重難點03 從集合的角度理解充分條件、必要條件、充要條件-蘇教版高一《數(shù)學》同步學與練（解析版）

第第頁重難點03從集合的角度理解充分條件、必要條件、充要條件【題型歸納目錄】題型一：充分條件、必要條件、充要條件的判斷題型二：充分條件與必要條件的應用題型三：充要條件的應用題型四：應用充分、必要、充要條件確定參數(shù)的值(取值范圍)【方法技巧與總結(jié)】1、依據(jù)：設(shè)集合．若具有性質(zhì)，則；若具有性質(zhì)，則．若，就說具有性質(zhì)，則必具有性質(zhì)，即．類似地，與等價，與等價．2、結(jié)論：，若，則結(jié)論：是的充分條件，是的必要條件；若，則結(jié)論：是的充分條件，是的必要條件；若，則結(jié)論：是的充要條件．【經(jīng)典題型】題型一：充分條件、必要條件、充要條件的判斷例1．（2023·全國·高一專題練習）對于實數(shù)，，，且是的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】A【解析】若“且”則“”成立，當，時，滿足，但且不成立，故且”是“”的充分非必要條件．故選：A．例2．（2023·上海·高一專題練習）已知是r的充分不必要條件，q是r的充分條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，現(xiàn)有下列命題：①s是q的充要條件；②是q的充分不必要條件；③r是q的必要不充分條件；④r是s的充分不必要條件.正確的命題序號是（

）A．①④ B．①② C．②③ D．③④【答案】B【解析】因為是的的充分不必要條件，所以，推不出，因為是的的充分條件，所以，因為是的必要條件，所以，因為是的必要條件，所以，因為，，所以，又，，所以是的充要條件，命題①正確，因為，，，所以，推不出，故是的充分不必要條件，②正確；因為，，所以，是的充分條件，命題③錯誤；因為，，所以，又，所以是的充要條件，命題④錯誤；故選：B.例3．（2023·湖南·高一校聯(lián)考期中）已知，為非零實數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，即成立，故充分性成立；取，，則成立，但不成立，故必要性不成立.因此，“”是“”的充分不必要條件.故選：A變式1．（2023·全國·高一專題練習）設(shè)命題命題則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分且必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當，則，故p是q的充分條件；當，則可令，不能得到，則p不是q的必要條件.則p是q的充分不必要條件.故選：A變式2．（2023·全國·高一專題練習）設(shè)x∈R，則“x＜2”是“”成立的什么條件（

）A．充分不必要 B．既不充分也不必要C．充要 D．必要不充分【答案】D【解析】①若“x＜2”存在x為負數(shù)的情況，此時為負數(shù)，所以不滿足，故前面推導不出后面的結(jié)果，②若，則，所以能夠推出x＜2，所以“x＜2”是“”成立的必要不充分條件.故選：D.變式3．（2023·全國·高一專題練習）已知p：，q：，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由可得：，即，即，所以，故p是q的充要條件.故選：C.變式4．（2023·全國·高一專題練習）以下選項中，p是q的充要條件的是（）A．p：，q：B．p：，q：C．p：四邊形的兩條對角線互相垂直平分，q：四邊形是正方形D．p：，q：關(guān)于x的方程有唯一解【答案】D【解析】對于A，，，所以p推不出q，q推不出p，所以p是q既不充分也不必要條件；對于B，；當時，滿足，但q推不出p，故p是q的充分不必要條件；對于C，若“兩條對角線互相垂直平分”成立推不出“四邊形是正方形”；反之，若“四邊形是正方形”成立推出“兩條對角線互相垂直平分”成立，故p是q的必要不充分條件；對于D，若，則關(guān)于x的方程有唯一解；若關(guān)于x的方程有唯一解，則，所以，故p是q的充分必要條件.故選：D.題型二：充分條件與必要條件的應用例4．（2023·云南楚雄·高一?？茧A段練習）命題“，”為真命題的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為為真命題，所以或，對A，是命題“”為真命題的充分不必要條件，A對，對B，是命題“”為真命題的充要條件，B錯，對C，是命題“”為真命題的必要不充分條件，C錯，對D，是命題“”為真命題的必要不充分條件，D錯，故選：A例5．（2023·新疆·高一校聯(lián)考期中）“”的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對于A：令，則，不能推出，A錯誤.對于B：令，則，不能推出，B錯誤.對于C：由，得，則，反之令，則，但不成立，C正確.對于D：由，得，令，不能推出，D錯誤.故選：C例6．（2023·高一課時練習）一元二次方程有一個正實數(shù)根和一個負實數(shù)根的一個充分不必要條件是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，不妨設(shè)，因為，且有一個正實數(shù)根和一個負實數(shù)根，所以的圖像開口向下，即，故對于選項ABCD，只有C選項：是的充分不必要條件.故選：C.變式5．（2023·遼寧沈陽·高一沈陽市回民中學校考期末）使得不等式“”成立的一個必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，可得，所以，解得，即成立的充要條件為：，對于A，由，得，是“”成立的充分不必要條件；對于B，由，得，是“”成立的充要條件；對于C，是“”成立的必要不充分條件；對于D，，得或，是“”成立的既不充分也不必要條件.故選：C.變式6．（2023·云南·高一統(tǒng)考期末）“關(guān)于x的不等式對恒成立”的一個必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由“關(guān)于x的不等式對恒成立”，可得，解得：，對于A，“”是“關(guān)于x的不等式對恒成立”的充要條件；對于B，“”是“關(guān)于x的不等式對恒成立”的必要不充分條件；對于C，“”是“關(guān)于x的不等式對恒成立”的充分不必要條件；對于D，“”是“關(guān)于x的不等式對恒成立”的既不充分也不必要條件.故選：B.變式7．（2023·湖北武漢·高一華中師大一附中期中）已知區(qū)間，則下列是“對任意的，”的必要不充分條件的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由“對任意的，”，得，即，則原題等價于探求“”的必要不充分條件，A選項“”為“”的充要條件，故A錯誤；B選項“”為“”的必要不充分條件，故B正確；C選項“”為“”的既不充分也不必要條件，故C錯誤；D選項“”為“”的既不充分也不必要條件，故D錯誤；故選：B.題型三：充要條件的應用例7．（2023·高一單元測試）設(shè)A，B是有限集，定義，其中表示有限集A中的元素個數(shù)．則“”是“”的條件．【答案】充分必要【解析】若，則，則，故成立，若，則，所以，所以“”是“”的充要條件，故答案為：充分必要例8．（2023·高一?？紗卧獪y試）若都是實數(shù)，試從①，②，③中選出所有適合的條件，用序號填空：（1）“”的充要條件是；（2）“”的充分不必要條件是；（3）“且”的必要不充分條件是.【答案】③①③②【解析】根據(jù)立方和公式進行變形如下：，故當，則或，而，故，故推出，即，而可以推出，故的充要條件是：；當，則，或，而，此時，故的充要條件是；當，，故，可知，于是的充要條件是.對于（1），，據(jù)上述分析，本空填③；對于（2），據(jù)上述分析可知，①中，③中，均滿足，但推不出①③中的的情形，本空填①③；對于（3），且只能推出②，顯然②不能推出且，本空填②.故答案為：③；①③；②例9．（2023·全國·高一專題練習）關(guān)于x的不等式|2x－3|＞a的解集為R的充要條件是．【答案】a＜0【解析】由題意知恒成立．因為，所以a＜0.故答案為：a＜0.變式8．（2023·全國·高一專題練習）已知或，或，若是的必要條件，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】設(shè)或，或若是的必要條件，則（1）當時，即，此時，成立；（2）當時，即，若，此時，無解.綜上：故答案為：變式9．（2023·江蘇·高一專題練習）設(shè)分別為的三邊的長，求證：關(guān)于的方程與有公共實數(shù)根的充要條件是.【解析】證明：必要性：設(shè)方程與有公共實數(shù)根，則兩式相減并整理，可得因為，所以，將此式代入中，整理得，故.充分性：因為，可得，所以，將代入方程中，可得，即，將代入方程中，可得，即故兩方程有公共實數(shù)根.所以關(guān)于的方程與有公共實數(shù)根的充要條件.變式10．（2023·高一課時練習）設(shè)a，b，c為的三邊，求方程與有公共根的充要條件．【解析】必要性：設(shè)方程與的公共根為，則，，兩式相加得（舍去），將代入，得，整理得.所以.充分性：當時，，于是等價于，所以，該方程有兩根，.同樣等價于，所以，該方程亦有兩根，.顯然，兩方程有公共根.故方程與有公共根的充要條件是.變式11．（2023·全國·高一專題練習）已知集合，．(1)若“，”為假命題，求的取值范圍；(2)求證：至少有2個子集的充要條件是，或．【解析】（1）由已知，集合，所以集合．因為“，”為假命題，所以．當時，，解得；當時，要使，則，，且，，即，解得或或或．綜上，實數(shù)m的取值范圍為．（2）證明：充分性：若，或，則至少有2個子集．當，或時，，方程有解，集合至少有1個元素，至少有2個子集，充分性得證；必要性：若至少有2個子集，則或．若至少有2個子集，則至少有1個元素，方程有解，，解得或，必要性得證．綜上，至少有2個子集的充要條件是或．變式12．（2023·全國·高一專題練習）求證：方程有兩個同號且不相等的實根的充要條件是.【解析】先證明充分性：若，設(shè)方程的兩個實根為，，則，，，故方程有兩個同號且不相等的實根；再證明必要性：若方程有兩個同號且不相等的實根，令，當時，其圖象是開口方向朝上，且以為對稱軸的拋物線若關(guān)于的方程有兩個同號且不相等的實根則必有兩個不等的正根，則函數(shù)，有兩個正零點，則，解得；當時，其圖象是開口方向朝下，且以為對稱軸的拋物線若關(guān)于的方程有兩個同號且不相等的實根則必有兩個不等的負根，則函數(shù)，有兩個負零點，則，無解；故關(guān)于的方程有兩個同號且不相等的實根，則的取值范圍是；方程有兩個同號且不相等的實根的充要條件是．變式13．（2023·全國·高一專題練習）求證：方程有且只有一個負數(shù)根的充要條件為或.【解析】證明：必要性：若方程有且只有一個負數(shù)根，當時，方程為，解得，合乎題意；若時，，設(shè)方程的兩根分別為、，則，此時方程有且只有一個負數(shù)根；當時，則，可得，設(shè)方程的兩根分別為、，則，則、均為負數(shù)，由題意可知，可得.所以，“方程有且只有一個負數(shù)根”“或”；充分性：當時，原方程變?yōu)椋獾?，原方程只有一個負根；當時，方程為，解得，原方程只有一個負根；當時，對于原方程，，此時方程有兩根，設(shè)為、，則，此時方程有且只有一個負數(shù)根.所以，“方程有且只有一個負數(shù)根”“或”.綜上所述，方程有且只有一個負數(shù)根的充要條件為或.題型四：應用充分、必要、充要條件確定參數(shù)的值(取值范圍)例10．（2023·高一課時練習）請在“①充分不必要條件，②必要不充分條件，③充要條件”這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的實數(shù)存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.已知集合，，若是成立的________條件，判斷實數(shù)是否存在？【解析】若選擇條件①，即是成立的充分不必要條件，集合A是集合B的真子集，則有，解得，所以，實數(shù)m的取值范圍是；若選擇條件②，即是成立的必要不充分條件，集合B是集合A的真子集，則有，解得，所以，實數(shù)的取值范圍是；若選擇條件③，即是成立的充要條件，則集合A等于集合B則有，方程組無解，所以，不存在滿足條件的實數(shù).例11．（2023·全國·高一專題練習）設(shè)集合，命題，命題(1)若是的充要條件，求正實數(shù)的取值范圍；(2)若是的充分不必要條件，求正實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由條件，是的充要條件，得，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.（2）由是的充分不必要條件，得真包含于，所以，或，解得，綜上實數(shù)的取值范圍是.例12．（2023·全國·高一專題練習）已知集合，，請在①充分條件，②必要條件，③充要條件這三個條件中任選一個，補充在下面問題（2）中，若問題（2）中的實數(shù)存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)若是的________條件，判斷實數(shù)是否存在？【解析】（1）若，則，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍是．（2）若選擇條件，即是的充分條件，則，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是；若選擇條件，即是的必要條件，則，所以，解得．又，所以，所以實數(shù)的取值范圍是；若選擇條件，即是的充要條件，則，所以，方程組無解，所以不存在滿足條件的實數(shù)．變式14．（2023·全國·高一專題練習）已知條件集合，條件非空集合．(1)若是的必要條件，求實數(shù)的取值范圍．(2)若是的必要條件，求實數(shù)的取值范圍．(3)否存在實數(shù)，使是的充要條件．【解析】（1）因為是的必要條件，所以，又，，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是；（2）若是的必要條件，則?，所以，又或，或，所以，解得，故實數(shù)的取值范圍；（3）若是的充要條件，則，所以，方程組無解，故不存在實數(shù)，使是的充要條件．變式15．（2023·高一單元測試）在①充分不必要；②必要不充分；③充要這三個條件中任選一個，補充到下面的橫線中，求解下列問題：已知集合，.（1）若，求；（2）是否存在實數(shù)a，使得是的條件.若存在，求實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由.(注：如果選擇多個條件分別解答按第一個解答計分)【解析】（1），，所以.（2）若選①，是的充分不必要條件，所以.若選②，是的必要不充分條件，所以.若選③，是的充要條件，所以，無解.變式16．（2023·全國·高一專題練習）在①充分不必要條件，②必要不充分條件，③充分必要條件這三個條件中任選一個補充在下面問題中，若問題中的存在，求的取值集合，若問題中的不存在，說明理由.問題：已知集合，集合，是否存在實數(shù)，使得是成立的______？【解析】若選①，則是的真子集所以且（兩等號不同時取得），又解得所以存在，的取值集合若選②，則是的真子集所以且（兩等號不同時取得），又解得所以存在，的取值集合若選③，則所以且又，方程組無解所以不存在滿足條件的.變式17．（2023·全國·高一期中）給出如下三個條件：①充分不必要；②必要不充分；③充要.請從中選擇一個條件補充到下面的橫線上.已知集合，，則是______的條件.若存在實數(shù)，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【解析】若選擇①，即是的充分不必要條件，則且，，解得：，即實數(shù)的取值范圍為.若選擇②，即是的必要不充分條件，則.當時，，解得：；當時，，解得：，則，解得：，此時解集為；綜上所述：實數(shù)的取值范圍是.若選擇③，即是的充要條件，則，不成立，則不存在實數(shù)，使是的充要條件.變式18．（2023·全國·高一專題練習）已知：關(guān)于的方程有實數(shù)根，：．(1)若命題是真命題，求實數(shù)的取值范圍；(2)若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）因為命題是真命題，則命題是假命題，即關(guān)于的方程無實數(shù)根，因此，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.（2）由（1）知，命題是真命題，即，因為命題是命題的必要不充分條件，則，因此，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.變式19．（2023·四川涼山·高一統(tǒng)考期末）已知集合，(1)當時，求；(2)若___