專題18 函數(shù)的概念及其表示（學(xué)生版）-2024年新高一（初升高）數(shù)學(xué)暑期銜接講義

專題18函數(shù)的概念及其表示【知識點梳理】知識點一：函數(shù)的概念1、函數(shù)的定義設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么就稱為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作：，．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域.知識點詮釋：(1)A、B集合的非空性；(2)對應(yīng)關(guān)系的存在性、唯一性、確定性；(3)A中元素的無剩余性；(4)B中元素的可剩余性。2、構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域①構(gòu)成函數(shù)的三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全—致，即稱這兩個函數(shù)相等(或為同一函數(shù))；②兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全—致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān).3、區(qū)間的概念(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；(2)無窮區(qū)間；(3)區(qū)間的數(shù)軸表示．區(qū)間表示：；；；；；.知識點二：函數(shù)的表示法1、函數(shù)的三種表示方法：解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點：簡明，給自變量求函數(shù)值.圖象法：用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點：直觀形象，反應(yīng)變化趨勢.列表法：列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點：不需計算就可看出函數(shù)值.2、分段函數(shù)：分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而應(yīng)寫函數(shù)幾種不同的表達(dá)式并用個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況．知識點三：函數(shù)定義域的求法(1)確定函數(shù)定義域的原則①當(dāng)函數(shù)是以解析式的形式給出時，其定義域就是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值的集合.具體地講，就是考慮分母不為零，偶次根號的被開方數(shù)、式大于或等于零，零次冪的底數(shù)不為零以及我們在后面學(xué)習(xí)時碰到的所有有意義的限制條件.②當(dāng)函數(shù)是由實際問題給出時，其定義域不僅要考慮使其解析式有意義，還要有實際意義.③當(dāng)函數(shù)用表格給出時，函數(shù)的定義域是指表格中實數(shù)的集合。(2)抽象函數(shù)定義域的確定所謂抽象函數(shù)是指用表示的函數(shù)，而沒有具體解析式的函數(shù)類型，求抽象函數(shù)的定義域問題，關(guān)鍵是注意對應(yīng)法則。在同一對應(yīng)法則的作用下，不論接受法則的對象是什么字母或代數(shù)式，其制約條件是一致的，都在同一取值范圍內(nèi)。(3)求函數(shù)的定義域，一般是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個集合，其結(jié)果必須用集合或區(qū)間來表示.知識點四：函數(shù)值域的求法實際上求函數(shù)的值域是個比較復(fù)雜的問題，雖然給定了函數(shù)的定義域及其對應(yīng)法則以后，值域就完全確定了，但求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有：觀察法：通過對函數(shù)解析式的簡單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，或利用函數(shù)的圖象的“最高點”和“最低點”，觀察求得函數(shù)的值域；配方法：對二次函數(shù)型的解析式可先進(jìn)行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數(shù)的值域方法求函數(shù)的值域；判別式法：將函數(shù)視為關(guān)于自變量的二次方程，利用判別式求函數(shù)值的范圍，常用于一些“分式”函數(shù)等；此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；換元法：通過對函數(shù)的解析式進(jìn)行適當(dāng)換元，將復(fù)雜的函數(shù)化歸為幾個簡單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)的取值范圍來求函數(shù)的值域.求函數(shù)的值域沒有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，還有最值法、數(shù)形結(jié)合法等.總之，求函數(shù)的值域關(guān)鍵是重視對應(yīng)法則的作用，還要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s.【題型歸納目錄】題型一：函數(shù)的概念題型二：給出解析式求函數(shù)的定義域題型三：抽象函數(shù)求定義域題型四：給出函數(shù)定義域求參數(shù)范圍題型五：同一函數(shù)的判斷題型六：給出自變量求函數(shù)值題型七：求函數(shù)的值域題型八：求函數(shù)的解析式題型九：分段函數(shù)求值、不等式問題題型十：區(qū)間的表示與定義【典例例題】題型一：函數(shù)的概念例1．(2023·江蘇揚州·高一統(tǒng)考期中)下列對應(yīng)是集合到集合的函數(shù)的是(

)A．，B．，，C．，D．，例2．(2023·高一課時練習(xí))下列說法不正確的是()A．圓的周長與其直徑的比值是常量B．任意凸四邊形的內(nèi)角和的度數(shù)是常量C．發(fā)射升空的火箭高度與發(fā)射的時間之間是函數(shù)關(guān)系D．某商品的廣告費用與銷售量之間是函數(shù)關(guān)系例3．(2023·高一課時練習(xí))下列變量間為函數(shù)關(guān)系的是()A．勻速行駛的客車在2小時內(nèi)行駛的路程B．某地蔬菜的價格與蔬菜的供應(yīng)量的關(guān)系C．一只60瓦的白熾燈在7小時內(nèi)的耗電量與時間t的關(guān)系D．生活質(zhì)量與人的身體狀況間的關(guān)系變式1．(2023·湖南郴州·高一?？茧A段練習(xí))下列各函數(shù)圖象中，不可能是函數(shù)的圖象的是(

)A． B．C． D．變式2．(2023·河南·高一?？茧A段練習(xí))下列圖象中，表示函數(shù)關(guān)系的是(

)A． B． C． D．變式3．(2023·廣西玉林·高一校考期末)設(shè)集合，.下列四個圖象中能表示從集合到集合的函數(shù)關(guān)系的有(

)A．3個 B．2個 C．1個 D．0個變式4．(2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí))下列等量關(guān)系中，是的函數(shù)的是()A． B． C． D．題型二：給出解析式求函數(shù)的定義域例4．(2023·高一課時練習(xí))函數(shù)的定義域是(

)A． B．C． D．或例5．(2023·廣東佛山·高一佛山市榮山中學(xué)?？计谥?函數(shù)的定義域為(

)A． B．C． D．例6．(2023·高一單元測試)已知函數(shù)的定義域為(

)A． B． C． D．變式5．(2023·江西九江·高一?？茧A段練習(xí))若代數(shù)式有意義，則實數(shù)()A． B．C． D．變式6．(2023·安徽蕪湖·高一安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀?若函數(shù)，則的定義域為(

)A． B．C． D．變式7．(2023·福建泉州·高一福建省安溪第一中學(xué)校考階段練習(xí))已知等腰三角形的周長為40，設(shè)其底邊長為ycm，腰長為xcm.則函數(shù)的定義域為()A． B． C． D．變式8．(2023·高一課時練習(xí))已知等腰三角形ABC的周長為10,且底邊長y關(guān)于腰長x的函數(shù)關(guān)系為y=10-2x,則函數(shù)的定義域為()A．{x|x∈R} B．{x|x>0}C．{x|0<x<5} D．題型三：抽象函數(shù)求定義域例7．(2023·高一單元測試)已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是(

)A． B． C． D．例8．(2023·高一單元測試)若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為(

)A． B． C． D．例9．(2023·全國·高一專題練習(xí))已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為(

)A． B． C． D．變式9．(2023·湖南衡陽·高一衡陽市一中?？计谥?已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為(

)A． B． C． D．變式10．(2023·吉林·高一長春市第二實驗中學(xué)校聯(lián)考期末)若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為(

)A． B． C． D．變式11．(2023·重慶九龍坡·高一重慶市鐵路中學(xué)校?？计谀?已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為(

)A． B．C． D．變式12．(2023·全國·高一專題練習(xí))已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為(

)A． B． C． D．題型四：給出函數(shù)定義域求參數(shù)范圍例10．(2023·湖南常德·高一漢壽縣第一中學(xué)?？计谥?若函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍是______.例11．(2023·高一課時練習(xí))函數(shù)的定義域為M．若，則實數(shù)a的取值范圍是______．例12．(2023·全國·高一專題練習(xí))若函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍為________.變式13．(2023·天津和平·高一?？计谥?若函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍_________．變式14．(2023·高一課時練習(xí))若函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍是__________.題型五：同一函數(shù)的判斷例13．(2023·高一課時練習(xí))下列各函數(shù)中，與函數(shù)表示同一函數(shù)的是(

)A． B．C． D．例14．(2023·高一課時練習(xí))下列各組函數(shù)為同一函數(shù)的是()①與;②與;③與.A．①② B．① C．② D．③例15．(2023·高一課時練習(xí))下列四組函數(shù)，表示同一函數(shù)的是(

)A． B．C． D．變式15．(2023·全國·高一專題練習(xí))下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是(

)A．與B．與C．與D．與變式16．(2023·上海青浦·高一統(tǒng)考開學(xué)考試)下列四組函數(shù)中，表示相同函數(shù)的一組是(

)．A．， B．，C．， D．，變式17．(2023·湖南郴州·高一?？茧A段練習(xí))下列函數(shù)與是同一函數(shù)的是(

)A． B． C． D．題型六：給出自變量求函數(shù)值例16．(2023·高一單元測試)若，則__________．例17．(2023·河北邯鄲·高一校考期末)已知函數(shù)滿足，則__________.例18．(2023·重慶璧山·高一重慶市璧山來鳳中學(xué)校校考階段練習(xí))設(shè)，則__________.變式18．(2023·甘肅慶陽·高一?？计谀?已知定義域為R的函數(shù)，，則_.變式19．(2023·海南儋州·高一?？计谀?已知，那么＝______．變式20．(2023·重慶北碚·高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)，分別由下表給出，則___________.123131321變式21．(2023·河南南陽·高一鹽城市大豐區(qū)南陽中學(xué)校考期末)已知f(2x+1)＝，則f(1)＝______.變式22．(2023·上海普陀·高一曹楊二中?？计谀?已知函數(shù)滿足：對任意非零實數(shù)x，均有，則__________．變式23．(2023·廣西賀州·高一校考期末)已知函數(shù)，則______．題型七：求函數(shù)的值域例19．(2023·浙江杭州·高一?？茧A段練習(xí))求下列函數(shù)的值域.(1);(2);(3),.例20．(2023·高一課時練習(xí))試求下列函數(shù)的定義域與值域.(1)，(2)(3)(4)例21．(2023·全國·高一專題練習(xí))求下列函數(shù)的值域：(1)；(2)(3)；(4)．變式24．(2023·高一課時練習(xí))求的最小值.變式25．(2023·上海徐匯·高一上海中學(xué)?？计谀?(1)求函數(shù)的值域；(2)求函數(shù)的值域.變式26．(2023·高一課時練習(xí))已知函數(shù)的值域為[1，3]，求的值變式27．(2023·高一課時練習(xí))若函數(shù)的最大值為，最小值為，則(

)A．4 B．6C．7 D．8變式28．(2023·高一課時練習(xí))已知，且，則的取值范圍是___________.題型八：求函數(shù)的解析式例22．(2023·江西南昌·高一進(jìn)賢縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí))根據(jù)下列條件，求的解析式.(1)已知(2)已知(3)已知是二次函數(shù)，且滿足例23．(2023·云南昆明·高一云南民族大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí))(1)已知，求的解析式；(2)已知是一次函數(shù)，且滿足，求的解析式．例24．(2023·湖南株洲·高一?？计谥?回答下面兩題(1)已知，求；(2)已知函數(shù)是一次函數(shù)，若，求．變式29．(2023·湖南郴州·高一校考階段練習(xí))求下列函數(shù)的解析式(1)若，求的表達(dá)式．(2)已知，求的表達(dá)式．變式30．(2023·湖北十堰·高一鄖陽中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù)的圖象如圖示，在直線的左側(cè)是經(jīng)過兩點的線段(包括兩個端點)，在直線的右側(cè)是經(jīng)過點且解析式為的曲線．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求的值；(3)求方程的解．變式31．(2023·全國·高一專題練習(xí))若函數(shù)，則______．變式32．(2023·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)為上的增函數(shù)，且對任意都有，則______.變式33．(2023·高一課時練習(xí))是R上的函數(shù)，且滿足，并且對任意的實數(shù)都有，則的解析式_______題型九：分段函數(shù)求值、不等式問題例25．(多選題)(2023·吉林松原·高一?？计谀?已知函數(shù)，若，則實數(shù)a的值為(

)A． B． C．2 D．8例26．(多選題)(2023·廣東湛江·高一雷州市第一中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù)，若，則實數(shù)的值可以是(

)A．3 B． C．4 D．-4例27．(多選題)(2023·遼寧鐵嶺·高一昌圖縣第一高級中學(xué)?？计谥?，且，則實數(shù)a的值為(

)A．－ B． C． D．變式34．(多選題)(2023·四川宜賓·高一四川省宜賓市第四中學(xué)校?？计谥?已知函數(shù)，若，則實數(shù)的值為(

)A． B． C． D．1變式35．(多選題)(2023·寧夏中衛(wèi)·高一中寧一中?？茧A段練習(xí))如圖是函數(shù)的圖像，則下列說法正確的是(

)A． B．的定義域為C．的值域為 D．若，則或2變式36．(多選題)(2023·全國·高一專題練習(xí))下列給出的式子是分段函數(shù)的是(

)A．f(x)＝ B．f(x)＝C．f(x)＝ D．f(x)＝變式37．(2023·廣西桂林·高一?？计谥?設(shè)函數(shù).(1)求，；(2)若，求的值.變式38．(2023·廣西梧州·高一蒼梧中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù).(1)求的值；(2)若，求的值.變式39．(2023·廣東佛山·高一校考階段練習(xí))已知函數(shù).(1)求，的值；(2)作出函數(shù)的簡圖；(3)由簡圖指出函數(shù)的值域；變式40．(2023·重慶江津·高一校考期中)已知函數(shù)的解析式，(1)求；(2)若，求a的值；變式41．(2023·甘肅蘭州·高一?？计谀?已知函數(shù).(1)求的值；(2)若，求的值.題型十：區(qū)間的表示與定義例28．(2023·高一課時練習(xí))用區(qū)間表示集合__________．例29．(2023·高一課時練習(xí))集合用區(qū)間形式表示應(yīng)為______．例30．(2023·高一課時練習(xí))若為一確定區(qū)間，則a的取值范圍是________．變式42．(2023·高一課時練習(xí))將集合用區(qū)間表示為___________.變式43．(2023·高一課時練習(xí))用區(qū)間表示下列集合．(1)：______；(2)：______；(3)：______；(4)R：______．變式44．(2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí))集合且用區(qū)間表示為__________________．【過關(guān)測試】一、單選題1．(2023·廣東深圳·高一深圳外國語學(xué)校校考期中)十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立.奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).著名的“康托三分集.(Cantor)”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具體典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的開區(qū)間段，記為第一次操作；再將剩下的兩個區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的開區(qū)間段，記為第二次操作；….如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的開區(qū)間段.操作過程不斷地進(jìn)行下去.以至無窮，剩下的區(qū)間集合即“康托三分集”.第三次操作后，從左到右第四個區(qū)間為(

)A． B． C． D．2．(2023·高一單元測試)已知函數(shù)的定義域為,求實數(shù)的取值范圍(

)A． B．C． D．3．(2023·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期中)已知函數(shù)，則的值為(

)A． B． C． D．4．(2023·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為(

)A． B． C． D．5．(2023·全國·高一專題練習(xí))下列函數(shù)中，值域是的是()A． B．，C．， D．6．(2023·高一課時練習(xí))已知集合，其中，函數(shù)的定義域為A，值域為B，則a，k的值分別為(

)A．2，3 B．3，4 C．3，5 D．2，57．(2023·安徽蕪湖·高一蕪湖一中?？计谥?定義：稱為區(qū)間的長度，若函數(shù)的定義域與值域區(qū)間長度相等，則的值為(

)A． B． C．4或 D．與的取值有關(guān)8．(2023·山東青島·高一青島市即墨區(qū)第一中學(xué)?？计谥?若函數(shù)的最大值為，最小值為，則(

)A．3 B．2 C．1 D．0.5二、多選題9．(2023·廣東深圳·高一翠園中學(xué)?？计谥?下列各組函數(shù)不是同一個函數(shù)的是(

)A．與B．與C．與D．與10．(2023·高一單元測試)下列集合不能用區(qū)間形式表示的是()A． B．C．或 D．11．(2023·安徽合肥·高一?？茧A段練習(xí))函數(shù)的圖象如圖，則(

)A．函數(shù)的定義域為 B．函數(shù)的值域為C． D．對于任意的，都有唯一的自變量x與之對應(yīng)12．(2023·高一課時練習(xí))下面結(jié)論正確的是(

)A．若，則的最大值是B．函數(shù)的最小值是2