高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（知識(shí)回扣+熱點(diǎn)突破+能力提升）全稱量詞與存在量詞、邏輯聯(lián)結(jié)詞 理 北師大版

第三節(jié)全稱量詞與存在量詞、邏輯聯(lián)結(jié)詞【考綱下載】1.了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義.2.理解全稱量詞與存在量詞的意義.3.能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.1．全稱量詞與全稱命題(1)“所有”、“每一個(gè)”、“任何”、“任意一條”、“一切”都是在指定范圍內(nèi)，表示整體或全部的含義，這樣的詞叫作全稱量詞．(2)含有全稱量詞的命題，叫作全稱命題．2．存在量詞與特稱命題(1)“有些”、“至少有一個(gè)”、“有一個(gè)”、“存在”都有表示個(gè)別或一部分的含義，這樣的詞叫作存在量詞．(2)含有存在量詞的命題叫作特稱命題．3．全稱命題與特稱命題的否定(1)要說明一個(gè)全稱命題是錯(cuò)誤的，只需找出一個(gè)反例就可以了，實(shí)際上是要說明這個(gè)全稱命題的否定是正確的．全稱命題的否定是特稱命題．(2)要說明一個(gè)特稱命題“存在一些對(duì)象滿足某一性質(zhì)”是錯(cuò)誤的，就要說明所有的對(duì)象都不滿足這一性質(zhì)．實(shí)際上是要說明這個(gè)特稱命題的否定是正確的，特稱命題的否定是全稱命題．4．邏輯聯(lián)結(jié)詞(1)邏輯聯(lián)結(jié)詞通常是指“且”、“或”、“非”．(2)命題p且q，p或q，綈p的真假判斷.pqp且qp或q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真1．邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”與集合運(yùn)算中的“交”“并”“補(bǔ)”有什么關(guān)系？提示：“且”“或”“非”三個(gè)邏輯聯(lián)結(jié)詞，對(duì)應(yīng)著集合運(yùn)算中的“交”“并”“補(bǔ)”，因此，常常借助集合的“交”“并”“補(bǔ)”的意義來解答由“且”“或”“非”三個(gè)聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題問題．2．全稱命題(特稱命題)的否定還是全稱命題(特稱命題)嗎？其真假性與原命題的真假性有什么關(guān)系？提示：不是．全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題，它們的真假性與原命題的真假性恰好相反．1．若命題“p或q”與命題“p”都是真命題，則()A．命題p不一定是假命題B．命題q一定是真命題C．命題q不一定是真命題D．命題p與命題q同真同假解析：選B由題可知“p”是真命題，所以p是假命題，又因?yàn)椤皃或q”是真命題，所以q是真命題．2．(·湖北高考改編)在一次跳傘訓(xùn)練中，甲、乙兩位學(xué)員各跳一次．設(shè)命題p是“甲降落在指定范圍”，q是“乙降落在指定范圍”，則命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”可表示為()A．(p)∨(q)B．p∨(q)C．(p)∧(q)D．p∨q解析：選A命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”包含以下三種情況：“甲、乙均沒有降落在指定范圍”“甲降落在指定范圍，乙沒有降落在指定范圍”“乙降落在指定范圍，甲沒有降落在指定范圍”．選A.或者，命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”等價(jià)于命題“甲、乙均降落在指定范圍”的否命題，即“p∧q”的否定．3．(·四川高考改編)設(shè)x∈Z，集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集．若命題p：?x∈A,2x∈B，則()A．p：?x∈A,2x∈BB．p：?x?A,2x∈BC．p：?x∈A,2x?BD．p：?x?A,2x?B解析：選C選C因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，所以命題p的否定為p：?x∈A,2x?B.4．已知命題p：若(x－1)(x－2)≠0，則x≠1且x≠2；命題q：存在實(shí)數(shù)x，使2x<0.下列選項(xiàng)中為真命題的是()A．pB．qC．(p)∨qD．(q)∧p解析：選D依題意，命題p是真命題，命題q是假命題，因此p是假命題，(q)∧p是真命題，(p)∨q是假命題．5．(教材改編題)(1)命題p：任意兩個(gè)等邊三角形都是相似的，則綈p：__________.(2)命題p：存在x∈R，x2＋2x＋2＝0，則綈p：__________.解析：(1)全稱命題的否定為特稱命題，則綈p：存在兩個(gè)等邊三角形，它們不相似．(2)特稱命題的否定為全稱命題，則綈p：任意x∈R，x2＋2x＋2≠0答案：(1)存在兩個(gè)等邊三角形，它們不相似(2)任意x∈R，x2＋2x＋2≠0考點(diǎn)一含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷[例1](·榆林模擬)給出下列兩個(gè)命題，命題p1：y＝ln[(1－x)(1＋x)]為偶函數(shù)；命題p2：y＝lneq\f(1－x,1＋x)為奇函數(shù)，則下列命題是假命題的是()A．p1∧p2B．p1∨(p2)C．p1∨p2D．p1∧(p2)[自主解答]由題意知，y＝ln[(1－x)(1＋x)]與y＝lneq\f(1－x,1＋x)的定義域均為(－1,1)，對(duì)于函數(shù)f(x)＝ln[(1－x)·(1＋x)]，f(－x)＝ln[(1＋x)(1－x)]＝f(x)，即y＝ln[(1－x)(1＋x)]為偶函數(shù)，命題p1為真命題；對(duì)于函數(shù)g(x)＝lneq\f(1－x,1＋x)，g(－x)＝lneq\f(1＋x,1－x)＝－g(x)，即y＝lneq\f(1－x,1＋x)是奇函數(shù)，命題p2是真命題，故p1∧(p2)為假命題．[答案]D【方法規(guī)律】判斷“p∧q”、“p∨q”、“p”形式命題真假的步驟(1)準(zhǔn)確判斷簡單命題p、q的真假；(2)根據(jù)真值表判斷“p∧q”、“p∨q”、“p”命題的真假．已知命題：p1：函數(shù)y＝2x－2－x在R上為增函數(shù)；p2：函數(shù)y＝2x＋2－x在R上為減函數(shù)．則在命題q1：“p1∨p2”，q2：“p1∧p2”，q3：“(非p1)∨p2”和q4：“p1∧(非A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4解析：選C由f′(x)＝(2x－2－x)′＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x))ln2＞0知，命題p1是真命題，p1是假命題；g′(x)＝(2x＋2－x)′＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x))ln2，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，g′(x)＞0，故命題p2是假命題，p2是真命題，從而命題q1，q4是真命題，故選C.考點(diǎn)二根據(jù)命題的真假求解參數(shù)的取值范圍[例2]已知命題p：關(guān)于x的方程x2－ax＋4＝0有實(shí)根；命題q：關(guān)于x的函數(shù)y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函數(shù)．若p或q是真命題，p且q是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－12，－4]∪[4，＋∞)B．[－12，－4]∪[4，＋∞)C．(－∞，－12)∪(－4,4)D．[－12，＋∞)[自主解答]命題p等價(jià)于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命題q等價(jià)于－eq\f(a,4)≤3，即a≥－12.由p或q是真命題，p且q是假命題知，命題p和q一真一假．若p真q假，則a<－12；若p假q真，則－4<a<4.故a的取值范圍是(－∞，－12)∪(－4,4)．[答案]C【互動(dòng)探究】保持本例條件不變，若p∧q為真，則如何選擇？解析：選Bp∧q為真，∴p和q均為真．∴a的取值范圍為[－12，－4]∪[4，＋∞)．【方法規(guī)律】根據(jù)命題的真假性求參數(shù)的方法步驟(1)求出當(dāng)命題p，q為真命題時(shí)所含參數(shù)的取值范圍；(2)判斷命題p，q的真假性；(3)根據(jù)命題的真假情況，利用集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，求解參數(shù)的取值范圍．已知命題p：關(guān)于x的不等式ax＞1(a＞0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，命題q：函數(shù)y＝lg(ax2－x＋a)的定義域?yàn)镽，如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．解析：由關(guān)于x的不等式ax＞1(a＞0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，知0＜a＜1；由函數(shù)y＝lg(ax2－x＋a)的定義域?yàn)镽，知不等式ax2－x＋a＞0的解集為R，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,1－4a2＜0，))解得a＞eq\f(1,2).因?yàn)閜∨q為真命題，p∧q為假命題，所以p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤0或a≥1，,a＞\f(1,2)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜a＜1，,a≤\f(1,2)，))即a∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[1，＋∞)．答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[1，＋∞)考點(diǎn)三全稱命題、特稱命題1．全稱命題與特稱命題是高考的?？純?nèi)容，題型多為選擇題，難度較小，屬容易題．2．高考對(duì)全稱命題、特稱命題的考查主要有以下兩個(gè)命題角度：(1)判斷全稱命題、特稱命題的真假性；(2)全稱命題、特稱命題的否定．[例3](1)(·洛陽模擬)下列命題中為假命題的是()A．?x∈R,2x－1>0B．?x∈N*，(x－1)2>0C．?x∈R，lgx<1D．?x∈R，tanx＝2(2)(·重慶高考改編)命題“對(duì)任意x∈R，都有x2≥0”的否定是()A．對(duì)任意x∈R，都有x2<0B．不存在x∈R，使得x2<0C．存在x∈R，使得x≥0D．存在x∈R，使得x<0(3)(·湖北高考改編)命題“?x∈?RQ，x∈Q”的否定是()A．?x??RQ，x∈QB．?x∈?RQ，x?QC．?x??RQ，x3∈QD．?x∈?RQ，x3?Q[自主解答](1)A項(xiàng)，∵x∈R，∴x－1∈R，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得2x－1>0；B項(xiàng)，∵x∈N*，∴當(dāng)x＝1時(shí)，(x－1)2＝0與(x－1)2>0矛盾；C項(xiàng)，當(dāng)x＝eq\f(1,10)時(shí)，lgeq\f(1,10)＝－1<1；D項(xiàng)，當(dāng)x∈R時(shí)，tanx∈R，∴?x∈R，tanx＝2.(2)全稱命題的否定是特稱命題．“對(duì)任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在x∈R，使得x＜0”．(3)特稱命題的否定是全稱命題．“?x∈?RQ，x∈Q”的否定是“?x∈?RQ，x3?Q”．[答案](1)B(2)D(3)D全(特)稱命題問題的常見類型及解題策略(1)全(特)稱命題的真假判斷．①要判斷一個(gè)全稱命題是真命題，必須對(duì)限定的集合M中的每個(gè)元素x驗(yàn)證p(x)成立，但要判斷一個(gè)全稱命題為假命題，只要能舉出集合M中的一個(gè)x，使得p(x)不成立即可．②要判斷一個(gè)特稱命題為真命題，只要在限定的集合M中，找到一個(gè)x，使p(x)成立即可，否則這一特稱命題就是假命題．(2)全(特)稱命題的否定．全稱命題與特稱命題的否定與命題的否定有一定的區(qū)別，否定全稱命題和特稱命題時(shí)，一是要改寫量詞，全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞改寫為全稱量詞；二是要否定結(jié)論，而一般命題的否定只需直接否定結(jié)論即可．1．(·海淀模擬)命題p：?α∈R，sin(π－α)＝cosα；命題q：?m＞0，雙曲線eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,m2)＝1的離心率為eq\r(2).則下列結(jié)論正確的是()A．p是假命題B．是真命題C．p∧q是假命題D．p∨q是真命題解析：選D依題意，對(duì)于命題p，注意到當(dāng)α＝eq\f(π,4)時(shí)，sin(π－α)＝sinα＝sineq\f(π,4)＝coseq\f(π,4)，因此命題p是真命題；對(duì)于命題q，注意到雙曲線eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,m2)＝1的離心率e＝eq\f(\r(m2＋m2),\r(m2))＝eq\r(2)，因此命題q是真命題．故是假命題，p∧q是真命題，p∨q是真命題．2．命題“函數(shù)y＝f(x)(x∈M)是偶函數(shù)”的否定可表示為()A．?x∈M，f(－x)≠f(x)B．?x∈M，f(－x)≠f(x)C．?x∈M，f(－x)＝f(x)D．?x∈M，f(－x)＝f(x)解析：選A由偶函數(shù)的定義及命題“函數(shù)y＝f(x)(x∈M)是偶函數(shù)”，可知“?x∈M，f(－x)＝f(x)”，該命題是一個(gè)全稱命題，其否定是一個(gè)特稱命題，即“?x∈M，f(－x)≠f(x)”．3．已知a>0，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，若m滿足關(guān)于x的方程2ax＋b＝0，則下列選項(xiàng)中的命題為假命題的是()A．?x∈R，f(x)≤f(m)B．?x∈R，f(x)≥f(m)C．?x∈R，f(x)≤f(m)D．?x∈R，f(x)≥f(m)解析：選C∵a>0，∴函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c在x＝－eq\f(b,2a)處取得最小值．∴f(m)是函數(shù)f(x)的最小值．故C為假命題．————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]—————————————1個(gè)關(guān)系——邏輯聯(lián)結(jié)詞與集合的關(guān)系“且”“或”“非”三個(gè)邏輯聯(lián)結(jié)詞，對(duì)應(yīng)著集合中的“交”“并”“補(bǔ)”．2類否定——含有一個(gè)量詞的命題的否定(1)全稱命題的否定是特稱命題：全稱命題p：?x∈M，p(x)；：?x∈M，(x)．(2)特稱命題的否定是全稱命題：特稱命題p：?x∈M，p(x)；：?x∈M，x)．3點(diǎn)提醒——命題否定中的易錯(cuò)點(diǎn)(1)注意命題是全稱命題還是特稱命題，是正確寫出命題的否定的前提．(2)注意命題所含的量詞，對(duì)于量詞隱含的命題要結(jié)合命題的含義顯現(xiàn)量詞，再進(jìn)行否定．(3)“p∨q”的否定是“()∧()”；“p∧q”的否定是“(∨()”．易誤警示(一)含有量詞命題的否定中的易錯(cuò)點(diǎn)[典例](·遼寧高考改編)已知命題p：?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，則p是()A．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0D．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0[解題指導(dǎo)]首先分析命題中所含有的量詞，明確命題是全稱命題還是特稱命題，然后再對(duì)命題進(jìn)行否定．[解析]題目中命題的意思是“對(duì)任意的x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0都成立”，要否定它，只要找到至少一組x1，x2，使得(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0即可，故命題“?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0”的否定是“?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0”．[答案]C[名師點(diǎn)評(píng)]1.若忽視對(duì)量詞的改寫，易錯(cuò)選D；若對(duì)不等號(hào)改寫不準(zhǔn)確，易誤選A.2．解決此類問題，還常出現(xiàn)以下錯(cuò)誤：有的全稱命題的全稱量詞往往可以不寫，從而在進(jìn)行命題否定時(shí)將全稱命題只否定判斷詞，而不否定省略了的全稱量詞．如命題“三角形的兩邊之和大于第三邊”的否定應(yīng)為“有些三角形的兩邊之和小于或等于第三邊”而不是“三角形的兩邊之和小于或等于第三邊”．3．為避免上述錯(cuò)誤，對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定時(shí)，應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注以下幾點(diǎn)：(1)正確理解含有一個(gè)量詞的命題的否定的含義，從整體上把握，明確其否定的實(shí)質(zhì)．(2)明確命題的類型，是全稱命題還是特稱命題．(3)記住一些常用的詞語的否定形式及其規(guī)律．命題“存在一個(gè)無理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是()A．任意一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)B．任意一個(gè)無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)C．存在一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)D．存在一個(gè)無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)解析：選B根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題可知，原命題的否定為“任意一個(gè)無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)”.[全盤鞏固]1．(·福州模擬)命題“?x∈R，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x＞0”的否定是()A．?x∈R，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x＜0B．?x∈R，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x≤0C．?x∈R，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x＜0D．?x∈R，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x≤0解析：選D全稱命題“?x∈R，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x＞0”的否定是把量詞“?”改為“?”，并對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定，把“＞”改為“≤”，即“?x∈R，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x≤0”．2．下列命題為真命題的是()A．?x∈Z,1<4x<3B．?x∈Z,5x＋1＝0C．?x∈R，x2－1＝0D．?x∈R，x2＋x＋2>0解析：選D1<4x<3，eq\f(1,4)<x<eq\f(3,4)，這樣的整數(shù)x不存在，故A為假命題；5x＋1＝0，x＝－eq\f(1,5)?Z，故B為假命題；x2－1＝0，x＝±1，故C為假命題；對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有x2＋x＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(7,4)>0，故D為真命題．3．已知l，m，n是空間中的三條直線，命題p：若m⊥l，n⊥l，則m∥n；命題q：若直線l，m，n兩兩相交，則直線l，m，n共面，則下列命題為真命題的是()A．p∧qB．p∨qC．p∨()D．()∧q解析：選C命題p中，m，n可能平行，還可能相交或異面，所以命題p為假命題；命題q中，當(dāng)三條直線交于三個(gè)不同的點(diǎn)時(shí)，三條直線一定共面，當(dāng)三條直線交于一點(diǎn)時(shí)，三條直線不一定共面，所以命題q也為假命題．所以命題和命題都為真命題，故p∨()為真命題．4．已知命題p：?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinx＝eq\f(1,2)，則為()A．?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinx＝eq\f(1,2)B．?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinx≠eq\f(1,2)C．?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinx≠eq\f(1,2)D．?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinx>eq\f(1,2)解析：選B依題意得，命題應(yīng)為：?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinx≠eq\f(1,2).5．(·煙臺(tái)模擬)下列說法錯(cuò)誤的是()A．命題“若x2－4x＋3＝0，則x＝3”的逆否命題是“若x≠3，則x2－4x＋3≠0”B．“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要條件C．若p∧q為假命題，則p、q均為假命題D．命題p：“?x∈R，使得xeq\o\al(2,0)＋x＋1＜0”，則：“?x∈R，使得x2＋x＋1≥0”解析：選C根據(jù)逆否命題的構(gòu)成，選項(xiàng)A中的說法正確；x＞1一定可得|x|＞0，但反之不成立，故選項(xiàng)B中的說法正確；且命題只要p、q中一個(gè)為假即為假命題，故選項(xiàng)C中的說法錯(cuò)誤；特稱命題的否定是全稱命題，選項(xiàng)D中的說法正確．6．已知命題p：拋物線y＝2x2的準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(1,2)；命題q：若函數(shù)f(x＋1)為偶函數(shù)，則f(x)關(guān)于x＝1對(duì)稱．則下列命題為真命題的是()A．p∧qB．p∨(q)C．(p)∧(q)D．p∨q解析：選D拋物線y＝2x2，即x2＝eq\f(1,2)y的準(zhǔn)線方程是y＝－eq\f(1,8)；當(dāng)函數(shù)f(x＋1)為偶函數(shù)時(shí)，函數(shù)f(x＋1)的圖象關(guān)于直線x＝0對(duì)稱，故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(注：將函數(shù)f(x)的圖象向左平移一個(gè)單位長度可得到函數(shù)f(x＋1)的圖象)，因此命題p是假命題，q是真命題，p∧q、p∨(q)、(p)∧(q)都是假命題，p∨q是真命題．7．命題：“對(duì)任意k＞0，方程x2＋x－k＝0有實(shí)根”的否定是________．解析：全稱命題的否定是特稱命題，故原命題的否定是“存在k＞0，方程x2＋x－k＝0無實(shí)根”．答案：存在k＞0，方程x2＋x－k＝0無實(shí)根8．若命題“?x∈R,2x－3ax＋9＜0”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：因?yàn)椤?x∈R,2x－3ax＋9＜0”為假命題，則“?x∈R,2x2－3ax＋9≥0”為真命題．因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－2eq\r(2)≤a≤2eq\r(2).答案：[－2eq\r(2)，2eq\r(2)]9．命題p：若a，b∈R，則ab＝0是a＝0的充分條件；命題q：函數(shù)y＝eq\r(x－3)的定義域是[3，＋∞)，則“p∨q”、“p∧q”、“”中為真命題的是________．解析：依題意知p假，q真，所以p∨q，為真．答案：p∨q，10．寫出下列命題的否定，并判斷真假．(1)q：?x∈R，x不是5x－12＝0的根；(2)r：有些素?cái)?shù)是奇數(shù)；(3)s：?x∈R，|x|>0.解：(1)非q：?x∈R，x是5x－12＝0的根，真命題．(2)非r：每一個(gè)素?cái)?shù)都不是奇數(shù)，假命題．(3)非s：?x∈R，|x|≤0，假命題．11．已知c＞0，設(shè)命題p：函數(shù)y＝cx為減函數(shù)，命題q：?x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，x＋eq\f(1,x)＞c.如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．解：若命題p為真，則0＜c＜1.若命題q為真，則c＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))min，又當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))時(shí)，2≤x＋eq\f(1,x)≤eq\f(5,2)，則必須且只需2＞c，即c＜2.因?yàn)閜∨q為真命題，p∧q為假命題，所以p、q必有一真一假．當(dāng)p為真，q為假時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜c＜1，,c≥2，))無解；當(dāng)p為假，q為真時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c≥1，,c＜2，))所以1≤c＜2.綜上，c的取值范圍為[1,2)．12．已知命題p：?x∈[1,2]，x2－a≥0，命題q：?x∈R，x＋2ax＋2－a＝0，若“p且q”為真命題．求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：由“p且q”為真命題，得p，q都是真命題．p：x2≥a在[1,2]上恒成立，只需a≤(x2)min＝1，所以命題p：a≤1；q：設(shè)f(x)＝x2＋2ax＋2－a，存在x∈R使f(x)＝0，只需Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a2＋a－2≥0?a≥1或a所以命題q：a≥1或a≤－2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤1，,a≥1或a≤－2，))得a＝1或a≤－2.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2]∪{1}．[沖擊名校]1．若函數(shù)f(x)，g(x)的定義域和值域都是R，則f(x)＞g(x)(x∈R)成立的充要條件是()A．?x∈R，f(x)＞g(x)B．有無窮多個(gè)x∈R，使得f(x)＞g(x)C．?x∈R，f(x)＞g(x)＋1D．R中不存在x使得f(x)≤g(x)解析：選D由于要恒成立，也就是對(duì)定義域內(nèi)所有的x都成立，所以對(duì)于選項(xiàng)A來說顯然不成立；而對(duì)于B，由于在區(qū)間(0,1)內(nèi)也有無窮個(gè)數(shù)，因此無窮性是說明不了任意性的，所以也不成立；對(duì)于C，由C的條件?x∈R，f(x)＞g(x)＋1可以推導(dǎo)原結(jié)論f(x)＞g(x)恒成立是顯然的，即充分性成立，但f(x)＞g(x)成立時(shí)不一定有f(x)＞g(x)＋1，比如f(x)＝x2＋0.5，g(x)＝x2，因此必要性不成立；對(duì)于D，必要性顯然成立，由R中不存在x使f(x)≤g(x)，根據(jù)逆否命題與原命題的等價(jià)性，則有對(duì)于任意x∈R都有f(x)＞g(x)，即充分性也成立，所以選D.2．(·濰坊模擬)已知f(x)＝a(x＋2a)(x－a－3)，g(x)＝2－x①?x∈R，f(x)