函數(shù)與導數(shù)解題方法知識點技巧總結(jié)

函數(shù)與導數(shù)解題方法知識點技巧總結(jié)函數(shù)與導數(shù)解題方法知識點技巧總結(jié)/函數(shù)與導數(shù)解題方法知識點技巧總結(jié)函數(shù)及導數(shù)解題方法知識點技巧總結(jié)1.高考試題中,關(guān)于函數(shù)及導數(shù)的解答題(從宏觀上)有以下題型:（1）求曲線在某點出的切線的方程（2）求函數(shù)的解析式（3）探討函數(shù)的單調(diào)性,求單調(diào)區(qū)間（4）求函數(shù)的極值點和極值（5）求函數(shù)的最值或值域（6）求參數(shù)的取值范圍（7）證明不等式（8）函數(shù)應用問題2.在解題中常用的有關(guān)結(jié)論（須要熟記）:（1）曲線在處的切線的斜率等于,且切線方程為。（2）若可導函數(shù)在處取得極值,則。反之不成立。（3）對于可導函數(shù),不等式的解是函數(shù)的遞增（減）區(qū)間。（4）函數(shù)在區(qū)間上遞增（減）的充要條件是:恒成立（不恒為）.（5）若函數(shù)在區(qū)間上有極值,則方程在區(qū)間上有實根且非二重根。（若為二次函數(shù)且,則有）。（6）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)且不為常量函數(shù),則在上有極值。（7）若恒成立,則；若恒成立,則（8）若使得,則；若使得,則.（9）設(shè)及的定義域的交集為,若恒成立,則有.（10）若對恒成立,則.若對,使得,則.若對,使得,則.（11）已知在區(qū)間上的值域為,在區(qū)間上值域為,若對使得成立,則。（12）若三次函數(shù)有三個零點,則方程有兩個不等實根且（13）證題中常用的不等式:①（僅當時取“”）②（僅當時取“=”）③④⑤⑥⑦3.函數(shù)及導數(shù)解答題常見題型的解法（1）已知曲線（含參數(shù)）的切線方程為,求參數(shù)的值【解法】先設(shè)切點坐標為,求出切線方程再及已知切線方程比較系數(shù)得:,解此方程組可求參數(shù)的值（2）已知函數(shù)（含參數(shù)）,探討函數(shù)的單調(diào)性【解法】先確定的定義域,并求出,視察能否恒大于或等于（恒小于或等于）,假如能,則求參數(shù)的范圍,探討便從這里開始,當參數(shù)在上述范圍以外取值時,令,求根.再分層探討,是否在定義域內(nèi)或探討的大小關(guān)系,再列表探討,確定的單調(diào)區(qū)間。（大多數(shù)函數(shù)的導函數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為一個二次函數(shù),因此探討函數(shù)單調(diào)性問題又往往是探討二次函數(shù)在某一區(qū)間上的符號問題）（3）已知函數(shù)（含參數(shù)）在區(qū)間上有極值,求參數(shù)的取值范圍.【解法】函數(shù)在區(qū)間上有極值,可轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間上有實根,且為非二重根。從而確定參數(shù)（或其取值范圍）。（4）可導函數(shù)（含參數(shù)）在區(qū)間上無極值,求參數(shù)的取值范圍【解法】在區(qū)間上無極值等價于在區(qū)間在上是單調(diào)函數(shù),進而得到或在上恒成立（5）函數(shù)（含單個或多個參數(shù)）僅在時取得極值,求參數(shù)的范圍【解法】先由,求參數(shù)間的關(guān)系,再將表示成=,再由恒成立,求參數(shù)的范圍。（此類問題中一般為三次多項式函數(shù)）（6）函數(shù)（含參數(shù)）在區(qū)間上不單調(diào),求參數(shù)的取值范圍【解法一】轉(zhuǎn)化為在上有極值。（即在區(qū)間上有實根且為非二重根）?！窘夥ǘ繌姆疵婵紤]:假設(shè)在上單調(diào)則在I上恒成立,求出參數(shù)的取值范圍,再求參數(shù)的取值范圍的補集（7）已知函數(shù)（含參數(shù)）,若,使得成立,求參數(shù)的取值范圍.【解法一】轉(zhuǎn)化為在上的最大值大于（最小值小于）【解法二】從反面考慮:假設(shè)對恒成立則（）,求參數(shù)的取值范圍,再求參數(shù)的取值范圍的補集（8）含參數(shù)的不等式恒成立,求參數(shù)的取值范圍【解法一】分別參數(shù)求最值【解法二】構(gòu)造函數(shù)用圖像注:對于多變量不等式恒成立,先將不等式變形,利用函數(shù)的最值消變元,轉(zhuǎn)化為單變量不等式恒成立問題（9）可導函數(shù)（含參數(shù)）在定義域上存在單調(diào)遞增(減)區(qū)間,求參數(shù)的范圍.【解法】等價轉(zhuǎn)化為在定義域上有解即使成立（1）可用分別參數(shù)法（2）利用圖像及性質(zhì)（10）證明不等式【解法】構(gòu)造函數(shù)并確定定義域,考察在上的單調(diào)性（留意區(qū)間端點的函數(shù)值）或者求在上的最值注:對于含有正整數(shù)的帶省略號的不定式的證明,先視察通項,聯(lián)想基本不定式,確定要證明的函數(shù)不定式,再對自變量賦值,令分別等于,把這些不定式累加,可得要證的不定式。）1.已知函數(shù),實數(shù)滿意,設(shè).（1）當函數(shù)的定義域為時,求的值域；（2）求函數(shù)關(guān)系式,并求函數(shù)的定義域；（3）求的取值范圍.（1）若,令,……1分在上為增函數(shù) ……2分；,……3分值域為.……4分（2）實數(shù)滿意,則,則,……6分而,,故,,……7分由題意,,則,故,……8分又,即,故,當且僅當時取得等號,……9分綜上:.……10分（3）,……12分令,當恒成立,……14分故在單調(diào)遞增,,故.……16分2.已知函數(shù)。（1）若f（x）的圖象及g（x）的圖象所在兩條曲線的一個公共點在y軸上,且在該點處兩條曲線的切線相互垂直,求b和c的值。（2）若a＝c＝1,b＝0,試比較f（x）及g（x）的大小,并說明理由；（3）若b＝c＝0,證明：對隨意給定的正數(shù)a,總存在正數(shù)m,使得當x時,恒有f（x）＞g（x）成立。解:,時,,……5分①時,,,即②時,,,即③時,令,則.設(shè),則,當時,單調(diào)遞減;當時,單調(diào)遞增.所以當時,取得微小值,且微小值為即恒成立,故在上單調(diào)遞增,又,因此,當時,,即.……9分綜上,當時,；當時,；當時,.……10分⑶證法一:①若,由⑵知,當時,.即,所以,時,取,即有當,恒有.②若,即,等價于即令,則.當時,在內(nèi)單調(diào)遞增.取,則,所以在內(nèi)單調(diào)遞增.又即存在,當時,恒有.……15分綜上，對隨意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當，恒有.……16分證法二:設(shè),則,當時,,單調(diào)減,當時,,單調(diào)增,故在上有最小值,,……12分①若,則在上恒成立,即當時,存在,使當時,恒有；②若,存在,使當時,恒有；③若,同證明一的②,……15分綜上可得，對隨意給定的正數(shù)，總存在,當時,恒有.……16分設(shè)函數(shù)在點處的切線方程為.(1)求實數(shù)及的值；(2)求證:對隨意實數(shù),函數(shù)有且僅有兩個零點.4.已知函數(shù),；（取為,取為,?。?）若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍；（2）若直線是函數(shù)圖象的切線,求的最小值；（3）當時,若及的圖象有兩個交點,,求證:.解析:（1）由,得；∵在上遞增,∴對,都有,（求出導數(shù)給2分）即對,都有,∵,∴；故實數(shù)的取值范圍是.………………4分（無等號的扣1分）（2）設(shè)切點,則切線方程為:,即,亦即,令,由題意得；……………7分令,則,當時,在上遞減；當時,在上遞增,∴,故的最小值為.………10分（3）由題意知:,,兩式相加得:,兩式相減得:,即,∴,即,………12分不妨令,記,令,則,∴在上遞增,則,∴,則,∴,又,∴,即,令,則時,,∴在上單調(diào)遞增,又,∴,∴,即.■………16分已知函數(shù),其中為自然對數(shù)底數(shù).（1）當時,求函數(shù)在點處的切線方程；（2）探討函數(shù)的單調(diào)性,并寫出相應的單調(diào)區(qū)間；（3）已知,若函數(shù)對隨意都成立,求的最大值.解:（1）當時,,,,………………2分∴函數(shù)在點處的切線方程為,即.……………………4分（2）∵,①當時,,函數(shù)在上單調(diào)遞增；………………6分②當時,由得,∴時,,單調(diào)遞減；時,,單調(diào)遞增.綜上,當時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.……9分（3）由（2）知,當時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,∴不可能恒成立；………………10分當時,,此時；………11分當時,由函數(shù)對隨意都成立,得,∵,∴………………13分∴,設(shè),∴,由于,令,得,,當時,,單調(diào)遞增；時,,單調(diào)遞減.∴,即的最大值為,.…………………16分5.此時若函數(shù)在處取得極大值或微小值,則稱為函數(shù)的極值點.已知函數(shù)當時,求的極值；若在區(qū)間上有且只有一個極值點,求實數(shù)的取值范圍.已知函數(shù),.（1）設(shè).①若函數(shù)在處的切線過點,求的值；②當時,若函數(shù)在上沒有零點,求的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù),且,求證:當時,.解:（1）由題意,得,所以函數(shù)在處的切線斜率,……………2分又,所以函數(shù)在處的切線方程,將點代入，得.……………4分（2）方法一:當,可得,因為,所以,①當時,,函數(shù)在上單調(diào)遞增,而,所以只需，解得，從而.……………6分②當時,由,解得,當時,,單調(diào)遞減；當時,,單調(diào)遞增.所以函數(shù)在上有最小值為,令,解得,所以.綜上所述，.……………10分方法二:當,①當時,明顯不成立；②當且時，，令，則，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，，由題意知.（3）由題意,,而等價于,令,……………12分則,且,,令,則,因,所以,……………14分所以導數(shù)在上單調(diào)遞增,于是,從而函數(shù)在上單調(diào)遞增，即.……………16分己知函數(shù)(1)若,求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)若關(guān)于x的不等式恒成立,求整數(shù)a的最小值:(3)若,正實數(shù)滿意,證明:（1）因為,所以,………1分此時,………2分由,得,又,所以．所以的單調(diào)減區(qū)間為.…………4分（2）方法一:令,所以.當時,因為,所以.所以在上是遞增函數(shù),又因為,所以關(guān)于的不等式不能恒成立.……6分當時,,令,得.所以當時,；當時,,因此函數(shù)在是增函數(shù),在是減函數(shù)．故函數(shù)的最大值為.……………………8分令,因為,,又因為在是減函數(shù).所以當時,．所以整數(shù)的最小值為2.…………10分方法二:（2）由恒成立,得在上恒成立,問題等價于在上恒成立.令,只要.…………6分因為,令,得.設(shè),因為,所以在上單調(diào)遞減,不妨設(shè)的根為.當時,；當時,,所以在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù).所以.………8分因為,所以,此時,即.所以,即整數(shù)的最小值為2.………………10分（3）當時,由,即從而…………………13分令,則由得,可知,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以,………15分所以,因此成立.…………16分已知為實數(shù),函數(shù),函數(shù).（1）當時,令,求函數(shù)的極值；（2）當時,令,是否存在實數(shù),使得對于函數(shù)定義域中的隨意實數(shù),均存在實數(shù),有成立,若存在,求出實數(shù)的取值集合；若不存在,請說明理由.解:（1）,,令,得．………1分列表:x0+↘微小值↗所以的微小值為,無極大值.………4分（2）當時,假設(shè)存在實數(shù)滿意條件,則在上恒成立.………5分1）當時,可化為,令,問題轉(zhuǎn)化為:對隨意恒成立；（*）則