第01講 平面向量的數(shù)量積（主干知識(shí)復(fù)習(xí)）（學(xué)生版）-2023年新高二暑期數(shù)學(xué)銜接（新人教版）

第01講平面向量的數(shù)量積【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過(guò)物理中功等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義，會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積．2.通過(guò)幾何直觀了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義．3.會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.4.能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積，會(huì)表示兩個(gè)平面向量的夾角．5.能用坐標(biāo)表示平面向量垂直的條件.【基礎(chǔ)知識(shí)】一．平面向量的數(shù)量積1．向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是：[0，π]．2.平面向量的數(shù)量積(1)設(shè)兩個(gè)非零向量a，b的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|·cosθ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b(2)注意任何一個(gè)向量與零向量的數(shù)量積均為零。解讀：向量的數(shù)量積是一種新的乘法，和向量的線性運(yùn)算有著顯著的區(qū)別，兩個(gè)向量的數(shù)量積，其結(jié)果是數(shù)量，而不是向量．學(xué)習(xí)時(shí)必須透徹理解數(shù)量積概念的內(nèi)涵．二、投影向量1.向量a在b方向上的投影向量為|a|cosθe(其中e為與b同向的單位向量)，它是一個(gè)向量，且與b共線，其方向由向量a和b夾角θ的余弦決定．2.向量a在b方向上的投影向量eq\f(a·b,|b|)·eq\f(b,|b|).3.注意：a在b方向上的投影向量與b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示為|b|cosθeq\f(a,|a|).三、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b都是非零向量，e是單位向量，θ為a與b(或e)的夾角．則1.e·a＝a·e＝|a|cosθ.2.a⊥b?a·b＝0.3.當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝－|a||b|.特別地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(5)|a·b|≤|a||b|.四、平面向量數(shù)量積滿(mǎn)足的運(yùn)算律1.a·b＝b·a；2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ為實(shí)數(shù))；3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c.五、平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到1.若a＝(x，y)，則|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq\r(x2＋y2).2.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點(diǎn)間的距離AB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).3.設(shè)兩個(gè)非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.4.若a，b都是非零向量，θ是a與b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).六、平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式1.(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.2.(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.3.(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.七、平面向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題的解題思路1.題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解．2.給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式，解題思路是經(jīng)過(guò)向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等．八、用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”：1.建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；2.通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系；3.把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：利用定義求平面向量的數(shù)量積例1．(2022學(xué)年陜西省榆林市綏德中學(xué)、府谷中學(xué)高一下學(xué)期期中)已知向量，滿(mǎn)足，，則(

)A．4 B．3 C．2 D．1考點(diǎn)二：向量的投影向量例2．(2022學(xué)年天津市河北區(qū)高一下學(xué)期期中)已知，，與的夾角為135°，則在方向上的投影向量為(

)A．－ B． C． D．考點(diǎn)三：利用數(shù)量積的性質(zhì)求向量的模例3．(2022學(xué)年山東省濰坊市高一下學(xué)期5月優(yōu)秀生測(cè)試)已知，是平面內(nèi)的兩個(gè)向量，，且，則(

)A． B． C． D．考點(diǎn)四：利用數(shù)量積性質(zhì)求向量的夾角例4．(2022學(xué)年湖北省問(wèn)津聯(lián)合體高一下學(xué)期5月質(zhì)量檢測(cè))已知在方向上的投影向量為，則與夾角的正弦值為_(kāi)__________.考點(diǎn)五：利用數(shù)量積求解垂直問(wèn)題例5．(2022學(xué)年河南省商丘市一高高一下學(xué)期五月月考)已知向量，滿(mǎn)足，，，若，則實(shí)數(shù)的值為(

)A．2 B． C．9 D．考點(diǎn)六：數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算例6．(2022學(xué)年福建省莆田第一中學(xué)高一下學(xué)期期中)已知向量，點(diǎn)，，則向量在上的投影向量的模長(zhǎng)為(

)A． B． C． D．考點(diǎn)七：建立坐標(biāo)系求解幾何圖形中的數(shù)量積問(wèn)題例7．(2022學(xué)年河南省安陽(yáng)市高一下學(xué)期聯(lián)考)已知正方形的邊長(zhǎng)為2，為正方形的內(nèi)部或邊界上任一點(diǎn)，則的最大值是(

).A．1 B．2 C．3 D．4【真題演練】1．(2020年高考全國(guó)卷Ⅲ)已知向量a，b滿(mǎn)足，，，則 ()A． B． C． D．2．(2019年高考全國(guó)卷Ⅱ卷)已知，，，則 ()A． B． C． D．3．(2018年高考全國(guó)卷Ⅱ)已知向量，滿(mǎn)足，，則 ()A．4 B．3 C．2 D．04．(2021年高考全國(guó)卷Ⅱ)已知向量．若，則________．5．(2021年高考全國(guó)卷Ⅰ)已知向量，若，則__________．6．(2020年高考全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)為單位向量，且，則______________．7．(2020年高考全國(guó)卷Ⅱ)已知單位向量,的夾角為45°，與垂直，則k=__________．8．(2019年高考全國(guó)卷Ⅲ)已知，為單位向量，且，若，則___________．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】1．(2022學(xué)年河南省商丘市第一高級(jí)中學(xué)高一下學(xué)期期中)已知點(diǎn)，則向量在方向上投影向量為(

)A． B． C． D．2．(2022學(xué)年江蘇省常州市第二中學(xué)高一下學(xué)期5月學(xué)情調(diào)研)已知向量，若與垂直，則與夾角的余弦值為(

)A． B． C． D．3．(2022學(xué)年河南省南陽(yáng)市六校高一下學(xué)期第二次聯(lián)考)已知，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A． B．C． D．4.(2022學(xué)年四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高一下學(xué)期期中)如圖，中，，，P為CD上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，若AC＝3，AB＝4，則的值為(

)A． B． C． D．5．(2022學(xué)年山東省菏澤市高一下學(xué)期期中)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，向量，滿(mǎn)足，，則(

)A． B．C． D．6.(2022學(xué)年江蘇省徐州市睢寧縣高一下學(xué)期期中)如果是兩個(gè)單位向量，那么下列四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是(

)A． B． C． D．7．(2022學(xué)年上海交通大學(xué)附屬中學(xué)高一下學(xué)期線上教學(xué)反饋)點(diǎn)O在所在的平面內(nèi)，則下列說(shuō)法正確的是(

)A．若，則點(diǎn)O是的外心B．若，則點(diǎn)O是的內(nèi)心C．若，則點(diǎn)O是的外心D．若，則點(diǎn)O是的垂心E．若，則點(diǎn)O是的內(nèi)心F．若，則點(diǎn)O是的垂心8.(2022學(xué)年江蘇省淮安市淮安區(qū)高一下學(xué)期期中)如圖，平面向量，的夾角是60