全等三角形的七大模型綜合訓(xùn)練(四)(原卷版+解析)

全等三角形的七大模型綜合訓(xùn)練（四）1．如圖，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝5，AD＝AE＝2，點(diǎn)P，Q，R分別是BC，DC，DE的中點(diǎn)．把△ADE繞點(diǎn)A在平面自由旋轉(zhuǎn)，則△PQR的面積不可能是（

）A．8 B．6 C．4 D．22．如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)P在AB上，過點(diǎn)P作PE⊥AC，垂足為E，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)Q，使CQ＝PA，連接PQ交AC于點(diǎn)D，則DE的長(zhǎng)為（

）A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.253．如圖，在△ABC中，點(diǎn)M，N分別是AC，BC上一點(diǎn)，AM＝BN，∠C＝60°，若AB＝9，BM＝7，則MN的長(zhǎng)度可以是（）A．2 B．7 C．16 D．174．如圖，在等腰中，，D為內(nèi)一點(diǎn)，且，若，則的面積為________．5．如圖，已知AD是△ABC的中線，E是AC上的一點(diǎn)，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC＝24°，∠EBC＝32°，則∠ACB＝_____．6．在中，AE，CD為的角平分線，AE，CD交于點(diǎn)F．（1）如圖1，若．①直接寫出的大??；②求證：．（2）若圖2，若，求證：．7．如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，線段AC與AD關(guān)于直線AP對(duì)稱，E是線段BD與直線AP的交點(diǎn)．（1）若∠DAE＝15°，求證：△ABD是等腰直角三角形；（2）連CE，求證：BE＝AE+CE．8．如圖，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分線，求證：AE+BE=BC．9．如圖，在中，，點(diǎn)D是線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在線段上，且，．垂足E在的延長(zhǎng)線上．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，線段和的數(shù)量關(guān)系是______；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合，（1）的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)說明理由．10．如圖，是一個(gè)銳角三角形，分別以、為邊向外作等邊三角形、，連接、交于點(diǎn)，連接．(1)求證：≌；(2)求的度數(shù)；(3)求證：平分．11．在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)C，且于D，于E．(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如下圖所示的位置時(shí)，求證：①；②；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如下圖所示的位置時(shí)，試問、、具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，不必證明；(3)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖的位置時(shí)，試問、、具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，不必證明．12．已知線段，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，在線段上取一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，連接，求度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，試探究線段與之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．13．在中，，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)為線段，的垂直平分線的交點(diǎn)，連接，，．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，則______；(2)當(dāng)時(shí)，①如圖2，連接，判斷的形狀，并說明理由；②如圖3，F(xiàn)是內(nèi)一點(diǎn)，連接，，．若是等邊三角形，試猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．14．如圖1，是正三角形，是等腰三角形，，，以為頂點(diǎn)作一個(gè)角，角的兩邊分別交邊于，連接．(1)探究之間的關(guān)系，并說明理由．(2)若的邊長(zhǎng)為2，求的周長(zhǎng)．(3)若點(diǎn)分別是延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其它條件不變，在圖②中畫出圖形，并說出之間的關(guān)系．15．閱讀材料：如圖，在中，，分別是邊，的中點(diǎn)，小明在證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時(shí)，通過延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，證明，再證四邊形是平行四邊形即得證．(1)類比遷移：如圖，是的中線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且，求證：．小明發(fā)現(xiàn)可以類比材料中的思路進(jìn)行證明．證明：如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，…請(qǐng)根據(jù)小明的思路完成證明過程．(2)方法運(yùn)用：如圖，在等邊中，是射線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），連接．把線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．是線段的中點(diǎn)，連接，．①請(qǐng)你判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；②若，，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．16．已知，四邊形中，，繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長(zhǎng)線）于E，F(xiàn)．當(dāng)繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，如圖（1），易證：．當(dāng)繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，在圖（2）和圖（3）中這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明．全等三角形的七大模型綜合訓(xùn)練（四）1．如圖，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝5，AD＝AE＝2，點(diǎn)P，Q，R分別是BC，DC，DE的中點(diǎn)．把△ADE繞點(diǎn)A在平面自由旋轉(zhuǎn)，則△PQR的面積不可能是（

）A．8 B．6 C．4 D．2答案:A分析：連接BD、CE，BD的延長(zhǎng)線交CE的延長(zhǎng)線于O，AC交BO于H．證明△BAD≌△CAE,然后可推出△PQR是等腰直角三角形，S△PQR＝?PQ2,由AB＝5，AD＝2可知3≤BD≤7，從而得到≤PQ≤，那么≤?PQ2≤,即可得出答案．【詳解】解：連接BD、CE，BD的延長(zhǎng)線交CE的延長(zhǎng)線于O，AC交BO于H．∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∠ABH＝∠OCH，∵∠AHB＝∠CHO，∴∠O＝∠BAH＝90°，∵點(diǎn)P，Q，R分別是BC，DC，DE的中點(diǎn)，∴PQ＝BD，PQ∥BO，QR＝EC，QR∥CO，∵BO⊥OC，∴PQ⊥RQ，PQ＝QR，∴△PQR是等腰直角三角形，∴S△PQR＝?PQ2，∵AB＝5，AD＝2，∴3≤BD≤7，∴≤PQ≤，∴≤?PQ2≤，∴△PQR的面積不可能是8，故答案為：A．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．2．如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)P在AB上，過點(diǎn)P作PE⊥AC，垂足為E，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)Q，使CQ＝PA，連接PQ交AC于點(diǎn)D，則DE的長(zhǎng)為（

）A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25答案:C分析：過作的平行線交于，通過證明≌，得，再由是等邊三角形，即可得出．【詳解】解：過作的平行線交于，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，在中和中，，≌，，于，是等邊三角形，，，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在△ABC中，點(diǎn)M，N分別是AC，BC上一點(diǎn)，AM＝BN，∠C＝60°，若AB＝9，BM＝7，則MN的長(zhǎng)度可以是（）A．2 B．7 C．16 D．17答案:B分析：通過構(gòu)造等邊和等邊，得到（SAS），再證明（SAS），即可將線段AB、BM和MN集中到△QMB中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可判斷MN的長(zhǎng)度取值范圍．【詳解】解：如圖，作等邊和等邊，連接QP、QM，在等邊和等邊中，，∴，∴，又∵，，∴（SAS），∴，，∵AM＝BN，∴在中，，，∴，在中，，，∴，∴，在和中，，∴（SAS）∴，在中，，∴，∴，∴選項(xiàng)B，MN=7符合題意，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是線段AB、BM和MN通過旋轉(zhuǎn)全等集中到同一個(gè)三角形中，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可判斷MN的長(zhǎng)度取值范圍．4．如圖，在等腰中，，D為內(nèi)一點(diǎn)，且，若，則的面積為________．答案:8分析：由線段CD的長(zhǎng)求的面積，故過B作CD的垂線，則由三角形面積公式可知：，再由題中的和等腰直角三角形ABC，即可求證，最后由即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)B作CD的垂線，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，，故答案是：8．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的證明、輔助線的畫法、等腰三角形的性質(zhì)和三角形面積公式，屬于中檔難度的幾何證明題．解題的關(guān)鍵是由三角形面積公式畫出合適的輔助線．5．如圖，已知AD是△ABC的中線，E是AC上的一點(diǎn)，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC＝24°，∠EBC＝32°，則∠ACB＝_____．答案:100°/100度分析：延長(zhǎng)AD到M，使得DM＝AD，連接BM，證△BDM≌△CDA（SAS），得得到BM＝AC＝BF，∠M＝∠DAC＝24°，∠C＝∠DBM，再證△BFM是等腰三角形，求出∠MBF的度數(shù)，即可解決問題．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)AD到M，使得DM＝AD，連接BM，在△BDM和△CDA中，，∴△BDM≌△CDA（SAS），∴BM＝AC＝BF，∠M＝∠DAC＝24°，∠C＝∠DBM，∵BF＝AC，∴BF＝BM，∴∠M＝∠BFM＝24°，∴∠MBF＝180°﹣∠M﹣∠BFM＝132°，∵∠EBC＝32°，∴∠DBM＝∠MBF﹣∠EBC＝100°，∴∠C＝∠DBM＝100°，故答案為：100°．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．6．在中，AE，CD為的角平分線，AE，CD交于點(diǎn)F．（1）如圖1，若．①直接寫出的大小；②求證：．（2）若圖2，若，求證：．答案:（1）①120°；②見解析；（2）見解析分析：（1）①綜合三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義求解即可；②利用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”思想，在AC上取點(diǎn)H，使得AD=AH，從而通過全等證得∠AFD=∠AFH，再結(jié)合①的結(jié)論進(jìn)一步證明∠CFH=∠CFE，從而通過全等證得CE=CH，即可得出結(jié)論；（2）同樣利用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”思想，在AC上取S、T兩點(diǎn)，使得AD=AS，CE=CT，連接SF，SE，TF，TE，可通過全等直接先對(duì)△ADF和△CEF的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)換，然后結(jié)合（1）中的結(jié)論，證明SF∥ET，即可對(duì)△DEF的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)換，從而得出結(jié)論．【詳解】（1）①解：∵∠B=60°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=120°，∵AE平分∠BAC，CD平分∠BCA，∴∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠BCA，∴∠FAC+∠FCA=(∠BAC+∠BCA)=×120°=60°，∴∠AFC=180°-(∠FAC+∠FCA)=120°；②證：如圖所示，在AC上取點(diǎn)H，使得AD=AH，在△ADF和△AHF中，∴△ADF≌△AHF(SAS)，∴∠AFD=∠AFH，∵∠AFD=∠CFE，∴∠AFH=∠CFE，由①可知，∠AFC=120°，∴∠CFE=180°-120°=60°，∴AFH=∠CFE=60°，∴∠CFH=60°，即：∠CFH=∠CFE，在△CFH和△CFE中，∴△CFH≌△CFE(ASA)，∴CE=CH，∵AC=AH+CH，∴AC=AD+CE；（2）證：如圖所示，在AC上取S、T兩點(diǎn)，使得AD=AS，CE=CT，連接SF，SE，TF，TE，∵AE平分∠BAC，∴∠DAF=∠SAF，在△ADF和△ASF中，∴△ADF≌△ASF(SAS)，同理可證△AED≌△AES，△CEF≌△CTF，∴DF=SF，DE=SE，F(xiàn)T=FE，∴△DEF≌△SEF，∴，，，且∠AFD=∠AFS，∠CFE=∠CFT，∵∠AFD=∠CFE，∴∠AFD=∠AFS=∠CFE=∠CFT，由（1）可得：∠AFC=90°+∠B=135°，∴∠CFE=180°-135°=45°，∴∠AFD=∠AFS=∠CFE=∠CFT=45°，∴∠CFS=135°-∠AFS=90°，∴CF⊥SF，又∵FT=FE，CT=CE，∴CF垂直平分EF，即：CF⊥ET，∴SF∥ET，∴，∴∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形角平分線相關(guān)的證明問題，掌握基本的輔助線添加思想，熟練運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，線段AC與AD關(guān)于直線AP對(duì)稱，E是線段BD與直線AP的交點(diǎn)．（1）若∠DAE＝15°，求證：△ABD是等腰直角三角形；（2）連CE，求證：BE＝AE+CE．答案:（1）見解析；（2）見解析分析：（1）首先根據(jù)題意確定出△ABC是等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)推出∠BAC＝60°，再根據(jù)線段AC與AD關(guān)于直線AP對(duì)稱，以及∠DAE＝15°，推出∠BAD＝90°，即可得出結(jié)論；（2）利用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的方法在BE上取點(diǎn)F，使BF＝CE，連接AF，根據(jù)題目條件推出△ABF≌△ACE，得出AF＝AE，再進(jìn)一步推出∠AEF＝60°，可得到△AFE是等邊三角形，則得到AF＝FE，從而推出結(jié)論即可．【詳解】證明：（1）∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵線段AC與AD關(guān)于直線AP對(duì)稱，∴∠CAE＝∠DAE＝15°，AD＝AC，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝75°，∴∠BAD＝90°，∵AB＝AC＝AD，∴△ABD是等腰直角三角形；（2）在BE上取點(diǎn)F，使BF＝CE，連接AF，∵線段AC與AD關(guān)于直線AP對(duì)稱，∴∠ACE＝∠ADE，AD＝AC，∵AD＝AC＝AB，∴∠ADB＝∠ABD=∠ACE，在△ABF與△ACE中，∴△ABF≌△ACE（SAS），∴AF＝AE，∵AD＝AB，∴∠D＝∠ABD，又∠CAE＝∠DAE，∴，∴在△AFE中，AF＝AE，∠AEF＝60°，∴△AFE是等邊三角形，∴AF＝FE，∴BE＝BF+FE＝CE+AE．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等邊三角形的判定與性質(zhì)等，掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及全等三角形的常見輔助線的構(gòu)造方法是解題關(guān)鍵．8．如圖，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分線，求證：AE+BE=BC．答案:見解析分析：延長(zhǎng)BE到F，使BF=BC，連接FC，由AB=AC，∠A=100°，得到∠ABC=∠ACB=40°，由于BE平分∠ABC，于是得到∠ABE=∠EBC=20°，通過△FCE≌△F′CE，得到EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，證得△ABE≌△F′BE，于是得到AE=EF′，于是得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)BE到F，使BF=BC，連接FC，∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=20°，∵BF=BC，∴∠F=∠BCF=80°，∴∠FCE=∠ACB=40°，在BC上取CF′=CF，連接EF′，在△FCE與△F′CE中，，∴△FCE≌△F′CE（SAS），∴EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，∴∠BF′E=100°，∴∠A=∠BF′E，在△ABE與△F′BE中，，∴△ABE≌△F′BE（AAS），∴AE=EF′，∴AE=EF，∴AE+BE=BE+EF=BC．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在中，，點(diǎn)D是線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在線段上，且，．垂足E在的延長(zhǎng)線上．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，線段和的數(shù)量關(guān)系是______；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合，（1）的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)說明理由．答案:(1)(2)成立，理由見解析分析：（1）延長(zhǎng)與交于點(diǎn)G，先證明，判斷出；然后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出，即可判斷出，再根據(jù)，可得，據(jù)此判斷即可．（2）過點(diǎn)D作，與交于H，與的延長(zhǎng)線交于G，根據(jù)，，判斷出；然后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出，即可判斷出；最后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出，即可判斷出，所以，據(jù)此判斷即可．【詳解】（1）如圖1，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)G，，，，∵，∴，在和中，∴，，，，即，在和中，，，，又，．故答案為：．（2）結(jié)論：，理由如下：如圖2，過點(diǎn)D作，與交于H，與的延長(zhǎng)線交于G，，，，，，又，同理（1）可得，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．10．如圖，是一個(gè)銳角三角形，分別以、為邊向外作等邊三角形、，連接、交于點(diǎn)，連接．(1)求證：≌；(2)求的度數(shù)；(3)求證：平分．答案:(1)見解析(2)(3)見解析分析：（1）由、是等邊三角形，易證，繼而可證；（2）由≌，得到，進(jìn)一步得到，由三角形內(nèi)角和得到答案；（3）作于點(diǎn)于點(diǎn)，證明，由，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：、是等邊三角形，，，即，≌；（2）解：≌，，，；（3）證明：如圖，作于點(diǎn)于點(diǎn)，，，，，，，，平分．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、角平分性的判定知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)C，且于D，于E．(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如下圖所示的位置時(shí)，求證：①；②；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如下圖所示的位置時(shí)，試問、、具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，不必證明；(3)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖的位置時(shí)，試問、、具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，不必證明．答案:(1)①見解析；②見解析(2)(3)分析：（1）①用證明即可；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出，，進(jìn)而得出；（2）先證明，可得，，進(jìn)而得出；（3）先證明，可得，，進(jìn)而得出．【詳解】（1）證明：①∵，，∴，∵，∴，，∴，在和中，∵，∴；②∵，∴，，∴．（2）解：．∵，，∴，∵，∴，，∴，在和中，∵，∴，∴，，∴．（3）解：．∵，，∴，∵，∴，，∴，在和中，∵，∴，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線的定義，余角的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵熟練掌握三角形全等的條件，證明．12．已知線段，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，在線段上取一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，連接，求度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，試探究線段與之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．答案:(1)(2)，理由見詳解分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再結(jié)合題意及等腰三角形的性質(zhì)即可獲得答案；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)題意可得，，即，，，再證明，；根據(jù)“直角三角形中，30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”可得，易得，結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)可得，即可證明．【詳解】（1）解：∵線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，∴，，∴；（2）如下圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，又∵，∴，，即，∵，∴，∵線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，即，∴，∵，，∴，∴在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、垂直平分線的定義與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．13．在中，，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)為線段，的垂直平分線的交點(diǎn)，連接，，．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，則______；(2)當(dāng)時(shí)，①如圖2，連接，判斷的形狀，并說明理由；②如圖3，F(xiàn)是內(nèi)一點(diǎn)，連接，，．若是等邊三角形，試猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．答案:(1)100(2)①等邊三角形，理由見解析；②，理由見解析分析：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和定理求解即可；（2）①證明，可得結(jié)論；②結(jié)論；．連接，證明，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖1中，，，，，點(diǎn)是線段，的垂直平分線的交點(diǎn)，，，，，．故答案為：100；（2）①結(jié)論：是等邊三角形．理由：如圖2中，，，，，點(diǎn)是線段，的垂直平分線的交點(diǎn)，，，，，，，是等邊三角形；②結(jié)論：．理由：如圖3中，連接．，是等邊三角形，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．14．如圖1，是正三角形，是等腰三角形，，，以為頂點(diǎn)作一個(gè)角，角的兩邊分別交邊于，連接．(1)探究之間的關(guān)系，并說明理由．(2)若的邊長(zhǎng)為2，求的周長(zhǎng)．(3)若點(diǎn)分別是延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其它條件不變，在圖②中畫出圖形，并說出之間的關(guān)系．答案:(1)，理由見解析(2)(3)見解析，，理由見解析分析：（1）延長(zhǎng)至，使得，并連接，構(gòu)造全等三角形，找到相等的線段，再進(jìn)一步證明，進(jìn)而等量代換得到；（2）利用（1）中結(jié)論，將的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為的和來解答；（3）按要求作出圖形，之間的關(guān)系是，理由為：先證，再證，即可得證．【詳解】（1）解：，理由如下：延長(zhǎng)至，使得，并連接，如圖1所示，，為等腰三角形，為等邊三角形，，，，又，且，，，，在與中，，，，，，，，，即，，在和中，，，；（2）解：利用（1）中的結(jié)論得出：的周長(zhǎng)；（3）解：按要求作出圖形，如圖所示，（1）中結(jié)論不成立，應(yīng)為，理由如下：在上截取，是正三角形，，又，，，，又，，在和中，，，，在和中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)；此題從不同角度考查了作相等線段構(gòu)造去哪等三角形的能力，要充分利用等邊三角形及等腰三角形的性質(zhì)，轉(zhuǎn)換各相等線段解答．15．閱讀材料：如圖，在中，，分別是邊，的中點(diǎn)，小明在證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時(shí)，通過延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，證明，再證四邊形是平行四邊形即得證．(1)類比遷移：如圖，是的中線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且，求證：．小明發(fā)現(xiàn)可以類比材料中的思路進(jìn)行證明．證明：如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，…請(qǐng)根據(jù)小明的思路完成證明過程．(2)方法運(yùn)用：如圖，在等邊中，是射線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），連接．把線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．是線段的中點(diǎn)，連接，．①請(qǐng)你判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；②若，，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．答案:(1)見解析(2)①，見解析；②2或4分析：（1）延長(zhǎng)至，使，連接，證明（），由全等三角形的性質(zhì)可得出，，則可得出結(jié)論；（2）①延長(zhǎng)至