第01講 平面向量與三角形中的范圍與最值問題（五大題型）（教師版）-2024年高中數學新高二暑期銜接講義

第01講平面向量與三角形中的范圍與最值問題【題型歸納目錄】題型一：定義法題型二：坐標法題型三：基底法題型四：幾何意義法題型五：極化恒等式【知識點梳理】知識點一．平面向量范圍與最值問題常用方法：1、定義法第一步：利用向量的概念及其基本運算將所求問題轉化為相應的等式關系第二步：運用基木不等式求其最值問題第三步：得出結論2、坐標法第一步：根據題意建立適當的直角坐標系并寫出相應點的坐標第二步：將平面向量的運算坐標化第三步：運用適當的數學方法如二次函數的思想、基本不等式的思想、三角函數思想等求解3、基底法第一步：利用其底轉化向量第二步：根據向量運算律化簡目標第三步：運用適當的數學方法如二次函數的思想、基本不等式的思想、三角函數思想等得出結論4、幾何意義法第一步：先確定向量所表達的點的軌跡第二步：根據直線與曲線位置關系列式第三步：解得結果知識點二．極化恒等式1、平行四邊形平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：(1)(2)(1)(2)兩式相加得：2、極化恒等式：上面兩式相減，得：————極化恒等式(1)平行四邊形模式：幾何意義：向量的數量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的．(2)三角形模式：(M為BD的中點)AABCM知識點三．在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內容的重點、難點．解決這類問題，通常有下列五種解題技巧：(1)利用基本不等式求范圍或最值；(2)利用三角函數求范圍或最值；(3)利用三角形中的不等關系求范圍或最值；(4)根據三角形解的個數求范圍或最值；(5)利用二次函數求范圍或最值．要建立所求量(式子)與已知角或邊的關系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數值，轉化為函數關系，將原問題轉化為求函數的值域問題．這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數的定義域)找完善，避免結果的范圍過大．【典例例題】題型一：定義法例1．(2023·山東臨沂·高一?？茧A段練習)如圖，在中，M為線段的中點，G為線段上一點，，過點G的直線分別交直線，于P，Q兩點，，，則的最小值為(

)．A． B． C．3 D．9【答案】B【解析】因為M為線段的中點，所以，又因為，所以，又，，所以，又三點共線，所以，即，所以，當且僅當，即時取等號.故選：B.例2．(2023·廣西·高一校聯(lián)考階段練習)已知點是的邊上靠近點的三等分點，點是線段上一點(不包括端點)，若，則的最小值為(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】

由題意得：，.因為，，三點共線，所以，所以，，當且僅當，即，時取等號.故選：D.例3．(2023·江蘇南京·高一南京市寧海中學校聯(lián)考期中)已知向量均為單位向量，且，向量滿足，則的最大值為(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】設，則易知，又，所以，因為，所以，所以最大值為．故選：C.題型二：坐標法例4．(2023·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第70中?？计谥?已知，若點M是所在平面內的一點，且，則的最小值為(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】以為坐標原點，建立平面直角坐標系如圖所示，

依題意，所以，，所以，所以.故選：C.例5．(2023·山東濱州·高一山東省北鎮(zhèn)中學校聯(lián)考階段練習)已知梯形，且為平面內一點，則的最小值是(

)A． B． C． D．2【答案】A【解析】如圖，建立平面直角坐標系，因為，則，，設，所以，，故，所以，又為平面內一點，故當時，取到最小值.

故選：A.例6．(2023·廣東佛山·高一南海中學校考階段練習)在中，已知，，，D是的中點，E，F分別是，上的動點，且，則的最小值為(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】以為原點，以所在的直線分別為軸、軸建立平面直角坐標系，如圖所示，可得，設，其中，因為，則，所以，所以，令，可得，令，解得，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以當時，可得最小值，最小值為，即的最小值為.故選：C.題型三：基底法例7．(2023·福建三明·高一三明一中?？计谥?已知以為圓心的單位圓上有兩個定點、及兩個動點、，且，則的最大值是(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知，，所以，，易知，所以，，所以，，當且僅當與方向相反時，等號成立，故的最大值為.故選：A.例8．(2023·全國·高一專題練習)已知的外心為，且滿足，(其中，則的最大值為(

)A．2 B． C． D．5【答案】A【解析】如圖所示，過點分別作，，其垂足分別為，，

則，分別為弦，的中點．，，，，化為：，即，①，化為，即，②，由①②解得，，，當且僅當時取等號，所以的最大值為2.故選：A．題型四：幾何意義法例9．(2023·廣東深圳·高一校考期中)平面四邊形是邊長為4的菱形，且．點N是DC邊上的點，滿足．點M是四邊形內或邊界上的一個動點，則的最大值為(

)A．13 B．7 C．14 D．【答案】C【解析】如圖，由數量積的幾何意義：兩向量的數量積等于其中一個向量的模與另一個向量在這個向量的方向上的投影的乘積，及點M是四邊形內或邊界上的一個動點，則當在點時，在上的投影向量與同向，且長度最長，所以此時最大，因為，又，所以，所以的最大值為.故選：C.例10．(2023·江蘇南京·高一南京市第一中學?？计谥?向量，，若與的夾角為，則的最大值為(

)A．2 B． C．4 D．【答案】C【解析】由題意，記，則，故由向量加減的三角形法則可得，與構成三角形，則與的夾角等于，則，由正弦定理可得，又，則，所以，即的最大值為.故選：C.例11．(2023·高一課時練習)已知向量，，，滿足，記的最大值為，最小值為，則(

)A． B．2 C． D．1【答案】A【解析】在中，設，則，因為，即，所以為等邊三角形，以為鄰邊作平行四邊形，設交于點，可得，則，因為，取的起點為，可知的終點的軌跡為以點為圓心，半徑為的圓，如圖，當點為的延長線與圓的交點時，的最大值為；當點為線段與圓的交點時，的最小值為；所以.故選：A.題型五：極化恒等式例12．(2023·浙江·高一校聯(lián)考期中)已知圖中正六邊形的邊長為6，圓O的圓心為正六邊形的中心，直徑為4，若點P在正六邊形的邊上運動，為圓O的直徑，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】因為正六邊形的邊長為6，圓O的圓心為正六邊形的中心，直徑為4，所以正六邊形的內切圓的半徑為，外接圓的半徑，又由，因為，即，可得，所以的取值范圍是.故選：D例13．(2023·福建福州·高一福建省福州高級中學?？计谥?已知邊長為2的正方形ABCD內接于圓O，點P是正方形ABCD四條邊上的動點，MN是圓O的一條直徑，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】設圓的半徑為，則，所以.如圖，根據向量加法的三角形法則可知，，且，所以.由已知可得，正方形上的點到點的距離，所以，所以.故選：D.【過關測試】一、單選題1．(2023·高一課時練習)如圖，在直角梯形ABCD中，，，，，動點P在邊BC上，且滿足(m，n均為正數)，則的最小值為(

)

A．1 B． C． D．【答案】D【解析】如圖，以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標系，

則，，，，則，，，設，則.因為，所以，消去，得·，因為，，所以，當且僅當，結合，即時等號成立.故的最小值為.故選：D2．(2023·江蘇泰州·高一泰州中學?？计谥?已知平面向量，對任意實數都有，成立.若，則的最大值是(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，設，則，若對任意的實數都有且成立，即對任意的實數都有且成立，即成立，所以在以為直徑的圓周上，設圓心為，過點作，交于點，交圓于點，可得向量在上的射影長最大值為，所以，設，其中，且，則，所以，所以，，，當時，取得最大值，最大值為.故選：B.

3．(2023·湖北黃岡·高一?？计谥?如圖所示，在矩形中，，動點在以點為圓心且與相切的圓上，則的最大值是(

)A．-4 B．4 C．-1 D．1【答案】A【解析】在矩形中，，動點在以為圓心，且與相切的圓上，所以，如圖所示，連接,設到的距離為，則，則，其中，，當且僅當與同向時，等號成立，所以，即的最大值為.故選：A.4．(2023·重慶北碚·高一西南大學附中校考階段練習)平面向量，滿足，且，則與夾角的余弦值的最大值是(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】由兩邊平方得，又，則.，當時取等號.則與夾角的余弦值的最大值.故選：A.5．(2023·北京·高一首都師范大學附屬中學?？茧A段練習)如圖，A，B，C三點在半徑為l的圓O上運動，M是圓O外一點，且，，則的最大值為(

)A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【解析】連接，由題意可知為圓的直徑，所以為的中點，則，當且僅當同向時取等號，故選：D.6．(2023·陜西西安·高一西北工業(yè)大學附屬中學?？茧A段練習)已知向量均為單位向量，且．向量與向量的夾角為，則的最大值為(

)A． B．1 C． D．2【答案】D【解析】向量,向量均為單位向量，,.如圖，設.則是等邊三角形.向量滿足與的夾角為,.因為點在外且為定值,所以的軌跡是兩段圓弧,是弦AB所對的圓周角.因此：當AC是所在圓(上述圓弧)的直徑時,取得最大值|AC|,在中,由正弦定理可得:.取得最大值2.故選：D7．(2023·湖北武漢·高一華中師大一附中校考階段練習)已知向量，，滿足，，，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】，，而，即，解得，，而，即，解得在直角坐標平面內，作，令，則，，于是點在以為圓心，2為半徑的圓上，點在以為圓心，3為半徑的圓上，如圖，觀察圖形知，，當且僅當點都在直線上，且方向相反，即點B與D重合，點C與E重合時取等號，即，解得，當且僅當點都在直線上，且方向相同，若點B與A重合，點C與E重合時，，若點B與D重合，點C與F重合時，，因此，所以的取值范圍是.故選：A8．(2023·北京·高一北理工附中校考期中)已知點，，.若平面區(qū)域D由所有滿足的點P組成(其中，)，則的取值范圍為(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】由題可得，，則.又，則，則.故選：D9．(2023·四川成都·高一樹德中學?？茧A段練習)如圖所示，邊長為2的正，以BC的中點O為圓心，BC為直徑在點A的另一側作半圓弧，點P在圓弧上運動，則的取值范圍為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】過點作交半圓弧于點，連接，如圖，而是正三角形，則，令夾角為，當點P在弧上時，，當點P在弧上時，，于是，顯然，，所以.故選：B10．(2023·四川達州·高一校考期中)如圖，正方形的邊長為2，動點滿足，且點在正方形內部及邊上運動，若，則的取值范圍為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，以點為原點，以所在的直線分別為軸、軸建立平面直角坐標系，設點，因為，可得，且，由，可得，可得，設，其中，則，因為，可得，則，所以，即的取值為.故選：B.11．(2023·江蘇南京·高一南京師大附中校考期中)如圖，中，，，.在所在的平面內，有一個邊長為1的正方形繞點按逆時針方向旋轉(不少于1周)，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，，，，由余弦定理得，所以，又由正方形的邊長為，可得，則，正方形繞點按逆時針方向旋轉(不少于1周)，可得，所以，即的取值范圍是.故選：A.12．(2023·江蘇南京·高一?？计谥?如圖所示，矩形的邊，，以點為圓心，為半徑的圓與交于點，若點是圓弧(含端點?上的一點，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】以點為原點，以直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則，，設，，，，，，，，，的取值范圍是.故選：D.13．(2023·湖北武漢·高一華中科技大學附屬中學校聯(lián)考期中)已知平行四邊形ABCD中，，點P在線段CD上(不包含端點)，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，，，∴，即，即，以為原點，以所在的直線為軸，以的垂線為軸，建立如圖所示的坐標系，∴，，，，設，∴，∴，設，∴在上單調遞減，在上單調遞增，∴，，則的取值范圍是.故選：A.14．(2023·陜西西安·高一長安一中?？计谥?點M在邊長為4的正△ABC內(包括邊界)，滿足，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】分別是的中點，則，由于在三角形內(包括邊界)，且，所以點的軌跡是，所以..故選：B

15．(2023·高一課時練習)設非零向量，若，則的取值范圍為(

)A．[0，1] B．[0，2]C．[0，3] D．[1，2]【答案】C【解析】因為是三個單位向量，因此，當三個向量同向時，取得最大值為；當三個向量兩兩成角時，它們的和為，也即的最小值為，所以的取值范圍為.故選：C16．(2023·全國·高一專題練習)如圖所示，梯形中，，點為的中點，，，若向量在向量上的投影向量的模為4，設、分別為線段、上的動點，且，，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】，，梯形為直角梯形，，，即，由，同理可得，又向量在向量上的投影向量的模為4，所以，以B為坐標原點，建立如圖所示平面直角坐標系，則，，所以，由且可得，令，則由對勾函數單調性知，當時單調遞減，時單調遞增，故，由知，，故，故選：D17．(2023·全國·高一專題練習)在平面內，若，則的取值