遼寧省名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期3月份聯(lián)合考試

Page23遼寧省名校聯(lián)盟2024年高三3月份聯(lián)合考試數(shù)學(xué)本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意，化簡集合，然后由交集的運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，集合，即集合中的元素是的倍數(shù)，集合，即集合中的元素是的倍數(shù)余，故既是的倍數(shù)，又是的倍數(shù)余，所以故選:B2.已知復(fù)數(shù)，（且），則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的（）A.軸上 B.軸上 C.一、二象限 D.三、四象限【答案】A【解析】【分析】化簡復(fù)數(shù)，依據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限．【詳解】，，，又，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的軸上故選：A3.拋物線繞其頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°之后，得到圖象正好對(duì)應(yīng)拋物線，則（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】采納逆向思索：即將拋物線將其繞頂點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到拋物線，也即是，進(jìn)而即可求得的值.【詳解】拋物線即的開口向上，將其繞頂點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到的拋物線開口向左，其方程為，所以，則，故選：.4.已知直線平面，下列說法正確的是（）A.若直線，則平面 B.若直線，則平面C.若平面，則 D.若平面，則平面【答案】C【解析】【分析】依據(jù)直線與平面的位置關(guān)系推斷A，依據(jù)直線與平面平行的判定定理推斷B，依據(jù)面面平行的性質(zhì)推斷C，依據(jù)面面的位置關(guān)系推斷D．【詳解】A：若直線平面，且直線，則或，或與相交，故A錯(cuò)誤；B：若直線平面，且直線，則或，故B錯(cuò)誤；C：若直線平面，且平面，則必有，故C正確；D：若直線平面，且平面，則或與相交，故D錯(cuò)誤，故選：C．5.已知，，若，，成等差數(shù)列，則（）A.0或1 B.1或 C.1或 D.0或【答案】D【解析】【分析】設(shè)，依據(jù)，，分別表示出，，，再依據(jù)它們成等差數(shù)列，列出方程求出，即可得出答案．【詳解】設(shè)，，，，，，又，，成等差數(shù)列，，即，化簡得，，解得，或，故選：D．6.武術(shù)是中國的四大國粹之一，某武校上午開設(shè)文化課，下午開設(shè)武術(shù)課，某年級(jí)武術(shù)課有太極拳、形意拳、長拳、兵器四門，安排從周一到周五每天下午排兩門課，每周太極拳和形意拳上課三次，長拳和兵器上課兩次，同樣的課每天只上一次，則排課方式共有（）A.19840種 B.16000種 C.31360種 D.9920種【答案】D【解析】【分析】先確定從5天中選3天排太極拳的排法狀況，再分五天中有天既有太極拳又有形意拳，五天中有天既有太極拳又有形意拳，五天中有天既有太極拳又有形意拳，三種狀況探討，從而可得出答案.【詳解】先從5天中選3天排太極拳，有種，然后再從所選的3天中選一節(jié)排太極拳有種，所以太極拳有種排法，若五天中有天既有太極拳又有形意拳，則哪一天重復(fù)有種，再從另外不重復(fù)的2天中每天選1天排形意拳，有種，再從剩下的4節(jié)課中選2節(jié)排長拳，有種，則另外2節(jié)排兵器，所以有種，若五天中有天既有太極拳又有形意拳，則哪兩天重復(fù)有種，再從另外不重復(fù)的2天中排形意拳，有種，再從剩下的4節(jié)課中抽2節(jié)課排長拳，有種，則另外2節(jié)排兵器，但排在同一天不合適，所以有種，所以共有種，若五天中有天既有太極拳又有形意拳，則剩下的4節(jié)課中選2節(jié)排長拳，有種，再去掉排同一天的種，所以有種，綜上所述：共有種.故選：D.7.如圖所示為某正弦型三角函數(shù)的部分圖象，則下列函數(shù)不行能是該三角函數(shù)的是（）

A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)圖象知且為一個(gè)最小值，結(jié)合各選項(xiàng)解析式逐一推斷.【詳解】若某正弦型三角函數(shù)為，依據(jù)圖象知：且為一個(gè)最小值，A：，，符合；B：，，不符合；C：，，符合；D：，，符合；故選：B8.已知，，，則下列排序正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先干脆計(jì)算得的值，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討其單調(diào)性得到，再利用二項(xiàng)式定理求得的值，從而得解.【詳解】因?yàn)?，，令，則，故在上單調(diào)遞減，所以，即，故，因?yàn)?，所以，?故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)證得，再利用二項(xiàng)式定理求得，從而得解.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法中正確的是（）A.一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)可能相同B.若事務(wù)發(fā)生的概率，事務(wù)發(fā)生的概率，則C.一組數(shù)據(jù)，，，，，若，則是這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)D.若隨機(jī)變量聽從正態(tài)分布，則【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A，舉特別例子即可推斷；對(duì)于B，由獨(dú)立事務(wù)的概率公式即可推斷；對(duì)于C，利用分位數(shù)的定義即可推斷；對(duì)于D，利用正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性即可推斷.【詳解】對(duì)于A，取一組數(shù)據(jù)為，易得其眾數(shù)和中位數(shù)都為，故A正確；對(duì)于B，只有當(dāng)事務(wù)為相互獨(dú)立事務(wù)時(shí)，才有，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，依據(jù)分位數(shù)的定義得，，則第個(gè)數(shù)為75%分位數(shù)，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，即，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.下列能使式子最小值為1的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】由得出，結(jié)合不等式“1”的妙用，即可求出的最小值為1，推斷出A正確；由得，代入，結(jié)合基本不等式，即可推斷出B錯(cuò)誤；假設(shè)，則，即可推斷出C錯(cuò)誤；由，設(shè)，，，代入化簡，結(jié)合的范圍，即可得出當(dāng)即時(shí)，取得最小值1，即可推斷D正確．【詳解】對(duì)于A：當(dāng)，則，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于B：由得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，故最小值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：假設(shè)，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，，且，即，，由得，，設(shè)，，即，，，，即，則，，，當(dāng)，即，時(shí)，取得最小值1，故D正確，故選：AD．11.在所在的平面上存在一點(diǎn)，，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.若，則點(diǎn)的軌跡不行能經(jīng)過的外心B.若，則點(diǎn)的軌跡不行能經(jīng)過的垂心C.若，則點(diǎn)的軌跡不行能經(jīng)過的重心D.若，，則點(diǎn)的軌跡肯定過的外心【答案】ABD【解析】【分析】由，結(jié)合向量共線的推論推斷的軌跡，探討形態(tài)推斷A、B正誤；依據(jù)重心的性質(zhì)得推斷C；依據(jù)題設(shè)確定，，點(diǎn)的軌跡，探討形態(tài)推斷D.【詳解】若，依據(jù)向量共線的推論知：共線，即在直線上，中，則的中點(diǎn)為三角形外心，故有可能為外心，A錯(cuò)；中或，則或?yàn)槿切未剐模视锌赡転榇剐模珺錯(cuò)；若為的重心，必有，此時(shí)，C對(duì)；若，，結(jié)合，則點(diǎn)在一個(gè)以AB、AC為鄰邊的平行四邊形內(nèi)（含邊界），為銳角三角形，其外心在內(nèi)，則必過外心；為直角三角形，其外心為斜邊中點(diǎn)，則必過外心；為鈍角三角形且，其外心在外，即邊的另一側(cè)，如下圖示，點(diǎn)在平行四邊形內(nèi)（含邊界），此時(shí)，當(dāng)外心在內(nèi)（含邊界），則必過外心；當(dāng)外心在外（如下圖為的中垂線），則不過外心；所以，，，的軌跡不肯定過的外心，D錯(cuò).故選：ABD12.已知函數(shù)（且），下列說法正確的是（）A.為偶函數(shù)B.為非奇非偶函數(shù)C.為偶函數(shù)（為的導(dǎo)函數(shù)）D.若，則對(duì)隨意成立【答案】ACD【解析】【分析】先證明函數(shù)為奇函數(shù)，再依據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可推斷AB；求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再依據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可推斷C；易得，再依據(jù)，可得，即可推斷D.【詳解】因?yàn)?，所以的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以，所以為奇函?shù)，對(duì)于A，因?yàn)?，所以為偶函?shù)，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，因?yàn)?，所以為偶函?shù)，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，又，，所以，即，所以，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛，解決本題AB的關(guān)鍵在于證明為奇函數(shù)，解決D選項(xiàng)的關(guān)鍵是由，結(jié)合換底公式轉(zhuǎn)化.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.的綻開式中其次個(gè)有理項(xiàng)為______．【答案】【解析】【分析】求出綻開式的通項(xiàng)，由題意可得的指數(shù)為整數(shù)，從而可得出答案.【詳解】的綻開式的通項(xiàng)為，要使第項(xiàng)為有理數(shù)，則，則可取，所以的綻開式中其次個(gè)有理項(xiàng)為.故答案為：.14.已知在數(shù)列中，，，則______．【答案】【解析】分析】依據(jù)遞推關(guān)系得到、、、及、，、，進(jìn)而得，即可求值.【詳解】由，，，，，，，，,所以，，即，同理得、、；，即，同理得，、；綜上，.故答案為：15.已知，，，則“”是“，，為某斜三角形的三個(gè)內(nèi)角”的______．（橫線上可以填：“充要條件”“充分不必要條件”“必要不充分條件”“既不充分也不必要條件”）【答案】必要不充分條件【解析】【分析】依據(jù)充分、必要性的定義，結(jié)合三角恒等變換及斜三角形內(nèi)角的性質(zhì)推斷條件間是否有推出關(guān)系即可.【詳解】由，即，所以，則，即，又，，則，而，此時(shí)或，且，充分性不成立；由，，為某斜三角形的三個(gè)內(nèi)角，即且均不為直角，則，所以，則，整理得，必要性成立；綜上，“”是“，，為某斜三角形的三個(gè)內(nèi)角”的必要不充分條件.故答案為：必要不充分條件16.如圖所示圓錐，為母線的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面圓心，為底面圓的直徑，且，，的長度成等比數(shù)列，一個(gè)平面過，，與圓錐面相交的曲線為橢圓，若該橢圓的短軸與圓錐底面平行，則該橢圓的離心率為______．【答案】##【解析】【分析】令，由等比數(shù)列性質(zhì)可得，進(jìn)而確定圓錐軸截面為等腰直角三角形，并求出橢圓長軸長的長度，依據(jù)圓錐的結(jié)構(gòu)特征找到橢圓短軸長，最終應(yīng)用橢圓離心率定義求離心率.【詳解】令，則，又，，的長度成等比數(shù)列，所以，即，由題意，明顯，在直角△中，則，所以△為等腰直角三角形，故圓錐軸截面為等腰直角三角形且，所以，即橢圓長軸長，則，軸截面如下圖示：該橢圓的短軸與圓錐底面平行，過作交于，交于，則，中點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，即為橢圓中心，過作交于，則橢圓短軸，綜上，有△△均為等腰直角三角形，故，則，同理△△，故，則，，所以，即，綜上，橢圓離心率為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：留意短軸長為過長軸長中點(diǎn)平行于軸截面底邊并與母線相交所成的線段長度.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知在中，，，為內(nèi)角，，所對(duì)的邊，，且．（1）求與；（2）若，過作邊的垂線，并延長至點(diǎn)，若，，，四點(diǎn)共圓，求的長．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由及正弦定理邊角關(guān)系可得，結(jié)合差角正弦公式求角的大小即可；（2）由四點(diǎn)共圓及正弦定理知，結(jié)合圓的性質(zhì)、差角正弦公式求邊長即可.【小問1詳解】由題設(shè)，而，則，所以，即，故，而，則，即，.【小問2詳解】設(shè)垂線的垂足為，而，則，又，，，四點(diǎn)共圓，則，且，，由，所以.18.已知數(shù)列，，點(diǎn)分布在一條方向向量為的直線上，且，．請(qǐng)?jiān)冖贁?shù)列的前項(xiàng)和為；②數(shù)列的前項(xiàng)和為；③數(shù)列的前項(xiàng)和為三個(gè)條件中選擇一個(gè)，解答下列問題．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)直線方向向量及所過的點(diǎn)得，結(jié)合所選的條件及關(guān)系求通項(xiàng)公式即可；（2）由題意，應(yīng)用分組求和及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求.【小問1詳解】由題設(shè)直線斜率為2，且過，則，故，選①：前n項(xiàng)和，當(dāng)，，當(dāng)，滿意上式，所以；選②：的前項(xiàng)和，當(dāng)，，當(dāng)，滿意上式，所以；選③：的前項(xiàng)和，當(dāng)，，當(dāng)，滿意上式，所以；【小問2詳解】由（1）知：，所以，19.如圖所示的幾何體為一個(gè)正四棱柱被兩個(gè)平面與所截后剩余部分，且滿意，，．（1）當(dāng)多長時(shí)，，證明你結(jié)論；（2）當(dāng)時(shí)，求平面與平面所成角的余弦值．【答案】（1）時(shí)，，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）將正四棱柱補(bǔ)全為，取為中點(diǎn)，連接，由平行四邊形性質(zhì)有，結(jié)合已知和△△即證明；（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)，求平面與平面的法向量，應(yīng)用空間向量求夾角的余弦值.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，證明如下：將正四棱柱補(bǔ)全為，則均為正方形，又，所以底面邊長為2，又且，所以分別為中點(diǎn)，取為中點(diǎn)，連接，則且，即為平行四邊形，因?yàn)?，又，，所以，所以△△，所以且，所以，所以，又，?【小問2詳解】由可知，（1）中補(bǔ)全正四棱柱為正方體，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)，如下圖，則，所以，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令，則；設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令，則；所以，故所求角的余弦值為.20.隨著科技的進(jìn)步和人民生活水平的提高，電腦已經(jīng)走進(jìn)了千家萬戶，成為人們生活、學(xué)習(xí)、消遣的常見物品，便攜式電腦（俗稱“筆記本”）也特別流行．某公司為了探討“臺(tái)式機(jī)”與“筆記本”的受歡迎程度是否與性別有關(guān)，在街頭隨機(jī)抽取了50人做調(diào)查探討，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表所示．男性女性合計(jì)喜愛“臺(tái)式機(jī)”20525喜愛“筆記本”101525合計(jì)302050（1）是否有99%的把握認(rèn)為喜愛哪種機(jī)型與性別有關(guān)？（2）該公司針對(duì)男性客戶做了調(diào)查，某季度男性客戶中有青年324人，中年216人，老年108人，按分層抽樣選出12人，又隨機(jī)抽出3人的調(diào)查結(jié)果進(jìn)行答謝，這3人中的青年人數(shù)設(shè)為隨機(jī)變量，懇求出的分布列與數(shù)學(xué)期望．附：，其中．0.100.050.0250.012.7013.8415.0246.635【答案】（1）有的把握認(rèn)為喜愛哪種機(jī)型與性別有關(guān)（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）求出，再比照臨界值表即可得出結(jié)論；（2）先依據(jù)分層抽樣求出各層人數(shù)，再寫出隨機(jī)變量的全部可能取值，求出對(duì)應(yīng)概率，即可得出分布列，再依據(jù)期望公式求期望即可.【小問1詳解】，所以有的把握認(rèn)為喜愛哪種機(jī)型與性別有關(guān)；【小問2詳解】由題意，，所以人中有青年人人，中年人人，老年人人，則的全部可能取值為，，，，，則分布列為：.21.已知雙曲線，焦距為，一條漸近線斜率為．（1）求的方程；（2）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過作，垂直于漸近線，垂足分別為，，設(shè)四邊形的面積為．過作，分別平行于漸近線，且與漸近線交于，兩點(diǎn)，設(shè)四邊形面積為，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）干脆依據(jù)，漸近線為，即可求出雙曲線的方程；（2）依據(jù)題意畫出圖像，得出，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，表示出，，即可表示出，同理表示出，再依據(jù)，即可求出的取值范圍．【小問1詳解】∵一條漸近線斜率為，焦距為，∴，，∴，即，解得，，，∴雙曲線的方程為．【小問2詳解】不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線右支上，按要求作出圖像，如圖所示，易得，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，由題可知，