第01講 平面向量與三角形中的范圍與最值問題（五大題型）（教師版）-2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接講義

第01講平面向量與三角形中的范圍與最值問題【題型歸納目錄】題型一：定義法題型二：坐標(biāo)法題型三：基底法題型四：幾何意義法題型五：極化恒等式【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一．平面向量范圍與最值問題常用方法：1、定義法第一步：利用向量的概念及其基本運(yùn)算將所求問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系第二步：運(yùn)用基木不等式求其最值問題第三步：得出結(jié)論2、坐標(biāo)法第一步：根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)第二步：將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解3、基底法第一步：利用其底轉(zhuǎn)化向量第二步：根據(jù)向量運(yùn)算律化簡目標(biāo)第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結(jié)論4、幾何意義法第一步：先確定向量所表達(dá)的點(diǎn)的軌跡第二步：根據(jù)直線與曲線位置關(guān)系列式第三步：解得結(jié)果知識點(diǎn)二．極化恒等式1、平行四邊形平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：(1)(2)(1)(2)兩式相加得：2、極化恒等式：上面兩式相減，得：————極化恒等式(1)平行四邊形模式：幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的．(2)三角形模式：(M為BD的中點(diǎn))AABCM知識點(diǎn)三．在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn)．解決這類問題，通常有下列五種解題技巧：(1)利用基本不等式求范圍或最值；(2)利用三角函數(shù)求范圍或最值；(3)利用三角形中的不等關(guān)系求范圍或最值；(4)根據(jù)三角形解的個數(shù)求范圍或最值；(5)利用二次函數(shù)求范圍或最值．要建立所求量(式子)與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題．這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避免結(jié)果的范圍過大．【典例例題】題型一：定義法例1．(2023·山東臨沂·高一?？茧A段練習(xí))如圖，在中，M為線段的中點(diǎn)，G為線段上一點(diǎn)，，過點(diǎn)G的直線分別交直線，于P，Q兩點(diǎn)，，，則的最小值為(

)．A． B． C．3 D．9【答案】B【解析】因?yàn)镸為線段的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以，又，，所以，又三點(diǎn)共線，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.故選：B.例2．(2023·廣西·高一校聯(lián)考階段練習(xí))已知點(diǎn)是的邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，若，則的最小值為(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】

由題意得：，.因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號.故選：D.例3．(2023·江蘇南京·高一南京市寧海中學(xué)校聯(lián)考期中)已知向量均為單位向量，且，向量滿足，則的最大值為(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則易知，又，所以，因?yàn)?，所以，所以最大值為．故選：C.題型二：坐標(biāo)法例4．(2023·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第70中?？计谥?已知，若點(diǎn)M是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且，則的最小值為(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，

依題意，所以，，所以，所以.故選：C.例5．(2023·山東濱州·高一山東省北鎮(zhèn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知梯形，且為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是(

)A． B． C． D．2【答案】A【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，則，，設(shè)，所以，，故，所以，又為平面內(nèi)一點(diǎn)，故當(dāng)時，取到最小值.

故選：A.例6．(2023·廣東佛山·高一南海中學(xué)?？茧A段練習(xí))在中，已知，，，D是的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是，上的動點(diǎn)，且，則的最小值為(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，設(shè)，其中，因?yàn)?，則，所以，所以，令，可得，令，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，可得最小值，最小值為，即的最小值為.故選：C.題型三：基底法例7．(2023·福建三明·高一三明一中?？计谥?已知以為圓心的單位圓上有兩個定點(diǎn)、及兩個動點(diǎn)、，且，則的最大值是(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知，，所以，，易知，所以，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)與方向相反時，等號成立，故的最大值為.故選：A.例8．(2023·全國·高一專題練習(xí))已知的外心為，且滿足，(其中，則的最大值為(

)A．2 B． C． D．5【答案】A【解析】如圖所示，過點(diǎn)分別作，，其垂足分別為，，

則，分別為弦，的中點(diǎn)．，，，，化為：，即，①，化為，即，②，由①②解得，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最大值為2.故選：A．題型四：幾何意義法例9．(2023·廣東深圳·高一?？计谥?平面四邊形是邊長為4的菱形，且．點(diǎn)N是DC邊上的點(diǎn)，滿足．點(diǎn)M是四邊形內(nèi)或邊界上的一個動點(diǎn)，則的最大值為(

)A．13 B．7 C．14 D．【答案】C【解析】如圖，由數(shù)量積的幾何意義：兩向量的數(shù)量積等于其中一個向量的模與另一個向量在這個向量的方向上的投影的乘積，及點(diǎn)M是四邊形內(nèi)或邊界上的一個動點(diǎn)，則當(dāng)在點(diǎn)時，在上的投影向量與同向，且長度最長，所以此時最大，因?yàn)?，又，所以，所以的最大值?故選：C.例10．(2023·江蘇南京·高一南京市第一中學(xué)校考期中)向量，，若與的夾角為，則的最大值為(

)A．2 B． C．4 D．【答案】C【解析】由題意，記，則，故由向量加減的三角形法則可得，與構(gòu)成三角形，則與的夾角等于，則，由正弦定理可得，又，則，所以，即的最大值為.故選：C.例11．(2023·高一課時練習(xí))已知向量，，，滿足，記的最大值為，最小值為，則(

)A． B．2 C． D．1【答案】A【解析】在中，設(shè)，則，因?yàn)?，即，所以為等邊三角形，以為鄰邊作平行四邊形，設(shè)交于點(diǎn)，可得，則，因?yàn)?，取的起點(diǎn)為，可知的終點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，如圖，當(dāng)點(diǎn)為的延長線與圓的交點(diǎn)時，的最大值為；當(dāng)點(diǎn)為線段與圓的交點(diǎn)時，的最小值為；所以.故選：A.題型五：極化恒等式例12．(2023·浙江·高一校聯(lián)考期中)已知圖中正六邊形的邊長為6，圓O的圓心為正六邊形的中心，直徑為4，若點(diǎn)P在正六邊形的邊上運(yùn)動，為圓O的直徑，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)檎呅蔚倪呴L為6，圓O的圓心為正六邊形的中心，直徑為4，所以正六邊形的內(nèi)切圓的半徑為，外接圓的半徑，又由，因?yàn)?，即，可得，所以的取值范圍?故選：D例13．(2023·福建福州·高一福建省福州高級中學(xué)校考期中)已知邊長為2的正方形ABCD內(nèi)接于圓O，點(diǎn)P是正方形ABCD四條邊上的動點(diǎn)，MN是圓O的一條直徑，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)圓的半徑為，則，所以.如圖，根據(jù)向量加法的三角形法則可知，，且，所以.由已知可得，正方形上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，所以，所以.故選：D.【過關(guān)測試】一、單選題1．(2023·高一課時練習(xí))如圖，在直角梯形ABCD中，，，，，動點(diǎn)P在邊BC上，且滿足(m，n均為正數(shù))，則的最小值為(

)

A．1 B． C． D．【答案】D【解析】如圖，以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則，，，，則，，，設(shè)，則.因?yàn)?，所以，消去，得·，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時等號成立.故的最小值為.故選：D2．(2023·江蘇泰州·高一泰州中學(xué)校考期中)已知平面向量，對任意實(shí)數(shù)都有，成立.若，則的最大值是(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，設(shè)，則，若對任意的實(shí)數(shù)都有且成立，即對任意的實(shí)數(shù)都有且成立，即成立，所以在以為直徑的圓周上，設(shè)圓心為，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交圓于點(diǎn)，可得向量在上的射影長最大值為，所以，設(shè)，其中，且，則，所以，所以，，，當(dāng)時，取得最大值，最大值為.故選：B.

3．(2023·湖北黃岡·高一?？计谥?如圖所示，在矩形中，，動點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上，則的最大值是(

)A．-4 B．4 C．-1 D．1【答案】A【解析】在矩形中，，動點(diǎn)在以為圓心，且與相切的圓上，所以，如圖所示，連接,設(shè)到的距離為，則，則，其中，，當(dāng)且僅當(dāng)與同向時，等號成立，所以，即的最大值為.故選：A.4．(2023·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí))平面向量，滿足，且，則與夾角的余弦值的最大值是(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】由兩邊平方得，又，則.，當(dāng)時取等號.則與夾角的余弦值的最大值.故選：A.5．(2023·北京·高一首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí))如圖，A，B，C三點(diǎn)在半徑為l的圓O上運(yùn)動，M是圓O外一點(diǎn)，且，，則的最大值為(

)A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【解析】連接，由題意可知為圓的直徑，所以為的中點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)同向時取等號，故選：D.6．(2023·陜西西安·高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知向量均為單位向量，且．向量與向量的夾角為，則的最大值為(

)A． B．1 C． D．2【答案】D【解析】向量,向量均為單位向量，,.如圖，設(shè).則是等邊三角形.向量滿足與的夾角為,.因?yàn)辄c(diǎn)在外且為定值,所以的軌跡是兩段圓弧,是弦AB所對的圓周角.因此：當(dāng)AC是所在圓(上述圓弧)的直徑時,取得最大值|AC|,在中,由正弦定理可得:.取得最大值2.故選：D7．(2023·湖北武漢·高一華中師大一附中校考階段練習(xí))已知向量，，滿足，，，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】，，而，即，解得，，而，即，解得在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，作，令，則，，于是點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上，點(diǎn)在以為圓心，3為半徑的圓上，如圖，觀察圖形知，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)都在直線上，且方向相反，即點(diǎn)B與D重合，點(diǎn)C與E重合時取等號，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)都在直線上，且方向相同，若點(diǎn)B與A重合，點(diǎn)C與E重合時，，若點(diǎn)B與D重合，點(diǎn)C與F重合時，，因此，所以的取值范圍是.故選：A8．(2023·北京·高一北理工附中?？计谥?已知點(diǎn)，，.若平面區(qū)域D由所有滿足的點(diǎn)P組成(其中，)，則的取值范圍為(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】由題可得，，則.又，則，則.故選：D9．(2023·四川成都·高一樹德中學(xué)?？茧A段練習(xí))如圖所示，邊長為2的正，以BC的中點(diǎn)O為圓心，BC為直徑在點(diǎn)A的另一側(cè)作半圓弧，點(diǎn)P在圓弧上運(yùn)動，則的取值范圍為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】過點(diǎn)作交半圓弧于點(diǎn)，連接，如圖，而是正三角形，則，令夾角為，當(dāng)點(diǎn)P在弧上時，，當(dāng)點(diǎn)P在弧上時，，于是，顯然，，所以.故選：B10．(2023·四川達(dá)州·高一校考期中)如圖，正方形的邊長為2，動點(diǎn)滿足，且點(diǎn)在正方形內(nèi)部及邊上運(yùn)動，若，則的取值范圍為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)椋傻?，且，由，可得，可得，設(shè)，其中，則，因?yàn)?，可得，則，所以，即的取值為.故選：B.11．(2023·江蘇南京·高一南京師大附中?？计谥?如圖，中，，，.在所在的平面內(nèi)，有一個邊長為1的正方形繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)(不少于1周)，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，，，，由余弦定理得，所以，又由正方形的邊長為，可得，則，正方形繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)(不少于1周)，可得，所以，即的取值范圍是.故選：A.12．(2023·江蘇南京·高一?？计谥?如圖所示，矩形的邊，，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與交于點(diǎn)，若點(diǎn)是圓弧(含端點(diǎn)?上的一點(diǎn)，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】以點(diǎn)為原點(diǎn)，以直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，，，，，，，，，的取值范圍是.故選：D.13．(2023·湖北武漢·高一華中科技大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考期中)已知平行四邊形ABCD中，，點(diǎn)P在線段CD上(不包含端點(diǎn))，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，，，∴，即，即，以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，以的垂線為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，∴，，，，設(shè)，∴，∴，設(shè)，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，，則的取值范圍是.故選：A.14．(2023·陜西西安·高一長安一中?？计谥?點(diǎn)M在邊長為4的正△ABC內(nèi)(包括邊界)，滿足，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】分別是的中點(diǎn)，則，由于在三角形內(nèi)(包括邊界)，且，所以點(diǎn)的軌跡是，所以..故選：B

15．(2023·高一課時練習(xí))設(shè)非零向量，若，則的取值范圍為(

)A．[0，1] B．[0，2]C．[0，3] D．[1，2]【答案】C【解析】因?yàn)槭侨齻€單位向量，因此，當(dāng)三個向量同向時，取得最大值為；當(dāng)三個向量兩兩成角時，它們的和為，也即的最小值為，所以的取值范圍為.故選：C16．(2023·全國·高一專題練習(xí))如圖所示，梯形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，若向量在向量上的投影向量的模為4，設(shè)、分別為線段、上的動點(diǎn)，且，，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】，，梯形為直角梯形，，，即，由，同理可得，又向量在向量上的投影向量的模為4，所以，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，，所以，由且可得，令，則由對勾函數(shù)單調(diào)性知，當(dāng)時單調(diào)遞減，時單調(diào)遞增，故，由知，，故，故選：D17．(2023·全國·高一專題練習(xí))在平面內(nèi)，若，則的取值