數(shù)學(xué)化表征一般化模型遷移性應(yīng)用

【摘

要】模型思想在聯(lián)系現(xiàn)實(shí)世界和數(shù)學(xué)世界上起著至關(guān)重要的作用。“鋪地磚問(wèn)題”中存在典型的數(shù)學(xué)模型。教師以“鋪地磚問(wèn)題”為載體設(shè)計(jì)測(cè)評(píng)工具，分析學(xué)生的建模水平，由此提出了“放大數(shù)學(xué)化表征、構(gòu)建一般化模型、嘗試遷移性應(yīng)用”等教學(xué)策略，從而幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，提升數(shù)學(xué)建模力?！娟P(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模力；鋪地磚問(wèn)題；數(shù)學(xué)化；一般化模型；遷移應(yīng)用模型思想在聯(lián)系現(xiàn)實(shí)世界和數(shù)學(xué)世界上起著至關(guān)重要的作用?！颁伒卮u問(wèn)題”中存在典型的數(shù)學(xué)模型，與現(xiàn)實(shí)世界中的“密鋪”現(xiàn)象聯(lián)系緊密?！懊茕仭钡谋举|(zhì)是將線(xiàn)、面、體等研究對(duì)象用相應(yīng)的度量單位占滿(mǎn)。為幫助學(xué)生感受“密鋪”現(xiàn)象，建立“鋪地磚問(wèn)題”模型，人教版教材先后在三年級(jí)下冊(cè)和五年級(jí)下冊(cè)設(shè)計(jì)了相應(yīng)的學(xué)習(xí)內(nèi)容。在三年級(jí)下冊(cè)，教材先通過(guò)“選用哪種圖形作為面積單位”的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生初步感受“密鋪”現(xiàn)象，然后讓學(xué)生通過(guò)解決“鋪地磚問(wèn)題”，經(jīng)歷按“邊”或“面”鋪設(shè)的過(guò)程，從而初步構(gòu)建相應(yīng)模型。到了五年級(jí)下冊(cè)，教材又通過(guò)《長(zhǎng)方體與正方體的表面積》一課的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從面到體的遷移應(yīng)用過(guò)程。那么，經(jīng)過(guò)這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生是否已經(jīng)建立了“鋪地磚問(wèn)題”模型？他們的建模力又達(dá)到了何種水平？針對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題，筆者以“鋪地磚問(wèn)題”為載體，設(shè)計(jì)測(cè)評(píng)工具，分析學(xué)生的建模水平，并提出相應(yīng)的教學(xué)策略。一、測(cè)評(píng)工具設(shè)計(jì)為探究五年級(jí)學(xué)生對(duì)“密鋪問(wèn)題”的建模水平，以便為后續(xù)立體圖形“密鋪問(wèn)題”的教學(xué)提供指導(dǎo)，筆者以“鋪地磚問(wèn)題”為載體，開(kāi)展了建模力測(cè)評(píng)研究。（一）測(cè)評(píng)工具《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》要求學(xué)生能在現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)現(xiàn)并構(gòu)建普適的數(shù)學(xué)模型。生活中的“鋪地磚問(wèn)題”是構(gòu)建“密鋪”模型的典型素材，教師可根據(jù)學(xué)生的年齡特征，通過(guò)豐富現(xiàn)實(shí)背景和擴(kuò)充問(wèn)題結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)測(cè)評(píng)工具?！締?wèn)題情境】小晴家計(jì)劃裝修新居（平面圖如圖1所示），小晴媽媽準(zhǔn)備在A、B兩款地磚中（如圖2）選擇一款來(lái)鋪設(shè)廚房地面（不計(jì)損耗，可分割使用），請(qǐng)你幫助她設(shè)計(jì)一個(gè)地磚購(gòu)買(mǎi)方案。單位：米【任務(wù)設(shè)計(jì)】（1）你獲取了哪些數(shù)學(xué)信息？需要解決什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？（2）你準(zhǔn)備如何設(shè)計(jì)購(gòu)買(mǎi)方案？請(qǐng)用畫(huà)一畫(huà)、算一算、寫(xiě)一寫(xiě)的方式表示你的思考過(guò)程。（3）從以下現(xiàn)象（如圖3）中選擇1個(gè)或多個(gè)，嘗試運(yùn)用前面的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行解釋?zhuān)阌惺裁窗l(fā)現(xiàn)？（二）關(guān)鍵要素和模型分析設(shè)計(jì)一個(gè)合理的廚房地磚購(gòu)買(mǎi)方案需要關(guān)注以下關(guān)鍵要素。①?gòu)N房面積。通過(guò)割補(bǔ)法求出廚房的面積。②地磚塊數(shù)。邊對(duì)邊分別密鋪，分割多余部分統(tǒng)一處理（進(jìn)一法取整），用“每行塊數(shù)×行數(shù)”求地磚塊數(shù)。③磚塊選擇。比較總價(jià)；比較單價(jià)，用“每塊地磚價(jià)格÷地磚面積=每平方米地磚價(jià)格”進(jìn)行判斷，得出A磚的性?xún)r(jià)比高。學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中，需關(guān)聯(lián)這三個(gè)關(guān)鍵要素，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，具體有如下四種方法。方法1：用“廚房面積÷地磚面積×對(duì)應(yīng)單價(jià)（A或B）”進(jìn)行計(jì)算，不經(jīng)過(guò)比較，直接提出購(gòu)買(mǎi)方案。方法2：分別求使用A、B兩種地磚的總價(jià)，并進(jìn)行比較，再提出省錢(qián)方案——購(gòu)買(mǎi)A磚。方法3：先求A、B兩種地磚每平方米的單價(jià)，并進(jìn)行比較，提出省錢(qián)方案——購(gòu)買(mǎi)A磚，再求出所需A磚的總價(jià)。方法4：分別用A、B兩種地磚沿邊鋪，用“每行塊數(shù)×行數(shù)”求出總塊數(shù)，再分別求總價(jià)，比較后提出省錢(qián)方案。從面到邊，從隨意選到比總價(jià)、比單價(jià)，學(xué)生所構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的變化，代表學(xué)生的數(shù)學(xué)建模力的不同水平。二、框架與數(shù)據(jù)（一）測(cè)評(píng)框架，明晰總體水平結(jié)合測(cè)評(píng)工具、要素分析與相關(guān)模型，筆者從“識(shí)別理解、表征聯(lián)結(jié)、解答反思、解釋?xiě)?yīng)用”四個(gè)維度設(shè)計(jì)測(cè)評(píng)框架，對(duì)所任教的五年級(jí)81名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試。學(xué)生測(cè)試結(jié)果如表1所示，其中“分值0～2”分別對(duì)應(yīng)“不合理、部分合理、合理”三個(gè)層次。由表1的數(shù)據(jù)可知，識(shí)別理解和表征聯(lián)結(jié)兩個(gè)層次的均值相對(duì)較高，解答反思和解釋?xiě)?yīng)用兩個(gè)層次的均值則較低。這說(shuō)明學(xué)生在面對(duì)較復(fù)雜的“鋪地磚問(wèn)題”時(shí)，識(shí)別信息和表征聯(lián)結(jié)的能力較強(qiáng)，但建構(gòu)模型并將其遷移應(yīng)用到新情境的能力較弱，“鋪地磚問(wèn)題”的一般化模型構(gòu)建不夠完善。（二）分項(xiàng)剖析，聚焦建模困惑點(diǎn)接下來(lái)，結(jié)合測(cè)評(píng)數(shù)據(jù)分析學(xué)生在“鋪地磚問(wèn)題”上的數(shù)學(xué)建模力，以發(fā)現(xiàn)其能力水平的優(yōu)勢(shì)與不足。1.識(shí)別關(guān)鍵信息與提出問(wèn)題的能力較強(qiáng)從豐富的現(xiàn)實(shí)情境中準(zhǔn)確識(shí)別關(guān)鍵信息，將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題簡(jiǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，是學(xué)生建模的基礎(chǔ)。由表2的數(shù)據(jù)可知，54.32%的學(xué)生能夠精準(zhǔn)識(shí)別現(xiàn)實(shí)情境，并將“設(shè)計(jì)購(gòu)買(mǎi)方案”簡(jiǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題“選擇哪種地磚密鋪更合理”。可見(jiàn)，學(xué)生識(shí)別稍復(fù)雜現(xiàn)實(shí)情境中關(guān)鍵信息的能力較強(qiáng)。表2“鋪地磚問(wèn)題”識(shí)別力測(cè)評(píng)統(tǒng)計(jì)[具體表現(xiàn)

人數(shù)/人

占比

賦分0：無(wú)法識(shí)別信息，無(wú)法提出數(shù)學(xué)問(wèn)題

14

17.28%

賦分1：識(shí)別信息時(shí)存在多余信息，提出的數(shù)學(xué)問(wèn)題是無(wú)效問(wèn)題

23

28.40%

賦分2：能識(shí)別關(guān)鍵信息，提出方案中需要的3個(gè)主要數(shù)學(xué)問(wèn)題44

54.32%

]2.簡(jiǎn)化信息能力較強(qiáng)，模型建構(gòu)能力較弱能關(guān)聯(lián)關(guān)鍵信息，從不同角度建立數(shù)量關(guān)系，是一般化模型建構(gòu)的核心環(huán)節(jié)。由表3的數(shù)據(jù)可知，超過(guò)60.00%的學(xué)生能用直接分割、等分分割、分割化歸等方法，正確地表征與關(guān)聯(lián)關(guān)鍵要素。但在解決問(wèn)題的過(guò)程中，混淆邊和面的現(xiàn)象較為嚴(yán)重。僅有14.82%的學(xué)生能夠從面或邊的鋪設(shè)角度解決地磚數(shù)量問(wèn)題，并制訂合理的購(gòu)買(mǎi)方案。由此可見(jiàn)，面對(duì)較為復(fù)雜的情境，學(xué)生在建構(gòu)“鋪地磚問(wèn)題”模型方面存在一定的困難。3.自主遷移到新情境的應(yīng)用能力較弱能自覺(jué)地將已有模型與新情境建立聯(lián)結(jié)，嘗試解決新問(wèn)題，體現(xiàn)了建模力的較高水平。該層次的測(cè)評(píng)主要看學(xué)生能否充分運(yùn)用“鋪地磚問(wèn)題”模型結(jié)構(gòu)，并將面的鋪設(shè)知識(shí)遷移應(yīng)用至體的鋪設(shè)中，以解釋“茶葉盒問(wèn)題”，構(gòu)建線(xiàn)、面、體為一體的數(shù)學(xué)模型（如表4）。表4的數(shù)據(jù)表明，約有25.00%的學(xué)生具備主動(dòng)嘗試解釋新問(wèn)題的意識(shí)，但在運(yùn)用“鋪地磚”經(jīng)驗(yàn)解釋“茶葉盒問(wèn)題”時(shí)，僅有4.93%的學(xué)生能運(yùn)用密鋪思維，從節(jié)約空間、降低成本等角度對(duì)方案進(jìn)行優(yōu)化。這表明學(xué)生在構(gòu)建“鋪地磚問(wèn)題”的一般化模型時(shí)，從面到體的遷移應(yīng)用能力還有待提升。綜上所述，學(xué)生并未真正掌握“鋪地磚問(wèn)題”的一般化模型，特別是在面臨“無(wú)法完全鋪滿(mǎn)”的情境時(shí)，學(xué)生的建模力顯得尤為薄弱。因此，要將二維“面的鋪設(shè)”知識(shí)遷移應(yīng)用至三維“體的鋪設(shè)”中，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)挑戰(zhàn)重重。三、教學(xué)思考數(shù)學(xué)建模力的形成是一個(gè)漸進(jìn)、交替和螺旋上升的過(guò)程，有賴(lài)于進(jìn)階學(xué)習(xí)活動(dòng)的逐步推進(jìn)。然而，人教版教材編排“鋪地磚問(wèn)題”的方式，導(dǎo)致學(xué)生在從建模向應(yīng)用進(jìn)階的過(guò)程中，出現(xiàn)了思維的斷層。因此，教學(xué)時(shí)有必要讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行反復(fù)的鞏固與變式應(yīng)用（如圖4），從而幫助他們更好地理解和掌握這一概念。具體而言，“鋪地磚問(wèn)題”模型的構(gòu)建可以從放大數(shù)學(xué)化表征、構(gòu)建一般化模型、嘗試遷移性應(yīng)用三個(gè)維度展開(kāi)。（一）情境變式，放大數(shù)學(xué)化表征“鋪地磚問(wèn)題”是建立數(shù)學(xué)模型的基石。在學(xué)生探究新知后，通過(guò)變化情境，能夠幫助學(xué)生鞏固和深化對(duì)“鋪地磚問(wèn)題”模型結(jié)構(gòu)的理解?！纠?】給一塊長(zhǎng)100分米、寬30分米的長(zhǎng)方形地面鋪上草皮，每塊草皮長(zhǎng)5分米、寬4分米，價(jià)格4元。鋪完整塊地，需要花費(fèi)多少元錢(qián)？要解決這個(gè)問(wèn)題，教師需要引導(dǎo)學(xué)生從復(fù)雜的信息中識(shí)別出“草皮塊數(shù)”和“每塊價(jià)格”兩個(gè)關(guān)鍵信息，讓學(xué)生通過(guò)畫(huà)一畫(huà)、算一算、比一比，發(fā)現(xiàn)沿邊鋪設(shè)有兩種方法（如圖5），且這兩種方法都可以用“長(zhǎng)邊塊數(shù)×寬邊塊數(shù)”或“總面積÷每塊草皮面積”來(lái)求草皮塊數(shù)。這樣的變式情境，不僅能提升學(xué)生的信息識(shí)別能力，還能放大對(duì)現(xiàn)實(shí)情境進(jìn)行數(shù)學(xué)化表征的過(guò)程，從而提升學(xué)生建構(gòu)沿邊鋪設(shè)模型的水平。（二）彌補(bǔ)斷層，構(gòu)建一般化模型由于教材對(duì)“鋪地磚問(wèn)題”的編排跨度過(guò)大，學(xué)生在將數(shù)學(xué)模型從面遷移應(yīng)用到體的過(guò)程中，出現(xiàn)了理解上的斷層。此外，現(xiàn)實(shí)情境中剛好“密鋪”的情況也較為少見(jiàn)。因此，教師在教學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“多邊形的面積”單元時(shí)，有必要增加一些學(xué)習(xí)任務(wù)。【例2】幼兒園打算用長(zhǎng)70厘米、寬40厘米的長(zhǎng)方形布料剪出各種圖形，具體包括：邊長(zhǎng)8厘米的正方形；長(zhǎng)3.5厘米、寬2厘米的長(zhǎng)方形；底和高都是5厘米的等腰直角三角形；如圖所示的平行四邊形或梯形。任務(wù)以小組為單位完成。（1）你會(huì)怎么剪？能剪多少個(gè)？（畫(huà)一畫(huà)、算一算）（2）比一比，你有哪些發(fā)現(xiàn)？學(xué)生在裁剪過(guò)程中會(huì)遇到兩種情況：一種是正好剪完，這與他們已有的經(jīng)驗(yàn)相符；另一種是至少有一邊有剩余（如正方形），這會(huì)強(qiáng)化他們對(duì)“鋪地磚問(wèn)題”只能沿邊裁剪的理解。此外，等腰直角三角形和梯形也需要轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形或正方形來(lái)剪裁，這樣能夠豐富學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)?？梢?jiàn)，這樣的學(xué)習(xí)任務(wù)能夠推動(dòng)學(xué)生根據(jù)不同情況建立相應(yīng)的一般化模型。（三）拓展情境，嘗試遷移性應(yīng)用遷移應(yīng)用是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最高水平，它能幫助學(xué)生從一個(gè)問(wèn)題拓展到一類(lèi)問(wèn)題，從而提升建模力水平。在教學(xué)五年級(jí)下冊(cè)“長(zhǎng)方體和正方體”單元時(shí)，教師可以通過(guò)具體的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生將“鋪地磚問(wèn)題”的一般化模型遷移應(yīng)用到其他情境中。【例3】一個(gè)棱長(zhǎng)為40厘米的正方體大盒中最多能放下多少個(gè)長(zhǎng)、寬為20厘米，高為10厘米的小茶葉盒？正方體大盒的棱長(zhǎng)為30厘米呢？在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖、計(jì)算等方式，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型也可以用于解決“茶葉盒問(wèn)題”。當(dāng)正方體棱長(zhǎng)為40厘米時(shí)，它恰好可以實(shí)