2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章三角函數(shù)5.5三角恒等變換5.5.2簡(jiǎn)單的三角恒等變換第2課時(shí)簡(jiǎn)單的三角恒等變換二分層演練新人教A版必修第一冊(cè)

5.5三角恒等變換5.5.2簡(jiǎn)潔的三角恒等變換第2課時(shí)簡(jiǎn)潔的三角恒等變換（二）A級(jí)基礎(chǔ)鞏固1.函數(shù)f(x)=cos2(x+π4),x∈R,則f(x) (A.是奇函數(shù)B.是偶函數(shù)C.既是奇函數(shù),也是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)答案:D2.函數(shù)f(x)=sinx-3cosx可化簡(jiǎn)為 (A.2sin(x-π3B.2sin(x+π3C.2sin(x-π6D.2sin(x+π6答案:A3.設(shè)a=12cos6°-32sin6°,b=2sin13°·cos13°,c=1-A.c<b<aB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a答案:C4.如圖所示,有一塊正方形的鋼板ABCD,其中一個(gè)角有部分損壞,現(xiàn)要把它截成一塊正方形的鋼板EFGH,其面積是原正方形鋼板面積的三分之二,則∠AEH=π12或5π解析:設(shè)∠AEH=x,正方形鋼板的邊長(zhǎng)為a,截后正方形的邊長(zhǎng)為b,則a2b2=32,ab又因?yàn)閍=GC+CF=bsinx+bcosx,所以sinx+cosx=62,所以sin(x+π4)因?yàn)?<x<π2,所以π4<x+π4所以x+π4=π3或x+π4=2π3,所以x=即∠AEH=π12或5π5.已知函數(shù)f(x)=(sin(1)求f(x)的定義域及最小正周期.(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.解:(1)由sinx≠0,得x≠kπ(k∈Z),故f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠kπ,k∈Z}.因?yàn)閒(x)=(=2cosx(sinx-cosx)=sin2x-cos2x-1=2sin(2x-π4)所以f(x)的最小正周期為T(mén)=2π2=π(2)因?yàn)楹瘮?shù)y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-π2,2kπ+π2](k由2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+π2,x≠kπ(得kπ-π8≤x≤kπ+3π8,x≠kπ(k所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-π8,kπ)和(kπ,kπ+3π8](k∈B級(jí)實(shí)力提升6.若函數(shù)f(x)=(1+3tanx)cosx,0≤x<π2,則f(x)的最大值是 (A.1 B.2C.3+1 D.3+2解析:f(x)=(1+3tanx)·cosx=(1+3sinx=3sinx+cosx=2sin(x+π6)因?yàn)?≤x<π2,所以π6≤x+π6所以當(dāng)x+π6=π2時(shí),f(x答案:B7.(2024年佛山順德區(qū)月考)已知tanα=2,則sin2αA.15 B.C.35 D.解析:由tanα=2,可知sin2α+cos2αsin2答案:A8.函數(shù)f(x)=sin2xcosx1-sin解析:f(x)=2sinxcos2x1-sinx=2sinx(1令sinx=t,則t∈[-1,1),f(x)=g(t)=2t2+2t=2(t+12)2-12,故當(dāng)t=-12時(shí),函數(shù)g(t)取得最小值-12;當(dāng)t的值趨于1時(shí),g(t)的值趨于4,故函數(shù)g(t)的值域?yàn)閇-12,4),所以f(x)∈9.多空題如圖,有半徑為1的半圓,且四邊形PQRS是半圓的內(nèi)接矩形,設(shè)∠SOP=α,則當(dāng)α為π4時(shí),矩形的面積最大,最大面積的值為1解析:因?yàn)镺P=1,∠SOP=α,所以SP=sinα,OS=cosα,所以S矩形PQRS=sinα×2cosα=sin2α,所以當(dāng)α為π4時(shí),S矩形PQRS最大,最大值為1C級(jí)挑戰(zhàn)創(chuàng)新10.如圖,矩形ABCD的長(zhǎng)AD=23,寬AB=1,A,D兩點(diǎn)分別在x,y軸的正半軸上移動(dòng),B,C兩點(diǎn)在第一象限,求OB2的最大值.解:如圖,過(guò)點(diǎn)B作BH⊥OA,垂足點(diǎn)為點(diǎn)H.設(shè)∠OAD=θ(0<θ<π2),則∠BAH=π2OA=23cosθ,BH=sin(π2-θ)=cosθAH=cos(π2-θ)=sinθ所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(23cosθ+sinθ,cosθ),OB2=(23cosθ+sinθ)