2015年新人教版高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)總結(jié)

常用數(shù)集及其記法

N表示自然數(shù)集，N*或N+表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，。表示有理數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)集.

含絕對(duì)值的不等式與一元二次不等式的解法

（1）含絕對(duì)值的不等式的解法

不等式解集

\x\<a(a>0){x\-a<x<a]

Ix\>a(a>0)

（2）一元二次不等式的解法

判別式

A>08=0A<0

A=Z?2-4ac

二

二次函數(shù)J

y=ax2+bx+c(a>0)

的圖象

一元二次方程-b±\lb2-4ac

勺b

舊_______________2___2a二

X[無(wú)2=-----無(wú)實(shí)根

2a

(其中王

的根<x2)

ax2+Zzx+c>0(a>0)3T}

{x|XVX]或X>/}R

的解集

ax2+bx+c<0(a>0)

{x\x]<x<x2}00

的解集

（1）函數(shù)的單調(diào)性

①定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某(1)利用定義

個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量(2)利用已知函數(shù)的

的值Xi、X2,當(dāng)Xi<引時(shí)，都f(xj單調(diào)性

有f(x.)<f(x2),那么就說(shuō)(3)利用函數(shù)圖象(在

蚓

f(x)在這個(gè)區(qū)間上是舉函數(shù).某個(gè)區(qū)間圖

x象上升為增)

1X,:X

函數(shù)的(4)利用復(fù)合函數(shù)

單調(diào)性(1)利用定義

如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某Jy=f(x)(2)利用已知函數(shù)的

個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量f(x^單調(diào)性

的值XI、X2,當(dāng)引?金時(shí)，都(3)利用函數(shù)圖象(在

有f(x.)>f(x),那么就說(shuō)

2r.某個(gè)區(qū)間圖

f(x)在這個(gè)區(qū)間上是邀單藜.象下降為減)

X,x2x

(4)利用復(fù)合函數(shù)

[1.3.2]奇偶性

(4)函數(shù)的奇偶性

①定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)(1)利用定義(要先

任意一個(gè)X,都有f(—x)=—y

(a.f(a))判斷定義域是否關(guān)于

"9,那么函數(shù)f(x)叫做奇單原點(diǎn)對(duì)稱)

-a

孰oax(2)利用圖象(圖象

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)

(-a,f(-a))

函數(shù)的

奇偶性如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)(1)利用定義(要先

y

任意一個(gè)x,都有!(_x)=fg),判斷定義域是否關(guān)于

(-a,f(-a))_(a.f(a))

那么函數(shù)f(x)叫做假邑藜.原點(diǎn)對(duì)稱)

(2)利用圖象(圖象

-ao

關(guān)于y軸對(duì)稱)

②若函數(shù)/(%)為奇函數(shù)，且在x=0處有定義，則/(0)=0.

③根式的性質(zhì)：(標(biāo))"=4；當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，=。；當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，

yfd'=|a|=?a(a>0)

-a(a<0)

(2)分?jǐn)?shù)指數(shù)事的概念

①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)'幕的意義是：=行(。>0,相,"eN+，且”>1).o的正分?jǐn)?shù)指數(shù)

嘉等于o

②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是：a7=(3；=Id)”'(a>0,且n>1).o

a

的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒(méi)有意義.注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù).

(3)分?jǐn)?shù)指數(shù)箱的運(yùn)算性質(zhì)

①ar-a'=ar+s(a>0,r,,ve/?)②(")'=>0,r,seR)

@(ab)r=arbr(a>0,Z?>0,reR)

[2.1.2)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(4)指數(shù)函數(shù)

函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)

定義函數(shù)y=a\a>0且a/1)叫做指數(shù)函數(shù)

a>\1\0<?<1

y1y

圖象

(0,1)

(0,1)

00

XX

定義域R

值域(0,+oo)

過(guò)定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1),即當(dāng)x=0時(shí)，y=l.

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)

ax>1(x>0)a'<1(x>0)

函數(shù)值的

優(yōu)=](x=0)優(yōu)=](x=0)

變化情況

ax<1(x<0)ax>1(x<0)

a變化對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，a越大圖象越低.

K2.22對(duì)數(shù)函數(shù)

[2.2.1]對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算

(1)對(duì)數(shù)的定義

①若a'=N(a>0,月4/1),則x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x=log.N,其中。叫做底數(shù),

N叫做真數(shù).

②負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù).

③對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：x=k)g?N=a*=N(a>(),aHl,N>()).

(2)幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式

log”1=0,log?a=l,log?ab=b.

(3)常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)

常用對(duì)數(shù)：IgN,即10g“)N；自然對(duì)數(shù)：InN,即log,,N(其中e=2.71828…).

(4)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果。>0,。01,加>0,入^>0,那么

M

①加法：log."+log〃N=log.(MN)②減法；log"A1—log〃N=k)g“R'

③數(shù)乘：?lognM-lognM"(n&R)④*?N=N

⑤log,Ar=41og〃A7SH0,〃eR)⑥換底公式：log“N=電配丫出>0,且b/1)

blog〃a

[2.2.2]對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(5)對(duì)數(shù)函數(shù)

函數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)

名稱

定義函數(shù)y=logqx(a>0且。w1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)

a>\0<。<1

y■og“Xy1%(尸"

圖象

*1，。)，

0八/(1,0)x0

定義域(0,+00)

值域R

過(guò)定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn)(1,0),即當(dāng)尤=1時(shí)，y=0.

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)

logax>0(x>l)log?X<0(x>l)

函數(shù)值的

logax=0(x=l)log?x=0(x=l)

變化情況

logax<0(0<x<l)lognx>0(0<x<1)

a變化對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，a越大圖象越靠高.

2圓柱的表面積S=2勿7+2m*23圓錐的表面積5=獷/+加2

4圓臺(tái)的表面積S="/+勿一+咸/+成一5球的表面積S=4成2

(-)空間幾何體的體積

2錐體的體積丫=!5底、/?

1柱體的體積K=S底x〃

4,

3臺(tái)體的體積V=—(Sj.+JS上S下+5,)x7?4球體的體積V=一成、

3

第二章直線與平面的位置關(guān)系

2.1空間點(diǎn)、

3三個(gè)公理:

(1)公理1：

符號(hào)表示為

公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)

(2)公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

符號(hào)表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線=>有且只有一個(gè)平面a,

使AGa、BGa、CSao

公理2作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。

(3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線。

符號(hào)表示為：PGan0=>ane=L,且PEL

公理3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)

2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：

相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn):

共面直線

平行直線：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；

異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)。

2公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c是三條直線

a〃b}=>a〃c

c〃b

強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說(shuō)平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。

公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。

3等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)

4注意點(diǎn)：

①a'與b’所成的角的大小只由a、b的相互位置來(lái)確定，與O的選擇無(wú)關(guān)，為簡(jiǎn)便，點(diǎn)0一般取在兩直

線中的一條上；乃

②兩條異面直線所成的角06(0,);y

③當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直，記作aj_b；

④兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；

⑤計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。

2.1.3-2.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系

1、直線與平面有三種位置關(guān)系：

(1)直線在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

(2)直線與平面相交一一有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

(3)直線在平面平行——沒(méi)有公共點(diǎn)

指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aa來(lái)表不，

2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)

2.2.1直線與平面平行的判定

1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行。

符號(hào)表示：

aa0

bBU=>a

a〃b」

2.2.2平面與平面平行的判定

1、兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。

符號(hào)表示：

aC5、

bu

aDb=P\>^/a

a〃a

b〃aJ

(1)用定義；

(2)判定定理；

(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。

2.2.3-2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)

1、定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。

簡(jiǎn)記為：線面平行則線線平行。

符號(hào)表示：

a〃a1

a仁B

anp=bJ

作用：利用該定理可解決直線間的平行問(wèn)題。

2、定理：如果兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。

符號(hào)表示：

a〃B1

anY=aa》b

3ClY=b"

作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行

2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

2.3.1直線與平面垂直的判定

1、定義

如果直線L與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線L與平面a互相垂直，記作LJ.a,直

線L叫做平面a的垂線，平面a叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時(shí),它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。

2、判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

注意點(diǎn)：a）定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；

b）定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

2.3.2平面與平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形

3、兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。

2.3.3—2.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)

1、定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。

2性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。

第三章直線與方程

3.1直線的傾斜角和斜率

3.1傾斜角和斜率

1、直線的傾斜角的概念：當(dāng)直線1與X軸相交時(shí)，取X軸作為基準(zhǔn)，X軸正向與直線1向上方向之間所成

的角a叫做直線1的傾斜角.特別地,當(dāng)直線1與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定a=0。.

2、傾斜角。的取值范圍：0°Wa<180°.當(dāng)直線1與x軸垂直時(shí)，a=90°.

3、直線的斜率：

k=tana

⑴當(dāng)直線1與x軸平行或重合時(shí)，a=0°,k=tan00=0;

⑵當(dāng)直線1與x軸垂直時(shí)，a=90°,k不存在.

由此可知，一條直線1的傾斜角a一定存在,但是斜率k不一定存在.

4、直線的斜率公式：

給定兩點(diǎn)Pl(xl,yl),P2(x2,y2),xlKx2,用兩點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示直線P1P2的斜率：

斜率公式：k=y2-yl/x2-xl

3.1.2兩條直線的平行與垂直

1、兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那

么它們平行，即L1%=k]=1<2

注意：上面的等價(jià)是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個(gè)前提，結(jié)論并不成立.即

如果kl=k2,那么一定有L1〃L2

2、兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負(fù)倒

數(shù)，那么它們互相垂直，即

3.2.1直線的點(diǎn)斜式方程

1、直線的點(diǎn)斜式方程：y-=k(x-4)

2、、直線的斜截式方程：y=kx+b

3.2.2直線的兩點(diǎn)式方程

1、直線的兩點(diǎn)式方程：已知兩點(diǎn)6(%|,%2)，8(%2，%)其中(玉W%2，XW>2)

y-yl/y-y2=X-Xl/x-x2

2、直線的截距式方，1程：已知直線/與X軸的交點(diǎn)為

111?=%==k*2=-1

A(<2,0),與y軸2的交點(diǎn)為B(0,Z?),其中

aw0,b豐0

3.2.3直線的一般式方程

1、直線的一般式方程；關(guān)于的二元一次方程A%+gy+C=0(A,B不同時(shí)為O)

2、各種直線方程之間的互化。

3.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式

3.3.1兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

1.給出例題：兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)

LI：3x+4y-2=0LI：2x+y+2=0

3x+4y-2=(

解：解方程組《得x=-2,y=2

2x+2y+2=(

所以Ll與L2的交點(diǎn)坐標(biāo)為M(-2,2)

3.3.2兩點(diǎn)間距離

兩點(diǎn)間的距I------------------離公式

3.3.3點(diǎn)歸耳=*%-々)+(必一凹)一到直線的距離公式

1.點(diǎn)到直線距離公式：

I+Byn+Cl

點(diǎn)尸(人，先)到直線/:Ax+By+C=0的距離為：d=---/—

VA2+B2

2、兩平行線間的距離公式：

已知兩條平行線直線4和4的一般式方程為4：Ax+By+C1=0,

,,|c,-cJ

Z2:Ax+By+C2—0,則4與Z2的距離為d——.—