第13講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（教師版）-2023年新高二暑期數(shù)學(xué)銜接（新人教版）

第13講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實際問題【基礎(chǔ)知識】一、直線與圓的位置關(guān)系設(shè)圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),直線l:Ax+By+C=0,圓心C(a,b)到直線l的距離d=?,由?消去y(或x),得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程,其判別式為Δ.位置關(guān)系相交相切相離公共點個數(shù)2

1

0

幾何法

d<r

d=r

d>r

代數(shù)法Δ>0

Δ=0

Δ<0

二、圓的切線1.若點在圓外,則過此點可以作圓的兩條切線;2.若點在圓上,則過此點只能作圓的一條切線,且此點是切點;3.若點在圓內(nèi),則過此點不能作圓的切線.4.過點P(x0,y0)的圓的切線方程的求法(1)若點P在圓上,求點P與圓心連線的斜率,若斜率存在且不為0,記為k,則切線斜率為-?;若斜率為0,則切線斜率不存在;若斜率不存在,則切線斜率為0.(2)若點P在圓外,設(shè)切線斜率為k,寫出切線方程,利用圓心到切線的距離等于半徑r,解出k即

可(若僅求出一個k值,則有一條斜率不存在的切線).5.過圓上一點的切線僅有一條,可熟記下列結(jié)論(1)若點P(x0,y0)在圓x2+y2=r2(r>0)上,則過點P的切線方程為x0x+y0y=r2;(2)若點P(x0,y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,則過點P的切線方程為(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2;(3)若點P(x0,y0)在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上,則過點P的切線方程為x0x+y0y+D·

+E·+F=0.三、圓的弦長的方法1.交點法:若直線與圓的交點坐標(biāo)容易求出,則直接利用兩點間的距離公式求解.2.弦長公式:設(shè)直線l:y=kx+b與圓的兩個交點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),將直線l的方程代入圓的方程,消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系得弦長公式:|AB|=.(3)幾何法:圓的半徑r、圓心到弦的距離d、弦長l三者之間的關(guān)系為r2=d2+,即弦長l=四、利用圓的方程解決最大(小)值問題的方法1.由某些代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想其幾何意義,然后利用直線與圓的方程及解析幾何的有關(guān)

知識并結(jié)合圖形的直觀性來分析解決問題,常涉及的幾何量有:①關(guān)于x、y的一次分式形式常轉(zhuǎn)化為直線的斜率;②關(guān)于x、y的一次式常轉(zhuǎn)化為直線的截距;③關(guān)于x、y的二次式常轉(zhuǎn)化為兩點間的距離等.2.轉(zhuǎn)化成函數(shù)解析式,利用函數(shù)的性質(zhì)解決.3.利用三角代換,若點P(x,y)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,則設(shè)?(θ為參數(shù)),代入目標(biāo)函數(shù),利用三角函數(shù)知識求最大(小)值.五、圓與圓的位置關(guān)系1.兩圓的位置關(guān)系外離、外切、相交、內(nèi)切和內(nèi)含.2.兩圓的位置關(guān)系的判定(1)代數(shù)法:設(shè)兩圓的一般方程為C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(),C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(),聯(lián)立得方程組?消元后得到一元二次方程(若得到的是一元一次方程,則要求出方程組的解進行判斷),計算判別式Δ的值,按(2)的表中的標(biāo)準(zhǔn)進行判斷.(2)幾何法:兩圓的半徑分別為r1,r2,計算兩圓連心線的長為d,按表中標(biāo)準(zhǔn)進行判斷.位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示?????公共點個數(shù)01210位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含Δ的值Δ<0Δ=0Δ>0Δ=0Δ<0d與的關(guān)系

公切線條數(shù)4

32

10

3.兩圓的公共弦所在直線方程的求法設(shè)☉C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(),☉C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(),聯(lián)立?①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.③若兩圓交點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則A,B的坐標(biāo)適合方程①②,也適合方程③,因此方程③就是經(jīng)過兩圓交點的直線方程.故當(dāng)兩圓相交時,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是經(jīng)過兩圓交點的直線方程,即公共弦所在直線的方程.當(dāng)兩圓外離時,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是垂直于兩圓圓心連線的一條直線方程.當(dāng)兩圓相切時,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是兩圓的一條公切線的方程.若兩圓是等圓,則(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是以兩圓圓心為端點的線段的垂直平分線的方程.【考點剖析】考點一：直線與圓位置關(guān)系的判斷例1．(2022學(xué)年黑龍江省齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校高二上學(xué)期期中)直線與圓的位置關(guān)系是(

)A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定【答案】B【解析】圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以直線與圓相切．故選B考點二：求圓的切線方程例2．(2022學(xué)年新疆石河子第二中學(xué)高二上學(xué)期月考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點，直線，圓C：．(1)求b的取值范圍，并求出圓心坐標(biāo)(2)若圓C的半徑為1，過點A作圓C的切線，求切線的方程；(3)有一動圓M的半徑為1，圓心在l上，若動圓M上存在點N，使，求圓心M的橫坐標(biāo)a的取值范圍．【解析】(1)化為，由得，∴的取值范圍為，圓心坐標(biāo)為.(2)由(1)知圓心的坐標(biāo)為，當(dāng)半徑為1時，圓的方程為：，將代入，得，∴在圓外，設(shè)所求圓的切線方程為，即，∴.∴，∴，∴或者，∴所求圓的切線方程為：或者，即或.(3)∵圓的圓心在直線：上，所以，設(shè)圓心，又半徑為1，則圓的方程為：，又∵，∴點在的中垂線上，的中點得直線：，∴點應(yīng)該既在圓上又在直線上，即圓和直線有公共點.∴，∴.綜上所述，的取值范圍為：.考點三：與切線長有關(guān)的問題例3．(2022學(xué)年四川省巴中市南江中學(xué)高二上學(xué)期12月月考)直線上一點向圓引切線長的最小值為(

)A． B．1 C． D．3【答案】B【解析】圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為.所以切線長的最小值為.故選B考點四：與弦長有關(guān)的問題例4．(2022學(xué)年遼寧省遼南協(xié)作校高二上學(xué)期期中)已知過點的直線與圓相交于，兩點，若，則直線的方程為___________.【答案】或【解析】圓的圓心，半徑，直線截圓所得弦長，則弦心距，當(dāng)過點的直線斜率不存在時，的方程為，圓心到直線的距離為1，符合題意要求；當(dāng)過點的直線斜率存在時，的方程可設(shè)為，由，可得，此時的方程為綜上，直線的方程為或考點五：與圓有關(guān)的最值問題例5．過圓內(nèi)點作圓的兩條互相垂直的弦和，則的最大值為__．【答案】【解析】取中點，中點，如圖，則是矩形，，，同理，注意到時，由得，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．所以的最大值是．考點六：兩圓位置關(guān)系的判斷例6．(2022學(xué)年湖南省株洲市炎陵縣第一中學(xué)高二下學(xué)期3月月考)圓與圓的位置關(guān)系是(

)A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離【答案】B【解析】由得圓心坐標(biāo)為，半徑，由得圓心坐標(biāo)為，半徑，∴，，∴，即兩圓相交.故選B.考點七：兩圓的公切線與公共弦問題例7．(2022學(xué)年四川省綿陽市綿陽南山中學(xué)高二上學(xué)期期中)已知點在直線上，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，點在圓上，則點到直線距離的最大值為(

)A．4 B．6 C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，設(shè)為直線上的一點，則，過點作圓的切線，切點分別為、，則有，，則點、在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的圓心為C，，半徑，則其方程為，變形可得，聯(lián)立，可得圓C和圓O公共弦AB為：，又由，則有，變形可得，則有，解可得，故直線恒過定點，點在圓上，則點到直線距離的最大值為．故選B．【真題演練】1.(2020年高考全國卷Ⅰ)已知⊙M：，直線：，為上的動點，過點作⊙M的切線，切點為，當(dāng)最小時，直線的方程為A．B． C． D．【答案】D【解析】圓的方程可化為，點到直線的距離為，所以直線與圓相離．依圓的知識可知，四點四點共圓，且，所以，而，當(dāng)直線時，，，此時最?。嗉?，由解得，．所以以為直徑的圓的方程為，即，兩圓的方程相減可得：，即為直線的方程．故選D．2．(2020年高考全國卷Ⅱ)若過點(2，1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為 A． B． C． D．【答案】B【解析】由于圓上的點在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標(biāo)為或，圓心到直線的距離均為；圓心到直線的距離均為，圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為．故選B．3．(2018年高考全國卷Ⅲ)直線分別與軸，軸交于兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是 ()A． B． C． D．【答案】A【解析】由直線易知，，故圓的圓心到直線的距離為，所以點到直線的距離的取值范圍為即所以，故選A．4．(2016高考全國卷Ⅱ)圓的圓心到直線的距離為1，則 ()A． B． C． D．【答案】A【解析】由得：，所以圓心坐標(biāo)為，所以圓心到直線的距離為：，所以，故選A．5．(2021年新高考全國卷Ⅰ)已知點在圓上,點,,則A．點到直線的距離小于10 B．點到直線的距離大于2 C．當(dāng)最小時, D．當(dāng)最大時,【答案】ACD【解析】,,過、的直線方程為,即,圓的圓心坐標(biāo)為,圓心到直線的距離,點到直線的距離的范圍為,,,,,點到直線的距離小于10,但不一定大于2,故正確,錯誤；如圖,當(dāng)過的直線與圓相切時,滿足最小或最大點位于時最小,位于時最大),此時,,故正確．故選．6.(2021年新高考全國卷Ⅱ)已知直線與圓,點,則下列說法正確的是()A.若點A在圓C上,則直線l與圓C相切 B.若點A在圓C內(nèi),則直線l與圓C相離C.若點A在圓C外,則直線l與圓C相離 D.若點A在直線l上,則直線l與圓C相切【答案】ABD【解析】圓心到直線l的距離,若點在圓C上,則,所以,則直線l與圓C相切,故A正確；若點在圓C內(nèi),則,所以,則直線l與圓C相離,故B正確；若點在圓C外,則,所以,則直線l與圓C相交,故C錯誤；若點在直線l上,則即,所以,直線l與圓C相切,故D正確.故選ABD.7.(2022年新高考全國卷Ⅱ)設(shè)點,若直線關(guān)于對稱的直線與圓有公共點,則a的取值范圍是_____．【答案】【解析】關(guān)于對稱的點的坐標(biāo)為,在直線上,所以所在直線即為直線,所以直線的方程為,即；圓,圓心,半徑,由直線l與圓有公共點,得圓心到直線的距離,即,解得,即8.(2022年新高考全國卷Ⅰ)寫出與圓和都相切的一條直線的方程_______．【答案】或或【解析】圓的圓心為,半徑為,圓的圓心為,半徑為,兩圓圓心距為,等于兩圓半徑之和,故兩圓外切,如圖,當(dāng)切線為l時,因為,所以,設(shè)方程為O到l的距離,解得,所以l的方程為,當(dāng)切線為m時,設(shè)直線方程為,其中,,由題意,解得,當(dāng)切線為n時,易知切線方程為,【點評】本題為開放性試題,只需寫出其中一個方程,觀察圖象,確定直線是其中一條切線方程是最佳得分方案,另外當(dāng)兩圓相切時直接把兩圓方程相減,也可以得出其中一條切線的方程,該法也能迅速實現(xiàn)得分,注意客觀題在正確的前提條件下可以不擇手段.

【過關(guān)檢測】1.(2022學(xué)年四川省涼山州寧南中學(xué)高二下學(xué)期月考)已知圓和直線，則圓心C到直線l的最大距離為(

)A．1 B．2 C．3 D．【答案】A【解析】由直線l得：，則直線l恒過定點，由圓，則圓心，故圓心C到直線l的最大距離.故選A2.(2022學(xué)年安徽省皖南地區(qū)高二下學(xué)期開學(xué)調(diào)研)過點作圓的切線，切點為B，則(

)A．2 B． C．3 D．【答案】D【解析】，故圓的圓心為C，半徑r＝2，故.故選D.3.(2022學(xué)年云南省保山市昌寧縣高二下學(xué)期期中)若直線與圓有兩個公共點，則點與圓的位置關(guān)系是(

)A．在圓上 B．在圓外 C．在圓內(nèi) D．以上都有可能【答案】B【解析】直線與圓有兩個不同的交點，圓心到直線的距離小于半徑，即，，故點在圓外，故選B．4.(2022學(xué)年河南省安陽市高二下學(xué)期5月月考)已知圓：和圓：有且僅有4條公切線，則實數(shù)的取值范圍是(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，根據(jù)題意可得，圓、相離，則，即∴，故選A．5.(多選)(2022學(xué)年重慶市清華中學(xué)高二上學(xué)期第二次月考)對于定點和圓：，下列說法正確的是(

)A．點在圓內(nèi)部B．過點有兩條圓的切線C．過點被圓截得的弦長最大時的直線方程為D．過點被圓截得的弦長最小值為【答案】ACD【解析】圓：的圓心為，半徑，又，所以，所以在圓內(nèi)，故A正確；因為點在圓內(nèi)，所以過點不能作圓的切線，故B錯誤；過點被圓截得的弦長最大，故過點的直徑，即直線經(jīng)過圓心，此時，所以直線方程為，即，故C正確；當(dāng)過點且與垂直時弦長最短，最短為，故D正確；故選ACD6.(多選)(2022學(xué)年廣東省深圳市重點中學(xué)高二上學(xué)期期末)點P在圓上，點Q在圓上，則(

)A．兩個圓心所在的直線斜率為B．兩個圓相交弦所在直線的方程為C．兩圓公切線有兩條D．|PQ|的最小值為0【答案】AD【解析】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為.兩個圓心所在的直線斜率為，所以本選項正確；因為，，所以兩圓相外切，故沒有相交弦，兩圓的公切線有三條，當(dāng)點P、點Q運動到切點時，|PQ|的最小值為0，因此選項BC不正確，選項D正確，故選AD7.(2022學(xué)年黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)校高二上學(xué)期期末)過點作圓的切線，則切線方程為______.【答案】【解析】因為點在圓上，故切線必垂直于切點與圓心連線，而切點與圓心連線的斜率為，故切線的斜率為，故切線方程為：即.8.(2022學(xué)年江蘇省南京市江寧區(qū)高二下學(xué)期期末)若點到直線l的距離分別為1和4，則這樣的直線l共有____