專題16 基本不等式（教師版）-2024年新高一（初升高）數(shù)學(xué)暑期銜接講義

專題16基本不等式【知識點梳理】知識點一：基本不等式1、對公式及的理解.(1)成立的條件是不同的：前者只要求都是實數(shù)，而后者要求都是正數(shù)；(2)取等號“=”的條件在形式上是相同的，都是“當(dāng)且僅當(dāng)時取等號”.2、由公式和可以引申出常用的常用結(jié)論①(同號)；②(異號)；③或知識點詮釋：可以變形為：，可以變形為：.知識點二：基本不等式的證明方法一：幾何面積法如圖，在正方形中有四個全等的直角三角形.設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為、，那么正方形的邊長為.這樣，4個直角三角形的面積的和是，正方形的面積為.由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，所以：.當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危磿r，正方形縮為一個點，這時有.得到結(jié)論：如果，那么(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”)特別的，如果，，我們用、分別代替、，可得：如果，，則，(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”).通常我們把上式寫作：如果，，，(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”)方法二：代數(shù)法∵，當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以，(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”).知識點詮釋：特別的，如果，，我們用、分別代替、，可得：如果，，則，(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”).通常我們把上式寫作：如果，，，(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”).知識點三：基本不等式的幾何意義如圖，是圓的直徑，點是上的一點，，，過點作交圓于點D，連接、.易證，那么，即.這個圓的半徑為，它大于或等于，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)點與圓心重合，即時，等號成立.知識點詮釋：1、在數(shù)學(xué)中，我們稱為的算術(shù)平均數(shù)，稱為的幾何平均數(shù).因此基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).2、如果把看作是正數(shù)的等差中項，看作是正數(shù)的等比中項，那么基本不等式可以敘述為：兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項.知識點四：用基本不等式求最大(小)值在用基本不等式求函數(shù)的最值時，應(yīng)具備三個條件：一正二定三取等.①一正：函數(shù)的解析式中，各項均為正數(shù)；②二定：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；③三取等：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項均相等，取得最值.知識點詮釋：1、兩個不等式：與成立的條件是不同的，前者要求a，b都是實數(shù)，后者要求a，b都是正數(shù).2、兩個不等式：與都是帶有等號的不等式，對于“當(dāng)且僅當(dāng)……時，取“=”號這句話的含義要有正確的理解.3、基本不等式的功能在于“和積互化”.若所證不等式可整理成一邊是和，另一邊是積的形式，則考慮使用平均不等式；若對于所給的“和式”中的各項的“積”為定值，則“和”有最小值，對于給出的“積式”中的各項的“和”為定值，則“積”有最大值.4、利用兩個數(shù)的基本不等式求函數(shù)的最值必須具備三個條件：①各項都是正數(shù)；②和(或積)為定值；③各項能取得相等的值.5、基本不等式在解決實際問題中有廣泛的應(yīng)用，在應(yīng)用時一般按以下步驟進行：①先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；②建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；③在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大或最小值；④寫出正確答案.【題型歸納目錄】題型一：對基本不等式的理解及簡單應(yīng)用題型二：利用基本不等式比較大小題型三：利用基本不等式證明不等式題型四：利用基本不等式求最值題型五：利用基本不等式求解恒成立問題題型六：基本不等式在實際問題中的應(yīng)用【典例例題】題型一：對基本不等式的理解及簡單應(yīng)用例1．(2023·上海靜安·高一?？计谥?給出下列命題中，真命題的個數(shù)為(

)①已知，則成立；②已知且，則成立；③已知，則的最小值為2；④已知，，則成立．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】當(dāng)時，①中的不等式是錯誤的，①錯；因為與同號，所以是正確的，且，即時等號成立，所以②中的基本不等式計算是正確的，②對；(當(dāng)時，無解，等號不成立)，故③錯；因為，所以且，且，即時等號成立，所以④中的基本不等式運算是正確的，④對．故選:B．例2．(2023·四川綿陽·高一?？奸_學(xué)考試)《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問題)成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點在半圓上，點在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無字證明為(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，可得圓的半徑為，又由，在中，可得，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．故選：D.例3．(2023·高一課時練習(xí))現(xiàn)有以下結(jié)論：①函數(shù)的最小值是；②若、且，則；③的最小值是；④函數(shù)的最小值為.其中，正確的有(

)個A． B． C． D．【答案】B【解析】取，可判斷①的正誤；利用基本不等式可判斷②③④的正誤.對于①，當(dāng)時，，①錯誤；對于②，若，且，說明，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，顯然成立，②正確；對于③，，當(dāng)且僅時取等號，即，顯然這樣的不存在，所以結(jié)論不正確，③錯誤；對于④，因為，所以，函數(shù)的最大值為，所以結(jié)論不正確，④錯誤.故選：B.變式1．(多選題)(2023·全國·高三專題練習(xí))下列推導(dǎo)過程，正確的為(

)A．因為、為正實數(shù)，所以B．因為，所以C．，所以D．因為、，，所以【答案】AD【解析】對于A選項，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，A選項正確；對于B選項，，，，B選項錯誤；對于C選項，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，C選項錯誤；對于D選項，因為、，、則，.，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，D選項正確．故選：AD變式2．(多選題)(2023·湖北武漢·高一湖北省武昌實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí))下列推導(dǎo)過程，正確的為(

)A．因為a，b為正實數(shù)，所以≥2＝2B．因為x∈R，所以1C．因為a＜0，所以+a≥2＝4D．因為，所以【答案】AD【解析】對于A.因為a，b為正實數(shù)，所以，所以≥2＝2.故A正確；對于B.當(dāng)x=0，有1.故B錯誤；對于C.當(dāng)a=-1時，左邊+a=-5，右邊2=4，所以+a≥2＝4不成立，故C錯誤.對于D.因為，，所以.故D正確.故選：AD.題型二：利用基本不等式比較大小例4．(2023·湖南張家界·高一張家界市民族中學(xué)?？茧A段練習(xí))設(shè)，則下列不等式成立的是(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，所以；因為，所以，即，因為，所以，即，因此，故選：D例5．(2023·河南鄭州·高一?？茧A段練習(xí))若，則下列不等式成立的是(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】由已知，利用基本不等式得出，因為，則，，所以，，∴.故選：C.例6．(2023·浙江寧波·高一鎮(zhèn)海中學(xué)校考期中)已知，則(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】A：當(dāng)時，錯誤；B：，而，故，錯誤；C：，而，若時，錯誤；D：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，而，故，正確.故選：D變式3．(2023·山東青島·高一青島二中?？计谥?設(shè)正實數(shù)a、b滿足，則下列結(jié)論正確的是(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】A：由，則，僅當(dāng)時等號成立，故，錯誤；B：由，僅當(dāng)時等號成立，故，正確；C：由，僅當(dāng)時等號成立，故，錯誤；D：由，僅當(dāng)時等號成立，故，錯誤.故選：B變式4．(2023·北京·高一北京四中?？茧A段練習(xí))對于實數(shù)有下列命題：①若，則②若，則；③若，則；④若，則.則其中真命題的個數(shù)是(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】①若，時，，故為假命題；②若，則，有，故為真命題；③若，則，僅當(dāng)時等號成立，所以，為真命題；④若，則，且，所以，則，為真命題.故真命題有②③④，共3個.故選：C變式5．(2023·高一課時練習(xí))已知a、b為正實數(shù)，，則(

)A． B．C． D．【答案】B【解析】因為a、b為正實數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，綜上：.故選：B題型三：利用基本不等式證明不等式例7．(2023·全國·高一專題練習(xí))已知，，且，求證：.【解析】因為，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.故原題得證.例8．(2023·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第70中?？计谀?已知是正實數(shù).(1)若，證明：；(2)證明：.【解析】(1)因為，，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時，等號成立，所以.(2)因為，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；上述三式相加可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.所以.例9．(2023·安徽蕪湖·高一校考階段練習(xí))已知，，，求證：.【解析】∵，，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，同理：，，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立，以上三式相加得：，當(dāng)且當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以.變式6．(2023·陜西榆林·高一統(tǒng)考期末)已知，.(1)若，求的最大值；(2)若，證明：.【解析】(1)因為，所以.，當(dāng)且僅當(dāng)，，時，等號成立，故的最大值為9.(2)證明：因為，所以，又，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故.題型四：利用基本不等式求最值例10．(2023·廣東惠州·高一統(tǒng)考期末)已知，，且，則ab的最大值為___________．【答案】4【解析】∵，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即，整理可得，所以ab最大值為4．故答案為：.例11．(2023·陜西漢中·高一校聯(lián)考期末)若滿足，則的最大值是______.【答案】2【解析】由均值不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，所以，故的最大值是.故答案為：例12．(2023·北京·高一校考階段練習(xí))已知x，y都為正數(shù)，且2x＋y＝1，則①2xy的最大值為

②的最小值為③的最大值為

④的最小值為所有正確的序號是______．【答案】①②④【解析】由題意，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，①正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，②正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，但此時，不合題意，因此取不到最大值，③錯；，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，④正確．故答案為：①②④．變式7．(2023·廣東汕頭·高一金山中學(xué)?？计谥?已知正實數(shù)滿足，則的最小值為__________.【答案】/【解析】因為正實數(shù)滿足，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為，故答案為：變式8．(2023·全國·高一專題練習(xí))已知，，若，則的最小值為______.【答案】3【解析】因為，，，所以，即；因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號，所以，解得或(舍)所以當(dāng)時，有最小值3.故答案為：3變式9．(2023·湖南邵陽·高一統(tǒng)考開學(xué)考試)若，，且，則的最小值為________．【答案】3【解析】由題意得，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．故答案為：3變式10．(2023·高一?？颊n時練習(xí))正實數(shù)滿足，則的最小值為_______.【答案】1【解析】因為正實數(shù)滿足，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號，所以的最小值為1，故答案為：1變式11．(2023·高一課時練習(xí))若，且，則的最小值為______.【答案】/【解析】若，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等.故答案為：.變式12．(2023·全國·高一專題練習(xí))若，且，則的最小值為______.【答案】5【解析】因為，且，所以,則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為5，故答案為：5變式13．(2023·云南保山·高一校聯(lián)考階段練習(xí))若，則的最小值為__________.【答案】【解析】因為，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以的最小值為.故答案為：.變式14．(2023·浙江杭州·高一杭師大附中?？计谀?已知，且，則的最小值為_________.【答案】【解析】由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為，故答案為：變式15．(2023·陜西咸陽·高一?？茧A段練習(xí))已知，且，則的最小值為__________．【答案】【解析】因為，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以的最小值為，故答案為：.變式16．(2023·云南昆明·高一統(tǒng)考期末)，，且，則ab的最小值為________．【答案】36【解析】因為，，所以，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，取等號.故答案為：36.變式17．(2023·四川眉山·高一校考期末)已知，則的最小值是________；【答案】3【解析】，當(dāng)，即時取等號，又，故當(dāng)時取得最小值.故答案為：3.變式18．(2023·上海寶山·高一上海市吳淞中學(xué)?？茧A段練習(xí))若，則的最小值為_________.【答案】7【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)即()時取等號，所以的最小值為7.故答案為：7.變式19．(2023·天津·高一統(tǒng)考期末)若，則的最小值為______．【答案】【解析】，當(dāng)且僅當(dāng),即時，取得最小值.故答案為：.變式20．(2023·云南昆明·高一統(tǒng)考期末)已知，，若，則的最小值為______．【答案】【解析】由得，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，取得最小值為．故答案為：變式21．(2023·全國·高一專題練習(xí))函數(shù)的最小值為_________．【答案】【解析】由，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以原函數(shù)的最小值為.故答案為：變式22．(2023·安徽滁州·高一?？计谥?已知，的最小值為____________.【答案】【解析】由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號，此時取得最小值．故答案為：變式23．(2023·全國·高一專題練習(xí))函數(shù)的最小值為______．【答案】7【解析】令，；則(當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立)，故函數(shù)，的最小值為故答案為：7變式24．(2023·江蘇常州·高一江蘇省前黃高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試)已知實數(shù)且，則的最小值為______.【答案】2【解析】，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故的最小值為.故答案為：.變式25．(2023·上海寶山·高一上海交大附中?？茧A段練習(xí))已知a、，且，則ab的最大值是____________.【答案】/0.25【解析】因為實數(shù)滿足，所以由基本不等式可得：所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時等號成立，即的最大值為.故答案為：.變式26．(2023·江蘇常州·高一華羅庚中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知，且，，則的最小值為______.【答案】/【解析】由，得，又，，所以，解得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立．故答案為：題型五：利用基本不等式求解恒成立問題例13．(2023·廣東深圳·高一校考階段練習(xí))為加強“疫情防控”，某校決定在學(xué)校門口借助一側(cè)原有墻體，建造一間墻高為4米，底面積為32平方米，且背面靠墻的長方體形狀的校園應(yīng)急室，由于此應(yīng)急室后背靠墻，無需建造費用，某公司給出的報價為：應(yīng)急室正面和側(cè)面報價均為每平方米200元，屋頂和地面報價共計7200元，設(shè)應(yīng)急室的左右兩側(cè)的長度均為米，公司整體報價為元.(1)試求關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)公司應(yīng)如何設(shè)計應(yīng)急室正面和兩側(cè)的長度，可以使學(xué)校的建造費用最低，并求出此最低費用.【解析】(1)因應(yīng)急室的左右兩側(cè)的長度均為米,則應(yīng)急室正面的長度為米,于是得(2)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時在內(nèi)，，故正面長度為8米，兩側(cè)長度為4米，建造費用最低，最低20000元.例14．(2023·四川成都·高一中和中學(xué)?？奸_學(xué)考試)為了加強“平安校園”建設(shè)，保障師生安全，某校決定在學(xué)校門口利用一側(cè)原有墻體，建造一間墻高為3米，底面為24平方米，且背面靠墻的長方體形狀的校園警務(wù)室.由于此警務(wù)室的后背靠墻，無需建造費用，甲工程隊給出的報價為：屋子前面新建墻體的報價為每平方米400元，左右兩面新建墻體報價為每平方米300元，屋頂和地面以及其他報價共計14400元.設(shè)屋子的左右兩面墻的長度均為米.(1)當(dāng)左右兩面墻的長度為多少時，甲工程隊報價最低？并求出最低報價；(2)現(xiàn)有乙工程隊也要參與此警務(wù)室的建造競標(biāo)，其給出的整體報價為元，若無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊都能競標(biāo)成功，試求的取值范圍.【解析】(1)設(shè)甲工程隊的總造價為元，則.當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.即當(dāng)左右兩側(cè)墻的長度為4米時，甲工程隊的報價最低為28800元.(2)由題意可得，對任意的恒成立.即，從而恒成立，令，又在為單調(diào)增函數(shù)，故.所以.例15．(2023·全國·高一專題練習(xí))為迎接四川省第十六屆少數(shù)民族傳統(tǒng)運動會，州民族體育場進行了改造翻新，在改造州民族體育場時需更新所有座椅，并要求座椅的使用年限為15年，已知每千套座椅建造成本是8萬元，設(shè)每年的管理費用為萬元與總座椅數(shù)千套，兩者滿足關(guān)系式：．15年的總維修費用為80萬元，記為15年的總費用．(總費用=建造成本費用+使用管理費用+總維修費用)．請問當(dāng)設(shè)置多少套座椅時，15年的總費用最小，并求出最小值．【解析】由題意得：建造成本費用為，使用管理費：，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即千套時，取得最小值為180萬元．變式27．(2023·山西太原·高一校聯(lián)考階段練習(xí))某游泳館擬建一座占地面積為200平方米的矩形泳池，其平面圖形如圖所示，池深1米，四周的池壁造價為400元/米，泳池中間設(shè)置一條隔離墻，其造價為100元/米，泳池底面造價為60元/平方米(池壁厚忽略不計)，設(shè)泳池的長為x米，寫出泳池的總造價，問泳池的長為多少米時，可使總造價最低，并求出泳池的最低造價．【解析】因為泳池的長為x米，則寬為米．則總造價，整理得到，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．故泳池的長設(shè)計為15米時，可使總造價最低，最低總造價為36000元．題型六：基本不等式在實際問題中的應(yīng)用例16．(2023·遼寧沈陽·高一統(tǒng)考期末)已知實數(shù)a，b滿足，若對于，恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是______．【答案】【解析】由得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，所以的最小值為27，又恒成立，故.故答案為：例17．(2023·安徽·高一淮北一中校聯(lián)考開學(xué)考試)已知正數(shù)x，y滿足，若不等式對任意正數(shù)x，y恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為__________．【答案】【解析】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以實數(shù)m的取值范圍為．故答案為：．例18．(2023·廣東廣州·高一?？计谀?已知，，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_____________．【答案】【解析】因為，，且，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值為.因為恒成立，所以，.故答案為：.變式28．(2023·北京·高一?？茧A段練習(xí))對任意正實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】對任意正實數(shù)，不等式恒成立，即恒成立，因為，當(dāng)且僅當(dāng)即時取“＝”.所以故答案為：變式29．(2023·全國·高一假期作業(yè))已知，若恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是____________．【答案】【解析】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.又因為恒成立，所以，解得.故答案為：變式30．(2023·上海寶山·高一校考期中)已知，若不等式對一切實數(shù)、恒成立，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】由題意可知對一切實數(shù)、恒成立，因為，所以，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，則，解得.故答案為：.變式31．(2023·江蘇徐州·高一徐州市第七中學(xué)?？茧A段練習(xí))若對任意，，不等式恒成立，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】，，不等式恒成立，恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，，即故答案為：變式32．(2023·湖南邵陽·高一湖南省邵東市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))對任意正數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】令，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最大值為，故.故答案為：變式33．(2023·遼寧沈陽·高一沈陽市第十一中學(xué)?？计谥?已知，，若不等式恒成立，則實數(shù)m的最大值為______．【答案】/【解析】,不等式恒成立，即不等式恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，即實數(shù)的最大值為．故答案為：．【過關(guān)測試】一、單選題1．(2023·高一課時練習(xí))若，則的最值情況是(

)A．有最大值 B．有最小值6 C．有最大值 D．有最小值2【答案】B【解析】若，則，當(dāng)且僅當(dāng)即等號成立，所以若時，有最小值為6，無最大值.故選：B.2．(2023·高一課時練習(xí))函數(shù)的最小值為(

)A．2 B． C．3 D．4【答案】B【解析】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，即函數(shù)的最小值為，故選：B.3．(2023·高一課時練習(xí))已知，那么c的最大值為(

)A．1 B． C． D．【答案】A【解析】由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即c的最大值為1，故選：A.4．(2023·廣東深圳·高一深圳外國語學(xué)校?？计谥?的最小值等于(

)A．3 B． C．2 D．無最小值【答案】A【解析】因為，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，所以的最小值等于.故選：A5．(2023·高一課時練習(xí))已知，則當(dāng)取最大值時，的值為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】由，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以時，取得最大值.故選：B.6．(2023·高一課時練習(xí))若對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】因為對任意，不等式，即不等式恒成立，因為，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即等號成立，所以，所以.故選：D.7．(2023·高一課時練習(xí))已知，則的最小值為(

)A．4 B． C． D．【答案】B【解析】因為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為.故選：B.8．(2023·高一課時練習(xí))下列使用均值不等式求最小值的過程，正確的是(

)A．若，則B．若，則由知，的最小值為1C．若，則D．若，則【答案】D【解析】對于A，，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，?dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，?dāng)異號時，，當(dāng)且僅當(dāng)即等號成立，故A錯誤；對于B，當(dāng)，則由，當(dāng)且僅當(dāng)，顯然等號不成立，故錯誤，對于C，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)即等號成立，故C錯誤；對于D，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)或等號成立，故D正確.故選：D.二、多選題9．(2023·江蘇揚州·高一?？茧A段練習(xí))以下四個命題，其中是真命題的有(

)A．若，則B．若，則C．若，則函數(shù)的最小值為D．若，，，則的最小值為4【答案】BC【解析】A選項，因，則，故A錯誤；B選項，因，則，故B正確；C選項，因，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故C正確；D選項，因，，則.當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號，故D錯誤.故選：BC10．(2023·高一平湖市當(dāng)湖高級中學(xué)校聯(lián)考期中)設(shè)，且，則(

)A． B．C．的最小值為0 D．的最小值為【答案】ACD【解析】對于A，因為且，則，且，所以，所以A正確；對于B，假設(shè)，且，則可得，符合題意，即成立，所以B錯誤；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即取等號，此時，所以C正確；對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，即，解得，所以D正確；故選:ACD11．(2023·湖南邵陽·高一武岡市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知正數(shù)滿足，則下列選項正確的是(

)A．的最小值是2 B．的最大值是1C．的最小值是4 D．的最大值是2【答案】AB【解析】因為正數(shù)滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值是2，故A正確；因為正數(shù)滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，等號成立，所以的最大值是1，故B正確；由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，等號成立，所以的最小值是,故C錯誤；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最大值是，故D錯誤；故選：AB.12．(2023·福建泉州·高一石獅市第一中學(xué)?？计谥?下列說法正確的是(

)A．若，則B．若正數(shù)a、b滿足，則的最小值為4C．若，，則的范圍為D．若，則函數(shù)的最大值為【答案】BCD【解析】對于A，根據(jù)不等式性質(zhì)可知當(dāng)時，滿足，不妨取，此時不滿足，即A錯誤；對于B，當(dāng)正數(shù)a、b滿足時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；即B正確；對于C，若，，則，，所以，即，所以C正確；對于D，由，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；即D正確.故選：BCD三、填空題13．(2023·江蘇揚州·高一統(tǒng)考期中)如圖，一份印刷品的排版面積(矩形)為，它的兩邊都留有寬為的空白，頂部和底部都留有寬為的空白，若，則紙張的用紙面積最少為__________cm2．

【答案】【解析】由題意，設(shè)排版矩形的長和寬分別為且，且則紙張的面積為當(dāng)且僅當(dāng)時，即，即時，等號成立，所以紙張的用紙面積最少為..

14．(2023·高一單元測試)設(shè)，且，則的最小值為__________．【答案】【解析】因為，，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時，等號成立.所以，的最小值為.故答案為：.15．(2023·高一課時練習(xí)