukhta

sarfīhisābal-jabr

wa‘l-muqābala,約820年前后)簡稱《代數學》

“Al-jabr”:還原移項;“a‘l-muqābala”:對消.傳入歐洲后，到十四世紀“Al-jabr”演變?yōu)槔≌Z“Algebra”，也就成了今天的英文“Algebra”。

(i)用代數方式處理線性方程組和二次方程；

(ii)第一次給出一元二次方程一般代數解法及幾何證明

(iii)引進移項、合并同類項等代數運算

《代數學》首先指出，該書的數學問題都是由根（x）、平方（x2）和數（常數）這三者組成。

阿拉伯的代數學(一）花拉子米《代數學》

分六章敘述6種類型的一、二次方程求解問題。第一章討論ax2=bx

型方程；第二章討論ax2=b

型方程；第三章討論一次方程ax=b；第四、五、六章是關于三項二次方程求解問題，分別討論三種類型的二次方程：

x2+px=q,x2+q=px,x2=px+q,都給出了相應的求根公式。這六種方程的系數都是正數，可統(tǒng)一為以下一般形式——

明確指出,二次方程可能有兩個正根,也可能有負根,但他不取負根與零根。之后，花拉子米又以幾何方式證明上述各種解法的合理性。如對方程

x2+21=10x

求解過程的證明如下：圖1圖2花拉子米分兩種情形討論。

(1)當x<5時，以x為邊作正方形ABCD，延長BC至L，使BL=5，再延長BL至P，使LP=5，同樣，延長AD至E，使AE=5，再延長至H，使EH=5；以EH為邊長作正方形EHGF，以LF為邊長作正方形LFMN,（如上圖）x2+px+q=0，花拉子米相當于獲得一般的求根公式:(2)當x>5時，以x為邊作正方形ABCD，在邊BC上截取BL=5，延長LC至G，使LG=5，以LG為邊長作正方形LGNF，以LC為邊長作正方形EFMD，(如圖2),記矩形FLCM、MCGN、EFMD、DMNP的面積分別為a、b、c、d，由圖形可知，x2+b+d=10x,這樣b+d=21。那么，

LC=FM=2，故

花拉子米指出:任何二次方程都可以通過“還原”與“對消”（即移項與合并同類項）的步驟化成他所討論的六種類型方程。若記矩形DCLE、ELPH、LFMN、MNPG的面積分別為a、b、c、d，由圖形可知，x2+a+b=10x,這樣a+b=21。由于a=(5

x)x=d,于是c=52

b

d=52

21，即那么,LC=FM=2,故

于是c=52

b

d=5221，即由于a=c+d=5(x

5)，《印度計算法》:（Algoritmidenumero

indorum）系統(tǒng)介紹印度數碼和十進制記數法，以及相應的計算方法。拉丁文譯本在歐洲傳播，為歐洲近代數學的發(fā)生提供了科學基礎。該書在歐洲傳播后，“Algoritmi”也演變?yōu)椤癆lgorithm”。

艾布·卡米勒:（AbuKamil，約850~930）“埃及的計算家”繼承了花拉子米的數學工作為。

《計算技巧珍本》：許多數學問題也采自于花拉子米的書

《論五邊形和十邊形》：包括幾何和代數兩方面的內容，關于四次方程解法和處理無理系數二次方程是其主要特色。

(二）奧馬

海亞姆與三次方程

奧馬·海亞姆（OmarKhayyam，1048?~1131）：11世紀最著名且最富成就的數學家、天文學家和詩人?！哆€原與對消問題的論證》(簡稱《代數學》):

開平方、開立方算法該書對代數學發(fā)展的最杰出貢獻是用圓錐曲線解三次方程。

門奈赫莫斯(Menaechmus,約BC360)為解決倍立方體問題而發(fā)現了圓錐曲線，它與三次方程x3=2a2相聯(lián)系。阿基米德在考慮：平面截球，使所截得的兩部分體積比為定值的問題時，導致三次方程：x2(a

x)=bc2。他利用兩條圓錐曲線y(a

x)=ab和ax2=c2y的交點來求解。阿基米德的傳統(tǒng)啟發(fā)了阿拉伯數學家。海亞姆將不高于三次的代數方程分為25類(系數為正數),其中14類三次方程,對每類三次方程給出相應一種幾何解法,例如解x3+ax=b,首先將其化為x3+c2x=c2d,(這里c2=a,c2d=b,按照希臘人的數學傳統(tǒng):a、b是線段,c2為正方形,c2d為長方體),方程x3+c2x=c2d的解就是拋物線x2

=cy與半圓y2=x(d

x)交點的橫坐標x.他首先畫出正焦弦為c的拋物線,再畫出直徑為d的半圓(如下圖),過它們的交點作垂線PS，則QS長度就是方程的解.

QxS

d

x

RP高次方程的數值解法：納西爾·丁(Nasir-Eddin,1201~1274)和阿爾·卡西（Al-Kashī,?~1429）都給出了開高次方的一般性算法。阿爾·卡西：撒馬爾罕天文臺負責人

《算術之鑰》：給出用于開方的二項式系數表，與11世紀中國賈憲的“開方作法本源圖”十分相似，所介紹的兩種造表方法之一，與楊輝算書所錄賈憲“增乘方法求廉草”完全一致.《算術之鑰》中還有“契丹算法”（即盈不足術,當時的歷史學家稱中國為契丹al-Khataayn）和“百雞問題”，后來傳入歐洲。高精度三角函數表的編造海拜什·哈西卜(Al-Hasīb,764?~870?)

制定間隔為15‘的60進制正弦表，還編制了間隔為1

的正切表。艾布·瓦法

(Abū'l-Wafā,940~997?)

編制出間隔為10‘的正弦表和正余弦表引入正割、余割比魯尼

(Al-Bīrūnī,973~1050)

利用二次插值法制定了正弦、正切函數表。馬拉蓋天文臺阿拉伯的三角學與幾何學

阿爾·巴塔尼(al-Battānī,858?~929)

《天文論著》,又名《星的科學》

對希臘三角學加以系統(tǒng)化創(chuàng)立了系統(tǒng)的三角學術語，如正弦、余弦、正切余切。

發(fā)現了一些等價于下列公式的三角函數關系式：

巴塔尼（

858?-929）以及球面三角形的余弦定理：cosa=cosb

cosc+sinb

sinc

cosA.

艾布·瓦法

《天文學大全》

繼承并發(fā)展了托勒玫的《大匯編》

編制精細的三角函數表證明了與兩角和、差、倍角和半角的正弦公式等價的關于弦的一些定理,證明了平面和球面三角形的正弦定理。比魯尼

(Al-Bīrūnī,973~1050)146余部著作

《馬蘇德規(guī)律》：在三角學方面有一些創(chuàng)造性的工作正弦公式、和差化積公式、倍角公式和半角公式。給出一種測量地球半徑的方法,首先用邊長帶有刻度的正方形ABCD(如圖4.4a)測出一座山高(其中)，再于山頂T處懸一直徑SP可以轉動的圓環(huán)MPNS,從山頂T觀測地平線上一點I，測得俯角

OTI=

，由于，，得到，從而算出地球半徑。，，比魯尼算得1

子午線長為106.4-124.2公里。TGCEBDAFMSTPNHIOG圖4.4a圖4.4b阿爾·卡西計算sin1

的值：首先求出sin72和sin60的值,以求sin12=sin(7260

)的值,再用半角公式求sin3的值,由三倍角公式得出sin3=3sin1

4sin31，即sin1是三次方程sin3=3x

4x3的解，阿爾·卡西用牛頓迭代法：，（x1=sin3）求出sin1的近似值。納西爾·丁

《伊兒汗天文表》(1271):測算出歲差51″/每年

《天文寶庫》

對托勒玫的宇宙體系加以評注，并提出新的宇宙模型

《論完全四邊形》

脫離天文學的系統(tǒng)的三角學專著，系統(tǒng)闡述了平面三角學，明確給出正弦定理。討論球面完全四邊形，對球面三角形進行分類，指出球面直角三角形的6種邊角關系(C為直角)：cosc=cosa

cosb;cosc=ctgA

ctgB;cosA=cosa

sinB;cosA=tgb

ctgC;sinb=sincsinB;sinb=tga

ctgB.

討論了解平面和球面斜三角形的一些方法，引入極三角形的概念以解斜三角形。指出在球面三角形中，由三邊可以求三角，反之，由三角可以求三邊，這是球面三角與平面三角的一個重要標志。與阿拉伯人的代數成就和三角學成就相比，他們的幾何學工作顯得薄弱，阿拉伯人在幾何方面的工作主要是對希臘幾何的翻譯與保存，并傳給了歐洲。他們主要受歐幾里得、阿基米德、阿波羅尼烏斯、海倫和托勒玫等人的影響，希臘幾何學對阿拉伯數學的嚴格性產生一定的作用。他們曾經對《幾何原本》作過評注，其中第五公設引起了他們的注意，不少人試圖證明這條公設，如焦赫里(ai-Jawhari，約830)、著名學者塔比·伊本·庫拉(Thabit

ibn

Qurra,約826~901)、伊本·海塞姆(Ibnal-Haytham,965~1040?)、奧馬·海亞姆以及納西爾·丁等人。阿拉伯人關于第五公設的這種興趣與嘗試，誘發(fā)了后世歐洲學者在這方面的興趣，對非歐幾何的誕生有一定的影響。補充：中國和印度阿拉伯的數學交流絲綢之路中國與阿拉伯世界的數學交流中國與印度的數學交流絲綢之路

“絲綢之路”是古代橫貫歐亞大陸的交通大動脈，發(fā)自中國中原地區(qū)，通過西域的漫長道路而達歐洲。一般認為是由西漢的張騫(qiān

)首先開辟的。

公元前177年，匈奴在冒頓單于統(tǒng)治下，向分布在陰山以西的月氏人進攻，驅趕他們向西邊遷徙到天山以北的地方。月氏民族西遷的消息，一直到公元前138年,才傳到漢武帝劉徹。漢武帝于是派張騫出使西域.聯(lián)絡西部民族如大月氏、烏孫等，聯(lián)合漢朝發(fā)起對匈奴的東西夾擊。張騫帶了100個隨從離開長安，一進入河西走廊，就被匈奴抓走，關了10年才逃出匈奴，到了大宛(yuān

)、康居和大月氏（伊朗東北部）。張騫在大月氏停留了一年之后，就從西域南道回中國，在回中國的路上又被匈奴扣留一年，后來乘匈奴內亂逃回中國，他在西域的時間前后13年，出發(fā)時一百多人，回來只剩下兩人。羅馬帝政時期從奧古斯都（公元前27年—公元14年）執(zhí)政開始，羅馬帝國征服了整個地中海,帝國的東部邊界沿著幼發(fā)拉底河上游和亞美尼亞、安息國接壤。那時中國的商隊，從敦煌或新疆出發(fā)，經常到美索不達米亞及敘利亞去做買賣。中國人也把羅馬叫著“大秦”，意思是“極西的國家”。

公元97年，在西域經營的班超，派了叫甘英的使者，帶著禮物，去尋找到羅馬的路徑，甘英從現在新疆庫車西南的托和鼐出發(fā)，順利地穿過中亞、西亞的廣大地區(qū)，來到安息的西界，準備渡海，經海路到紅海去?？墒遣ㄋ勾L卻欺騙了他,告訴他這條海路難走，遇上好風，也要三個月才行。風信不利，也有走到二年才到。要帶到三年的口糧才能對付。在大海上航行，使人容易得到思鄉(xiāng)病，常常因而死亡。這些話使到甘英不能到達大秦,甘英出使大秦失敗而回。二十余年后,羅馬的魔術師經海路輾轉到印度，緬甸，后由西南陸道來到洛陽獻藝。大秦到了公元166年，正式遣使，從東南海路前來中國。從漢到唐的一千多年間，“絲綢之路”雖幾經中斷，但基本上是暢通的，沿著這條道路保持著大規(guī)模的經濟貿易交往，而伴之而來的是科技文化的交流。西漢形勢圖絲綢之路示意圖

唐時中國的陶瓷制造術、煉丹術和硝等藥物傳入阿拉伯，而阿拉伯的煤油、菠菜、蔥也在這時傳入中國，以后成為中國人常用的蔬菜。在唐時一些阿拉伯人來唐居住或經商或留學，有些甚至取得唐籍，在政府入任為官。例如大食人李彥升，在公元847年被嶺南節(jié)度使盧鈞舉薦入京，由宣宗特準參加科舉考試,次年考取進士。晚唐時，阿拉伯、波斯人僑居中國,并參加科舉中榜者不少。回教在貞觀年間（公元627—649年）已傳入中國。據明朝何喬遠的《回回家言》記載,麥地那國有穆罕默德圣人，其門徒有大賢四人，唐武德中來朝，遂傳教中國，“一賢傳教廣州、二賢傳教揚州、三賢四賢傳教泉州?！碧瞥蝿輬D

12世紀末崛起了蒙古草原地區(qū)的游牧民族，在成吉思汗的率領下，由公元1219年到1225年,組成一支大軍向里海以北的地區(qū)西征。這支部隊配備有漢族和西遼的先進軍事技術裝備，所向無敵。

1235—1244年,成吉思汗的孫子拔都又率蒙軍進行第二次西征，攻克欽察郡，平俄羅斯,破波蘭，敗匈牙利，前鋒直抵威尼斯。

1253—1260年，成吉思汗的孫子蒙哥派旭烈兀第三次西征，席卷了美索不達米亞。中國首先接觸希臘科學的人是蒙哥。

蒙哥派旭烈兀西征時，命令他把中亞著名科學家納速拉丁·徒思（Nasired-dinal-tusi公元1201—1274年）帶回中國。但是，蒙哥派旭烈兀進入波斯以后并沒將徒思送回中國，而是帶他繼續(xù)西征巴格達，不久又回到波斯。

1258—1259年，旭烈兀在徒思的建議下在馬拉加城建立了一座規(guī)模很大的天文臺，徒思擔任臺長。這座天文臺中有大規(guī)模的天文儀器設備，而且參加其中工作的，西有伊斯蘭統(tǒng)治下的西班牙天文學家，東有來自中國的天文學家。

事實上，阿拉伯人來中國學文化，也有中國人到阿拉伯國家去研究。元朝形勢圖中國與印度的數學交流

自從公元前1世紀初,佛教通過西域開始傳入中國之后，中國同印度、西域之間的交通日益發(fā)展，東來西去的僧人日益增多。中印天文數學交流

印度與中國交通甚早．相傳漢明帝時中國就派遣蔡镕到西域尋求佛法。三國時有印度僧人來華。隋唐時期交往漸多。八世紀以后，水路交通更為便利，中印來往更頻。當時兩國各種學術，應互有傳授，算學也不例外。

印度算學，除吠陀時期外，諸家撰述，俱在祖沖之《綴術》后，與中國古算相同之術，如勾股、圓周率、弧團術、開立圓術、求一術等，皆與希臘算學迥異，可為印度算學取法中算之證。又印度算學，類皆因題立術，鮮事證明，數與量無顯明之界限，算法可通于數者，即可應用于量，皆與中算相似。中國數碼的產生以及0號的使用，具體時間不可考證，應該與八、九世紀的中印文化交流有關．隋唐時期及之后，隨著中印文化交流的加深，中印數學交流更為廣泛。中國數學對印度數學的影響：位置制數碼；四則運算；分數；三項法（今有術）；弓形面積與球體積；聯(lián)立一次方程組；負數；勾股問題；圓周率；重差術；一次同余式；不定方程問題；開方法等。印度數學對中國數學的影響：數碼；圓弧的量法等中國與阿拉伯世界的數學交流中阿文化交流概述

阿拉伯帝國與中國的科學與文化交流在帝國建立之前的很長時間就已經存在了。以伊斯蘭文