高考數學復習專題檢測三導數及其應用（解析版）

專題三導數及其應用選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（2024廣東深圳中學模擬，3）曲線在點處切線的斜率等于（）A．2e B．e C．2 D．1答案C解析y,=x+12.（2024河北邯鄲調研，4）設函數的圖像與軸相交于點，則該曲線在點處的切線方程為（）A.B.C.D.【答案】C【分析】令可計算出切點坐標，結合導數的幾何意義可得切線斜率，即可得解.【詳解】令，即，即，解得，故，，則，則其切線方程為：，即.故選：C.3.（2024福建福州一中模擬，5）已知函數是偶函數，當時，，則曲線在處的切線方程為（）A.B.C.D.【答案】A【分析】利用偶函數的性質求出當時函數的解析式，然后求導，利用導數的幾何意義進行求解即可.【詳解】當時，，函數是偶函數，當時，，，當時，，，即曲線在處切線的斜率為-5.而，所以曲線在處的切線方程為：.所求即為.故選A.4.（2024廣東廣州執(zhí)信中學檢測，6）已知直線與函數，的圖象分別相交于，兩點.設為曲線在點處切線的斜率，為曲線在點處切線的斜率，則的最大值為（）A.B.1C.D.【答案】A【分析】根據題意分別求得，，即，從而構造函數，利用導數求出最大值，從而求解.【詳解】，且由，，可得，，則.設，，則，當，，當，，所以在單調遞增，在單調遞減，當時，有極大值也是最大值，即的最大值為，故A正確.故選：A.5.（2024重慶巴蜀中學月考，7）已知函數的圖象與x軸無公共點，則實數a的取值范圍是（）A． B． C． D．答案B令，則，當時，與x軸有公共點，故時不成立；當時，，又，故與x軸有公共點，故時不成立；當時，，因為與x軸沒有公共點，故時，恒成立，即恒成立，令，，時，，時，，故在上單調遞增，在上單調遞減，故，故，故選B．6.（2024湖北華師大一附中、湖南師大附中等三校二模，8）若關于的不等式在上恒成立，則實數的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】D【分析】根據指對混合型不等式，利用指對運算將不等式轉化成，根據結構相同設函數，利用函數的單調性及取值情況，將問題轉化為，令，求導確定最值即可得實數的取值范圍.【詳解】依題意得，，故，令，則，令可得，所以時，，則在上單調遞減，時，，則在上單調遞增；且當時，，當時，；則由，得，則令，則，故當時，，單調遞減，當時，單調遞增，故，則，則實數的取值范圍為.故選：D．7.（2024福建南平預測模擬，8）設，則（）A.B.C.D.【答案】B【分析】根據數據結構特征可通過和比較c和b的大小，再通過構造函數，研究函數的單調性可求解判斷a和c，進而得解.【詳解】設函數，又，所以當時，0，所以在區(qū)間內單調遞增，又，所以當時，0恒成立，即，所以當時，，即，所以，所以．即；設，而，設，則，當時，單調遞增，所以，所以當時，，即當時單調遞增，所以，故當時，單調遞增，所以，即，所以，即，即．綜上，，故選B．8.（2024黑龍江哈爾濱六中四模，8）設，則大小關系（）A.B.C.D.【答案】B【分析】通過證明確定的大小關系；通過證明確定的大小關系.【詳解】令，，所以在上單調遞增，所以，即，，，所以.令，，令，，，令，則，所以在上單調遞減，，，所以存在唯一，使得，即當時，，當時，，即在上單調遞增，在上單調遞減，所以的最小值為中一個，而，，所以，即，所以在上單調遞增，所以，即，，所以，即.所以.故選：B.選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.（2024江蘇蘇州三模，10）定義表示中的最小者，設函數，則（）A.有且僅有一個極小值點為B.有且僅有一個極大值點為3CD.恒成立【答案】ACD【分析】根據函數的新定義得到分段函數的解析式，畫出函數的圖象，結合函數的圖象和選項，逐項判定，即可求解．【詳解】由題意，函數作出函數的圖象，如圖所示，由圖象知，有且僅有一個極小值點為，所以A正確；函數有兩個極大值點1和3，所以B錯誤；令，可得或或，解得或，即當時，，所以C正確；由圖象知，當時，函數的最大值，所以存在實數，使得恒成立，所以D正確.故選：ACD．10.（2024重慶檢測，11）若函數既有極小值又有極大值，則（

）A.B.C.D.【答案】ABC【分析】根據題意，求得，轉化為在上有兩個不同的實數根，根據二次函數的性質，列出不等式組，結合選項，即可求解.【詳解】由函數，可得，因為既有極小值又有極大值，可得方程在上有兩個不同的實數根，則滿足，可得，所以，，，例如：時，滿足上式，此時不成立．故選：ABC.11.（2024河北石家莊適應性考試，11）已知，.若存在，，使得成立，則下列結論正確的是（

）A．函數在處的切線與函數在處的切線重合B．當時，C．當時，D．若恒成立，則答案ABC【分析】求出在切點處的導數和函數值，即可得切線方程，可判斷A；對變形為，利用導數判斷的單調性，由單調性可得，然后可判斷B；利用B中結論，結合的最值可判斷C；令，利用導數求最小值，由可判斷D.【詳解】選項A，由，得，又驗證知，切線方程都為，故A正確；選項B，，則，且，由，得，當時，，則在上遞增，所以當時，有唯一解，故，，故B正確；選項C，由B正確，得，設，則，令，解得，易知在上單調遞增，在上單調遞減，，故C正確；選項D，由恒成立，即恒成立，令，則，由在上遞增，又，存在，使，在上遞減，在上遞增（其中滿足，即）．，要使恒成立，，存在滿足題意，故D錯誤．故選：ABC．填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．12.（2024安徽皖江名校聯(lián)盟模擬，14）已知函數，當時的最大值與最小值的和為________．【答案】【分析】求導，可得函數的單調性，即可求解極值點以及端點處的函數值，即可求解最值.【詳解】，當時，，遞增；當時，，遞減；，，，故最大值與最小值的和為：．13.（2024山東省實驗中學模擬，13）已知A，B分別為直線和曲線上的點，則的最小值為______．【答案】【分析】由題意的最小值為到直線上距離的最小值，再設，則當處的切線與平行時取得最小值.【詳解】由題意的最小值為曲線上點到直線距離的最小值，設，則為增函數，令則，故當時，單調遞減；當時，單調遞增.故，即在曲線下方.則當處的切線與平行時取得最小值.設，對求導有，由可得.故當時取最小值.故答案為：14.（2024廣東省實驗中學模擬，14）已知x=x1和x=x2分別是函數fx=2ax?ex答案1,【詳解】因為fx所以f′依題意f′x至少要有兩個變號零點x1令?x=f①若0<a<1，則?′x在R上單調遞減，此時若則當x<x0時?′x>0所以f′x在?∞此時若有x=x1和x=x2分別是函數fx=2a②若a>1，則?′x在R上單調遞增，此時若則當x<x0時?′x<0所以f′x在?∞令?′x0此時若有x=x1和x=x2分別是函數fx=2ax?即f′x0=2a故x0lna=lna即lna<1，所以1<a<e，即故答案為：1,四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（2024廣西名校聯(lián)考，15）已知函數.（1）求函數的極值；（2）若對任意，求的取值范圍.解：（1），得，當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，所以的極小值為，無極大值.（2）對任意，即，設，①當a≤0時，單調遞增，單調遞增，，成立；②當0＜a≤1時，令單調遞增，單調遞增，，成立；③當時，當時，単調遞減，單調遌減，，不成立.綜上可知a≤1.16.（2024黑龍江部分學校三模，15）已知函數．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若恰有三個零點，求a取值范圍．【解析】（1）當時，函數，可得，所以，且，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）因為，可得是的一個零點，因為恰有三個零點，所以方程有兩個不為2實數根，即方程有兩個不為2實數根，令，所以，令，可得，令，可得，所以在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，所以，當時，函數取得極大值，也是最大值，且當時，，所以，當時，的值域為；當時，的值域為，所以，且，所以且．所以a的取值范圍是．【方法點睛】已知函數零點（方程根）的個數，求參數的取值范圍問題的三種常用方法：1.直接法，直接根據題設條件構建關于參數的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數的取值范圍；2.分離參數法，先分離參數，將問題轉化成求函數值域問題加以解決；3.數形結合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中作出函數圖象，然后數形結合求解.結論拓展：與和相關的常見同構模型①，構造函數或；②，構造函數或；③，構造函數或.17.（2024江蘇蘇州三模，16）已知函數．（1）討論的單調性；（2）當時，證明：．【分析】（1）求出函數的導數，通過討論的范圍，求出函數的單調區(qū)間即可；（2）要證明，只要證即可，設，利用導數求得最值即可證明．【解析】（1）函數的定義域為，且．當時，恒成立，所以在區(qū)間上單調遞增；當時，令，解得，當時，在區(qū)間上單調遞增，當時，在區(qū)間上單調遞減．綜上所述，當時，在區(qū)間上單調遞增；當時，在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減．（2）當時，因為，所以要證，只要證明即可，即要證，等價于（*）．令，則，在區(qū)間上，單調遞減；在區(qū)間上，單調遞增，所以，所以（當且僅當時等號成立），所以（*）成立，當且僅當時，等號成立．又在上單調遞增，，所以存在，使得成立．綜上所述，原不等式成立．18.（2024安徽六安一中適應性考試，）已知函數f（x）＝lnx﹣ax，，a≠0．（1）求函數f（x）的單調區(qū)間；（2）若a＞0且f（x）≤g（x）恒成立，求a的最小值.【分析】（1）利用導函數的正負判斷原函數的單調性；（2）構造函數，再轉化為恒成立問題解決．【解答】（1）由題意可得f（x）的定義域為（0，+∞），f'（x）＝﹣a＝，當a＜0時，由于x＞0，從而f（x）在（5；當a＞0時，令f'（x）＞0，令f'（x）＜0，從而f（x）在（0，）上遞增，+∞）遞減；（2）令，要使f（x）≤g（x）恒成立，只需h（x）≤0恒成立，則h（x）max≤8即可，h'（x）＝﹣a﹣＝＝，令h'（x）＝0，解得x＝（舍），∴h（x）在（0，）上單調遞增，+∞）上單調遞減，所以hmax（x）＝h（）＝ln，解得：，所以a的最小值為．19.（2024河北石家莊質量檢測，17）已知函數．（1）討論函數的單調性；（2）當時，若函數，求函數極值點的個