概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件 第3章3節(jié)

第3章隨機變量及其分布本章主要介紹隨機變量及其分布的概念。隨機變量是將隨機現(xiàn)象的結果用數(shù)值表示的變量，它可以是離散的或連續(xù)的。隨機變量的分布描述了隨機變量取值的概率規(guī)律。ffbyfsadswefadsgsa3.1隨機變量的概念隨機變量是將隨機現(xiàn)象的結果用數(shù)值表示的變量。隨機變量的值是不確定的，其取值取決于隨機現(xiàn)象的結果。1定義隨機變量是將隨機現(xiàn)象的結果用數(shù)值表示的變量。2取值隨機變量的值是不確定的，其取值取決于隨機現(xiàn)象的結果。3類型隨機變量可以是離散的或連續(xù)的。隨機變量的類型取決于其取值的性質。如果隨機變量的取值是有限個或可數(shù)個，則稱為離散型隨機變量。如果隨機變量的取值在某個區(qū)間內可以取任意值，則稱為連續(xù)型隨機變量。3.2離散型隨機變量定義離散型隨機變量是指其取值只能是有限個或可數(shù)個的隨機變量。例如，擲一枚硬幣的正面次數(shù)是一個離散型隨機變量，因為它只能取值為0或1。概率分布離散型隨機變量的概率分布是指該隨機變量取各個值的概率。它通常用概率質量函數(shù)(PMF)來描述。例子例如，如果擲一枚公平的硬幣3次，那么正面次數(shù)的概率分布如下所示：P(X=0)=1/8，P(X=1)=3/8，P(X=2)=3/8，P(X=3)=1/8。3.3連續(xù)型隨機變量1定義連續(xù)型隨機變量是指其取值可以在一個連續(xù)區(qū)間內變化的隨機變量。例如，人的身高、體重、血壓等。它的概率分布是通過概率密度函數(shù)來描述的。2概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)是指一個連續(xù)型隨機變量的概率分布函數(shù)，它描述了隨機變量在每個取值點上的概率密度。通過積分可以計算出隨機變量落在某個區(qū)間內的概率。3分布函數(shù)分布函數(shù)是指一個連續(xù)型隨機變量的概率累積函數(shù)，它描述了隨機變量小于某個值的概率。分布函數(shù)是一個單調遞增的函數(shù)，且其值域為[0,1]。3.3.1連續(xù)型隨機變量的概念連續(xù)型隨機變量是指其取值可以在某個范圍內連續(xù)變化的隨機變量。它與離散型隨機變量不同，離散型隨機變量的取值是有限個或可數(shù)個。1連續(xù)型隨機變量2取值范圍連續(xù)3可取無限多個值例如，人的身高、體重、血壓等都是連續(xù)型隨機變量。它們的值可以在某個范圍內連續(xù)變化，而不是只能取有限個或可數(shù)個值。3.3.2連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)定義對于一個連續(xù)型隨機變量X，其概率密度函數(shù)f(x)是一個非負函數(shù)，它滿足以下條件：性質f(x)的積分在整個實數(shù)軸上等于1，即∫f(x)dx=1。意義f(x)代表了隨機變量X在某個特定值x附近的概率密度，而不是該值處的具體概率。3.3.3連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)1定義連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)是指在某一特定值以下的概率值。它是隨機變量取值的累積概率。2性質分布函數(shù)是單調遞增的，并且取值在0到1之間。它在負無窮處取值為0，在正無窮處取值為1。3應用分布函數(shù)可以用來計算隨機變量落在特定區(qū)間內的概率，也可以用來求隨機變量的各種統(tǒng)計特征。3.3.4連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望1定義期望反映隨機變量的平均值2計算積分計算，用概率密度函數(shù)加權3意義反映隨機變量的長期平均值連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望是衡量該隨機變量取值的平均水平的指標，其定義為隨機變量值乘以該值出現(xiàn)的概率的積分。期望的計算方法是將隨機變量的取值乘以其概率密度函數(shù)，然后對整個取值范圍進行積分。期望的意義在于它反映了隨機變量的長期平均值，即在大量重復試驗中，隨機變量取值的平均值趨近于其期望值。3.3.5連續(xù)型隨機變量的方差連續(xù)型隨機變量的方差是衡量隨機變量取值分散程度的指標。方差越大，隨機變量取值越分散；方差越小，隨機變量取值越集中。1方差的定義方差是隨機變量與其數(shù)學期望之差的平方的數(shù)學期望2方差的計算公式方差可以用積分計算3方差的性質方差是非負的，且方差為0當且僅當隨機變量為常數(shù)方差的計算需要利用積分，而積分的計算可能比較復雜。為了簡化計算，可以使用一些常用的公式和性質。3.3.6連續(xù)型隨機變量的標準差定義標準差是方差的平方根，用于衡量隨機變量的離散程度。公式連續(xù)型隨機變量X的標準差用σ表示，計算公式為σ=√Var(X)。意義標準差越大，隨機變量的離散程度越大，反之亦然。3.4常見的連續(xù)型隨機變量分布1均勻分布均勻分布是指在給定區(qū)間內，隨機變量取每個值的概率都是相等的。2指數(shù)分布指數(shù)分布常用來描述事件發(fā)生的時間間隔，例如設備的壽命或兩次故障之間的時間間隔。3正態(tài)分布正態(tài)分布是自然界中最常見的分布之一，它可以用來描述許多隨機現(xiàn)象，例如身高、體重、血壓等。3.4.1均勻分布均勻分布是一種簡單的連續(xù)型隨機變量分布，它表示一個隨機變量在某個區(qū)間內取值的概率是均勻的。均勻分布的概率密度函數(shù)是一個常數(shù)，其值等于區(qū)間長度的倒數(shù)。均勻分布的分布函數(shù)是一個線性函數(shù)，其斜率等于區(qū)間長度的倒數(shù)。1定義概率密度函數(shù)為常數(shù)2性質概率密度函數(shù)在區(qū)間內為常數(shù)3應用模擬隨機事件3.4.2指數(shù)分布1定義隨機變量X表示事件持續(xù)時間2概率密度函數(shù)f(x)=λe^(-λx)3分布函數(shù)F(x)=1-e^(-λx)4性質無記憶性指數(shù)分布是描述事件發(fā)生時間的概率分布。例如，一個燈泡的壽命可以用指數(shù)分布來描述。指數(shù)分布的概率密度函數(shù)由參數(shù)λ決定，λ表示事件發(fā)生的速率。指數(shù)分布的一個重要性質是無記憶性，即事件發(fā)生的概率與之前事件的發(fā)生時間無關。3.4.3正態(tài)分布正態(tài)分布是統(tǒng)計學中最常見的分布之一。它也是許多實際現(xiàn)象的理想模型。例如，人類身高，血壓，考試成績等都近似服從正態(tài)分布。1正態(tài)分布的密度函數(shù)鐘形曲線，對稱2正態(tài)分布的性質平均數(shù)，標準差3正態(tài)分布的應用數(shù)據(jù)分析，質量控制3.4.4正態(tài)分布的性質1對稱性以均值為中心左右對稱2峰度鐘形曲線，最高點在均值處3漸進性曲線兩端無限接近橫軸正態(tài)分布的概率密度函數(shù)滿足對稱性，以均值為中心左右對稱。鐘形曲線在均值處達到峰值，且兩端無限接近橫軸。這些性質使得正態(tài)分布在實際應用中非常廣泛。3.4.5正態(tài)分布的標準化1標準化隨機變量將任意一個隨機變量X轉換為標準正態(tài)分布的隨機變量Z，稱為標準化。2標準化公式Z=(X-μ)/σ，其中μ為X的期望，σ為X的標準差。3標準正態(tài)分布標準化后，隨機變量Z服從標準正態(tài)分布，其期望為0，標準差為1。3.4.6正態(tài)分布的應用數(shù)據(jù)分析正態(tài)分布是數(shù)據(jù)分析中最為常見的分布之一，可以用于描述各種數(shù)據(jù)的分布規(guī)律。例如，身高、體重、血壓等數(shù)據(jù)通常服從正態(tài)分布。質量控制在質量控制中，正態(tài)分布可以用于評估產(chǎn)品的質量水平，以及預測產(chǎn)品的合格率和失效率。金融領域在金融領域，正態(tài)分布可以用于模擬金融資產(chǎn)的價格變化，以及預測投資組合的收益率和風險。醫(yī)學研究在醫(yī)學研究中，正態(tài)分布可以用于分析患者的健康指標，以及評估藥物的效果和安全性。其他領域除了上述領域，正態(tài)分布在物理學、工程學、社會學等領域也有廣泛的應用。3.5隨機變量的函數(shù)隨機變量的函數(shù)是指將隨機變量作為自變量的函數(shù)。例如，如果X是一個隨機變量，則Y=g(X)是一個隨機變量的函數(shù)。1定義將隨機變量作為自變量的函數(shù)2性質函數(shù)本身也是一個隨機變量3應用研究隨機變量的變換隨機變量的函數(shù)的性質與隨機變量本身密切相關。例如，隨機變量函數(shù)的分布、期望和方差可以通過隨機變量本身的分布、期望和方差來計算。3.5.1隨機變量的函數(shù)的分布1基本概念設X為隨機變量，g(x)為定義在X的取值范圍上的函數(shù)，則g(X)也是一個隨機變量。2分布函數(shù)g(X)的分布函數(shù)可以通過X的分布函數(shù)和g(x)的關系來求得。3概率密度函數(shù)如果X是連續(xù)型隨機變量，則g(X)的概率密度函數(shù)可以通過X的概率密度函數(shù)和g(x)的關系來求得。3.5.2隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望定義設X為隨機變量，g(X)為X的函數(shù)，則g(X)的數(shù)學期望為：性質若c為常數(shù)，則E[cg(X)]=cE[g(X)]，且E[g(X)+h(X)]=E[g(X)]+E[h(X)]。計算根據(jù)隨機變量X的類型，可以使用不同的方法計算g(X)的數(shù)學期望，例如，離散型隨機變量可以使用求和公式，連續(xù)型隨機變量可以使用積分公式。3.5.3隨機變量的函數(shù)的方差1定義隨機變量函數(shù)的方差是其期望值與期望值的平方的差2公式Var(g(X))=E[(g(X)-E[g(X)])2]3計算利用期望值公式和積分計算隨機變量函數(shù)的方差可以用來衡量隨機變量函數(shù)的波動程度。方差越大，波動程度越大。隨機變量函數(shù)的方差可以用來計算隨機變量函數(shù)的標準差。3.6多維隨機變量1二維隨機變量二維隨機變量是兩個隨機變量的集合，它們在同一樣本空間內取值。它們可以表示兩個變量之間的關系，例如身高和體重。2聯(lián)合分布聯(lián)合分布描述了二維隨機變量取值的概率。它可以表示為一個二維函數(shù)，其中每個點都對應于兩個變量的特定取值組合的概率。3相關性相關系數(shù)是衡量兩個隨機變量線性關系強度的指標。它可以是正的、負的或零的，分別表示正相關、負相關或無相關。3.6.1二維隨機變量二維隨機變量是指兩個隨機變量的組合。一個例子是身高和體重，它們共同描述了一個人的體型。1定義兩個隨機變量的組合2例子身高和體重3意義描述多個特征二維隨機變量允許我們研究多個特征之間的關系，例如，身高和體重之間的相關性。3.6.2二維隨機變量的邊緣分布1邊緣分布一個隨機變量的概率分布。2二維隨機變量兩個隨機變量的聯(lián)合分布。3邊緣分布計算從聯(lián)合分布中計算某個隨機變量的分布。邊緣分布描述的是二維隨機變量中單個隨機變量的概率分布。它可以通過對聯(lián)合分布進行積分或求和來得到。例如，如果(X,Y)是一個二維隨機變量，那么X的邊緣分布可以由Y取所有可能值的聯(lián)合概率分布積分得到。邊緣分布是一個重要的概念，因為它可以讓我們了解單個隨機變量的概率分布，而不需要考慮其他隨機變量。3.6.3二維隨機變量的聯(lián)合分布定義二維隨機變量的聯(lián)合分布描述了兩個隨機變量同時取值的概率分布。聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)表示兩個隨機變量同時取值小于或等于某兩個值的概率，它是一個二元函數(shù)。聯(lián)合概率密度函數(shù)對于連續(xù)型二維隨機變量，聯(lián)合概率密度函數(shù)描述了兩個隨機變量在