2022-2023學(xué)的人教版七年級(jí)下冊數(shù)學(xué)期末壓軸題訓(xùn)練

七年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)期末壓軸題訓(xùn)練

1.探究并嘗試歸納:

(1)如圖1,已知直線a與直線3平行，夾在平行線間的一條折線形成一個(gè)角N4試求

N1+/2+/4的度數(shù)，請加以說明.

(2)如圖2,已知直線a與直線6平行，夾在平行線間的一條折線增加一個(gè)折，形成兩

個(gè)角//和請直接寫出/1+/2+/月+/6=度.

(3)如圖3,已知直線a與直線6平行，夾在平行線間的一條折線每增加一個(gè)折，就增

加一個(gè)角.當(dāng)形成〃個(gè)折時(shí)，請歸納并寫出所有角與Nl、N2的總和：—【結(jié)果用

含有〃的代數(shù)式表示，〃是正整數(shù)，不用證明】

2.如圖，已知"〃CD,反尸分別在A3、8上，點(diǎn)G在A8、切之間，連接GE、GF.

(1)當(dāng)NBEG=40。時(shí)，EP平分NBEG,FP平分ZDFG；

①如圖1,當(dāng)EGLFG時(shí)，則NP=_°；

②如圖2,在C￡＞的下方有一點(diǎn)0,若EG恰好平分N8EQ,/T＞恰好平分NGFQ,求

NQ+2々的度數(shù)；

(2)在的上方有一點(diǎn)0,若尸。平分NGFC.線段GE的延長線平分NOE4,則當(dāng)

ZEOF+ZEGF=100。時(shí)，直接寫出ZOEA與ZOFC的關(guān)系.

O.

B

3.問題情境：如圖1,已知45〃C/),Z4PC=108°.求NR4B+NPCD的度數(shù).

經(jīng)過思考，小敏的思路是：如圖2,過P作PE〃福,根據(jù)平行線有關(guān)性質(zhì)，可得

NPAB+ZPCD=3600-ZAPC=252°.

問題遷移：如圖3,8G點(diǎn)尸在射線〃獷上運(yùn)動(dòng)，ZADP=Na,ABCP=A/3.

(1)當(dāng)點(diǎn)。在4、6兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，NCPD、乙a、4之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明

理由.

(2)如果點(diǎn)P在46兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、。三點(diǎn)不重合)，請你直接寫出ACPD、

Na、”之間的數(shù)量關(guān)系.

⑶問題拓展：如圖4,MA,//NA?,A-^-4-MT是一條折線段，依據(jù)此圖

所含信息，把你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，用簡潔的數(shù)學(xué)式子表達(dá)為二

4.如圖1,AB//CD,E是AB,⑦之間的一點(diǎn).

⑴判定N員傷，/0應(yīng)與//口之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

⑵如圖2,若NBAE,應(yīng)的角平分線交于點(diǎn)E直接寫出/加力與/月初之間的數(shù)量

關(guān)系；

⑶將圖2中的射線DC沿翻折交",于點(diǎn)G得圖3,若///的余角等于2N6的補(bǔ)角，

求/歷史的大小.

5.已知：如圖1,直線4分/5，E尸分別交AB,CD于E,尸兩點(diǎn)，/AEF,NCFE

的平分線相交于點(diǎn)

(1)求NM的度數(shù)；

(2)如圖2,ZAEM,DC7區(qū)的平分線相交于點(diǎn)M1,請寫出N/與NM之間的等量關(guān)

系，并說明理由；

⑶在圖2中作NAEM-NCR%的平分線相交于點(diǎn)歷2,作乙4EM2,NCFM2的平分

線相交于點(diǎn)加3,依此類推，作NCFMM。的平分線相交于點(diǎn)以，請直接

寫出/“2。21的度數(shù).

6.已知AM〃CN,點(diǎn)占為平面內(nèi)一點(diǎn)，AB上BC于B.

(1)如圖，直接寫出N4和NC之間的數(shù)量關(guān)系.

B

求證：ZABD=NC.

(3)如圖，在(2)間的條件下，點(diǎn)￡,尸在〃〃上，連接班t,BF,CF,BF斗分/DBC,

BE平■分■NABD,若NFCB+NM才=180°,NBFC=3NDBE,求NE3c的度數(shù).

7.如圖1,把一塊含30°的直角三角板的回邊放置于長方形直尺儂Z?的房邊上.

(1)填空：Zl=,N2=；

(2)現(xiàn)把三角板繞6點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).如圖2,當(dāng)0<〃<90,且點(diǎn)C恰好落在加邊

上時(shí)，

①請直接寫出N2=°(結(jié)果用含〃的代數(shù)式表示)

②若N1與N2恰好有一個(gè)角是另一個(gè)角的1■倍，求"的值

(3)若把三角板繞6點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn).當(dāng)0<〃<360時(shí)，是否會(huì)存在三角板某一邊

所在的直線與直尺(有四條邊)某一邊所在的直線垂直？如果存在，請直接寫出所有〃

的值和對(duì)應(yīng)的那兩條垂線；如果不存在，請說明理由.

8.已知，AB〃DE,點(diǎn)C在AB上方,連接6C、CD.

(1)如圖1,求證：NBCD+ZCDE=NABC；

(2)如圖2,過點(diǎn)。作組6c交"的延長線于點(diǎn)凡探究和/尸之間的數(shù)量關(guān)

系；

(3)如圖3,在(2)的條件下，/C叨的平分線交切于點(diǎn)G,連接四并延長至點(diǎn)

若BH*分■NABC,求/腦-N呼的值.

9.如圖，直線4?〃直線切，線段4'〃切，連接跖、CF.

(1)求證：4ABF+4DCF=4BFC；

(2)連接儆CE、BC,若郎平分NABC,BEICE,求證：CE平■令4BCD；

(3)在(2)的條件下，G為用上一點(diǎn)，連接6G,若4BFC=4BCF,4FBG=2NECF,

/CBG=70°,求/斯的度數(shù).

圖1圖2圖3

10.已知/97切.

(1)如圖1,E為AB,⑦之間一點(diǎn)，連接喝DE,得到/刎.求證：4BED=4吩ND；

(2)如圖，連接1。，BC,防平分N46GDF平■分乙ADC,且孫；小'所在的直線交于點(diǎn)

F.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)8在點(diǎn)力的左側(cè)時(shí)，若N46C=50°,N47C=60°,求/月的度數(shù).

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)8在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，設(shè)NMC=a,AADC=B,請你求出/質(zhì)的度數(shù).(用

含有a,B的式子表示)

圖1圖2圖3

11.已知：如圖(1)直線力從口被直線秘V所截，N1=N2.

(1)求證：AB//CD-,

(2)如圖(2),點(diǎn)￡在/18龍之間的直線版V上，P、0分別在直線力氏CD上,連接

PE、EQ,PF平分乙BPE,QF平■'分乙EQD,則/必,0和/必B之間有什么數(shù)量關(guān)系，請直接

寫出你的結(jié)論；

(3)如圖(3),在(2)的條件下，過。點(diǎn)作/W偌交切于點(diǎn)〃，連接版若圖平

分乙EPH,/QPF：NEQF=k5,求/哪的度數(shù).

12.如圖1,腸必圖點(diǎn)G6分別在直線加V、圖上，點(diǎn)力在直線版KPQ之間.

(1)求證：NCAB=NMCA+NPBA；

(2)如圖2,CD〃AB,點(diǎn)、E在PQ上,4EC"4CAB,求證：4MCA=NDCE；

(3)如圖3,BF平分NABP,CG平分N4CV,AF//CG.若/。8=60°,求/力陽的度數(shù).

圖1圖2圖3

13.已知，AB//CD.點(diǎn)”在49上，點(diǎn)/V在a?上.

(1)如圖1中，乙BME、NE、NEW的數(shù)量關(guān)系為：—；(不需要證明)

如圖2中，ZW；/尸、的數(shù)量關(guān)系為：—；(不需要證明)

(2)如圖3中，鹿平分NR皿，,監(jiān)平分NE監(jiān)，且2N6+N6=180°,求/同e的度數(shù)；

(3)如圖4中，N8監(jiān)'=60°,EF平■分4MEN,NP平■分4END,且EQ〃NP,則/此的

大小是否發(fā)生變化，若變化，請說明理由，若不變化，求出/碇的度數(shù).

14.閱讀下面材料：

小亮同學(xué)遇到這樣一個(gè)問題：

已知：如圖甲，ABHCD,E為AB,5之間一點(diǎn)，連接豳DE,得到N6出

求證：NMAN屏

(1)小亮寫出了該問題的證明，請你幫他把證明過程補(bǔ)充完整.

證明：過點(diǎn)《作"http://力8,

則有/啊

'：ABHCD,

：.AFED=_.

：.N版=NBEF+4FEgN田

(2)請你參考小亮思考問題的方法，解決問題：如圖乙，

已知：直線a//6,點(diǎn)46在直線a上，點(diǎn)C,〃在直線6上，連接AD,BC,BE平分4ABC,

瓦1平分B.BE,龐所在的直線交于點(diǎn)￡.

①如圖1,當(dāng)點(diǎn)8在點(diǎn)力的左側(cè)時(shí)，若N46C=60°,N47C=70°,求/質(zhì)的度數(shù)：

②如圖2,當(dāng)點(diǎn)8在點(diǎn)力的右側(cè)時(shí)，設(shè)NABC=a,NADC=8,請你求出/質(zhì)的度數(shù)

(用含有a,￡的式子表示).

15.如圖，以直角三角形40c的直角頂點(diǎn)。為原點(diǎn)，以0C、2所在直線為x軸和y軸

建立平面直角坐標(biāo)系點(diǎn)4(0,a),C(b,0)滿足Ja-26+|0-2|=0.〃為線段的中

點(diǎn).在平面直角坐標(biāo)系中以任意兩點(diǎn)戶(入,%)、/加,%)為端點(diǎn)的線段中點(diǎn)坐標(biāo)為(4警

(1)則力點(diǎn)的坐標(biāo)為;點(diǎn)。的坐標(biāo)為.。點(diǎn)的坐標(biāo)為.

(2)已知坐標(biāo)軸上有兩動(dòng)點(diǎn)只0同時(shí)出發(fā)，尸點(diǎn)從C點(diǎn)出發(fā)沿“軸負(fù)方向以1個(gè)單位

長度每秒的速度勻速移動(dòng)，。點(diǎn)從。點(diǎn)出發(fā)以2個(gè)單位長度每秒的速度沿y軸正方向移

動(dòng)，點(diǎn)Q到達(dá)A點(diǎn)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(t>0)秒.問：是否存在這樣

的t,網(wǎng)SAOD—SAODQ,若存在，請求出t的值：若不存在，請說明理由.

(3)點(diǎn)尸是線段“'上一點(diǎn)，滿足/AOC=NR6,點(diǎn)G是第二象限中一點(diǎn)，使得N4%

=/AOF.點(diǎn)￡是線段》上一動(dòng)點(diǎn)，連夜交加于點(diǎn)〃，當(dāng)點(diǎn)￡在線段的上運(yùn)動(dòng)的過

程中，幺竺之M笠的值是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，請求出它的值，若變化請說明理

ZOEC

由.

16.已知4MCN,點(diǎn)8為平面內(nèi)一點(diǎn)，ABJ_BC于B.

(1)如圖1,求證：NA+NC=90。；

(2)如圖2,過點(diǎn)8作B￡?_LM4的延長線于點(diǎn)。，求證：ZABD=ZC；

(3)如圖3,在(2)問的條件下，點(diǎn)E、尸在DW上，連接BE、8F、CF,且8尸平

令NDBC,BE平分/AfiO,若ZAFC=ZBCF,NBFC=3NDBE,求NEBC的度數(shù).

17.如圖1,點(diǎn)A、8分別在直線G”、MN上,NGAC=ANBD,NC=ND.

(1)求證：GHUMN；(提示：可延長4c交MN于點(diǎn)尸進(jìn)行證明)

(2)如圖2,AE平分NG4C,DE平分NBDC,若/AED=NG4C,求NGAC與NACD

之間的數(shù)量關(guān)系；

(3)在(2)的條件下，如圖3,BF平分ND8W,點(diǎn)K在射線跳1上，ZKAG=^ZGAC,

^ZAKB=ZACD,直接寫出NG4C的度數(shù)，

18.已知直線/,///,,點(diǎn)A,C分別在4,4上，點(diǎn)8在直線4,%之間，且ZBCN<NBAM<90°.

(1)如圖①，求證：ZABC=ZBAM+ZBCN.

閱讀并將下列推理過程補(bǔ)齊完整：

過點(diǎn)6作BG//NC,因?yàn)椤ā?,

所以AM〃()

所以Z/WG=N3AW,NCBG=NBCN()

所以ZABC=ZABG+NCBG=NBAM+ZBCN.

(2)如圖②，點(diǎn)。，￡在直線4上，S.ZDBC=ZBAM,應(yīng)'平分/ABC.

求證：ZDEB=ZDBE；

(3)在(2)的條件下，如果/CBE的平分線跖與直線4平行，試確定ZBAM與NBCN

之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

參考答案:

1.(1)360°

(2)540

⑶18O-(n+l)°

【分析】(1)過A作A8〃直線。，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(2)過A作AC〃直線。，30〃直線。，則/CZ物//直線6,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到

結(jié)論；

(3)根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解析】(1)解：過｛作/〃/直線。，

則仍/直線b,

Zl+Z3=Z4+Z2=180°,

.-.Z1+Z2+ZMAN=360。；

(2)解：過A作4。/直線“，姒/直線”，

則〃//"/直線。，

Nl+N3=N5+N6=N4+N2=180°,

Z1+Z2+ZMAB+ZABN=540°,

故答案為：540；

(3)解:由(1),(2)知,

當(dāng)形成1個(gè)折時(shí)，所有角與Nl、N2的總和=180(1+1)。=360。，

當(dāng)形成2個(gè)折時(shí)，所有角與Nl、N2的總和=180-(2+1)。=540。，

當(dāng)形成〃個(gè)折時(shí)，所有角與Nl、N2的總和=180(〃+1)。,

故答案為：180("+1)。.

1

N

圖1

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵.

2.⑴①45；②120。

(2)3ZOEA-ZOFC=160°

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)，以及角平分線的定義即可求解；

(2)過點(diǎn)。作OT〃A8,則。7〃。設(shè)/0爪=/0柘=/，ZOEH=ZHEA=a,

NG=NBEG+NGF￡>=a+18()o-277,根據(jù)平行線的性質(zhì)求得a+乃=80。，進(jìn)而根據(jù)

3NOE4-NOHC=3/7-(/-2a)=2/+2a=160。即可求解.

【解析】(1)①如圖，分別過點(diǎn)G,P作GN〃AB,PM〃A3,

B

圖1

：,/BEG=/EGN,

AB//CD,

:.ZNGF=ZGFD,

ZEGF=ZBEG+NGFD,

同理可得NEP/=NN石P+NPED,

EG1FG,

.\ZEGF=90°,

族平分ZBEG,FP平分/DFG；

/.BEP=-/BEG,ZPFD=-ZGFD,

22

/EPP=|(/BEG+ZGFD)=|ZEGF=45°

故答案為：45,

②如圖，過點(diǎn)。作QR〃。,

圖2

ZBEG=40°,

EG恰好平分NBEQ,FD恰好平分/GFQ,

ZGEQ=^BEG=40°f/GFQ=/QFD,

設(shè)乙GFQ=4QFD=a,

QR//CD,AB//CD,

二ZEQR=180O-ZQEB=180°-2ZQEG=100°,

CD//QR,

??./DFQ+NFQR=180。,

a+ZF0/?=180°,

:.a+ZFQE=S009

ZFeE=80°-a,

由(1)可知NG=2NP=NBEG+NEFD=400+a,

NFQE+2NP=80°-a+40°+a=120°；

(2)如圖，在AB的上方有一點(diǎn)0,若尸。平分NGFC,線段GE的延長線平分NOE4,設(shè)”

為線段GE的延長線上一點(diǎn)，

貝|JNOFC=NOEG,NOEH=NHEA

設(shè)ZOFC=ZOFG=0,ZOEH=NHEA=?

如圖，過點(diǎn)。作OT〃A8,則OT〃C。

.-.^TOF=ZOFC=/3,/TOE=ZOEA=2a

NEOF=0-2a

ZHEA=/BEG=a,4GFD=180°-2/3

由(1)可知NG=N3EG+NGF￡>=a+18()o-2/7

ZEOF+ZEGF=100°

0-2a+a+1800-2/?=100°

.5+夕=80°

ZOFC=p-2a,ZOEA=0

..3/OE4—NOFC=3￡—(尸一2a)=24+2a=160。

即3ZOEA-ZOFC=160°

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，以及角平分線的定義，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.(DN。氏理由見解析

⑵4CPD=2￡-/a或/⑦9=/a-4B

(3)N1/+N力/+…+N//?=/8/+/昆+…+N加

【分析】(1)過P作在〃/〃，根據(jù)平行線的判定可得在〃/〃〃8G再根據(jù)平行線的性質(zhì)即

可求解；

⑦這P作PE〃AD,根據(jù)平行線的判定可得跳〃4?〃及7,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解;

(3)問題拓展：分別過念4…，4,作直線〃/圈過8,B,,-,8T作直線〃4M根據(jù)平

行線的判定和性質(zhì)即可求解.

【解析】(1)戶/a+N￡,理由如下：

如圖，過P忤PE〃AD交CD于E,

：,AD//PE//BQ

：?4a=4DPE,4B=4CPE,

AZC7^ZZmZC7^=Z。+/￡；

(2)當(dāng)戶在劭延長線時(shí)，/CPD-/8-/a；理由:

如圖，鈍P作.PE〃AD交CD于E,

：.AD//PE//BC.

：?4a二乙DPE,4B=4CPE,

：.4CPA4CPE-4DP拄4￡-NQ；

當(dāng)月在死之間時(shí)，/0少=/。-/￡.理由:

如圖，迂P作-PE"AD友CD于E、

：,AD//PE//BQ

：?4a=4DPE,4B=4CPE,

:"CP2/DPA/CP="N￡.

（3）問題拓展：分別過4,4…，4/作直線〃4M過為員，…，叢作直線〃力圈

由平行線的性質(zhì)和角的和差關(guān)系得/4/+/4?+…+N/=/8+N氏+…+NH

N.

nN

故答案為：NAf+NA?+…+NA=N8t+NB2+…+NB.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，第(2)

問在解題時(shí)注意分類思想的運(yùn)用.

4.(1)ZBAE+ZCDE=ZAED；

(2)ZAFD=-ZAED；

2

(3)Z&4￡=60°

【分析】(1)作旗〃48,如圖1,KJEF//CD,利用平行線的性質(zhì)得N1=N用區(qū)42=4CDE,

從而得到/胡研/0片/4S9

(2)如圖2,由(1)的結(jié)論得/胡反乙CD2三4CDE,馳NAFF三(4BAE+4CDE),

加上(1)的結(jié)論得到砂4砂；

(3)由(1)的結(jié)論得胡力/儂，利用折疊性質(zhì)得/5再利用等量代

3

換得到N4O2//盼jN物￡,加上90°-//6氏180°-2/45〃從而計(jì)算出/劭E的度數(shù).

【解析】(1)^BAE+ACDE=ZAED

理由如下：

作EF//AB,如圖1

'：AB//CD

：.EF//CD

：.Z1=ZBAE,Z2=ZCD￡

：.ZBAE+ZCDB=ZAED

(2)如圖2,由(1)的結(jié)論得

NAFD=NBAPr/CDF

VZBAE./核的兩條平分線交于點(diǎn)尸

:.NBAgg/BAE,/CD吟/CDE

：.NAF吟(.NBAE+/CDE)

,：4BA吩乙CDE=4AED

:.NAF吟NAED

(3)由(1)的結(jié)論得N/ON為—NSG

而射線DC沿膜翻折交4尸于點(diǎn)G

:.匕CDf/CDF

：./AGD=ZBAF+4NCDQg/BAE+2/CD拄gzBAE+2QAED~NBAE)=2ZAED~-ZBAE

222

V90°-ZAGD=18O0-2/AED

3

.\90°-2/4吠—N胡氏180°-2ZAED

2

???/班芹60°

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ);

兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

5.(1)90°

(2)AMi=\AM.證明見解析

⑶弓)2021X900

【分析】(1)利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義解決問題即可；

(2)結(jié)論：如圖2中，過點(diǎn)、助作利用平行線的性質(zhì)解決問題;

(3)探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可.

【解析】(1)解：如圖1中，

,：A.B//CD,

,:NAEF,喏的平分線相交于點(diǎn)業(yè)

:.NME百;NAEF,AEFM=^ACFE,

：.2MER乙MFE卷(/AEMCFE)=90°,

/,Z^180°-90°=90°；

(2)結(jié)論：NMk;NM.

理由：如圖2中，過點(diǎn)用作版7〃/6

圖2

'JAB//CD,MJ//AB,

CD,

,:乙AEM,/仔獷的平分線相交于點(diǎn)出,

：./AEMkyZ.AEM,ZCFMf=gZCFM,

'：NE陸戶/AEM,,AJM,F-ZCFM,

:4E品戶/AEM*/CFMkgCZAEl^-ZCElf)=gx90°=45°；

所以/掰於gZ.K

(3)由(2)可知，N*X90°,

同法可知，/肪=；N跖=1NM,

24

???9

N滬(3)〃X90°,

當(dāng)爐2021時(shí)，//*(y)2021X90°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律的方

法，屬于中考?？碱}型.

6.(1)ZA+ZC=90°

(2)證明見解析

⑶105°

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)證明即可；

(2)過點(diǎn)6作8G〃。何，根據(jù)同角的余角相等得出NA8O=NCBG,再根據(jù)平行線的性質(zhì)

得到NC=/CBG,即可得到NA3￡)=NC；

(3)過點(diǎn)8作8G〃OM,根據(jù)角平分線的定義得出NABP=NG89，設(shè)NDBE=a,

AABF=(3,可得3a+〃=75。，再根據(jù)AB23C,得到/7+￡+2a=90。，解方程得到

NABE=15。,繼而得出，ZEBC=ZABE+ZABC=15°+90°=105°.

【解析】(1)如圖1,

圖/

'：AMIICN,

：.NC=ZAOB,

ABIBC,

：.ZABC=9O°,

ZA+ZAOB=90°,ZA+ZC=90°,

故答案為：ZA+ZC=90°；

圖2

,?BDYAM,

；?DB上BG,

：.ND5G=90。，

：.ZABD+ZABG=90°.

■:AB1BC,

：.NCBG+ZABG=90。,

：.ZABD=ZCBG,

■:AM/IBG,

Z.ZC=ZCBG,ZABD=ZC.

(3)如圖3,過點(diǎn)、B作BG//DM,

■:BF平分NDBC,BE平分NABD,

：./DBF=/CBF,ZDBE=ZABE,

由(2)知NABD=NC3G,

:?ZABF=/GBF,設(shè)Z￡>8E=a,ZAB尸=￡,

則ZA3E=a,ZABD=2a=ZCBG,4GBF=/AFB=0,

/BFC=3/DBE=3a,

：.ZAFC=3a+/3

VZAFC+ZA^CF=180°,NFCB+/NCF=180。,

；.4FCB=ZAFC=3a+j3,

△BCF中，由NCM+NBFC+N3b=18。。得

2a+/7+3a+3a+/?=180°,

VAB1BC,

?"+/+2a=90。，

Aa=15°,

；?ZABE=15°,

???/EBC=ZABE+ZABC=150+90°=105°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)與應(yīng)用、角平分線的性質(zhì)、方程思想等知識(shí)，學(xué)會(huì)添加輔助

線，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

7.(1)120°,90°；(2)①90°+n；②n的值為弓或與；(3)當(dāng)〃=30°時(shí)，ABVDG

(防)；當(dāng)〃=90°時(shí)，BCLDG(fiP),ACLDE(GF)；當(dāng)z?=120°時(shí)，ABIDE(g當(dāng)n=

180°時(shí)，ACVDG(〃)，BCLDE(GA；當(dāng)〃=210°時(shí)，AB±DG(ER；當(dāng)〃=270°時(shí)，

BCLDG(￡70,ACLDE{GF)-,當(dāng)c=300°時(shí)，ABIDE(GP>.

【分析】(1)根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和平行線的性質(zhì)解答；

(2)①根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出/比6然后根據(jù)周角等于360。計(jì)算即可得到

N2；②根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出N4施；再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得N1=N48￡,再

分/1=3N2和/2=：Z1分別求解即可；

44

(3)結(jié)合圖形，分48、BC、/C三條邊與直尺垂直討論求解.

【解析】解：(1)Zl=180°-60°=120°,

Z2=90°；

故答案為：120,90；

(2)①如圖2,'：DG//EF,

：.ABCG^1800-/儂'=180°-n°,

N5CG+N2=360°,

，/2=360°-NACB-NBCG=36Q°-90°-(180°-n°)=90°+n°；

故答案為：90°+n°；

②?.?/腦=60°,

AZABE=180°-60°-n°=120°-n°,

'：DG//EF,

：.Z1=ZABE=12O°-n°,

若Nl=2/2,則120°~n°--(90°+〃°),解得n=L；

443

若則90。+n=-(120°-n°),解得n=四；

443

所以n的值為?或?qū)?

(3)當(dāng)〃=30。時(shí)，ABLDG(^)；

當(dāng)〃=90°時(shí)，BCLDG(ED,ACLDE(GF)；

當(dāng)〃=120°時(shí)，ABLDE(6^)；

當(dāng)n=180°時(shí)，ACLDG(E2,BCLDE(GP)；

當(dāng)〃=210°時(shí)，ABLDG(￡70；

當(dāng)〃=270°時(shí)，BCJLDGAOLDE(.GR；

當(dāng)〃=300°時(shí)，ABIDE(670.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的計(jì)算，垂線的定義，主要利用了平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，

讀懂題目信息并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.

8.(1)證明見解析；(2)ZAfiC-ZF=90°；(3)45°.

【分析】(D過點(diǎn)C作CF〃回，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NABC+N8b=I80。，再根據(jù)

平行公理推論可得C尸DE,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/a>E+N8CF+/8C￡>=180。，

由此即可得證；

(2)過點(diǎn)C作CG〃/同(1)的方法，先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NA5C+/3CG=18O。，

ZF+ZBCG+ZBCF=180°,從而可得ZABC—NF=NBCF,再根據(jù)垂直的定義可得

NBCF=90°,由此即可得出結(jié)論；

(3)過點(diǎn)G作GMAB,延長FG至點(diǎn)N,先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NABH=ZMG”，

ZMGN=ZDFG,從而可得ZMGH-NMGN=ZABH-NDFG,再根據(jù)角平分線的定義、

結(jié)合(2)的結(jié)論可得NMGN=45。，然后根據(jù)角的和差、對(duì)頂角相等可得

ZBGD-ZCGF=ZMGH-AMGN,由此即可得出答案.

【解析】證明：(1)如圖，過點(diǎn)C作C/〃AB,

/.ZABC4-ZBCF=180°,

ABDE9

；?CFPDE,

.\ZCDE+ZDCF=180°f即+，

??.ACDE+ABCF+/BCD=ZABC+ZBCF,

/./BCD+/CDE=ZABC；

(2)如圖，過點(diǎn)C作CG〃Afi,

ZABC+ZBCG=180°,

ABDE,

:.CGDE,

.?.ZF+ZFCG=180°,即NF+ZBCG+ZBb=180。，

/./F+NBCG+NBCF=ZABC-b4BCG,

:.ZABC—/F=/BCF,

CF±BCf

.\ZBCF=90°f

.\ZABC-ZF=90°；

(3)如圖，過點(diǎn)G作GMAB,延長AG至點(diǎn)N,

:.ZABH=ZMGHf

ABDE,

:.GMDE,

:.ZMGN=4DFG,

.8〃平分/ABC,FN平分/CFD,

/ABH=-NABC,ZDFG=-ZCFD,

22

由（2）可知，Z4BC-ZCFD=90°,

??.NMGH-ZMGN=ZABH-ZDFG=-ZABC--ZCFD=45°,

22

「JZBGD=/MGH+ZMGD

又[ZCGF=4DGN=NMGN+/MGD'

/.ZBGD-ZCGF=ZMGH-ZMGN=45°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角相等、角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行

線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

9.（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）/FBE=35°.

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出N/144N5陽4DCF=4EFC,進(jìn)而解答即可；

（2）由（1）的結(jié)論和垂直的定義解答即可；

（3）由（1）的結(jié)論和三角形的角的關(guān)系解答即可.

【解析】證明：（1）9：AB//CD,EF"CD,

：.AB//EF,

：.ZABF=ZBFE,

?：EF〃CD,

:?/DCF=/EFC,

：.ZBFC=4BFE+4EFC=/AB我/DCF；

（2）VBE工EC,

：,4BEC=9G°,

:?/EBC+/BCE=9C,

由（1）可得：NBFC=/ABE+4ECD=9G,

???/ABE+/ECD=/EBC+/BCE,

?:BE*分/ABC,

：.ZABE=4EBC,

：.4ECD=/BCE,

???龐平分N閱9；

（3）設(shè)4BCE=B,NECF=y,

?：CE4禽/BCD,

：.ZDCE=ABCE=￡,

:./DCF=/DCE-/ECF=B-y,

：.ZEFC=e-y,

9：ZBFC=ZBCF,

：.ZBFC=ZBCE+ZECF=y+8,

：.ZABF=ZBFE=2y,

?：4FBG=24ECF,

：.ZFBG=2y,

:"ABE+ZDCE=N.BEC=9G°,

:.NABE=9Q°-￡,

NGBE=Z.ABE-AABF-N碗=90°-￡-2%-2y,

■:BE平■62ABC,

:./CBE=NABE=9Q°-￡,

：.ACBG=ACBE+AGBE,

.?.70°=90°-2+90°-￡-2y-2y,

整理得：2y+￡=55°,

：.NFBE=2FBG+NGBE=2、+9Q°-￡-2y-2y=90°-(2y+￡)=35°.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)解答.

10.(1)見解析；(2)55°；(3)180。-；。+：/7

【分析】(1)根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理解答即可；

(2冠如圖2,過點(diǎn)F作在//A3,當(dāng)點(diǎn)8在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí),根據(jù)ZABC=50°,ZADC=60°,

根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可求NBFD的度數(shù)；

②如圖3,過點(diǎn)尸作成〃A3,當(dāng)點(diǎn)5在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，ZABC=a,ZADC=^,根據(jù)平

行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可求出N8FD的度數(shù).

【解析】解：(1)如圖1,過點(diǎn)E作EF//AB,

圖1

則有=

AB//CD,

:.EF//CD,

：.ZFED=ZD,

:.ZBED=^BEF+AFED=ZB+ZD\

(2)①如圖2,過點(diǎn)尸作在E//AB,

圖2

有ZBFE:ZFBA.

ABI/CD,

:.EF//CD.

:.乙EFD=4FDC.

NBFE+Z.EFD=乙FBA+4FDC.

即ZBFD=NFBA+NFDC,

BF平分/ABC,。尸平分/ADC,

ZFBA=-^ABC=25°ZFDC=-ZADC=30°,

2f2

ZBFD=^FBA+AFDC=55°.

答：N8FD的度數(shù)為55。；

②如圖3,過點(diǎn)尸作在〃AB,

圖3

有NBFE+NE8A=180。.

:.ZBFE=180P-NFBA,

AB!/CD,

:.EF//CD.

ZEFD=ZFDC.

ZBFE+ZEFD=180°-NFBA+NFDC.

即NBFD=180°-ZFBA+ZFDC,

8/平分NA8C,。尸平分一ADC,

ZFBA=gZA6C=ga,NFDC=-Z.ADC=；/3,

NBFD=180°-ZFBA+ZFDC=18O°--a+-/7.

22

答：NBFD的度數(shù)為18(T-ga+；尸.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì).

11.(1)見解析；(2)/PE52/PFQ=36Q°；(3)30°

【分析】(1)首先證明/1=/3,易證得4勿/口；

(2)如圖2中，NPEQ^2/PFQ=36Q°.作EH〃AB.理由平行線的性質(zhì)即可證明；

(3)如圖3中，設(shè)NQPF=y,NPHQ=x.AEPQ=z,典\NEQF=NFQH=5y,想辦法構(gòu)建方

程即可解決問題；

【解析】(1)如圖1中，

：/2=/3,Z1-Z2,

.*.Z1=Z3,

:.ABHCD.

(2)結(jié)論：如圖2中，N必g2//F0=36O°.

理由：作EHHAB.

M

APB

OD

⑵

?：AB〃CD,EH//AB,

：.EH//CD,

AZ1=Z2,Z3=Z4,

AZ2+Z3=Z1+Z4,

???NW=N1+N4,

同法可證：4PFQ=4BPR乙FQD,

?:/BPE=2/BPF,/EQD=2/FQD,Nl+N叱=180,N4+N頌?=180°,

AZl+Z4+Z￡，e/>Z^=2X180°,

即NQ502(N/WN出為二3600,

.??N/W2NW=360°.

(3)如圖3中，設(shè)N斯=八APIIQ=x./EPQ=z,於/EQF=/FQH=3y,

⑶

9：EQ//PH,

"EQC=/PHQ=x,

/.A+10y=180o,

'：AB//CD,

：?4BPH=/PHQ=x,

?:PF平%4BPE,

：.4EP54FPQ=/FPI代NBPH,

；?/FPH=y^-z-x,

、：PQ平分/EPH,

Z=y+y+z-x,

/.x=2y,

.\12y=180°,

.\y=15°,

/.x=30°,

AZW=30°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí).（2）中能正確作出輔助

線是解題的關(guān)鍵；（3）中能熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，找到角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

12.（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）120°.

【分析】（1）過點(diǎn)力作/〃〃的；根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得到乙心/PBA=

4DAB,根據(jù)角的和差等量代換即可得解；

（2）由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到???、ZCAB^ZACD=180°,由鄰補(bǔ)角定義得到

/ECW/ECN=180°,再等量代換即可得解；

（3）由平行線的性質(zhì)得到，/FAB=120。-/GCA,再由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)得

到NG。-N力郎'=60°,最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°即可求解.

【解析】解：（1）證明：如圖1,過點(diǎn)/作力〃〃協(xié)；

圖1

YMNIIPQ、AD〃MN,

：.AD//MN//PQ,

：.AMCA=ADAC,/PBA=/DAB,

，ACAB=/DAC+/DAB=NMCA+/PBA,

即：/CAB=/MCA+/PBA；

(2)如圖2,VCD//AB,

：.ZCAff^ZACD=l80°,

u：ZEafl-ZECN=180°,

9：ZECN=ZCAB

：.Z.ECM=AACD,

即/加Z+N/1B=N〃蛆

.??ZMCA=4DCE；

(3),:AFHCG,

：.ZGCA+ZFAC=Y80°,

?.?NO8=60°

即NGO+/0屏NQ18=180°,

：.ZFAB=180°-60°-ZGCA=120°-/GCA,

由(1)可知，/CAB=/MCA+/ABP,

?：BF斗令/ABP,CG平分4ACN,

：.ZACN=2ZGCA9/ABP=2/ABF,

又???乙必4=180°-4ACN,

???/。4=180°-2NGC4+2NW60°,

：.ZGCA-ZABF=60°,

■:/AFm/AB丹NE4B=M0,

：.ZAFB=1800-ZFAB-ZFBA

=180°-(120°-/GCA)-/ABF

=180°-120°+ZGCA-ZABF

=120°.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，線段、角、相交線與平行線，準(zhǔn)確的推導(dǎo)是解決本

題的關(guān)鍵.

13.(1)/BME=ZMEN-ZEND；ABMF=ZMFN-VAFND-,(2)120°；(3)不變，30°

【分析】⑴過￡作EH//AB,易得分/〃46〃徼根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；過/作FH//AB,

易得"/〃/5〃5，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論及角平分線的定義可得2QBME+/END)+NBMANFND=180°,可

求解價(jià)60°,進(jìn)而可求解；

(3)根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義可推知/必03/5物；進(jìn)而可求解.

【解析】解：(1)這E作EH/iAB,如圖1,

/BME=NMEH,

'：AB//CD,

：.HE//CD,

：.AEND=AHEN,

：.4電=乙幽+NHEN=NBME+ZEND,

即/區(qū)ZEND.

如圖2,過戶作灰〃48,

，NBMF=NMFK,

'：AB//CD,

J.FII//CD,

：.4FND=AKFN,

：.AMFN=AMFK-ZKFN=ABMF-ZFND,

即：ZBMF=NMFN+ZFND.

圖2

故答案為i/BME=NMEN-ZEND；4BMF=ZMFN+ZFND.

(2)由(1)得/BME=AMEN-ZEND；ZBMF=NMFN+ZFND.

,:NE*令乙FND,MB平■哈4FME,

：.ZFME=ZBME+ZBMF,ZFNgZFNE+ZEND,

V2ZJ1EAH-Z,10^180°,

：.2QBME+4ENG+ZBMF-/E，Vgl80°,

2ZBME+2ZW+ZBMF-ZMZ>=180o,

即2NBMF+NFND+ZBMF-NFNg'RG,

解得/5跖1=60°,

：.4FME=2NBMF='20"；

(3)/儂?的大小沒發(fā)生變化，4FEQ=3Q；

由(1)知：ZMEN^ZBME+ZEND,

■:EF平■令人MEN,NP*64END,

：.4FEN=1/MEN=g(4BME+/END),4EN—|AEND,

'：EQ//NP,

：.ANEQ=AENP,

：.4FEQ=/FEN-ZNEQ=y(ZBME+ZEND)-|AEND=|NBME,

■:NBME=6G°,

X60°=30°.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，作平行線的輔助線是解題的關(guān)鍵.

14.(1)NB,EF,CD,ZA(2)①65°；②180°-；夕

【分析】(1)根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理解答即可；

(2)①如圖1,過點(diǎn)￡作EF//AB,當(dāng)點(diǎn)5在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，根據(jù)N/PGO。，ZADC=70°,

參考小亮思考問題的方法即可求/時(shí)的度數(shù)；

②如圖2,過點(diǎn)￡作及〃/8,當(dāng)點(diǎn)8在點(diǎn)/的右側(cè)時(shí)，ZABC=a,NADC=B,參考小亮思

考問題的方法即可求出/板的度數(shù).

【解析】解：(1)過點(diǎn)￡作小〃

則有/應(yīng)7』/氏

'：A.B//CD,

：.EF//CD,

：.ZFED=AD,

：.4BEA/BEFr4FED=NB+ND；

故答案為：/B；EF；CD；ND；

(2)①如圖1,試點(diǎn)、E悴EF〃AB,有NBEF=NEBA.

圖1

?:ABaCD,

：.EF//CD.

：.NFED=AEDC.

：./BEPr4FEA/EBA+ZEDC.

於NBED=/EBA+/EDC,

■:BE平分4ABC,DE平分4ADC,

：.NEBA=g/ABC=3Q°,NEDC=5乙ADC=33。,

:.NBED=NEBA+NEDC=65°.

答：切的度數(shù)為65。；

②如圖2,這點(diǎn)、E作■EFHAB,有NBERNEBA=180°.

AB

DC

圖2

顏=180°-ZEBA,

'：AB//CD,

：.EF//CD.

：.AFED=AEDC.

:./B2/FEg\8G°-AEBA+^EDC.

即/戚=180°-ZEBA"EDC,

■:BE平■6/ABC,DE平分乙ADC,

：.AEBA=:/ABC=-a,』EDC=工ZADC=-p,

2222

:.NBEg\8G°-/EBA+/EDC=18Q°--a+-/3.

22

答：/版的度數(shù)為180°-\a+\p.

22

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì).

15.(1)(0,4),(2,0),(1,2)；(2)1,理由見解析；(3)2,理由見解析

【分析】(1)根據(jù)絕對(duì)值和算術(shù)平方根的非負(fù)性，求得a,6的值，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即

可得出答案；

(2)先得出華=t,OP=2-t,OQ=21,第=4-23再根據(jù)力眥=8勿0,列出關(guān)于t

的方程，求得t的值即可；

(3)過〃點(diǎn)作/C的平行線，交x軸于只先判定OG〃/G再根據(jù)角的和差關(guān)系以及平行線

的性質(zhì)，得出NPHO=NGOF=N1+N2,/加=/6^//WC=NG〃/4/4=/l+/2+/4,

最后代入“HC匕比進(jìn)行計(jì)算即可.

/.OEC

【解析】解：⑴Vsja-2b+\b-2\=o.

.?.a-26=0,b-2=0,

解得a=4,6=2,

：.A(0,4),C(2,0)；

(1,2).

故答案為(0,4),(2,0),(1,2).

(2)如圖1中,

由條件可知：P點(diǎn)從。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到。點(diǎn)時(shí)間為2秒，0點(diǎn)從。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)間為2秒,

時(shí)，點(diǎn)0在線段4。上，

即CP=t,OP=2-t,OQ=2t,AQ=\-It,

：.SADOP^^OP>y^^(2-t)X2=2-力SADOQ=yOQ>X2tX1=t,

'：SAODP^SAODQ,

??2一t--ty

；?t=1；

y1

?

X

圖1

(3)的值不變,其值為2.理由如下：如圖2中，

Z.1OEfACC"

VZ2+Z3=90°,

又???N1=N2,Z